một số dạng định lí giới hạn trung tâm đối với martingale

Tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm.... LOI NOI DAU Lí thuyết xác suất là lĩnh vực toán hoc có cơ sở lí thuyết chặt chẽ, được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự

Trang

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Đại lượng ngẫu nhiên 5

1.1.1 Dinh nghĩa và ví dụ 5

1.1.2 Các tính chất c cà cĂ 6

1.1.3 Hàm phân phối 7 1.1.4 Kỳ vọng e nee Hs 8

1.1.5 Phương sai cu 10

1.1.6 Kỳ vọng có điều kiện

1.2 Hàm đặc trưng 1.2.1 Định nghĩa và ví dụ 12

2.1.3 Các tính chất cà 16

2.2 Sự ổn định và hội tụ trong L¡ của martingale 17

2.2.2 Định lý cece eet eee t een eens 17 2.2.3 HE qua ccc ence teen ent bene ees 18

2.2.4 Dịnh lý 2202202 c nh nhe 19

2.3 Dịnh lý giới hạn trung tâm đối với martingale 24

2.3.1 Dịnh lý 222cc nnnnnn nh nh nh Tnhh re 24 2.3.2 Nhận XẾẲ 2.0002 n nh nh nay 26 2.3.3 Hệ qUẢ Q00 2n nh nh he 26 2.3.4 Nhận XẾẲ 202000 n nh nh nhe 27 2.3.5 Dinh ly 0.00.0 0 ccc cece ccc cee ec cececeeceseseseesereres 28 2.3.6 Định nghĩa 29

PL? ¡0 a 29

2.3.8 Các hệ quả HH HH nh hà nà 31

2.4 Tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm 33

2.4.1 Mở đầu ence eee eee eee es 33

DAW VEU occ cece c cece cece ec eccecuceeuevevevevevecererees 33 2.4.3 Dịnh lý Q00 nh nh Tnhh nh nh nh ra 35 Kêt luận Q0 37

Tai liệu tham khảo 38

LOI NOI DAU

Lí thuyết xác suất là lĩnh vực toán hoc có cơ sở lí thuyết chặt chẽ,

được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học

xã hội, kinh tế, y học, sinh học

Dịnh lý giới hạn trung tâm là một trong những thành tựu quan trọng của xác suất Khi nghiên cứu về định lý giới hạn trung tâm, các dạng hội

tụ đã được xét đến là hội tụ theo xác suất, hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ yếu Dồng thời, các đối tượng được xét không ngừng mở rộng Lí thuyết martingale đóng vai trò rất cơ bản trong lí thuyết xác suất hiện đại Ban đầu martingale bắt nguồn từ trò chơi Nhưng về sau, martingale được

phát triển thành một lĩnh vực toán học chặt chẽ, có nhiều ứng dụng

trong thống kê, giải tích hàm, phương trình vi phân, toán kinh tế, và gần đây có nhiều ứng dụng trong thị trường chứng khoán

Trên cơ sở đọc, tìm hiểu các tài liệu tham khảo, dưới sự hướng dẫn

của PGS TS Nguyễn Văn Quảng,chúng tôi nghiên cứu đề tài "Một số

dạng định lý giới hạn trung tâm đối với martingale" Theo hướng

này, chúng tôi xét đến dãy martingale đối với các dạng hội tụ yếu trong

LẺ,

Luận văn được chia thành 2 chương:

Chương I: Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm và tính chất cơ

bản của lí thuyết xác suất, cụ thể gồm:

- Dại lượng ngẫu nhiên

- Hàm phân phối

- Các dạng hội tụ

Chương II Một số dạng định lí giới hạn trung tâm đối với

Chương này là nội dung chính của luận văn, bao gồm các phần chính sau:

