phân loại và phương pháp tìm cực trị trong bài toán điện xoay chiều

TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMPHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU MÔN VẬT LÍ TÊN TÁC GIẢ BÀ: ĐỖ THỊ HƯỜNG Xác nhận của nhà trường ký, đóng dấu UBND TỈNH HẢI D

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU

MÔN VẬT LÍ KHỐI LỚP 12 NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG CẤP TỈNH

ĐIỂM THỐNG NHẤT Bằng số:……….……….……

Bằng chữ: ……….……

Họ và tên Giám khảo số 1: ……… …chữ ký…………

Họ và tên Giám khảo số 2: ……… …chữ ký…………

NĂM HỌC: 2012 – 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

TRƯỜNG THPT KẺ SẶT

Số phách

TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU

MÔN VẬT LÍ TÊN TÁC GIẢ BÀ: ĐỖ THỊ HƯỜNG

Xác nhận của nhà trường (ký, đóng dấu)

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU

MÔN VẬT LÍ KHỐI LỚP 12

2

ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG CẤP CƠ SỞ

ĐIỂM THỐNG NHẤT Bằng số:……….……….…… Bằng chữ: ……….……

Họ và tên Giám khảo số 1: ……… ……… Ký tên……

Họ và tên Giám khảo số 2: … ………Ký tên……

NĂM HỌC: 2012 – 2013

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU

MÔN VẬT LÍ KHỐI LỚP 12

ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG CẤP NGÀNH

ĐIỂM THỐNG NHẤT

Bằng số:……….……….……

Bằng chữ: ……….……

Giám khảo số 1: ……… ………

Giám khảo số 2: ……… ………

NĂM HỌC: 2012 – 2013 PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.1 Thực trạng của vấn đề

Việc thay đổi hình thức thi môn vật lý của Bộ GD&ĐT từ tự luận sang trắc nghiệm khách quan đã bộc lộ những ưu điểm mà tôi thấy rất thiết thực là: Nội dung thi bao quát cả chương trình, tránh được tình trạng học tủ như trước đây và từ đó có thể đánh giá trình độ học sinh một cách toàn diện Ngoài ra việc chấm bài thi trắc nghiệm được thực hiện nhanh chóng, khách quan nhờ sự hỗ trợ của công nghệ thông tin

Tuy nhiên để làm tốt bài thi trắc nghiệm đòi hỏi người học phải ghi nhớ đầy đủ kiến thức trọng tâm, biết cách vận dụng linh hoạt, sáng tạo và nhanh nhạy trong phán đoán nhận dạng cũng như trong tính toán mới có thể đạt được kết quả cao

Điện xoay chiều là một phần quan trọng trong chương trình vật lí lớp 12 và chiếm tỉ trọng lớn trong đề thi của các kì thi Quốc gia hiện hành, và đây cũng là một phần có lượng kiến thức lớn và khó đối với nhiều học sinh THPT Với lí do đó, tôi chọn nghiên cứu đề tài:

“BÀI TOÁN CỰC TRỊ” nhằm trang bị cho các em học sinh những kiến thức cơ bản, giúp

các em có thể nhanh chóng định hình những kiến thức cần áp dụng để giải các bài tập trắc nghiệm phần điện xoay chiều một cách nhanh chóng và tránh được những nhầm lẫn

1.2 Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu

1.2.1 Nhiệm vụ

Đề tài nêu ra phương pháp giải các dạng bài tập liên quan đến cực trị trong phần điện xoay chiều, từ đó giúp học sinh hình thành phương pháp luận căn bản để giải quyết các vấn đề khi gặp phải, đồng thời từ đó cũng giúp cho các em có thể phân biệt được, áp dụng được các điều kiện cụ thể trong từng bài tập Bên cạnh đó, trên cơ sở những kết quả đã nghiên cứu, các kiến thức được phân loại trong từng trường hợp vận dụng giúp học sinh ghi nhớ và áp dụng một cách nhanh chóng

1.2.2 Phương pháp

- Vận dụng những kiến thức toán học để tìm cực trị, như:

+ Tính chất của phân thức đại số

+ Tính chất của các hàm số lượng giác

+ Bất đẳng thức Cô-si

+ Tính chất đạo hàm của hàm số

1.2.3 Phạm vi của đề tài

Đề tài nghiên cứu một vấn đề tương đối khó, đề cập đến các dạng bài tập nâng cao thường gặp trong đề thi TSĐH, CĐ và chủ yếu dành cho học sinh khá giỏi Với phạm vi một sáng kiến, kinh nghiệm ở trường THPT chúng tôi chỉ đề cập đến một số vấn đề nhỏ của môn vật lý lớp 12:

- Nghiên cứu về bài toán cực trị trong điện xoay chiều và một số trường hợp vận dụng

4

PHẦN 2: NỘI DUNG 2.1 Những kiến thức toán học bổ trợ

2.1.1 Tính chất của phân thức đại số

Xét một phân số P =

B

A , trong điều kiện A là hằng số dương, thì phân số P đạt giá trị lớn nhất nếu mẫu số B nhỏ nhất.

2.1.2 Tính chất của các hàm số lượng giác

Đối với các hàm số lượng giác :

+ y = sinx thì ymax = 1 khi x = π/2 + k π (k∈Z)

+ y = cosx thì ymax = 1 khi x = kπ (k∈Z)

2.1.3 Bất đẳng thức Cô-si

Với hai số thực dương a,b thì ta luôn có : a + b ≥ 2 ab

Điều kiện để đẳng thức xảy ra là: a = b, và nếu ab không đổi thì khi đó tổng (a + b)

bé nhất

2.1.4 Tính chất đạo hàm của hàm số

Xét hàm số y = f(x); (x ∈ R) có đạo hàm tại x = xo và liên tục trong khoảng chứa xo Nếu hàm

số đạt cực trị tại x = xo thì f’(xo) = 0

Và : + Nếu f’’(xo) > 0 thì xo là điểm cực tiểu.

+ Nếu f’’(xo) < 0 thì xo là điểm cực đại.

2.2 Những trường hợp vận dụng cụ thể

2.2.1 Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp:

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu điện thế hai đầu ổn định :u U= 0cos(ω ϕt+ u)

R là một biến trở, các giá trị R0, L và C không đổi Gọi Rtd = R + R0

a Có hai giá trị R 1≠ R 2 cho cùng một giá trị công suất

- Công suất tiêu thụ trên mạch là :

2 2

- Từ đó ta thấy rằng có 2 giá trị R1 và R2 khác nhau cho cùng giá trị công suất

b Giá trị của R làm cho công suất cực đại

+ Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại

C

0

- Ta thấy rằng Pmax khi Amin => “ =” xảy ra Vậy: R td = Z L−Z C

- Khi đó giá trị cực đại của công suất là:

Với R1td và R2td là hai giá trị của R cho cùng giá trị công suất

Lưu ý: Khi Z L−Z C <R0thì giá trị biến trở R < 0, khi đó giá trị biến trở làm cho công suất toàn mạch cực đại là R = 0.

+ Giá trị R làm cho công suất của R cực đại

- Công suất của biến trở R là

=

- Vì R0; ZL; ZC và U là các đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại thì chỉ cần cường

độ dòng điện qua mạch cực đại Từ biểu thức của dòng điện ta thấy rằng Imax khi giá trị của biến trở R = 0

c Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R

- Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của công suất toàn mạch vào giá trị của biến trở R người ta thường dùng phương pháp khảo sát hàm số:

- Ta có công suất toàn mạch biến thiên theo biến trở R cho bởi hàm số:

6

2 2

U P

Z Z

=

−2

a Từ đồ thị ta thấy rằng có hai giá trị R1 và R2 cho cùng một giá trị

của công suất

b Công suất đạt giá trị cực đại khi R= Z L−Z C −R0 >0

c Trong trường hợp R= Z L−Z C −R0 <0 thì đỉnh cực đại nằm ở phần

R< 0 do đó ta thấy rằng công suất của mạch sẽ lớn nhất khi R = 0

d Nếu R0 = 0 thì đồ thị xuất phát từ gốc tọa độ và ta luôn có giá trị R

làm cho công suất của toàn mạch cực đại là R= Z L−Z C

Kết luận:

e Với phương pháp khảo sát hàm số để thu được các kết quả ở phần 1

và 2 sẽ không hiệu quả bằng phương pháp dùng tính chất của hàm bậc 2 và bất đẳng thức Cauchy

f Tuy nhiên từ việc khảo sát này ta có thể biết được sự biến thiên của P theo biến trở

R nhằm định tính được giá trị của công suất sẽ tăng hay giảm khi thay đổi điện trở.

d Tìm điều kiện để U AN hoặc U MB có giá trị không đổi và không phụ thuộc vào giá trị của điện trở R

M N

Cho mạch điện như hình vẽ: Điện trở R có giá trị thay đổi, L và C không đổi

điện áp giữa hai đầu đoạn mạch u = U0cos(ω +t ϕ)

+ TH1: Tìm điều kiện để UAN có giá trị không đổi và không phụ thuộc vào giá trị điện trở R.

