đường tròn lượng giác giải toán dao động điều hoà cực nhanh - hiệu quả

MỞ ĐẦUMôn Vật lí là môn học có nhiều mối liên hệ với thực tế và ứng dụng của bộ môn toán học nhằm giải toán - khảo sát các bài toán Vật lí.. Nhưng muốn hiểu sâu hơn về các bài toán Vật l

I MỞ ĐẦU

Môn Vật lí là môn học có nhiều mối liên hệ với thực tế và ứng dụng của bộ môn toán học nhằm giải toán - khảo sát các bài toán Vật lí Người học Vật lí có thể hiểu thấu được nhiều vấn đề mà với môn học khác có thể chỉ hiểu mơ hồ Nhưng muốn hiểu sâu hơn về các bài toán Vật lí cần có sự trợ giúp của bộ môn toán học, bộ môn này giúp cho học sinh hiểu rõ bản chất của nhiều hiện tượng thực tế và nhiều bài toán Vật lí hơn thông qua giải toán Hơn nữa với những kì thi phía trước đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ bài toán và giải nhanh được nó Việc giải một bài toán Vật lí có rất nhiều cách giải cho ta đi đến đáp số, song việc giải toán thông thường cần nhiều thời gian vì lí do:

- Cần tính toán và biện luận

- Cần các thao tác biến đổi toán học

- Có thể dẫn đến đáp số bài toán sai nếu phương pháp giải không đúng hoặc biến đổi dài dẫn đến nhầm ở phần nào đó

- Việc giải toán bằng các phương pháp đó nhiều giáo viên và học sinh cảm thấy mất nhiều thời gian nên gây ức chế cho môn học

Hơn nữa học sinh :

- Chưa hiểu rõ mối quan hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều

- Kĩ năng làm các bài tập tìm thời gian ngắn nhất,quãng đường ngắn nhất – dài nhất, tốc độ trung bình và thời gian đèn sáng tắt…trong dao động điều hoà kém

- Không hứng thú với dạng toán này nói riêng và bộ môn học nói chung

Do đó việc vận dụng toán học vào giải toán Vật lí là phương pháp cần

thiết và hiệu quả.Trong đó đường tròn lượng giác là một chìa khoá quan

trọng giúp giáo viên và học sinh giải cực nhanh các bài toán trắc nghiệm khách quan có liên quan đến dao động điều hoà Đặc biệt trong các kì thi Đại

Người thực hiện: Lê Đình Hoà - Trường THPT Bắc Sơn - Ngọc Lặc - Thanh Hoá 1

học và Cao đẳng hiện nay có nhiều bài toán cần sử dụng phương pháp này để giải nhanh đến kết quả và cần độ chính xác cao Thấy rõ được điều đó, tôi mạnh dạn đưa ra kinh nghiệm của cá nhân khi sử dụng phương pháp này với

hi vọng làm đề tài tham khảo cho học sinh và chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm của bản thân, góp phần nhỏ tạo hứng khởi cho người học

Trong quá trình thực hiện đề tài bản thân đã sử dụng những phương pháp sau:

- Phương pháp điều tra mức độ hiểu của học sinh về dao động điều hoà, liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều

- Phương pháp quan sát thí nghiệm biểu diễn, tranh vẽ

- Phương pháp phân tích suy luận

- Phương pháp dạy học phát huy tính tích cực chủ động của học sinh

II MỤC TIÊU

II.1 Về kiến thức:

- Hiểu rõ được mối quan hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều

- Giải được các bài toán tìm thời gian ngắn nhất,quãng đường ngắn nhất – dài nhất, tốc độ trung bình và thời gian đèn sáng tắt…

II.2 Về kĩ năng:

Rèn luyện kĩ năng tư duy, quan sát và kĩ năng giải bài tập…

III NỘI DUNG

- Hệ thống lại kiến thức có liên quan đến bài toán về dao động điều hoà

- Chuẩn bị kiến thức về chuyển động tròn đều và đường tròn lượng giác

III.1 Cơ sở lí thuyết

+ Trong dao động điều hoà ta có: Một vật dao động điều hoà trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể được coi là hình chiếu của một điểm chuyển động tròn đều lên đường kính là đoạn thẳng đó

+ Tìm chu kì:

ω

π

2

=

+ Sử dụng đường tròn lượng giác với lưu ý: ϕ = ω t. =

T

π

2 t ⇒ t = T

π

ϕ

2

• Dạng 1: Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x 1 đến

x 2

1.1 Giải bằng phương pháp lượng giác

Phương trình dao động của vật : x = Acos(ωt+ ϕ),(trường hợp bài toán

không cho thì việc tìm được phương trình cũng là khó với học sinh).