- Phan 2.1 Dinh nghia, vi du va tinh chat vé martingale

- Phan 2.2 Tinh 6n dinh va hoi tu trong L! cia martingale Trong phan này, chúng tôi đã giới thiệu và chứng minh một số kết quả về mối liên hệ

giữa hội tụ ổn định và hội tụ yếu trong L; cua martingale Do 1A dinh

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Dại Học Vinh dưới

sự hướng dẫn trực tiếp của PGS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tâm của thầy

đối với tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu

Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS TS Phan Dức

Thành, PGS TS.Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hoà, các thầy cô

giáo trong tổ Xác suất thống kê, khoa Toán, khoa Sau Dại học Dồng thời, tác giá xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và các bạn bè, đã quan

tâm, góp ý và tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thực hiện luận văn này

Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những sai sót Tác giả mong nhận được những đóng góp của quý thầy cô giáo và các

bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 12 năm 2008

Tác giả

KIEN THUC CHUAN BI

1.1 Đại lượng ngẫu nhiên

fw: X(w <a)} = {w: X(w) € (—o0, a)} = X71 [(—00, a)] € F

Ngược lại, giả sử {œ : X(w <a)}eF,Vae R Dit K={C: Cc R;X~!(C) € F} Vi X71[(-00, a)] € F, Va € R nén suy ra (—oc,ø) €

max(X,0), X~ = max(—X,0) cting la DLNN

1.1.2.3 Hé qua 2 Gia st X la DLNN va f : ROR la ham do duoc

Khi đó, ƒ(X) là DLNN

1.1.2.4 Hệ quả 3 Gia sé X,,n € N la day DINN Khi do, inf X;, sup Xp limX,, limX,, (nếu hữu hạn), lim X„ (nếu tồn tại) cũng là DUNN

1.1.2.5 Hệ quả 4 Giá sử X là DUNN, X >0 Khi đó, tồn tại dấu

DLNN {X„} không âm sao cho X„ nhận hữu hạn giá trị X„ạ là DLNN a(X) - do được uà X„ † X

1.1.3 Hàm phân phối

1.1.3.1 Định nghĩa Giả sử X là DUNN xác định trên (O, Z,ÏP) nhận giá trị trên IR Hàm số y(z) = P[X < z], (+ € IR) được gọi là hừm phân

phối của DUNN X

1.1.3.2 Ví dụ Giả sử A€ Z, X = lạ Khi đó:

d F(a) lién tuc tai x thi p(a# = x) = 0

e e Néu X 1A DLNN réi rac

Giả sử (O,Z,P) là không gian xác suất X : Q—IR là DUNN Ki vong

của X, ký hiệu EX là một số xác định bởi công thức

EX= | XảdP (nếu tồn tại)

2

e Cho X là DUNN và số r > 0 Khi đó, số

EX’ = J X*dP_ (nếu tồn tại)

Các tinh chat

1 Néu X > 0 thi EX > 0

2 Néu X =C thi EX =C

3 Nếu tôn tại EX thì với mọi Œ € IR, ta có E(CX) = CEX

4 Néu ton tai EX va EY thi E(X +Y) =EX +EY

5

YS; Lip: nếu X rời rạc nhận các giá trị #1, #a,

EX = véi P(X = 2;) =p;

JCS xp(w)dx nếu X liên tục có hàm mật độ p(z) —œ

Tổng quát: Nếu ƒ : —› R là hàm đo được và Y = ƒ(X) thì

5);ƒ()p¡ nếu X rời rạc nhận các giá trị #1, #a,

là ƒ(z)p(z)d+ nếu X liên tục có hàm mật độ p(z)

6 (Dịnh lý P Levi về hội tụ đơn điệu) Nếu X„ † X (tương ứng X„ | X)

va ton tain dé EX, < oo (tuong ting EX;! < 00) thi EX, | EX (tutong tng EX, | EX)

