tính ổn định mũ bình phương trung bình của hệ ngẫu nhiên có trễ với bươc nhảy markov

Tính ồn định của một lớp hệ phương trình sai phân - ngẫu nhiên 1.7 Tính ồn định tiệm cận bình phương trung bình của một lớp hệ phương trình sai phân tuyến tính ngẫu nhiên TINH ON DINH MU

1.2 Tính n định của các hệ vi phân tuyến tính 1.3 Tính 6n định của hệ tuyến tính không dừng 1.4 Tinh 6n định của các hệ tựa tuyến tính 1.5 Tính ồn định của hệ với thời gian rời rạc 1.6 Tính ồn định của một lớp hệ phương trình sai phân - ngẫu nhiên

1.7 Tính ồn định tiệm cận bình phương trung bình của một lớp hệ phương trình sai phân tuyến tính ngẫu nhiên

TINH ON DINH MU CUA HE NGAU NHIEN CO TRE VOI BUOC NHAY MARKOV

2.1 Mé dau

2.2 Những ký hiệu 2.3 Tinh 6n định mũ bình phương trung bình của hệ đơn giản KET LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

LOI NOI DAU

Mô hình hoá ngẫu nhiên đã đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật Một lĩnh vực pho biển được quan tâm nhiều đó

là điều khiển tự động của các hệ ngẫu nhiên, với tầm quan trọng của nó đang được quan tâm nghiên cứu nhằm phân tích sự ôn định của mô hình ngẫu nhiên Chúng ta có thể kể đến các công trình của Arnold [6], Hale và Lunel, Has’minskii , Klomanovskii va Myshkis

Ngày nay, hệ chuyên đổi (hybrid systems) được điểu khiến bởi xích Markov liên tục đã được sử dụng để mô tả nhiều hoạt động thực tiễn, nơi mà chúng có thể trải qua những thay đổi đột ngột về cấu trúc và tham số Hệ chuyển đổi vừa có một phần trạng thái lấy giá trị liên tục, vừa có một phần trạng thái lấy giá trị rời rạc Hệ chuyên đổi đã được Willsky và Leve nghiên

cứu cho model của hệ năng lượng điện tử cũng như Sworder và Rogers nghiên cứu cho sự điều khiển của trung tâm nhiệt mặt trời (solar thermal central) Athans đã đề xuất rằng hệ chuyển đổi trở thành một bộ khung cơ bản trong việc đề xuất và giải quyết các mối quan hệ điều khiển nảy sinh trong việc tạo ra

và giải quyết mối quan hệ điều khiển nảy sinh trong việc điều khiển khung (batle management), điều khiển và hệ thống truyền đạt thông tin (communications systems) Một lớp quan trọng của hệ chuyên đổi là hệ tuyến tính có bước nhảy

Một vấn đề quan trọng nảy sinh trong quá trình nghiên cứu hệ là chuyển đổi sự điều khiến tự động, với tầm quan trọng đang được thay thế trên sự phân

tích của tính 6n định Ji và Chizeck [4] đã nghiên cứu tính ồn định của hệ tuyến

tính có bước nhảy như vậy Basak cùng các đồng tác giả trong [3] đã miêu tả tính ôn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên nửa tuyến tính với bước nhảy

2

Markov, trong khi đó Mao đã nghiên cứu tính ồn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính ngẫu nhiên với bước nhảy Markov Shaikhet đã đưa thời gian trễ vào nghiên cứu và đã quan tâm đến sự ổn định của hệ phương trình trễ vi phân nửa tuyến tính với bước nhảy Markov, trong khi đó Mao và các đồng tác gia đã nghiên cứu tính ồn định của hệ phương trình vi phân có trễ phi tuyến với bước nhảy Markov

Sự thay đổi đột ngột của cấu trúc và tham số trong hệ chuyền đổi là thường xuyên bởi hiện hệ thống con nối liền với nhau, và sự nhiễu loạn môi

trường lai (abrupt) Vì vậy, khi chúng ta mô hình hoá những hệ như vậy, cần phải đưa tham số không chắc chắn và môi trường nhiễu giống như thời gian trễ vào tính toán

Nếu chúng ta cũng lấy môi trường nhiễu vào tính toán, thì hệ thống trở thành một phương trình trễ vi phân ngẫu nhiên với bước nhảy Markov

Cũng cần phải chỉ ra rằng, trong vài năm lại đây, rất nhiều nghiên cứu đã quan tâm đến việc ước lượng sự ồn định bình phương trung bình của hệ