Ta có biểu thức

P

RO

P

max

R=ZL - ZC- R0

2 max

U P

=

− 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

21

2)

(

L

C L C C

C L L

L C

L

L AN

AN

Z R

Z Z Z

U Z

Z Z Z R

Z R U Z

Z R

Z R U IZ

U

+

−+

=+

−+

+

=

−+

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

21

2)

(

C

C L L C

C L L

C C

L

C MB

MB

Z R

Z Z Z

U Z

Z Z Z R

Z R U Z

Z R

Z R U IZ

U

+

−+

=+

−+

+

=

−+

−

→

=+

2 2

2

R

R Z

U R

2150

1arctan(

)3

1arctan(

3

1225

ϕ

3

1arctan100

cos5

2150

)3arctan(

3

125

Z Z R

U R

Z Z R

U R

Z

U

R

C L C

L

2 2

2 2

2

2 2

2

2

)(

)

−+

=

−+

R+( L − C)2

b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

8

y =

R

Z Z

L C

R

Z Z

Khi đó công suất cực đại của mạch

)(15075.2

1502

2 2

min

2

Z Z

U y

U

P

C L

2 1

2 2 1

2 2

Z R R Z R R R Z R

U R

Z R

U R

→

=

→

Sau khi biến đổi ta được R1R2 =Z C2 →R1R2 =1002 (1)

Mặt khác, gọi U1C là điện áp tụ điện khi R = R1 và U2C là điện áp tụ điện khi

2

2

1 1

2 2

2 2 1

2 1 2

R R I R I P

Giải (1) và (2) ta được R1 = 50Ω, R2 = 200Ω

Ví dụ 3: Một mạch điện gồm một tụ điện C, một cuộn cảm L thuần cảm kháng và một biến

trở R được mắc nối tiếp Đặt vào hai đầu mạch điện một hiệu điện thế xoay chiều u =

)()120

cos(

2

120 πt V Biết rằng ứng với hai giá trị của biến trở: R1 = 18Ω và R2 = 32Ω thì công suất tiêu thụ P trên đoạn mạch là như nhau Công suất P của đoạn mạch có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

Hướng dẫn giải:

3218

1202 2

1

2

W R

π thuần cảm

kháng và một biến trở R

được mắc nối tiếp Đặt vào hai đầu mạch

điện một hiệu điện thế xoay chiều u=150 2cos(120πt) (V) Tìm giá trị UAN để

UAN không phụ thuộc vào giá trị của điện trở R

Hướng dẫn giải:

ZL = 100( ),Ω ZC = 200(Ω)

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

21

2)

(

L

C L C C

C L L

L C

L

L AN

AN

Z R

Z Z Z

U Z

Z Z Z R

Z R U Z

Z R

Z R U IZ

U

+

−+

=+

−+

+

=

−+

Nhận xét : Nếu Z C2 −2Z L Z C =0→Z C =2Z L với R∀

thì UAN = U = hằng số = 150(V)

2.2.2 Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp (cuộn dây thuần cảm)

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :u U= 0cos(ω ϕt+ u)

L là một cuộn dây thuần cảm có giá trị thay đổi,

R và C không đổi

a Có hai giá trị L 1≠ L 2 cho cùng giá trị công suất

- Vì có hai giá trị của cảm kháng cho cùng giá trị công suất nên:

b Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng Z L

+ Ta có công suất toàn mạch là:

với R, C là các hằng số, nên công suất của mạch là một hàm số theo biến số ZL

+ Đạo hàm của P theo biến số ZL ta có:

2

−+

−

C L

L C

Z Z R

Z Z R

P(ZL)

2 max

U P

ZLO

Pmax

ZL = ZC

2max

U P

ZL1 ZL2

* Nhận xét đồ thị:

- Có hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất

- Công suất của mạch cực đại khi 1 2

= = , với Z Z là hai giá trị của cảm L1; L2

kháng cho cùng một giá trị công suất

Kết luận: Từ việc khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của ZL sẽ cho phép định

tính được sự tăng hay giảm của P theo ZL Từ đó ta có thể tiên đoán được sự thay đổi của công suất theo giá trị của ZL trong một số bài toán.

c Giá trị Z L để hiệu điện thế U Lmax

+ Ta có hiệu điện thế trên cuộn dây là :

sát hàm số này theo biến số là ZL Tuy nhiên với cách

khảo sát hàm số sẽ rất phức tạp Với phương pháp dùng

giản đồ Vectơ bài toán này có thể giải dễ hơn và rút ra

nhiều kết luận hơn

+ Theo giản đồ vectơ và định lý hàm số sin trong

γ

U U U

2

2 +

- Khi ULmax thì hiệu điện thế tức thời ở hai đầu mạch luôn nhanh pha hơn uRC một góc 900

d Có hai giá trị L 1 ≠ L 2 cho cùng giá trị U L , giá trị L để U Lmax tính theo L 1 và L 2

+ Khi có hai giá trị của L cho cùng một giá trị hiệu điện thế:

+ Tiếp tục khai triển biểu thức trên ta thu được:(Z L21 −Z L22)Z L =2Z Z L1 L2(Z L1 −Z L2)

+ Vì L1≠ L2 nên đơn giản biểu thức trên ta thu được:

+ + với L là giá trị làm cho ULmax

e Giá trị Z L để hiệu điện thế U LRmax

+ Khi R và L mắc nối tiếp nhau thì :

Z Z Z U

L

C L

Z R

Z Z

Z

+

)(

)(

2 2 2

2 2

R Z Z Z Z

L

L C L

4

02

0

42

R Z Z R

RLM

U U

200cos(100πt) (V) Xác định độ tự cảm của cuộn dây trong các trường hợp sau:

a Hệ số công suất của mạch cosφ = 1

b Hệ số công suất của mạch cosφ =

10.)100(

11

11

2

C L

Z Z Z R Z

R

C L

πππω

2

32

Z L C ZL = 300Ω ⇔ L =

π

3(H)

ZL = 100Ω L =

π

1(H)

c Theo chứng minh trên ta được khi

10

35)

(350200

200)

3100

2

2

H L

3

42100200

)3100(3100

2

2 2

100cos(

a Mạch có công suất cực đại Tính Pmax

C

b Mạch có công suất P = 80W

c Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu L đạt cực đại Tính giá trị cực đại đó

* Hướng dẫn giải:

Ta có R = 80Ω, ZC = 200Ω

a Công suất của mạch P = I2R Do R không đổi nên:

Pmax⇔Imax ⇔ Z L =Z C =200( )Ω →L=π2(H) Khi đó P ( )

80

1702 2

2 max

R

U R

(232200

200

2 2

H L

Z

Z R

Z

C

C L

π

=

→Ω

Cho mạch điện RLC, điện áp hai đầu mạch điện là u =200 2 cos(100πt) (V)

L thay đổi được Khi mạch có L = L1 =

=

−+

2 2 1

tantan1

tantan

3)

tan(

3

2

2 1

2 1

2 1 2

→

=+

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

πϕ

Trong đó

R R

Z Z R

3100

(

1

3100

80

80 170 80

2 2

2

L

Z

R Z

U R

I

P

Vậy các giá trị cần tìm là R = 100 (Ω), C = ( )

32

(200)

3100(

Độ lệch pha của u và i: tan

33

3100

3100

(200)

3100(

Độ lệch pha của u và i: tan

33

3100

3100

R

Z Z

(rad)

Biểu thức của cường độ dòng điện i là: i = ) ( )

3100cos(

* Nhận xét: Cách giải trên là tổng quát cho trường hợp độ lệch pha bất kỳ Tuy nhiên trong

bài toán trên chúng ta có thể nhận xét được rằng do cường độ dòng điện trong hai trường hợp bằng nhau nên trong hai trường hợp đó độ lệch pha của u và i có cùng độ lớn Khi đó u1 sẽ nhanh pha hơn i góc

