một số ứng dụng của supermartingale để nghiên cứu tính ổn định của hệ ngẫu nhiên rời rạc hai tham số

Việc nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân bằng phương pháp giải tích đã được Khasminsky, Ghieman và nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu.. Bằng hai phương pháp trên luận

MUC LUC

1.1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định 4

1.2 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính 6

1.3 Tính ổn định của hệ tuyến tính dừng 6

1.4 Phương pháp hàm LÙyapunov 11

1.5 Tính ổn định của hệ tuyến tính không dừng 16

1.6 Tính ổn định của hệ sai phân tất định 22

1.7 Tính ổn định của hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên 24

2_ Một số ứng dụng của supermartingale để nghiên cứu tính ổn định của hệ ngẫu nhiên rời rạc hai tham số 27 2.1 Các khái niệm cơbản QC 27 2.2 Một số định lý hội tụ của supermartingale 29

2.3 Tính ổn định và ổn định tiệm cận của nghệm 29

2.4 Một số kiến thức về martingale hai tham số 31

2.5 Tinh ổn định của một lớp hệ sai phân ngẫu nhiên rời rạc hai tham -— L 35

Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42

Bất kì một hệ thống nào, dù là hệ thống kĩ thuật, hệ sinh thái hay hệ

thống kinh tế - xã hội, bao giờ cũng tồn tại và phát triển ở trạng thái ổn

định Tuy nhiên trong quá trình hoạt động hệ thống đều chịu tác động của

những nhiễu khác nhau Đó là trạng thái mà khi có nhiễu kéo hệ ra khỏi trạng thái ban đầu thì hệ có xu hướng quay trở lại trạng thái cân bằng vốn

có Do đó mọi hệ thống đều muốn hoạt động ở trang thái ổn định nhất

Tính ổn định bắt đầu được nghiên cứu từ cuối thế kỉ 19 với những công

trình xuất sắc của nhà toán học Nga A.M Lyapunov Cho đến nay tính

ổn định đã được nghiên cứu và phát triển như một lý thuyết toán học độc

lập, có nhiều ứng dụng hữu hiệu trong kinh tế, khoa học, và kĩ thuật Lý

thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính phương trình vi phân

Việc nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân bằng phương pháp giải tích đã được Khasminsky, Ghieman và nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Những năm gần đây hình thành một cách tiếp cận mới để nghiên cứu tính ổn định bằng phương pháp đại số ma trận thông qua các phương trình đại số ma trận Sylvester Bằng hai phương pháp trên

luận văn hệ thống hóa một số kết quả nghiên cứu đã có và tiếp tục nghiên

cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân, sai phân ngẫu nhiên

Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: Tính ổn định của hệ vi phân và sai phân ngẫu nhiên Chương này trình bày các khái niệm và các tính chất cơ bản của lý

thuyết ổn định, xét tính ổn định của hệ phương trình tuyến tính, hệ phi

tuyến và hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên bằng cách sử dụng công cụ

chủ yếu là bất đẳng thức Gronwall và phương pháp Lyapunov Tính ổn

định của hệ sai phân tất định và hệ sai phân ngẫu nhiên

Chương 2: Một số ứng dụng của supermartingale để nghiên cứu tính ổn định của hệ ngẫu nhiên rời rạc hai tham số

Chương này trình bày một số kiến thức martingale hai tham số Dặc biệt chương này đã trình bày được một số điều kiện đủ về tính ổn định của lớp

hệ ngẫu nhiên rời rạc hai tham số bằng phương pháp bi-supermatingale

Luận văn được thực hiện tại trường Dại học vinh dưới sự hướng dẫn

trực tiếp của PGS.TS Phan Đức Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn

sâu sắc tới Thầy về sự quan tâm và nhiệt tình hướng dẫn mà thầy đã dành

cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường

Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn

Quảng, PGS.TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hoà, GS.TS Nguyễn Hữu Dư, cùng các thầy cô giáo ở bộ môn Xác suất thống kê và ứng dụng, JKhoa Toán, Khoa sau đại học - Trường Dại học Vĩnh

Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Nghệ An,

Trường THPT-DTNT Qùy Châu, gia đình và bạn bè đã thường xuyên quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu

sót, tác giả mong nhận được đóng góp quý báu từ các thầy cô giáo và các

bạn

Vĩnh, tháng 12 năm 2008

Tác giả

TINH ON DINH CUA HE VI PHAN VA SAI PHAN

Tính ổn định là một trong những tính chất cơ bản của lý thuyết định tính của các hệ động lực Bất kì một hệ thống nào (hệ sinh học hay hệ kinh

tế hay hệ kỹ thuật ) bao giờ cũng hoạt động ở trạng thái ổn định nhất

Hệ vi phân và sai phân là những phương tiện cơ bản để mô tả hệ thống, do

đó mục đích của chương này là nghiên cứu tính ổn định của các hệ trên 1.1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định

1.1.1 Định nghĩa Nghiệm x(t) cia hé goi 1a on dinh theo Lyapunov khi

t — +00 (goi tat 1A én dinh) néu Ve > 0,t) > 0,56 = d(e, to) sao cho bat ki nghiệm y(t) cia hé thoa man || yo — #o ||< ổ thì sẽ nghiệm đúng bất đẳng thttc || y(t) — x(t) ||< e, Vt > to

1.1.2 Dinh nghĩa Nghiệm a(t) của hệ gọi là không ổn định theo Lụapunou

nếu 3e > 0 và #ạ > 0 sao cho V6 > 0, tồn tại nghiệm ø(£) của hệ và thời diém t; > to thoa man || yo — xo ||< 6 nhung || y(t1) — x(t1) ||> e

1.1.3 Dinh nghĩa Nghiệm x(t) của hệ gọi là ổn định tiệm cận theo Lya-

punov khi ¢ — +00 (gọi tắt là ổn định tiệm cận) nếu nó ổn định và

45 > 0 sao cho bat ki nghiém y(t) cia hệ thoả mãn || o — #o ||< ổ thì

1.1.5 Định nghĩa Nghiệm tầm thường (trạng thái cân bằng) z = 0 gọi

là ổn định nêu Vz > 0,fạ > 0, 3ổ = ổ(e,fạ) sao cho bất kì nghiệm y(t) của

hệ thoả mãn || y(to) ||< ở thì sẽ nghiệm đúng bất đẳng thức

|| x(t) ||< e, Vt > tao

1.1.6 Định nghĩa Nghiệm tầm thường z = 0 của hệ gọi là én định tiệm

cận theo Lyapunov nếu nó ổn định và 3ổ > 0 sao cho bất kì nghiệm y(t)

thỏa mãn || ø(#o) ||< 6 thì jim || y(t) ||=0

—OO

1.1.7 Định nghĩa Hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ néu IM > 0,ð > 0

sao cho mọi nghiệm z(£) của hệ với #(fo) = vp thỏa mãn

x(t) || < Mie) Wt > to

Khi đó nghiệm không của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi

nghiệm của nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ của hàm số mũ

1.1.8 Định nghĩa Xét hệ sai phân

#(k + 1) = ƒ(E,z(k)),k € Z* (1.3) trong dé f(.): Zt x X —> X 1a ham cho trước

Hệ sai phân trên được gọi là ổn định nếu Ve > 0, kọ € Z*, 35 = 5 (ko, €)

sao cho mọi nghiệm z(È) của hệ với ||z(0)|| < ð thì ||z(E)|| < e,Vk > kạ

1.2 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính

Xét hệ vi phân tuyến tính

và hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

trong đó ma trận A() và vectơ ƒ(#) liên tục trong khoảng (0, )

1.2.1 Định nghĩa Hệ vi phân tuyến tính (1.4) gọi là ổn định nếu tất cả các nghiệm của nó on định

1.2.2 Nhận xét Các nghiệm của hệ ui phân tuyến tính hoặc đồng thời

cùng ổn định hoặc đồng thời không ổn định

1.2.3 Định nghĩa Hệ vi phân tuyến tính (1.4) được gọi là ổn định tiệm

cận nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận

1.2.4 Định lý Hệ ơi phân tuyến tính (1.4) ổn định uới số hạng tự do bát

kỳ ƒ() khi oà chỉ khi nghiệm tầm thường của hệ thuần nhất tương ứng (1.5)

ổn định

1.2.5 Định lý Điều kiện cần oà đủ để hệ ti phân tuyến tính (1.4) ổn định

tiệm cận là nghiệm tầm thường của hệ thuần nhất tương ứng (1.5) ổn định

tiệm cận

1.2.6 Hệ quả Hệ vi phân tuyến tính (1.4) vdi s6 hang tu do f(t) bat ky

ổn định ( ổn định tiệm cận ) khi 0à chỉ khá hệ ui phân tuyến tính thuần nhất tương ứng ổn định (on định tiêm cận)