7 (Bổ đề Fatou) Nếu X„ > Y véi moi n > 1 va EY > —œ thì

ElimX„ < lmEX„

Nếu X„ < Y với mọi ø > 1 và EY < œ thì

ElimX, > imEX,,

Néu |X,| < Y vdi moi n > 1 va EY < oo thi

ElimX„ < limEX„ < limEX„ < ElimX,

8 ( Dinh ly Lebesgue về hội tụ bị chặn) Nếu |X„| < Y với mọi n > 1,

EY <o va X, > X thì X khả tích, E|X; — X| —¬ 0 và EX„ —¬ EX

1.1.5 Phương sai

Giả sử X là DUNN Khi đó số

DX =E(X-EX)? (nếu tồn tại)

được gọi là phương sai của Ä

Nhận xét

1) Moment bậc nhất chính là kì vọng

1) Moment trung tâm bậc 2 chính là phương sai

1.1.6 Kỳ vọng có điều kiện

a Định nghĩa Giả sử (O, Z, P) là không gian xác suất, X : O — IR là

DLNN kha tich (E|X| < 00) va G C Z Khi đó, DUNN Y gọi là kỳ vong

có điều kién cia X déi véi o-dai sé G néu:

điều kiện của DUNN X đối với DLNN Y

e Nếu Xị, X¿, là các DUNN xác định trên (O,Z,IP) và đ là o-dai

số sinh bới chúng thì E(X | đ) được ký hiệu là I(X | Xì, Xa, )

e Nếu X = lạ, 44 € ở thì E(X | đ) được ký hiệu là P(4 | đ) và được gọi

là zác suất điều kiện của biến cỗ A đối với ø-đại số đ E(L\ | Xì, Xa, ) được ký hiệu là P(A | Xì, Xa, ) và được gọi là xác suất điều kiện của biến cố A đối với các DUNN X\, Xò,

V6i moi a,b 1A hang s6 va aX + bY xac định ta có

E(aX + bY/G) = aE(X/G) + bE(Y/Q)

Néu X va G doc lap thi

E(X/G) = EX

_ Ta c6 E[E(X/G)] = EX

Nếu X là đ-đo được thì

E(X/G) =X

(Tinh chat hit) Néu G, C Go thi

E(X/G1) = E[E(X/G1)/G2] = E[E(X/G2)/Gi)

Néu E|XY| < œ, E|Y| < œ, Y là đ-đo được thì

E(XY/G) = YE(X/G)

10 Giả sử py: R > IR là hàm lồi, và ¿(X) là DUNN khả tích Khi đó

Ely(X) | G] = y[E(X | 6).

1.2 Hàm đặc trưng

1.2.1 Định nghĩa và ví dụ

1.2.1.1 Định nghĩa Giả sử X là DUNN Khi đó, hàm số

œ(@ = ¿xŒ) = E(e“*) = E(costX + isintX),t€R

được gọi là hờm đặc trưng của X

khi do, y(t) = e.g + ep = q+ pe"

1.2.2 Cac tinh chat

a pl) <1 9(0) <1

b pax so(t) = e™ px (at)

c Giả sử X,Y là các ĐLNN độc lập Khi đó

px+y(t) = ex(t)yy (t)

d px(t) = yy(t) & Fx(t) = Fy(t) va

X, 2X eS px, (t)hoyx(t), Vie R (khin—oo)

1.3 Các dạng hội tụ

1.3.1 Định nghĩa và ví dụ

1.3.1.1 Dinh nghĩa Ta nói dãy DUNN (X„,» > 1) hội tụ đến DUNN

iv) yéu (theo phan phối) nêu

lim F,,(a) = F(a) Va € C(F) trong đó F,,(a) va F(x) tương ứng là hàm phân phối của các ĐLNN X„

và X, C(F) là tập hợp các điểm mà tại đó Ƒ(z) liên tục

Kí hiệu X„ 7: X

Chú ý

e Hội tụ hầu chắc chắn còn được gọi là hội tụ uới xác suất 1

e Hội tụ theo trung bình cấp p còn được gọi là hội tụ trong p

1.3.1.2 Các ví dụ

h.c.c h.c.c

Ví dụ 1 Cho X, —> X; Y, —> Y Khi do

Xn + Yq, 22 X 4Y (khi noo)

Vi du 2 Cho ø €R và X là ĐLNN rời rạc nhận các giá trị 0 và ø với

xác suất tương ứng là 1 — 2 và 4 Khi đó

X, = 0 va X, “+ 0 (khi n—ov).