3

π

là giải ra R luôn chứ không cần phải khai triển công thức lượng giác

2.2.3 Sự thay đổi C trong mạch R - L - C mắc nối tiếp (cuộn dây thuần cảm)

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu thế hai đầu ổn định:

quả sau:

a Có hai giá trị C 1≠ C 2 cho cùng giá trị công suất P Tìm C = C 0 để P max

Với hai giá trị C1 và C2 cho cùng giá trị công suất ta có

1 2

0

1 2 0

2

C C

C C C

Với giá trị C0 là giá trị làm cho công suất mạch cực đại

b Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng

2 max

U P

+ uRL vuông pha với hiệu điện thế hai đầu mạch

d Có hai giá trị C 1 ≠ C 2 cho cùng giá trị U C , giá trị Z C để U Cmax

- Khi có hai giá trị C = C1 hoặc C = C2 cho cùng giá trị UC thì giá trị của C làm cho UCmax khi

RCM

U U

Pmax

ZL = ZC

2 max

U P

Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có R = 100(Ω), L = 1(H)

π , C thay đổi Điện áp hai đầu đoạn

mạch u = 100 2 cos(100πt) (V) Tìm C để:

a Mạch tiêu thụ công suất P = 50W

b Mạch tiêu thụ công suất cực đại Tính Pmax

c UC max * Hướng dẫn giải:

a Ta có R= 100(Ω), ZL = 100(Ω) 100 – ZC = 100

−+

→

=

)100(100

100.100

2 2

2

C Z

R Z

−)

b Công suất của mạch P = I2R Do R không đổi nên:

R

U R

100

100

F C

π

−

=

→Ω

=+

CM

U R Z U

Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC có C thay đổi, hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch:

3300

2

200

2 1

2 1

2 2

2 1

2 2

2 1 2

1

H L

Z Z

Z

Z Z Z Z Z Z R I R I P

P

P

C C

L

L C C L

π

=

→Ω

200100

200200

)(

2 2

2 2

1 2

→

R

R R

Z Z R

U P

C L

Giải phương trình ta được nghiệm duy nhất R = 100Ω Vậy R=100Ω, L 3(H)

100cos

2100)

400300(100)

(4

F C

100cos

2100)

200300(100)

(2

F C

π

Nhận xét : Trong hai trường hợp L thay đổi và C thay đổi chúng ta thấy vai trò của L và C là

bình đẳng nên hoán đổi vị trí của L và C ta sẽ được kết quả Vậy nên trong trắc nghiệm chúng

ta chỉ cần nhớ kết quả với C hoặc L

L Z R R

U + khi ZC =

L

L Z

Z

R2 + 2

C Z R R

U + khi ZL =

C

C Z

Z

R2 + 2

2.2 4 Sự thay đổi ω trong mạch R - L - C mắc nối tiếp (cuộn dây thuần cảm)

a Giá trị ω làm cho P max , U Rmax , I max

- Ta có

2 2

, từ công thức này ta thấy rằng công suất của

LC C

L− = →ω =ω =ω

b Có hai giá trị ω1≠ ω2 cho cùng công suất và giá trị ω làm cho P max

- Nếu có hai giá trị tần số khác nhau cho một giá trị công suất thì:

2 2 2 2

2

2 1 1 2

2 2

1

)

1(

)

1(

C L R

U R

C L R

U R

P

P

ω

ωω

=

−+

1

C

L C

L

ω

ωω

)2)(

1(

1

2

2 1

1

C

L C

L

ω

ωω

- Vì ω1≠ω2 nên nghiệm (1) bị loại

- Khai triển nghiệm (2) ta thu được: 1 2

ω =ω ω = với ω0 là giá trị cộng hưởng điện

c Khảo sát sự biến thiên công suất theo ω.

- Ta có

2 2

Việc khảo sát hàm số P theo biến số ω bằng việc lấy

đạo hàm và lập bảng biến thiên rất khó khăn vì hàm số này tương đối phức tạp Tuy nhiên, ta

có thể thu được kết quả đó từ những nhận xét sau:

ω ω= = thì mạch cộng hưởng làm cho công suất trên mạch cực đại

+ Khi ω → ∞ thì Z L =ωL→ ∞làm cho P = 0 Từ những nhận xét đó ta dễ dàng thu được sự biến thiên và đồ thị: