phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của hệ sai phân ngẫu nhiên

12 Chương 2: Phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của hệ sai phân ngẫu 2.2 Một số khái niệm cơ bản.... Chính vì vậy tôi lựa chọn đề tài ng

MỤC LỤC

Chương 1: Tính ổn định của các hệ rời rạc có trễ 6 1.1 Phương trình sai phân .ằ 6 1.2 Cơ sở lý thuyết on định Lyapunov 7 1.3 Bài toán ổn định hoá 222222222222 2à 12

Chương 2: Phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính

ổn định tiệm cận bình phương trung bình của hệ sai phân ngẫu

2.2 Một số khái niệm cơ bản 17 2.3 Một số cách tiếp cận để nghiên cứu tính ổn định tuyến tính 18 2.4 Ham Lyapunov cho phuong trinh sai phan ngau nhién 20

LỜI NÓI ĐẦU Trong thực tiễn nhiều bài toán đề cập đến các vấn đề kĩ thuật, kinh tế, sinh thái, môi trường, thường liên quan đến các hệ động lực mô tả bởi các phương trình toán học với thời gian liên tục hay rời rạc dạng sau

dx(Ð

dt a(k+1)= f(k.a(t),u(t)), k=0,1,2

chính của bài toán điều khiển hệ thống là tìm điều khiến "đầu vào" sao cho

hệ thống "đầu ra" có những tính chất mà ta mong muốn.Ôn định là một trong những tính chất quan trọng của lí thuyết định tính các hệ động lực và

có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học kỉ thuật Chính vì vậy tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu Phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của hệ sai phân ngẫu nhiên.”

Nội dung luận văn gồm hai chương

Chương 1 Tính ổn định của các hệ rời rac có trễ

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định và một số kết quả nghiên cứu tính ổn định, ổn định hoá của các hệ sai phân Nội dung của chương này trình bày theo báo cáo toàn văn hội thảo FTMath'06

Chương 2 Phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ổn

định tiệm cận bình phương trung bình của hệ sai phân ngẫu

nhiên

Là nội dung chính của luận văn Trong chương này, tôi trình bày phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ốn định tiệm cận bình phương trung

bình của hệ sai phân ngẫu nhiên Cơ sở để xây dựng phương pháp hai giai

đoạn là định lý "kiểu Liapunov” cho phương trình sai phân ngẫu nhiên (Dịnh

lý 2 4.1) sẽ được phát biểu và chứng minh đầy đủ

Luận văn được hoàn thành tại trường Dại học Vinh dưới sự hướng dẫn

khoa học của thầy giáo PGS.TS Phan Đức Thành Tác giả bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc nhất tới thầy Tác giả cũng xin bày tổ lòng cảm ơn chân thành tới các Thầy, Cô giáo trong tổ Xác Suất của Khoa Toán - Trường Dại học Vinh da tan tinh day dé, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và

Mặc dù tác giả đã rất cố gắng nhưng do còn nhiều hạn chế về mặt năng lực, kiến thức và thời gian nên luận văn không thể tránh khỏi các thiếu sót Rất mong nhận được các ý kiến đóng góp quý báu để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin tran trong cam on!

Vinh, thang 12 ném 2011

Tac gia

CHƯƠNG 1

TINH ON DINH CUA CAC HE ROI RAC CO TRE

1.1 Phuong trinh sai phan

Xét hệ phương trình

u(k + 1) = ƒ(k,#(E)),k = 0.1,3 (1) trong đó ƒ(.) : Z! x R* —› R*? cho trước Khi đó với trang thai ban dau

(0) = zo hệ luôn xác định bởi hệ thức truy hồi

#1) = ƒ(0,o),#(2) = ƒ, ƒ(0,z+(0))

Trường hợp hệ (1) là tuyến tính dạng

a(k +1) = A(k)a(k) + g(k),k € Z! (2) thì với điều kiện ban dau x(0) = x9 tuy ¥ và day

z(k + 1) = A(k)z(k),k € Z1

Ta có thể biếu diễn công thức của Ƒ(&, s) như sau,

F(E,s) = A(k — 1).A(k — 9) A(s)„k > s >0,F(k,k) = 1.