1.3 Tính ổn định của hệ tuyến tính dừng

Mục này đưa ra tiêu chuẩn để hệ tuyến tính dừng ổn định nhưng không

phải tìm nghiệm của hệ, mà dựa vào các giá trị riêng của ma trận hằng hai t I 1 lu t t I A A

Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất:

a(t) = Ax(t),t > 0 (1.6)

trong đó A = [ajz], 1A ma tran hang

1.3.1 Định lý Hệ ơi phân (1.6) ổn dinh khi va chi khi tất các nghiệm đặc trưng À¡ của ma trận A đều có phần thực không dương tà các nghiệm đặc

trưng có phan thực bằng không đều có ước cơ bắn đơn

Chitng minh Diều kiện đủ: Từ (1.6) ta suy ra Š = A

Lấy tích phân hai về ta được:

In X = At + CC @ + = cC.e*!,

Cc * = 29 Do dé x = e4

Vì z(0) = x nên e f a; là nghiệm của hệ đã cho

Ta cần chứng minh mọi nghiệm của hệ bị chặn

That vay, gia sti Ay, A2, ,Ar, (7 < n) 1a cac gid tri rig phan biệt của

ma tran A, trong do Aj = a; + ibj,j = 1,2, ,m,aj A O;A_, = iby, k =

?n + 1, ,T

Khi đó tồn tại ma trận không suy biến 7 sao cho ma trận 7~!AT7 có dang chéo

diag(J(A1),.- J0Ar)) == B

Suy ra ma tran Te?'T-! ¢6 dang T.diag(e0™, .,e%On T-1),

Mà z() = e“g = TeP!T~!zạ nên suy ra

z(t) = T.diag(ehÐ0f ehÖn)f TT am,

Vì IeA; < 0,V7 = 1, ,r nên ||z()|| < co Do dé moi nghiệm của hệ

(1.6) bị chặn

Điều kiện cần : Giả sử hệ (1.6) ỗn định, ta cần chứng minh

ReÀ; < 0,VJ = 1, r.

3

= ||diag(e 1 EAN) Jag] < +00

& Redj <0,Vj =1y 4r

Bay gid ta con phai chttng minh véi g = 7.by, ay = 0 thi A, ¢6 ude co ban

đơn Gọi Z„(À¿) 14 6 Jordan ctia A, cAp ay, ta có:

M(t) = T7!.diag{0, .,0, Jy(Aq)-e7#0*, 0, ., O}.T

= (T 1} diag(Ji(A1), «-, J-(Ar))-T)(T 'diag(0, .,0, Jg(Aq) 720, 0, ., OF.T)

= A.M(t)

Do d6 M(t) 1A ma tran nghiém ctia (1.6)

Mặt khác ||A/()|| —> œ khi £ — œ nên A⁄() không bị chặn

(Do M(#)|| = TIM) T-I > |T-MO.-T>] = [Je] + 00)

Do vay a, < 1, hay A, c6 u6ée co ban đơn L]

1.3.2 Dinh lý Hệ ơi phân tuyến tính thuần nhất (1.6) ổn định tiêm cận khú uà chỉ kh tắt cả các nghiệm À;¡ của phương trình đặc trưng của ma trận

A đều có phần thực âm

Chứng mánh Ta có mọi nghiệm z(£) của phương trình (1.6) đều có dạng

a(t) = T.diag(e2, .,¢e%?O) T! a9)

trong đó 7' là ma trận không suy biến va

1.3.3 Định lý Hệ (1.6) là ổn định mũ khá uà chỉ khi phần thực của tắt cả

các giá trị riêng của ma trận A là âm

Chúng tình Diều kiện đủ: Ta có mọi nghiệm của hệ (1.6) đều có dạng:

z() = T.diag(eh01t, e ha) TT 29) Hơn nữa

Vì ReA¿ < 0 nên ||(#)|| > 0 khi t > 00 va do dé hé (1.6) 6n dinh mi

Diéu kién can: Gia stt hé (1.6) 1A 6n dinh mii, khi dé moi nghiém x(t) của hệ với z(fa) = #o thoả mãn ||+(9)|| < m|lzoll.e °C véi pe > 0,6 > 0 nào đó