Trong những năm gần đây, nhiều nghiên cứu đã quan tâm đến sự ồn định của hệ vi phân với bước nhảy Markov Tuy nhiên đang còn ít nghiên cứu quan tâm đến sự ồn định của hệ có trễ với bước nhảy Markov Lý thuyết được phát triển ở đây có thể ứng dụng vào nhiều tình huống khác nhau và do đó đễ thấy tầm quan trọng của chủ đề này Do đó, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS

TS Phan Đức Thành, chúng tôi đã chọn đề tài: “Tính ốn định mũ bình phương trung bình của hệ ngẫu nhiên có trễ với bước nháy Markov”

Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn sẽ được trình bày thành hai chương Chương 1 Trình bày một số kiến thức cơ bản về lí thuyết ôn định Chương 2 Trình bày tính ồn định mũ của hệ ngẫu nhiên có trễ với bước

nhảy Markov

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh đưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Phan Đức Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy và Cô về sự quan tâm nhiệt tình mà Thầy và Cô đã dành cho tác

giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường

Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hoà, TS Phan Lê Na,

TS Lê Hồng Sơn, cùng các thầy cô giáo ở bộ môn Xác suất thống kê và ứng dụng, Khoa Toán, Khoa Sau Đại học - Trường Đại học Vinh

Vinh, thang 12 nam 2009

Tac gia

Chuong 1 MOT SO KIEN THUC CO BAN VE LY THUYET ON DINH

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản vé ly thuyét 6n dinh theo nghĩa Liapunov.Các kiến thức của chương này được trình bày theo các tài liệu [1] và [2] Ön định là một trong các tính chất quan trọng của các hệ thống đù cho hệ thông đó là hệ kỹ thuật, hệ sinh thái, hệ kinh tế

Một hệ thống được gọi là ồn định tại một trạng thái cân bằng nào đó, nếu các nhiễu bé trong các điều kiện ban đầu hoặc trong cấu trúc của hệ thống không làm thay đổi hệ thống quá nhiều so với trạng thái ban đầu

1.1 Các khái niệm cơ bản

Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân

x(t) = f(t, x)

trong dé x(t)eR" la ham véc to cho truéc

Gia thiét f(t,x) 1a hàm thoả mãn các điều kiện sao cho nghiệm của bài toán cauchy hệ (1) với x(to) = Xo , to > 0 luôn có nghiệm

Khi đó, dạng tích phân của nghiệm được cho bởi công thức:

t x= Xx) [Ff (s, x(s))ds

Bây giờ ta xét hệ với f(t,0)=0, teR” Ta có các định nghĩa sau:

1.1.1 Định nghĩa Hệ (1) là ổn định nếu Ve>0, teR*, 38 (phụ thuộc vào e, to) sao cho bắt kì nghiém x(t): x(to)=xọ thoả mãn ||xo||<ồ thì ||x(0||< e, Vt>tụ

1.1.2.Định nghĩa Hệ (1) là ổn định tiệm cận nêu hệ là ôn định và 3 8>0 sao cho: nếu ||xo||<õ thì

Jm, |xứ)|= 0

Nếu số ö trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào tọ, thì tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) được gọi là ổn định đều (hay ổn định tiệm cận đều)

1.1.3 Định nghĩa Hệ (1) là ổn định mũ nếu 3 M>0, Š>0 sao cho nghiệm của

hệ (1) với x(to)=0 thoả mãn

t

- Hé la 6n dinh néu_ Ja(t)dt< My(ty) < +20,

t

- Hệ là ồn định đều nếu _I(tạ) không phụ thuộc tụ

t

[aŒ)dr=—œ

- Hé la 6n dinh tiém cận nêu

1.2 Tính ỗn định của các hệ vi phân tuyến tính

Xét hệ tuyến tính:

Trong do: A 1a (nxn) — ma tran

Nghiệm của (3) xuất phát từ trạng thái ban dau x(t) cho bởi

A(t - t) x(t) = xe , to, 1.2.1 Định lý 1 (tiêu chuẩn ồn định đại sé Lyapunov)

Hệ (3) là ổn định mũ khi và chỉ khi phân thực của tất cả các giá trị riêng của A là âm, tức là

Re2<0, V AEX (A)