1.3.2 Tính chất

a X„ 2% X khi va chỉ khi với mọi e > 0

lim P(sup |X„ — X| > e) =0

noo m>n

b Giả sử X„ *ÊS5 X hoặc X„ “5 X Khi đó X„ ¬ X

c Gia sit X, “+ X, (X„) đơn điệu Khi đó X„ ““° x,

d Giả sử X„ -› X Khi đó tồn tại (X„x) C (X„) để X„y “?5 X

e Giả sử với mọi e >

« Ví dụ Giả sử X„ là dãy DUNN bất kì, Z„ — ø(X¡, X„) Khi đó

Từ (1) và (2) ta có (X„, Za) là hiệu martingale

ñ)Vì Ai là Z¡ đo được mà Z¡ C Z7„ nên X¡ là Z„ - đo được

Tương tự, ta có X¿ là Z„ - đo được, , X;_¡ là Z„ - do được, X„ là 7,

n (E(XnsilFn) 2 Xn: E(XnsilFn) S Xn E(Xn+1|Fn) = 0)

b Gia stt (X,, Fp) la martingale Khi đó, (EX„) là dãy không đổi, tức

la EX, = EX) = =EX, =

c Giả sử (X„, Z„) là martingale dưới Khi đó, (E.X„) là dãy không giảm, tức là EX„,ị¡ > EX,

d Gia sit (X,, F;,) la martingale trén Khi do, (EX,,) la day khéng tang,

tite la EX;,4) < EXy

f (X,,F,) la martingale, f : ROR là hàm lồi Khi đó, (ƒ(X,).Z„) là

martingale dudi

2.2 Sự ổn định và hội tụ yếu trong L; cia martingale 2.2.1 Định nghĩa Giả sử Y„ là dãy DUNN xác định trên không gian xác suất (Q,Z,IP) hội tụ yếu đến Y Ta nói hội tụ là ổn định nếu với

mọi điểm liên tục ¿ của Y và với mọi € 7, giới hạn

lim P({Y„ <y}n E) =Q,(#)

ns tồn tại và nếu Q„()—>P(#) khi —>œ

Kí hiệu Y„ “+ Y (6n dinh)

Ta nói dãy DUNN {Z4} hội tụ yếu trong Lị đến DUNN khả tích Z trong (O, Z,P) nếu với mọi ⁄ € 7 ta có

E[Z,1(E)|~E(Z1(E)]

Kí hiệu: Z„—>Z (yéu trong L;)

Néu exp(itY,,)—exp(itY) (yéu trong L) véi mdi s6 thuc t thì ta có

Yn SY

2.2.2 Dinh ly Gia sit rang Y;, 4y trong ủó Y„ sác định trên không gian (Q,Z,P) Khi đó Y„—>Y (ổn định) khi va chỉ khi Y, Y" sác đình trén (Q,F,P) va uới mợi số thực † ta có ezp(itY,)—Z(t) = exp(itY’) (yéu trong Ly khi n-00)

Nếu Y’ doc lap va exp(itY,,)— Z(t) = exp(itY’) (yéu trong Ly), vi mdi

số thực ¢ thi theo định nghĩa trên ta có Y„ 4y,

Dinh nghĩa r(+) bởi:

ra

E(Trexp(—sn°??)1(E)) —¬(ezp(~sn)1(B)) (2.9

Hon nifa, tit (*) ta có

T,(W — czp(— sn t )) =lj— Tnexp(— s) #) Khi đó, kết hợp với điều kiện (2.1) và (2.2) khi max;|X„;| < 1 và

| » r(Xnit)| < HỆ » Xnil?