Bay giờ ta giả sử 3Ào € A(A) sao cho #eÀo > 0 Khi đó véctơ riêng zo ứng với Ào này thoả mãn 4z = Ào#o và khi đó nghiệm của hệ với #o(£) = #o

là zo() = œgeˆ°t,

Rerot

Suy ra: ||xo(t)|| = ||xoll-e — oo khi ¢ > oo Diéu nay mâu thuẫn với

1.3.4 Chú ý Đối vdi hé vi phân tuyến tính thuần nhất đừng các mệnh đề sau là tương đương:

1.3.6 Định lý Giả sử da thúc đặc trưng mù hệ phương trinh vi phan (1.6)

đã cho là da thúc chuẩn: ƒ(z) = z" + aiz"~! + + au Khi đó tiếu tất cả các định thúc chóo chính Dạ, k — 1,2, " của ma trận Hurutliz của nó đều

dương thà phần thực của tất cả các nghiệm của đa thức f (z) là am, túc hệ

đã cho ổn định tiệm cận, trong đó

?) Tồn tại số 0 < q< 1 sao cho ||A||= q< 1;

7) | |< 1, uớứi mọi À € À(A)

11

Chúng mính Với z(0) = zạ, nghiệm của (1.3) sẽ cho bởi z(k) = A*zo

Vậy để x(k) > 0 khi k — oo , theo định nghĩa ổn định tiệm cận, thì hoặc

| All = q < 1, hoac A* — 0 Do đó tất cả các giá trị riêng của ma trận A có

giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 là được Vậy định lý được chứng minh xong 0

va a, goi lA ham Lyapunov Tính ổn định của hệ sẽ được kiểm tra trực tiếp thông qua dấu của đạo hàm toàn phần theo về phải của hệ đã cho

1.4.1 Định nghĩa Cho hàm số V = V(,z#) liên tục theo £ và # trong

miền Z = (0,+©) x (||z|| < A)

Ham V(,#) được gọi là hàm sác định dương trong Zạ nêu tồn tại hàm

ằœ() với ||+|| < h sao cho

V(,#) > œ(z) > 0 với ||z|| 4 0 va V(t,0) = w(0) = 0

Ham V(t,x) được gọi là hàm „ác định @m trong Zp néu tồn tại hàm ằœ() với ||z|| < h sao cho

V(,#) < œ(z) < 0 với ||z|| # 0 và V(,0) = œ(0) = 0

1.4.2 Định nghĩa Hàm V(t, x) goi la hàm có giới hựn 0ô cùng bé bậc cao

khi z —› 0 nếu với fạ € (0,+oe),Ve > 0, 3ổ = ð(e) > 0 sao cho khi ||z|| < ô

dao ham toan phan theo t cha ham V(t, 2)

1.4.5 Dinh ly (Lyapunov vé su 6n định) Nếu đối uới hệ quy đổi (1.7) tồn

tại một hàm sác định dương V(t,#) va dao ham cua n6 av doc theo nghiém của hệ có dau không dương thà nghiệm tầm thường x = 0(0 < t < 00) ctia

hệ đã cho ổn định theo Liapunov khi t > oo

Chitng minh Vi V(t, x) la ham xc dinh duong nén tén tai ham w(x) lién tục sao cho V(t,x) > w(x) > 0 với ||z|| 4 0 va V(t,0) = w(0) =0

Với 0 < e < h ta có mặt cầu S = ||z|| = ¢ lA tap compact trong R” Do

dé w(S-) la tap compact trong R Suy ra œ(5:) là tập bị chặn

Do dé dx* € S- sao cho w(a*) = inf w(r)=a> 0

Mat khac V(t, x) lién tuc theo x và V(t, 0) =0 nên với fạ € (0, œ), đồ <

e sao cho 0 < V(o,#(f#o)) < œ khi ||z(fo)|| < Š

Giả sử nghiệm tầm thường z = 0 không ổn định Khi đó với nghiệm «(t) bất kỳ mà có ||z(fo)|| < ổ thì tồn tại thời điểm #¡ > f¿ để ||zŒi)|| = e Do

dé: w(ax(t1)) > a

Ngoài ra theo giả thiết a <0 do dé ham V(t, x(t)) khong tăng Từ đó

suy ra: a > V (to, 2(to)) > V (ti, (t1)) > w(2(t1)) > a, diéu nay vo ly Nhu

1.4.6 Hé qua Néu d6i vdi hé vi phan tuyén tinh thuan nhất ae = A(t)a,

trong dé A(t), x(t) lién tue trén [0,0co) ma ton tại hàm sác định dương V(t,x) c6 dao ham a <0 thi tắt cả các nghiệm của nó ổn định