1.2.2 Định lý Giá sứ đa thức đặc trưng mà phương trình vi phân (3) đã cho là:

f2) =z"+aiz"! + +aniZ Ð ân

7

Khi đó, nếu định thức tất cả các ma trận con Dạ của đường chéo chính, k=l,2, , n là dương thì phân thực của tắt cả nghiệm của ƒfz) là âm, tức

hệ đã cho là ổn định tiệm cận, trong đó:

Xét phương trình Lyapunov dạng A `X+XA=-Y (LE)

X,Y la ma trận (nxn) chiều gọi là cặp nghiệm của (LE)

Xét hệ (3), ta nói ma trận A la ổn định nếu phần thực tất cả gid trị riêng của A la dm khi và chỉ khi (3) ổn định tiệm cận

1.2.3 Định lý Ma đrận A là ổn định khi và chỉ khi mọi ma trận Y đối xứng,

xác định dương, phương trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng, xác định dương ÄX

1.3 Tính ốn định cúa hệ tuyến tính không dừng

Bây giờ ta xét hệ được mô tả bởi phương trình vi phân

Hé (4) co nghiém

x(t) = D(t,to)xo

®(t,s) là ma trận nghiệm cơ bản

1.3.2 Dinh ly Xét hé (4), trong do A(t) la ma trén lién tuc theo t

Gia su J M>0, d>0, k>0 sao cho:

c3 <ke Ot , Vts20

i)

co nghiém thoa man x(to)=xo, t20

Trường hợp f(t,x) kha vi lién tục tại x=0 thì theo khai triển Taylo bậc một tại x=0 Ta có:

f(x)=Axtg(x)

x 1.4.1 Định lý Xé/ hệ (5) trong do f(t.x) =A+g(x) Gia sir A la ma tran 6n

định và g(x) =O(\x|) thi hệ là on định tiệm cận

Nhận xéi: Thay điều kiện ø(x) = 0( x) bang diéu kién:

3 L>0: |g(x)| < Lx] , VxeX thi khẳng định trên vẫn đúng với L>0 thoả

ổ ma) Sup|L(t)\<M <—

180SM</

Khi đó hệ là ồn định tiệm cận

1.5 Tính ấn định của hệ với thời gian rời rạc

Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân

Trong đó: f: Z” x X—>X là hàm cho trước

11

với mọi nghiệm x(k) với |x(0)| <6

1.5.2 Tính ỗn định của các hệ tuyến tính rời rạc

xeR"

Xét hệ rời rạc: x(k+1) = Ax(k), }K © 2° AeR™ 7)

Với x(0)= xạ thì nghiệm của (2) là:

x(k)=A*%g 1.5.2.1 Định lý Hệ rời rạc (7) là ổn định tiệm cận © I trong 2 điều kiện sau được thoã mãn:

= 3ổ >0:|x(0)|< ổ , Vk>ko

(+)Néu <1 , Vrer(A) thì theo trên

Trong dé A là ma trận ôn định va \C(k)| <a Khi đó hệ sẽ ồn định

cận nếu a>0 đủ nhỏ nào đó

ii) Giả sử A(k)=A+C(Œ)

1.5.3.1 Định lý Xới hệ (3) trong đó /†k,x(k)) =Ax(k) +g (x(k)

Giá sử A là ma trận ổn định và g(x(k)) = a|x(k)|_ với a>0 đủ nh thì

hệ ốn định tiệm cận

Chứng mình:

16

Nghiệm của bài toán với f(k,x(k)) =Ax(k)+g(x(K)) với x(0) = xọ là:

1.6.1 Mệnh đề Nghiệm không của hệ phương trình (1-2) ổn định tiệm cận

Lyapounov khi và chỉ khi nghiệm không của (1-2) ổn định tiệm cận

Lyapounov ttc la r,(A) <1, voi:

Xây dựng hàm Lyapounov như sau:

18

V(x.) = XH, + Xx1'QX,1 với Q = B'HB + E

Khi do:

Av(Xx) = V(Xx41)-V(Xq) = Xe AX + XK OX, - XTX, = Xe QXe1

;|ATHA+B HB-H+E A”HB

P

i=l

Chứng mình: Gia su tồn tại ma trận H thoả mãn các điều kiện của mệnh đề

19

Xây dựng hàm Lyapounov như sau:

v(x,)=x;Hx, +) 3 x/Qx,

j=l i=k-h, VỚI

ATHA, ATHA, A AHA, -E

Trong đó Vy = (Xp eX gree Xen, )

