các dạng trên không gian c(k) và cặp các hàm nửa liên tục

Các dạng trên không gian CK và cặp các hàm nửa liên tục.. LOI NOI DAU Không gian Banach và các hàm xác định trên nó là một trong những đối tượng được nghiên cứu nhiều trong giải tích và

‘AC DANG TREN KHONG GIAN C(K)

VA CAP CAC HAM NUA LIEN TUC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

VINH - 2009

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC VINH

ĐỖ VĂN CHUNG

‘AC DANG TREN KHONG GIAN C(K)

VA CAP CAC HAM NUA LIEN TUC

CHUYEN NGÀNH: GIẢI TÍCH

MÃ SỐ : 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS PHAM QUANG TRINH

VINH - 2009

MUC LUC

Lời nói dau

Chương 1 Không gian các hàim - - 5 + + + xxx veeveereereerserre 3 1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản - -s +5 5++sx+s£+x+e+exeexes+ 3

1.2 Không gian các hầm «+ xxx x99 v.v ng ngơ 7

1.4 Một số tính chất của hàm nửa liên tuc

Chương 2 Các dạng trên không gian C(K)

2.1 Các dạng trên không gian Banach - -s«s«+ l6

2.2 Các dạng trên không gian C(K) và cặp các hàm nửa liên tục

Kết luận

Tài liệu tham khảo - c6 + S33 S* St EeE£eEeeEekreerevrererrerrererre 34

LOI NOI DAU

Không gian Banach và các hàm xác định trên nó là một trong những đối tượng được nghiên cứu nhiều trong giải tích và các ngành Toán học khác Các ánh xạ tuyến tính liên tục được nghiên cứu nhiều và trình bày kỹ trong các giáo trình dành cho sinh viên ngành Toán Các ánh xạ liên tục không tuyến tính cũng có nhiều ứng dụng và được nghiên cứu nhiều nhưng trong các giáo

trình giải tích hàm cho sinh viên nó chưa được trình bày một cách đầy đủ

Khái niệm về dạng trên không gian Banach đã được giới thiệu và nghiên cứu

bởi Kerivine và Maurey vào năm 1981 Sau đó, Pomper, H.P.Rosenthal đã

nghiên cứu sự biểu diễn và tính chất của các dạng trên các không gian Banach đặc biệt ([4], [5], [6]) Mục đích của chúng tôi là dựa vào các tài liệu tham khảo để tìm hiểu nghiên cứu về khái niệm và tích chất của các dạng trên

không gian Banach, sự biểu diễn của các dạng trên không gian Banach C(K)

các hàm nhận giá trị thực liên tục trên tập compact K qua các cặp các hàm nửa liên tục trên K Với mục đích đó, Luận văn được trình bày thành 2 chương

Chương I, Trình bày việc xây dựng không gian các hàm bị chặn, các hàm liên tục, các hàm nửa liên tục Sau đó nghiên cứu cấu trúc và một số tính chất của các lớp hàm đó mà chúng cần dùng cho chương sau

Chương 2, trình bày khái niệm về dạng trên không gian Banach và nghiên cứu các tính chất của các dạng trên không gian Banach tổng quát Sau

đó, chúng tôi trình bày về khái niệm và tính chất của các cặp các hàm nửa liên

tục trên tập compact và nghiên cứu sự biểu diễn của các dạng trên không gian Banach C(K) qua cặp các hàm nửa liên tục trên K

Các kết quả được trình bày trong luận văn là đã có trong tài liệu tham khảo Chúng tôi đã tìm đọc, sắp xếp lại theo mục đích của mình, đưa ra một

vai vi du minh hoa và nhận xét như Ví dụ: 1.2.4, Ví dụ 2.2.2, Nhận xét 2.1.2;

Chứng minh một số kết quả mà trong các tài liệu tham khảo không chứng minh (Mệnh đề 1.2.3, Mệnh dé 1.3.4, Mệnh đề 2.1.3) và chứng minh chỉ tiết

nhiều kết quả mà trong tài liệu chứng minh vắn tắt

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự

hướng dẫn của TS Phạm Quang Trình Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất của mình đến các Thầy giáo, những người đã đặt ra

vấn đề và thường xuyên giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên

cứu

Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô

giáo trong Khoa Toán, Khoa Sau đại học của trường Đại học Vinh và các bạn

lớp CH15-Giải tích đã thường xuyên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và

hoàn thành luận văn

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song Luận văn không thể tránh khỏi

những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những đóng góp quý báu từ các thầy giáo, cô giáo và các bạn