1.4.7 Định lý (Lyapunov về sự ổn định tiệm cận) Nếu đối uới hệ quy đổi

(1.7) ton tai mot ham „ác định dương V(t,#) có giới hạn 0ô cùng bé bậc

cao khi x > 0Ö tà có đạo hàm toàn phan theo t dọc theo nghiệm của hệ sác định âm thà nghiệm tầm thường + = 0 ổn định tiệm cận

Chứng mình Theo định lý 1.4.5, từ giả thiết ta suy ra nghiệm z = 0 của

hệ (1.7) ổn định Dé chứng minh nghiệm này ổn định tiệm cận ta chứng

mình với mọi nghiệm z(#) bất kì của hệ thì thỏa mãn im x(t) =0

Dat V(t) = V(t, 2(t)) Vi a < 0 nén suy ra V(t) la ham giam Do dé iim V(t) = inf V(t)=a>0

Ta chứng minh œ = 0 Thật vậy, giả sử œ > 0, khi đó tồn tại đ > 0

sao cho ||z(#)|| > Ø,V£ > tạ nào đó Bởi vì nếu điều này không đúng thì d{f,}: —> œ và im x(t,) = 0 Day {t,} nhu trén là tìm được Sở dĩ như vậy vì nếu {f¿} bị chặn trên thì sẽ tồn tại một dãy con hội tụ, ta chọn ngay {£„} là dãy con đó Do tính liên tục của z(£) nên ta có 3 jim x(t,) := z(T)

Suy ra 2(T) = 0 ( do tinh duy nhất nghiệm) trên (0,oo) Điều này mâu thuẫn với z(f) là nghiệm không tầm thường

Do V(f, +) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi z — 0, ttc la V(t, x) > 0 khi z — 0 và im x(t.) = 0 nên suy ra

Dat +y := ; inf wile) ton tai vi ham w(x) lién tuc trén tap đóng

khi ¢ dui Ién

Diéu nay mau thuan véi gia thiét V(¢,x) xdc dinh duong Do vậy điều

giả sử œ > 0 là sai, nên œ = 0 Suy ra jim V(t,x) = 0

Tiếp theo ta chứng minh jim x(t) = 0, tite 1a lay ¢ > 0 tuy ¥ ta can chi

ra ||#|| < e,V# > T nào đó Vì V(£,+) xác định dương nên tồn tại hàm œ(z) sao cho V(f,ø) > œ(z) > 0, với ||+z|| # 0

Datl= 3<|zll<h inf w(z2) /

Vi iim V(t,a) = 0 nén ton tai T > ty nao dé sao cho V(t, x(t)) < 1 Mat khac do V(t, x(t)) giam nên V((,z(£)) < l,Vt > T

Ta sẽ chứng minh ||z|| < ¢,Vt > T bang phan chứng Thật vậy, giả

sử đíi € (7, +o©) sao cho ||z(#)|| > £ Khi đó ta có l > V(,z(H)) > ằœ(œ(#i)) Điều này mâu thuẫn với cách dat 1 Do vay jim x(t) = 0 Dinh

1.4.8 Định nghĩa Ma trận hằng A được gọi là ma tran Hurwitz hay on định nếu phần thực tất cả các giá trị riêng của A đều âm

1.4.9 Dinh ly Ma tran A là ổn định khả va chi khi bat ki ma tran G đối

sứng, ác định đương nào thà phương trình ATH + HA = -G (LE) có

nghiệm là ma trận đối xứng, ác định dương H

Chứng mình Điều kiện đủ: Giả sử phương trình (LE) có nghiệm là ma

trận # đối xứng, xác định dương với Œ > 0 đối xứng, chọn tùy ý và x(t)

là một nghiệm bất kì của hệ #(#) = 4Az(),£ > 0 với điều kiện ban đầu

Vì H xác định dương nên V(zŒ)) là hàm xác định dương, ngoài ra

wv < 0 nên theo định lý Lyapunov thì hệ trên ổn định tiệm cận Suy ra phần thực của các nghiệm đặc trưng của ma trận 4 đều âm hay ma trận

là xác định và do G 1A déi xttng nén H cing déi xting Mat khac, lAy tich

phan hai về hệ phương trình trên từ ¿ạ đến f ta có:

Z(t) -G=ATX(t) + X(t)A, Vt > to.