Từ giả thiết > Av(x,) <0

= hệ đã cho là ổn định tiệm cận Lyapounov

Xét phương trình sai phân ngẫu nhiên đa bước

X;a = AX, + AX, + + A,X, + (Bx, + Buy ++ Bix ,)ốy (2.6)

Dé giai quyết bài toán (2.6) ta đưa về một bước

x | [A A, A A A,Jx, ] [B B, A B,Tx,

20

Khi đó hệ (2.6) có dạng:

Nếu nghiệm không của hệ (2.6) ổn định tiệm cận Lyapounov bình phương trung bình thì nghiệm không của hệ phương trình (2.6) ổn định tiệm cận bình phương trung bình

1.6.4 Định lý Nghiệm không của hệ phương trình (2.5) ổn định tiệm cận Lyapounov bình phương trung bình nếu ma trận A_ hội tụ và ton tai ma trận đối xứng xác định dương H>0 thoả mãn phương trình sylvester:

Trong đó I là biến rời rac

i1€ZUZp voi Z={0,1,2, }

Zo=={-h, ,0} h=max {k,]}

Gia str (Q, F, P) là không gian xác xuất, (fF)

ieZ là dãy các ơ đại số

Eo, €), la day các biến ngẫu nhiên độc lập

& la day cac bién ngẫu nhiên phù hợp với f ¡ và độc lập với f, Eš¡ = 0, EG? = l

21

1.7.1 Định nghĩa: Nghiệm không của hệ phương trình (1) được gọi là ổn định

bình phương trung bình nếu Ve>0 3ồ>0 sao cho

Nếu lol’ = SupEg? <6=> Ex? <e

ieZy Néu ngoai ra Lim Ex? =0 thì nghiệm x=0 của (1) được gọi là ổn định

1—>%®

tiệm cận bình phương trung bình

Trong phần này trước hết chúng tôi sử dụng định lí sau:

1.7.2 Định lý Giá sứ ồn tại hàm không âm V; = V(i,x.ụ, ,x;) ¡eZ thoả mãn các điều kiện:

EV(0,x „ x,) < c, |ø|Ï

EAV;<-cEx” ieZ

Trong đó AV; = V,.¡— Ứ; cị>0, ca>0

Khi đó phương trình (L) có nghiệm x=0 ổn định tiệm cận bình phương trung bình

Bây giờ chúng ta sẽ thiết lập điều kiện đủ để nghiệm x=0 của hệ (L) ổn định tiệm cận bình phương trung bình

Chuong 2 TINH ON DINH MU CUA HE NGAU NHIEN CO TRE

VOI BUOC NHAY MARKOV

2.1 Mé dau

Trong những năm gần đây, nhiều nghiên cứu đã quan tâm đến sự ồn định của hệ vi phân với bước nhảy Markov Tuy nhiên đang còn ít nghiên cứu quan

tâm đến sự ồn định của hệ có trễ với bước nhảy Markov Hé được miêu tả

trong chương này là hệ ngẫu nhiên có trễ với bước nhảy Markov

Lý thuyết được phát triển ở đây có thế ứng dụng vào nhiều tình huống khác nhau và đo đó đễ thấy tầm quan trọng của chủ dé nay

Mô hình hoá ngẫu nhiên đã đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật Một lĩnh vực phô biển được quan tâm nhiều đó

là điều khiển tự động của các hệ ngẫu nhiên, với sự quan trọng của nó đang được thay thế trên sự phân tích sự ổn định của mô hình ngẫu nhiên Ở đây chúng tôi quan tâm đến các công trình của Arnold [6], Hale và Lunel, Has’minskii, Klomanovskii và Myshkis , và các tác giả khác

Ngày nay, hệ chuyển đối (hybrid systems) được điểu khiển bởi xích Markov liên tục đã được sử dụng để mô tả nhiều hoạt động thực tiễn, nơi mà chúng có thể trải qua những thay đổi đột ngột về cấu trúc và tham số Hệ chuyển đổi vừa có một phần trạng thái lấy giá trị liên tục, vừa có một phần trạng thái lấy giá trị rời rạc Hệ chuyên đổi đã được Willsky và Leve nghiên cứu cho model của hệ năng lượng điện tử cũng như Sworder và Rogers nghiên cứu cho sự điều khiến của trung tâm nhiệt mặt trời (solar thermal central) Athans đã đề xuất rằng hệ chuyên đổi trở thành một bộ khung cơ bản trong việc đề xuất va giải quyết các mối quan hệ điều khiển nảy sinh trong trong việc

24