< |t{'(max |Xni|)(S > X2,) + 0 (chi n—o0)

Suy ra W,, — exp(—41°#?) *, 0 Tw dé suy ra

E(Ta(W, — ezp(~ an! )1() —0, (2.5)

Kết hợp (2.4) và (2.5) suy ra

E(T;1(E))—E Œ1(E))—>E(czp(— sự £ )T(E) 1, ?2)1(E

Vay ta cé Siz, 42 (ổn định), trong đó Z = Elezp(—š???)] " 2.2.4 Dinh ly Gia st? {Sni, Fini, 1 < i < kn,n > 1} là mảng martingale

ki vong khéng Xni = Sni — Sng—1 va n? bi chan (h.c.c) Gid st ring

uà ơ-đại số Fri C Fryig voi 1 <i<ky, n> 1 (2.9)

Khi d6, Sup, = 3) Xm 4 Z trong dé Z = Elexp(—$nt?)]

i

Chitng minh:

i) Gia st rang 7? bi chan h.c.c vi vay mdi C > 1

Pi? <C)=1

E exp(itS),.,) — exp itSn,)| 0

Do đó, việc chứng mình S},,, 417 (ổn định) tương đương với việc chứng

sup [E[7,/(E)] - E[T,I(E)]| < s

Tiếp theo, từ (2.11) và #' € Z suy ra

E[T,I(E)]—¬P(Œ')

Từ đó, suy ra với X là Z đo được ta có

BỊ7/X]—EX

Cuối cùng, nếu # € Z thì

E(T,!(E)| — B[TEU(B))| Foo] RIEU (E)) Fx] = P(E)

Suy ra T,,(t)+1 (yéu trong L,) véi moi sé thuc t khi noo Ap dung hệ

E|I(E)ezp(0'Su,)| — EII(E)ezp(_ gu? )|| <

< Elczp(Sm,) — ezp(iS”m„)| + |E[T(E)cezp(S” „|

DLNN déc lap thỏa mãn điều biện (9.19) Khi đó, nếu uới S > 2 nào

trong đó, hạ(£) = max(#, |f|”), ø(f) = max(z?, |z|?), z, c R

Diéu sau cing dang vi M?—0 Con lai, ta phải chứng tổ

max Tin 20

k<n

Thật vậy, với 0 < e < 1 tùy ý ta có

Fin = E(X„ |Xen| < e) + E(Xu, |Xen| > £)

Từ bất đẳng thức trên vì M0 nén suy ra Lÿ`(e)—0

2.3.3 Hé qua (Dinh li Linderberg) Gia sit day {Xin, k = 1,2, ,n}

la day DLNN déc lap théa mén (2.12) va théa man diéu kién Linderberg

Khi đó Fs, (x)->®(x) déu theo x

limM? < z°*? + lim LỆ)(e) = e*”? n n

Do e > 0 nhỏ tùy ý nên ta cé lim, MẸ? =0

Khi đó, nếu với e > 0 bất kỳ

ø DPI — EX,)?, |X, — EX;| > ¢B,J0 (2.18)

thì Fs;¿(+)—>®()

Thật vậy, ta đặt

La(e) =

Khi đó, dãy {Xz„,k = 1,2, ,n},m > 1 thỏa mãn (2.12) và (2.17) Do

đó, áp dụng hệ quả (1) thì ta có Fs (+)—>®(z)

c) Néu (X;) là dãy DUNN độc lập cùng phân phối với kỳ vọng chung là

a, cing phương sai là ø? thì:

2.3.5 Dinh ly Gia st? (Spi, Fri, 1 € ? < k„y¿n > 1} là mảng martingale

ki vong khong, Xni = Sni — Sni—1 va 1? bi chan (h.c.c) Gia sit ring

max |Xz| 5 0,

a

» Xã 5 ĐỂ,

i E(max X2,) < 00

TY Shi, ' Zn dinh, moi t € R ta có:

—l1l ‘

exp(it Snr, ) expt’) (yếu trong L¡)