Cho t = oo, khi đó Z(#) — 0 Hơn nữa A ổn định nên ta có

Do G > 0 và e' khong suy bién nén (Ha, x) > 0 véi moi « 4 0 Do dé

H xác định dương Định lý được chứng mình xong L]

1.5 Tính ổn định của hệ tuyến tính không dừng

Xét hệ vi phân tuyến tính:

Dối với hệ tuyến tính không dừng trên thì việc nghiên cứu tính ổn định gặp khó khăn hơn, vì nghiệm của bài toán Cauchy lúc đó không tìm được qua ma trận A(t) mà phải qua nghiệm cơ bản ®(¿, s) của hệ Do đó mục này sẽ đưa ra một số tiêu chuẩn ổn định cho hệ trên dựa vào ma trận A(t)

trong trường hợp ma trận A(t) tua như là hằng số

1.5.1 Định lý Xét hệ (1.8), frong đó A() = A+ŒC( Giả sử A là mã tran hing on dinh, C(t) la kha tich trén Rt va ||C(t)|| < a,a > 0 Khi đó

1.5.3 Định lý Xét hệ (1.8), trong đó A(t) là ma trận liên tục theo t Giả

sử tồn tại các số M > 0,ð >0, >0 sao cho

?)||c4!I|< Ke~*,Vi,s > 0;

ii) sup || A() |< M teRt l

Khi đó hệ ổn định mũ nếu M < x

Chứng mình Ta viết lại hệ dưới dạng tương đương:

= A(to)x(t) + (A(t) — A(to)) a(t), t > to

Nghiệm z() với x(to) = #o cho bởi

t a(t) = ape) ttt) | (A(s) — A(to)) (sje) dg,

Nhu vậy đối với hệ tuyến tính không dừng ngay cả khi ma trận A() ổn

định đối với mỗi ¿ cố định cũng không đảm bảo tính ổn định của hệ mà đòi hỏi mạnh hơn về tính giới nội đều của A(t)

1.5.4 Định lý Giá sử tôn tại giới hạn jim A(t) = Ax va Ax là ma tran

on định, khi đó hệ:

a(t) = (Ax + B(t))a(t) (1.9)

là ổn định tiệm cận nếu jim || B(t)|| = 0 00

Chứng minh Nghiệm của hệ (1.9) véi x(to) = xo là:

a(k +1) = A(k).a(k),k € Z*

i) He la on dinh tiệm cận nếu 3q € (0,1) sao cho ||A(k)|| < 9, Vk € Zt ii) Néu A(k) = A+ C(k), trong dé A la ma tran on dinh va \|C(k)|| < a,Vk € Z* thi hé sé on định tiệm cận uới a >0 đủ nhỏ nào đó.

Chitng minh i) Hé sai phan x(k + 1) = A(k)a(k),k € Zt có nghiệm với (0) = zo là z(&) = A(k — 1).A(k — 2)A(0).zo,k € Z7

Tà có đánh giá:

0 < JIz)|| < |4 = 1)|-J.4(E = 2)|| L4(0)||-llzoll < 2 llzell

Vì ạ€ (0,1) nên với ở mà ||zo|| < ð thì ta có "mm x(k) =0

/ây hệ đã cho là ổn định tiệm cận

ii) V6i A(k) = A+ C(#) ta có hệ z(k + 1) = Az(#) + C(k)z(#)

Ta có

x(k) = Ax(k — 1) + C(k — 1)z(k — 1)

= A[Ar(k — 2) + C(k — 2)a(k — 2)] + C(k — 1)a(k — 1)

= A’a(k — 2) + A'C(k — 2)a(k — 2) + A°C(k — 1)a(k — 1)

k-1

= Afro+ ` A*”1Œ()z0)

¡=0

là nghiệm của hệ

Vì ma trận 4 ổn định nên phần thực tất cả các giá trị riêng của nó đều

am, do đó suy ra 3„ € (0,1) sao cho ||A|| < 4