Nếu Ặ) là ma trận hằng số thì Ƒ(#,s) = A4*~*,k > s > 0 và khi đó nghiệm của hệ tuyến tính dừng với thời gian rời rạc là

Trong đó Q là ma trận đối xứng xác định duong m x n chiéụ

1.2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT ỒN ĐỊNH LYAPUNOV

1.2.1 Định nghĩa 1 Xét hệ (1) ở trên ta có định nghĩạ

Hệ (1) gợi là ổn định nếu uới mỗi e > 0, kọ c Zt ton taid > 0 (6

phụ thuộc £ , kọ ) sao cho mọi nghiệm +(k) của hệ mà ||xz(0)l| < ð thà

||z(k)|| < £ tới mợi k > ko Hé la ổn định tiệm cận nếu nó ổn định

uà có một số ð > 0 sao cho limy_;„ ||z(k)|| — 0 tới mọi nghiệm x(k) ma

lz(0)|| <

1.2.2 Sự ổn định của hệ rời rạc tuyến tính

Xét hệ rời rạc tuyến tính

ăk +1) = Ax(k), ke Zt (3) V6i «(0) = xo thi nghiém cua (3) cho bdi

ăk) = A*zọ

Dé x(k) -—> 0 khi k —> s theo định nghĩa ổn định tiêm cận thì hoặc

I4ll— q< 1 hoặc, A# — 0(k —> œ), do đó ta có định lí saụ

ĩ

Định lý 2 Hệ (3) là ổn định tiệm cận khi uà chỉ khả một trong hai điều kiện sau xấu ra

¡) Tồn tại một số q: 0 < q< 1 sao cho ||A||= 4< 1

) |A| < 1 tới mọi À € ð(A)

Bây giờ ta xét hệ tuyến tính không dừng

Định lý 3 7w có khẳng định sau đối tới hé (4)

i) Nếu lồn tại q € (0,1) sao cho ||A()|| < q tới mọi b € Zt thi

A(k) = (= wy keZt,

2(k-+1)

Dễ thấy ||A(k)|| — TED < 3= q< 1 nên hệ ổn định tiệm cận

1.2.3 Sự ổn định của hệ rời rạc phi tuyến

Xét hệ rời rạc phi tuyến

z(k + 1 = ƒ(k,z(k)), ke Z1 (5)

Khi về phải có dạng khá đặc biệt ta có định lý sau

Định lý 4 Với ƒ(k,z) = A(k)+ + g(k,z), uà giả sử

i) Ton tai q € (0.1) sao cho ||A(k)|| < q, Vk € Z1

it) \|g(k, x)|| < L(k)|la||, Vk € Z* ới limạ ;„ sup L(k) = 0

i) Fy > 0,A2 > 0: Aglfa||? < V(x) < Aa|lz||Ê -

it) A\3 > 0 2A V(a) = V(a(k +1) — V(2(k)) < —Aslla(k) II? -

Khi do hé (5) la ốn định tiệm can Néu vi pham mét trong hai diéu kiện trên thà hệ (5) là không ổn định

Đối với hệ tuyến tính dừng ta có hệ quả sau

Định lý dưới đây cho ta điều kiện đủ để (6) là ổn định tiệm cận

Định lý 6 Nếu một trong hai điều kiện sưu xấu ra

i) Ton tại một bộ hai ma trận đối xứng xác đính dương P, IV

¡i) Tồn tại một bộ hai ma trận đối xứng xác định dương TL, Z sao

X(T AIIB

BIA -Z trong dé X(T) = BIIB+ Z + ATIA — IL

Thà hệ (6) ổn định tiệm cộn

Vi du 2 Xét hệ phương trình

ey = —~1#k + #k—h Ì 1Uk—h L1 = 1k + 1k + 1k—h Trong đó

¡) Tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P, R,A,Q nghiệm

AA+al <a[BB +al]7!

1.3 BÀI TOÁN ON ĐỊNH HOÁ

1.3.1 Định nghĩa tính Ổn định hoá

Xét hệ điều khiến rời rạc

u(k +1) = f(k, x(k), u(k)),k € Zt x(k) € R®, u(k) € R™

Định nghĩa 3 //£ (9) là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm u(k) = h(z(E)) : Rh —y Rm sao cho uới hàm điều khiển nàu hệ phương trình tí

phân

z(k + 1) — ƒ(k.z(k),h(k)),k € Z2"

2

là én định tiệm cận Hàm h(k) thường được gọi là hàm điều khiển ngược

1.3.2 Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính

Trong đó X(P) — APA-— P,uà u(k) = —(B'PB)7!B'PAz(k) la ham

điều khiển ngược

Nie ele

K=-B A= < 0 thì hệ trên ổn định hóa được

0 —

1.3.3 Su 6n dinh héa cua hé có trễ

Trong mục này, chúng ta xét hệ phương trình

z(k 1 1) = Az(E) 1 Ba(k —h) + Cu(k), ke Zt (12) với điều kiện ban đầu của hệ là

(0) = #(—1) = = #(—h) = z0

trong đó 4, là các ma trận (ø x ø) chiều, Œ là ma trận (ø x m) chiều, x(.) € R®,u(.) € R™(m < ø ) là biến điều khiển

Bây giờ ta phải tìm một hàm điều khiển ngược ø(k) = h{(z(k)) sao cho

khi thay vào (12) thì hệ ổn định tiệm cận Nói một cách chính xác ta có định nghĩa