Gọi t1 ; t2 lần lượt là các thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x1 và x2 thì chúng

là nghiệm của hệ phương trình Acos(ω +t1 ϕ) = x1

Acos(ω +t2 ϕ) = x2

cos(ω +t1 ϕ) =

Α1

x

= cosα 1 t1 =

ω

ϕ

π ω

± 1 2k , ( k∈z )

cos(ω +t2 ϕ) =

Α2

x

= cosα 2 t2 =

ω

ϕ

π ω

± 2 2k'

, ( k’∈z )

suy ra giá trị nhỏ nhất của t1 ( t1min) và t2 ( t2min)

Vậy thời gian nhỏ nhất vật đi từ vị trí li độ x1 đến x2 là tmin = t1 min −t2 min

1.2 Phương pháp đường tròn lượng giác

Ta có thời gian nhỏ nhất vật đi từ vị

trí li độ x1 đến x2 là :

−

∆

π

ϕ ϕ

2

1

2 −

.T

Người thực hiện: Lê Đình Hoà - Trường THPT Bắc Sơn - Ngọc Lặc - Thanh Hoá 3

x1

x2

A

- A

1

ϕ 2

ϕ

Hình 1

x 0

M 1

M 2

Suy ra

⇔

với

1 1

2 2

s

s

x co

A x co

A

ϕ

ϕ







và (0 ≤ ϕ ϕ π 1 , 2 ≤ )

Trường hợp không thuộc dạng hình 1 cần lưu ý:

Đặc biệt x = 0 vật đi theo chiều dương toạ độ thì

2

π

ϕ − = , vật đi ngược

chiều dương toạ độ thì

2

π

ϕ = Ngoài ra việc xác định góc ϕcòn tuỳ thuộc vào vị trí và chiều vật xuất

phát ở vị trí đó để ta lấy giá trị thích hợp cho nó

Ví dụ 1.1: Một vật dao động điều hoà theo trục 0x ( 0 vị trí cân bằng) với

biên độ A = 10 cm Quan sát thấy trong 10 s vật đi qua vị trí cân bằng 40 lần Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x1 = -5 cm đến vị trí x2 = 5 cm là

A 1/6 s B 1/12 s C 1/3 s D 5/12 s

Trả lời: * Giải bằng phương pháp lượng giác

Chọn điều kiện ban đầu thích hợp sao cho phương trình dao động của vật có dạng : x = 10cos4 πt( trong đó x tính bằng cm, t tính bằng s)

Gọi t1 ; t2 lần lượt là các thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x1 = - 5 cm

và x2 = 5 cm, chúng là nghiệm của hệ phương trình :

10cos4 tπ 1 = -5 cos4 tπ1=

2

1

− = cos

3

2 π

10cos4 tπ 2 = 5 cos4 tπ 1=

2

1 = cos

3

π

t1 =

π

k

+

±

6

1

, ( k∈z )

t2 = π

' 12

1 + k

± , ( k’∈z )

Suy ra

⇔

⇒ t1min =

6

1

s và t2min =

12

1 s

Vậy thời gian ngắn nhất vật đi qua vị trí có li độ x1 = - 5 cm và x2 = 5 cm là :

tmin = t1 min −t2 min =

12

1

s  ĐA: B

* Phương pháp đường tròn lượng giác

Dễ dàng thấy ϕ1 =

3

2 π

rad và ϕ2 =

3

π

rad

Trong 1 chu kì vật qua vị trí cân bằng 2 lần Chu kì dao động của vật T =

2

1 s

Vậy ∆t =

π

ϕ ϕ

2

1

2 −

.T = 12

1

s  ĐA: B

Ví dụ 1.2: (ĐH – 2008) Một con lắc lò xo treo thẳng đứng Kích thích cho

con lắc dao động điều hòa theo phương thẳng đứng Chu kì và biên độ dao động của con lắc lần lượt là 0,4 s và 8 cm Chọn trục x’x thẳng đứng chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian t = 0 khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương Lấy gia tốc rơi tự do g = 10 m/s2 và π2 =