Vinh, thang 11 năm 2009

Tac gia

Chuong 1

KHONG GIAN CAC HAM

Trong chương này, tác giả trình bày một số tính chất của không gian

các hàm bị chặn, không gian các hàm liên tục làm cơ sở cho việc nghiên cứu

1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản

1.1.1 Định nghĩa Cho X là một tập hợp bất kỳ khác rỗng Một họ z các tập con của X được gọi là mội /ôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau

()¢,X er;

(2) NếM U,,U¿ erthìiUj_U; er

(3) Nếu U,er,iel thì \) U, er

Tập Xcùng với một tôpô z trên nó được gọi là một không gian tôpô

1.1.2 Định nghĩa Cho X là không gian tôpô với tôpô z Một tập hợp V X được gọi là ân cận của x nếu tồn tại U e7 sao cho xeÙUœV

1.1.3 Định nghĩa Cho (X,z) là một không gian tôpô Ta gọi mỗi tập U c7

là một tập mở Tập con AC X được gọi là tập đóng nếu X\A là đập mở 1.1.4 Định nghĩa Giả sử Z2 là một họ các tập mở của không gian tôpô X, B được gọi là cơ sở ôpô của X nếu với mỗi xe X và mọi lân cận U của x, tồn tạo Ve Z sao cho xeVCU

1.1.5 Định nghĩa Họ 2 các tập con của không gian tôpô (X,z) được gọi là tiền cơ sở của tôpô 7 nếu X =U{ V:Ve@ } và họ tất cả các giao hữu hạn các phần tử của “2 lập thành cơ sở của tôpô 7

1.1.6 Định nghĩa Cho X là một không gian tôpô Tập con ACX gọi là cơmpaci (trong X) nếu với mọi phủ mở của A đều có một phủ con hữu hạn Điều này có nghĩa là nếu U, là các tập con mở của X với mọi ¡œ7 sao cho

UU, SA thì tồn tại tập con hữu hạn 7„ của 7 sao cho UU; > A Khong

và bằng không trên A, bằng một trên B

1.1.8 Định nghĩa Cho X là một tập khác rỗng và hàm d: XxX >R Ham

đ được gọi là một mêtric hay khoảng cách trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

1) đ(x,y)>0, Vx,yeX, d(x,y)=0<x=y;

là liên tực tại xạ e X nếu với mọi lân cận V của ƒ(x„) tồn tại lân cận U của x„

sao cho ƒ(U)CV

1.1.11 Dinh nghĩa Giả sử X là không gian mêtric và ƒ : X -> R Nếu một

dãy nào đó {x,}C X,x,—>x„eX, dãy {ƒ(x„)}có giới hạn (hữu hạn hay vô

hạn), thì giới hạn đó được gọi là giới hạn riêng của ƒ khi x —> xụ

Số lớn nhất (tương ứng bé nhất), có thé bang +0 trong các giới hạn

riêng được gọi là giới hạn trên (tương ứng dưới) của ƒ khi x — x„và viết là

lim f(x) (tuong ting lim f(x) hay lim sup f(x) (tuong tng lim inf f(x))

Từ định nghĩa đó ta có

lim f(x) =inf {sup { f(x): x €B(x,,6) };

`

lim ƒ(x) = sup {inf { f(x): x € B(x,,6) He

1.1.12 Dinh nghĩa Giả sử # là không gian tuyến tính trên trường K(¡ hoặc

£) và ||: ER, x |x| Ham ||| được gọi là một chuẩn trên E_ nếu thỏa

mãn:

1) |x||>0 với mọi xe và |x||=0 khi và chỉ khi x = 0;

2) lœ¬l = |e |x| với moi x € E va v6i moi ae K;

3) x+y < x||+||y| với mọi x,yeE

Không gian tuyến tính E cùng với một chuẩn trên nó được gọi là không gian định chuẩn

mot métric trên E Ta gọi d là mêtric sinh bởi chuẩn

Không gian định chuẩn E được gọi là không gian Banach, nếu nó là không gian đầy đủ đối với mêtric sinh bởi chuẩn

1.1.13 Dinh nghia Gia sit / là tập hợp khác rỗng, được sắp thứ tự bộ phận bởi quan hệ < Tập (7,<) được gọi là một lưới hay tập định hướng nếu thỏa

mãn:

a) (I,<) không có phần tử lớn nhất;

b) Voi moi we/ tap { Bel: <a } la hit han (ta goi tập này là tap các phần tử đi trước a);

c) Với mỗi a, fel tén tai yeTsao cho a<y,B<y (ta ndi y di sau ava B)