Định nghĩa 4 /!ệ (12) là ổn định hóa được (không phụ thuộc độ chậm) nếu ton tai ham u(k) = Kz(k) tới K là ma trận (m x n) chiều sao cho hệ

z(E +1) =(A+LCK)#(k) 1 Bz(k— h), ke Z2'

là ổn định tiệm cận không phụ thuộc độ trễ

1.3.4 Sự ổn định của hệ có trễ với nhiễu phi tuyến

Khi nghiên cứu hệ phương trình

#(k +1) = Az(k) + Bx(k — h)

Một câu hỏi được đặt ra là nếu cho phương trình chịu sự tác động một nhiễu phi tuyến nhỏ thì tính ổn định có còn không Có nhiều cách tiếp cận

⁄ 4: At tA tA 4 ⁄ 2 : Mi ^ T_⁄ +x rẻ

khác nhau đôi với việc nghiên cứu tính ôn định của hệ có nhiễu phi tuyên,

dưới đây ta có định lý sau để hệ

a(k +1) = Az(E) + Bz(k — h) + ƒ(e(E).z(k—h)) — (13)

với điều kiện ban đầu

#(0) = z(—1) = = #(—h) = #0

trong đó hàm số ƒ(œ(k), z(k — h)) thõa mãn điều kiện tăng trưởng

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG PHÁP HAI GIAI DOẠN DE NGHIÊN

CỨU TÍNH ÔN ĐỊNH TIỆM CẬN BÌNH PHƯƠNG

TRUNG BINH CUA HE SAI PHAN NGAU NHIEN

2.1 MO DAU

Cho hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên

dX(t) = f(t, X(t)dt+G(t, X())đW().teT,X() =Xụ, — (11)

với 7 = [fo,oo), ƒ: 7 x R" —› R"G:7xIR" -— R"x”,

Trong đó W() là quá trình Wiener ?w - chiều trên không gian xác suất (Q, P) với bộ loc (Fy) Giá trị đầu Xọ là biến ngẫu nhiên Z2¿—do được,

độc lập với quá trình Wiener và các moment bậc hai hữu hạn

Gia thiết rằng tồn tại một nghiệm duy nhất X — {X(f), € 7} của (1.1)

và để chứng tỏ sự phụ thuộc của nghiệm này vào điều kiện ban đầu ta viết

X= X(t; to Xo)

Ta có hệ phương trinh réi rac véi h giai doan cho (1.1) c6 dạng

a2 Xj414+01X; + ap Xj-1

= h[2f (tis, Xin) + f(t Xi) + Bof (ti-1, Xi-1)]

+IŒ(, X¡)AM + +oG(fi—1, Xi~-1)AW;~—l, (1.2)

Với ? —= 1,2, , f; —¿.b, ?— 0,1, ,AW/; — IW(t;+¡) — W(1;)

Từ (1.1) nếu có AX(f) = /(, X(0)) và „X() = G(t, X(t) ta c6 dang tuyến tính của (1.1),

dX(t) = \X(t)dt + wX(t)dW(t),t > 0, X(0) = Xo, Ayu Xo EC (1.3)

Từ (1.2) và (1.3) với ¿ > 1, œa = 1 ta có,

Xm + ay X; + œ0X;_1 = h[@»¿AX;¡1 + By AX; + BoAX;-1|

+ iuX;AM? + +o/X;_-1+AW;— (1.4)

2.2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Bay giờ ta sẽ ta sé xét tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của

(1.1), với nhiễu 7g và dữ liệu ban đầu Xẹ, kí hiệu X'°() = XŒ;tfo Xo +

Do)

Dinh nghia 1

Các nghiệm X của (1.1) được gọi là:

i) ổn định bình phương trưng bình nếu mỗi e > 0 tồn tại số ð > 0

để nghiệm X?°(t) „ác định uới Vi > tạ tà

E|X”°( — X()|ˆ< s,Vt > to va B|Du|ˆ < 6, it) ổn định tiệm cận bình phương trưng bành nếu nó ổn định bình phương trưng bình oà nếu tồn lại ồ > 0 để mà khi E|Do|? < ồ ta có

E|X0(t) — X(t)|? 3 0 vdit > oo

Với A,„€ € nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (1.3) là

Định lý 1

Nghiệm không của hệ phương trành (1.3) là ốn định tiệm cận bình

phương trưng bỳnh nếu

1

17

Bây giờ ta xây dựng định nghĩa tương tự cho hệ phương trình rời rạc

(1.2) với nghiệm {X;}?°g

Ta kí hiệu {X;}#, = {X;(Xo,XI)}£a và {X”"”3#Sg = {Xi(Xu+

Dạ, Xì + DỊ)??g} là một nghiệm của (1.2) khi giá tri ban đầu bị nhiễu Định nghĩa 2 Nghiệm {X;}?Sg của (1.2) được gọi là

¡) ổn định bành phương trung bành nếu uới mỗi e > 0 tồn lựi giá

trị ồ > 0 sao cho néu E(|Do|? + |Di|?) < 6 thi

EXP?) — Xi? <¢,i=1,2,3,

it) ổn định tiệm cận bình phương trung bình nếu nó ổn định bình phương trung bình tà nếu tồn tại một giá trị > 0 sao cho, nếu

E(|Do|? + |Di|?) <6 thi

B|XP~?) — x; + 0, khiit > se

Tw phuong trinh (1.4) v6i y = 1, y = 1+ a1 phuong trinh (1.4) co dang Xiyt = (@Xj + cXj-1) + (OMG + dXj-1&)-1), (2.3) trong đó

&-1 = hi AW)-1, va & = h72 AW; có phân phối N(0, 1)

2.3 MỘT SỐ CÁCH TIẾP CAN DE NGHIEN CUU TINH ON ĐỊNH TUYẾN TÍNH

2.3.1 Cách tiếp cận cho hệ phương trình tuyến tính ngẫu nhiên một giai đoạn

Xét hệ phương trình X;¡¡ = X;+ØhAX;¿i+(1—0)hAX;+ VAX iE; trong

do @ € [0.1] là một tham số ổn định, viết lại hệ phương trình này dưới dạng truy hồi một giai đoạn

Lấy bình phương hai về (2.3) ta được

|X¿¿i|? = la + 0G: P XP? + fe + dia PP [Xia P

+ 2Ø1{(a + bế¡) Ä;(c + d&i-1)Xi-1} (3.2)

Từ (3.2) ta thây rằng không trực tiếp tìm được điều kiện để nghiệm không

ồn định tiệm cận bình phương trung bình như đối với hệ phương trình (3.1) 2.3.2 Cách tiếp cận đối với hệ phương trình hai bước tất định

Khi (1.2) được viết cho hệ phương trình sai phân tất định thông thường,

chúng được rút gọn để làm nổi bật phần tất định tuyến tính hai bước Với

jt = 0 ta nhận được phương trình (2.3) với b = d = 0

Chúng ta quan sát giá trị riêng của ma trận A, chúng là các nghiệm của

đa thức đặc trưng /(C) = C2? — ac? — c Tất cả các nghiệm của hệ phương trình sai phân (3.3) dần tới 0 khi ¿ —> oo nếu và chỉ nếu nghiệm của đa thức đặc trưng nằm ớ phần trong của đường tròn đơn vị cúa mặt phẳng Viết (2.3) tương tự như (3.3)

Xin = (a + bE) Xi + (6 + d&~1) Xj-1, i = 1,2.3,

Từ hệ phương trình này thấy rằng hệ số của hệ phương trình sai phân phụ thuộc vào giá trị ngẫu nhiên é;,é;_¡ và phép biến đổi bước này sang bước kia Một mặt khó khăn khi nghiên cứu tính ổn định là sự phụ thuộc

của giá trị ngẫu nhiên và ma trận

n

ll ( tụ ) „ = 1,2,3

i=l Một trong những cách khắc phục khó khăn đó là sử dụng cách tiếp cận sau nhờ định lý kiểu Iyapunov áp dụng cho phương pháp nhiều bước để kiểm

tra tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của hệ phân ngẫu nhiên

2.4 HAM LYAPUNOV CHO HE PHUGNG TRINH SAI PHAN NGAU NHIEN

Dinh lý sau đây cho ta một cách tiếp cận để nghiên cứu tính ổn định của

hệ phương trình sai phân nhờ phương pháp nhiều giai đoạn

cho tất cả ¡€6 Ñ,¡ > 1, khi đó nghiệm không của (2.3) ổn định tiệm cận bành phương trưng bình Túc là:

io

Chitng minh Tit diéu kién (4.2) chúng ta dạt được

E[V(i+ 1, Xi, Xi)-V(1, Xo, X)]

va E X; ? < & max (E|Xo|?, E|Xi?) (4.4)

Bây giờ với mỗi ổ; > 0 tồn tai 6 = 61.2, sao cho E|IX;|# < ði nếu max(E|Xo|?, E|.X1|?) < 6 Ti(4.4) kéo theo ya E|X;|? < ov

Từ đó lim;_;~ E|X;|? = 0 Suy ra nghiệm không của (2.3) ổn định tiệm cận bình phương trung bình và định lý đã được chứng minh

Chi y: Dinh ly (2.4.1) có thể áp dụng cho hàm Lyapunov V với sự phụ

thuộc vào biến ngẫu nhiên V(¿, X;_1, X;,&-_¡&¿) Phép chứng mĩnh tương

tự

2.4.2 Giải hệ phương trình sai phân nhờ phương pháp một giai đoạn

21