10 Thời gian ngắn nhất kể từ khi t = 0 đến khi lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là

A 4 s

30

Trả lời: Ở VTCB lò xo dãn một đoạn T = 2 π

g

l

∆

suy ra ∆l= 0,04m Biên độ A = 0,08m

Thời gian ngắn nhất kể từ khi t = 0 đến khi

lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là thời gian vật

đi từ vị trí x1 = 0 ( theo chiều dương toạ độ) đến vị

trí x2 = - 0,04m ( Hình 2)

* Giải bằng phương pháp lượng giác

Người thực hiện: Lê Đình Hoà - Trường THPT Bắc Sơn - Ngọc Lặc - Thanh Hoá 5

Hình 2

x A

-A

∆l

giãn O

nén

Phương trình dao động : x = 8cos(5πt

-2

π

), ( trong đó x tính bằng cm, t tính bằng s) Gọi t1 ; t2 lần lượt là các thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x1 = 0

cm và x2 = - 4 cm, chúng là nghiệm của hệ phương trình :

cos(5πt1

-2

π ) = 0 = cos

2

π

cos(5πt2

-2

π

) = 2

1

− = cos

3

2 π

t1 = 0 +

5

2k

hoặc t1 = +

5

1 5

2k

; ( k ∈z)

t2 =

30

7 + 5

'

2k

hoặc t2 =

30

1

5

'

2k ; ( k’ ∈z)

⇒ t1min = 0 s và t2min =

30

7 s

Thời gian ngắn nhất kể từ khi t = 0 đến khi lực

đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là :

tmin = t1 min −t2 min =

12

1

s  ĐA: B

* Phương pháp đường tròn lượng giác

Dễ dàng thấyϕ1 =

2

π

− rad và ϕ2 =

3

2 π

rad (Hình 3)

Vậy ∆t =

π

ϕ ϕ

2

1

2 −

.T = 7 s

• Dạng 2: Quãng đường vật đi được từ thời điểm t 1 đến t 2 0

à

v

(với v1 và v2 chỉ cần xác định dấu)

2.1 Giải bằng phương pháp lượng giác

Phân tích: t = t2 – t1 = nΤ + ∆t (n ∈N; 0 ≤ ∆t < Τ và n = 2t )

M 1

A

- A

-1 ϕ

2

ϕ

Hình 3

x

M 2

0 Suy ra

Quãng đường vật đi được trong thời gian n

2

Τ

là S1 = 2nA, trong thời gian ∆t

là S2

Quãng đường tổng cộng là : S = S1 + S2

* Trong đó tính s2 như sau:

Nếu v1.v2 > 0 thì S2 = x1 −x2

Nếu v1.v2 < 0 thì S2 = 2 Α − (x1 +x2)

Có thể sử dụng đồ thị (là khó với học sinh không nắm vững đồ thị hàm

cos, sin)

2.2 Phương pháp đường tròn lượng giác

Phân tích: t = t2 – t1 = n

4

Τ

+ ∆t (n ∈N; 0 ≤ ∆t <

4

Τ

và n = T 

t

4 ) Quãng đường đi được trong thời gian n

4

Τ

là S1 = nA, trong thời gian ∆t là S2 Quãng đường tổng cộng là : S = S1 + S2

* Trong đó tính s2 như sau:

- Nếu sau thời gian n

4

T

vật ở trên đường tròn lượng giác tại một trong hai vị trí biên ±A thì : s2 = A - x(t2 −t1)

- Nếu sau thời gian n

4

T

vật ở trên đường tròn lượng giác tại một trong hai vị trí mà chiếu xuống 0x có x = 0 (tại M hoặc N Hình 4) thì : s2 = x(t2 −t1)

- Trường hợp khác có thể xác định trên đường tròn lượng giác

* Tốc độ trung bình:

2 1

tb

S v

t t

=

−

Chú ý : Trong một chu kì vật đi được

quãng đường bằng s = 4A ––> vtb =

T

A

4

Người thực hiện: Lê Đình Hoà - Trường THPT Bắc Sơn - Ngọc Lặc - Thanh Hoá 7

A 0

M

N

Hình 4

Ví dụ 2.1: Một con lắc lò xo dao động điều hoà dọc theo trục 0x ( 0 vị trí cân

bằng ) có phương trình : x = 4cos

3

2 π t (trong đó x tính bằng cm, t tính bằng s).