Gia str (J,<) 1a mét tap dinh huéng Với mọi a, €1, đặt

| a, |=card({ wel: asa, }) (số phân tử của {ø e1: ø < ø,})

1.1.14 Định nghĩa Giả sử (/,<) va (J,<) 1a 2 tap dinh hudng va k: TJ Ham k được gọi là bđo tồn thứ tự nếu œ <6] kéo theo k(#) <k(Ø)

Hàm k được gọi là không kết thúc nếu mọi 7 J tồn tại œeÏ sao cho y<k(a)

1.1.15 Dinh nghĩa Giả sử (7,<) là tập định hướng và & : 7 —>› ï Hàm k được gọi là một lưới con của T nếu k bảo tồn thứ tự và không kết thúc

1.1.16 Định nghĩa Giả sử (7,<) là tập định hướng và X là một không gian

topo Ta ndi (x, ) œe[ là lưới hay dãy suy rộng trong X được xác định bởi 7 nếu

x, €X với mọi ø eÏ Sau này fa nói gọn (x, ) ael là dãy suy rộng trong X Giả sử (x,) ael là một dãy suy rộng Nếu &:7-—>7 là hàm bảo tồn thứ

tự và không kết thúc thì dãy suy rộng (x,,„„) œel được gọi là lưới con hay day con cla (X,,) ael *

Néu X 1a khong gian dinh chuan va (x,),., ael 1a day suy rong trong X Day suy rộng (x„)„., ael được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c sao cho

Xx, |<oVael

1.1.17 Dinh nghia Gia su (x, ael là dãy suy rộng trong không gian tôpô X

hội tụ tới xe X và viết lim x, =x néu méi lan can U cua x tén

ael

tại œạ 1l sao cho x„cU với mọi œel, œạ<ơ

1.1.18 Dinh ly Néu (x,),-, ael là lưới trong không gian tôpô X, hội tụ tới

+x€X thì mọi lưới con của (x„)„., cũng hội tụ tới x

1.1.19 Dinh ly Gid sw Y la tap con cua không gian tôpô X và xe X Khi đó

xeY khi và chỉ khi tôn tại dãy suy rộng (x„)„., ael trong Y sao cho limx„ =x gel

1.1.20 Dinh nghĩa Giả sử (z„) _„ là dãy suy rộng bị chặn các số thực Khi

Trong luận văn này ta luôn giả thiết (7,<) là tập định hướng và ta viết

gọn / thay cho (I,<)

1.2 Không gian các hàm

Trong mục này, chúng ta sẽ trình bày một số tính chất của không gian

các hàm bị chặn và đưa ra ví dụ minh hoạ mà nó được dùng ở chương 2 Cho A là một tập hợp và F là một không gian định chuẩn

1.2.1 Định nghĩa Hàm ƒ : A —> # được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c

sao cho || ƒ(x) |<c,VxeA

Ta ky hién &,(A) là tập tất cả các hàm bị chặn từ A vào F Khi đó 2;(4)

là không gian tuyến tính trên trường K đối với phép cộng hai hàm và phép

nhân vô hướng với hàm thông thường, tức là với mọi ƒ,øe B,(A), voi moi aeK tacé

(ƒ+gXx)=ƒ(4)+s(*), (œƒ)\(x)=œƒ(x),VxeA

Ta dễ dàng kiểm tra được công thức (1) xác định một chuẩn trên z(4)

Như vậy Z4) là một không gian định chuẩn Sau này nếu không giải thích gì

thêm thì ta quy ước chuẩn trên Zz(4) là chuẩn sup, tức là chuẩn xác định bởi công thức (1)

Một câu hỏi được đặt ra là với điều kiện nào thì không gian định chuẩn

@B,(A) la khong gian Banach? Định lý sau trả lời câu hỏi này

1.2.2 Định lý Nếu F là không gian Banach thì Z2(A) là không gian Banach

Chứng mình Cho { f, là một dãy Cauchy trong Z+(4) Khi đó

Ff |S fifa

Vì vậy với mọi VxeA, {ƒ,(x)} là day Cauchy Do F 1a Banach nén

f(x) > f(x)€F.Ta duge anhxa f:A>F

Cố định ¢ >0 van trong hé thttc cho m— ta duge

| g(x) |=| inf { h(x):heH } |<c VxeK

Vậy ƒ và ø thuộc 1 (K)

1.2.4 Ví dụ Giả sử X là không gian Hausdorff compact Khi d6, &,(X) 1a

không gian các hàm nhận giá trị thực, bị chặn trên X Vì R là không gian

Banach nên theo Định lý 1.2.2, Z4(X) là không gian Banach

Từ đây về sau, ta viết 2X) thay cho Z4(X)