Quãng đường vật đi được từ thời điểm ban đầu t0 = 0 đến thời điểm

t = 2,25 s bằng

Trả lời: * Giải bằng phương pháp lượng giác

Tại các thời điểm (t0) x0 = 4 cm và ( t ) x = 0

v0 = 0 (vật đi theo chiều âm) v > 0

Chu kì : T = 3 s Phân tích t – t0 =

2

Τ

+0,75 (s)

Vậy quãng đường vật đi được là: S = S2 = 2 Α − (x1+x2) = 8 + 8 − 4 =12 cm

* Phương pháp đường tròn lượng giác

Chu kì : T = 3 s Ta thấy t0 = 0 , x0 = 0 và t = 3

4

Τ

Vậy quãng đường vật đi được s = 3.4 = 12 cm  ĐA: A

Ví dụ 2.2: (ĐH – 2010) Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T.

Trong khoảng thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí biên có li độ x1 = A đến vị trí

x2 =

2

A

−

, chất điểm có tốc độ trung bình là

A 6A.

2

A

T C 3 .

2

A

T

Trả lời: * Giải bằng phương pháp lượng giác

Gọi t1, t2 lần lượt là các thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x1 =A và x2 =

2

A

−

Chúng là nghiệm của hệ phương trình:

cosωt1 = 1 t1 = 0 + kT ( k ∈ z )

cosωt2 = - 1 t⇒ 2 = ±Τ + k’T ( k ∈ z )

suy ra t1min = 0 và t2min =

3

Τ

Ta thấy t2 – t1 =

3

Τ

<

2

Τ

Tại các thời điểm : (t1) x1 = A và (t2) x2 =

-2

Α

v1 < 0 v2 < 0

Vậy quãng đường vật đi được là: s = s2 = x1 −x2 = A +

2

Α

= 2

3 Α

Vậy có : vtb =

2

3 Α

: 3

Τ

= 9 2

A

* Phương pháp đường tròn lượng giác

Dễ dàng thấy ϕ1 = 0 rad và ϕ2 =

3

2 π

rad (Hình 5) thời gian vật đi ∆t =

π

ϕ ϕ

2

1

2 −

.T = 3

Τ

Theo hình vẽ dế thấy quãng đường vật đi

được là: s = A +

2

Α

= 2

3 Α

Vậy có : vtb =

2

3 Α

: 3

Τ

= 9 2

A

•Dạng 3 Bài toán tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong

khoảng thời gian 0 < ∆t < T/2.

Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên

Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn đều

Góc quét ∆ϕ = ω∆t = ∆t

Τ

π

2 Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục sin (hình 6.1)

ax 2A sin

2

M

Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1đến M2 đối xứng qua trục cos (hình 6 2)

2 (1 os )

2

Min

S = A −c ∆ ϕ

Lưu ý: + Trong trường hợp ∆t > T/2

Người thực hiện: Lê Đình Hoà - Trường THPT Bắc Sơn - Ngọc Lặc - Thanh Hoá 9

A 0

M

N

Hình.5

2

Α

−

A

-A

M

O

P

2

1

M

M

-A

A

P

2

ϕ

∆

2

ϕ

∆

tách '

2

T

trong đó * ;0 '

2

T

n N∈ < ∆ <t

Trong thời gian

2

T

n quãng đường luôn là 2nA Trong thời gian ∆t’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên

+ Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian ∆t:

ax

tbM

S v

t

=

∆ và

Min tbMin

S v

t

=

∆ với SMax; SMin tính như trên.

Ví dụ 3.1: Một vật dao động điều hoà với biên độ 10 cm Quãng đường nhỏ

nhất mà vật đi được trong 0,5 s là 10 cm Tính tốc độ lớn nhất của vật

A 41,2cm/s B 41,9cm/s C 39,95cm/s D 40,65cm/s

Trả lời: Ta có : 2 (1 os )

2

Min

S = A −c ∆ ϕ

= 10 => 1 - cos

2

ϕ

∆

=

2

1

<=>

3

2 π

ϕ =

∆

Mà ∆ ϕ = ω ∆t = 0,5ω suy ra ω=

3

4 π

=> vmax = ωA = 10.