1.3 Không gian các hàm liên tục

Giả sử X là không gian tôpô và Ƒ là không gian định chuẩn Ký hiệu CZ(X) là tập tất cả các hàm liên tục, bị chặn từ X vào F Dé thay C7(X) 1a không gian con của Z(X)

Ký hiệu C,,(X) 1a tập tất cả các hàm liên tục từ X vào Ƒ Nếu X là không

gian compact thì CZ(X)= C,(X) bởi vì mọi hàm liên tục trên tập compact,

nhận giá trị trong không gian định chuẩn đều bị chặn

1.3.1 Định lý CZ(X) là không gian véc tơ con đóng của 2,(X) Đặc biệt, nếu

F là không gian Banach thì C£(X) là không gian Banach

Chứng minh Giả sử {ƒ,}CCƑ và ƒ,—> ƒ<4(X) Ta cân chứng minh

ƒs<Cƒ tức là chứng minh ƒ liên tục tại mỗi điểm tuỳ ý xạeX Do

1.3.2 Chú ý Ta viết C(X) thay cho Cạ(X) Nếu X là không gian compact

thì theo Định lý I.3.1, C(X) là không gian Banach (với chuẩn sup) Tôpô trên C(X) được sinh bởi chuẩn sup ta gọi là tôpô chuẩn Sau đây ta sẽ trang bị thêm một tôpô nữa cho không gian C(Ä), ta gọi tôpô này là tôpô hội tụ tại từng điểm, nói gọn là tôpô hội tụ điểm

1.3.3 Định nghĩa Ta gọi tôpô hội í điểm trên C(X) là fôpô trên C(X)có

tiên cơ sở là họ tất cả các đập con dạng { ƒ eC(X): ƒ(x)<U i, trong đó x là

điểm thuộc Xcòn U là đập mở trong ¡

1.3.4 Mệnh đề Giđ sử ( ƒ„ )„.„ là một lưới trong C(X) Khi đó (ƒ„)„„„ hội

tụ tới geC(X) đối với tôpô hội tụ điểm khi và chỉ khi ( 1, Jeet hoi tu toi g(x) voi moi x EX

Chứng mình Giả sử ( ƒ„ ) „„ hội tụ tới g đối với tôpô hội tụ điểm Lấy bất

kỳ xeX va U là tập mở trong ¡ sao cho g(x)<U Vì Uy.) ={f €C(X): f(x) €U} 1a lan can của g trong _C(X) đối với tôpô hội tụ

diém va f, > g nén tôn tại œạe! sao cho ƒ, 6U ,„ với mọi œel, œ>ø,

Do đó ƒ(x)eU Vø>ø, Vì U là lân cận của s(x) nên ta kết luận được

(7,)„„, hội tụ tới g(x)

Ngược lại, giả sử ( ft, lu hội tụ tới g(x) với mỗi xe X Lấy bất kỳ

lân cận W của g đối với tôpô hội tụ điểm trong C(X) Không mất tính tổng quát có thể giả thiết W có dạng

II

W={ƒeC(X): ƒ(x)eU},

trong đó xeX, Ù là tập mở trong ¡ chứa x Vì geW nên g(x)eÙU Do

( Z„ )„., hội tụ tới g(x) nên tồn tại „e1 sao cho ƒ„(x)eU với mọi ø >ø, Điều này chứng tỏ ƒ, eW với mọi #€Ï, z>ø,,

Vậy ƒ„ —> g đối với tôpô hội tụ điểm

1.4 Một số tính chất của hàm nửa liên tục

Trong mục này chúng ta sẽ trình bày khái niệm các hàm nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới và nghiên cứu một số tính chất của các hàm nửa liên tục

mà chúng được dùng trong chương sau

1.4.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô, ƒ : X—>R là ánh xạ từ tập X vào tập hợp các số thực #

- Ta nói ƒ là nửa liên tục trên tại xạ X nếu với mọi số thực zeR mà

ƒ(x¿)<ø thì tồn tại lân cận U của x„ trong X sao cho ƒ(x)< #, với mọi

xeU

- Ham ƒ gọi là nửa liên tục dưới tại xạ X nếu với mọi số thực zeR

mà ƒ(x„)>ø thì tồn tại lân cận V của x„ trong X sao cho ƒ(x) >ø#, với mọi

(a) Néu c>0 thicf là hàm nửa liên tục trên trên X;

(b) Nếu c<0 thì c.ƒ là hàm nửa liên tục dưới trên X

Chứng mình (a) Giả sử ƒ:X->R là hàm nửa liên tục trên X, c>0 Với x,la điểm bất kỳ của X, với mỗi số thực zeR và cƒ(x„)<œ Do e>0 nên

12

of (X))<a@ suy ra f(x,)<— Theo gia thiết ƒ là hàm nửa liên tục trên X nên e ƒ

là hàm nửa liên tục trên tại xạ Do đó, tồn tại lân cận U của x„ sao cho

1.4.3.Nhận xét (a) Cho X là không gian tôpô, ƒ: X->R là hàm nửa liên

tục dưới trên X và số thực c R Khi đó

+ Nếu c >0 thì c.ƒ là hàm nửa liên tục dưới trên X;

+ Nếu c<0 thì c.ƒ là hàm nửa liên tục trên trên X;

(b) Cho X là không gian tôpô, ƒ : X ->R Khi đó, ƒ là hàm nửa liên tục trên trên X khi và chỉ khi — ƒ là hàm nửa liên tục dưới trên X

1.4.4 Mệnh đề Cho X là không gian tôpô, ánh xạ ƒ : X-—>R Khi đó, ƒ là hàm nửa liên tục trên trên X khi và chỉ khi với môi số thực œeR thì tập

{xeX:ƒ(x)>a} là đóng

Chứng minh * Điều kiện cân Giả sử ƒ:X->R là hàm nửa liên tục trên

A={xeX:ƒf(x)>z}

là tập đúng trong X

* Điều kiện đỳ Giả sử A={ xeX : ƒ(x)> ứ } là tập đúng trong X, với mọi

œcR Ta cần chứng minh ƒ : X-—>R là hàm nửa liờn tục trờn trờn X Từ

A={xeX:ƒf(x)>z} VứeR

là tập đúng trong X suy ra

B=X\A={ xeX:f(x)<a}, VaeR

là tập mở trong X Với mỗi x; e X thoả món ƒ(x„)< ứ thỡ x„ e8 Do B là tập

mở, nờn tồn tại lõn cận mở V của x„ trong B sao cho ƒ(x)<# với mọi xeVCB Suy ra ƒ là hàm nửa liờn tục trờn tại x„ Vỡ x„ là điểm bất kỳ thuộc

X nờn f là hàm nửa liờn tục trờn trờn X

1.4.5 Nhận xột Giả sử X là khụng gian tụpụ, ƒ : X —> R Khi đú ƒ là hàm nửa

liờn tục dưới trờn X khi và chỉ khi tập { xe€X:ƒ(x)<r i, với mọi r<đẹ là tập đúng trong X

1.4.6 Hệ quả Giả sử X là khụng gian tụpụ, ƒ : X —>R Khi đú ƒ là hàm nửa

liờn tục trờn (tương ứng nửa liờn tục dưới) trờn X khi và chỉ khi với mụi cR,

tập {xeX : ƒ(x)<c } (tương ứng tập { xe X : ƒ(x)>c }) là mở trong X.

14

1.4.7 Mệnh dé Gid sit X la khong gian topo, { f,:ael } là họ các hàm nửa

liên tục trên (nửa liên tục dưới) trên X Khi đó, inƑ ƒ„ (tương ứng sup ƒ, ) là

nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới) trên X

Chứng minh Giả sử { ƒ, : œ 1 } là họ các hàm nửa liên tục trên trên X Với

hàm nửa liên tục trên trên X

Nếu {ƒ,:zel } là họ các hàm nửa liên tục dưới trên X Với mỗi ceR, dat

Vì f 1a ham lién tuc tai x„ nên tồn tại lân cận U của x„ sao cho

Tir (1) va (2) suy ra f(x)<@ véi moi x EU Vay f 1a ham nita lién tuc trén

tại xạeX Vì xạ; lấy bất kỳ thuộc X nên ƒ là hàm nửa liên tục trên trén X

Chứng minh tương tự ta cũng suy ra được ƒ là hàm nửa liên tục dưới trên X

* Điều kiện đủ Giả sử ƒ : X —>R là hàm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới

trên X Ta cần chưng minh ƒ là hàm liên tục trên X Với mỗi xạ X và >0

bé tuỳ ý, vì ƒ là hàm nửa liên tục trên tại x„ nên tồn tại lân cận mở V, của x„ sao cho

ƒ(x)< ƒ(x,)+£ VxeV

Mặt khác, f là hàm nửa liên tục dưới tại x„ nên tồn tại lân cận mở V¿„

của xạ sao cho