3

4 π

= 41,9cm/s

 Đáp án là : B

Ví dụ 3.2: Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang với năng

lượng dao động 1 J và lực đàn hồi cực đại là 10 N Gọi Q là đầu cố định của

lò xo Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần liên tiếp điểm Q chịu tác dụng của lực kéo bằng 5 3N là 0,1s Tính quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong 0,4s

A 40 cm. B 84 cm C 64 cm D 60 cm

Trả lời: Lực đàn hồi là lực do lò xo tác dụng vào điểm Q.

Fđh = kx = kAcos(ω +t ϕ)

Vậy lực tác dụng vào điểm Q cũng

biến thiên điều hoà với cùng tần số

với vật Coi FMax như A’= 10N

Vậy khoảng thời gian độ lớn lực kéo tác

5 3 N

M

N

Hình 7.

dụng vào điểm treo đạt giá trị F = 5 3N là

khoảng thời gian vật đi trên cung tròn M10N tức là bằng ∆t =

12

Τ

+ 12

Τ

= 6

Τ

Suy ra T = 0,6 s

Cơ năng w = wtMax =

2

1

KA2 = 1 J (1) với FMax = KA = 10N (2) Lấy (1) chia (2) ta được A = 0,2m = 20cm

Phân tích thời gian ∆t’ = 0,4 s =

6 2

Τ +

Τ

;(∆t’’ =

6

Τ

).Quãng đường lớn nhất vật

đi được trong khoảng thời gian này chính là SMax = 2A + 2A.sin

2

ϕ

∆

với ∆ϕ = ω∆t’’= ∆

Τ

π

2 t’’ =

6

2 T T

π

= 3

π

rad Vậy SMax = 2A + A = 60 cm

 Đáp án : D

• Dạng 4 Tính thời gian đèn huỳnh quang sáng trong một chu kỳ.

Khi đặt điện áp u = U0cos(ωt + ϕu) vào hai đầu bóng đèn, biết đèn chỉ sáng lên khi u ≥ U1

Thời gian đèn sáng trong một chu kì:

t 4 ϕ

ω

∆

0

c

U

ϕ

∆ = , (0 < ∆ϕ < π/2)

Ví dụ 4.1: Một đèn ống mắc vào điện áp xoay chiều có u = 110 2cos100πt (

trong đó u tính bằng V, t tính bằng s) Biết đèn chỉ sáng nếu điện áp của đèn

có giá trị không nhỏ hơn 110V Hỏi trong một chu kì của dòng điện, thời gian đèn sáng là bao nhiêu?

Người thực hiện: Lê Đình Hoà - Trường THPT Bắc Sơn - Ngọc Lặc - Thanh Hoá 11

U

u

O

M'2

M2

M'1

M1

-U1 Sáng Sáng

Tắt

Tắt

Hình 8.

A

100

1

200

1

Trả lời: Điều kiện để đèn sáng là: u ≥110V

Trong mỗi chu kì, khoảng thời gian đèn sáng là:

∆t =

ω

ϕ

∆

4

, với cos∆ ϕ =

0

1

U

u

= 2

2 suy ra ∆ ϕ =

4

π

rad

=> ∆t =

100

1

s  Đáp án : A

Ví dụ 4.2: Mắc một đèn vào nguồn điện xoay chiều có điện áp tức thời là

u = 220 2cos100πt ( trong đó u tính bằng V, t tính bằng s ) Đèn chỉ phát

sáng khi điện áp đặt vào đèn có độ lớn không nhỏ hơn 110 6 V Xác định tỉ

số thời gian đèn sáng và tắt trong một chu kỳ của dòng điện

2

1

4

1

Trả lời: Điều kiện để đèn sáng là: u ≥110 6

Trong mỗi chu kì, khoảng thời gian đèn sáng là:

∆t1 =

ω

ϕ

∆

4

, với cos∆ ϕ =

0

1

U

u

= 2

3 suy ra ∆ ϕ =

6

π rad

=> ∆t1 =

150

1

s

và thời gian đèn tắt trong một chu kì là: ∆t2 = T - ∆t1 =

75

1 s

Vậy, tỉ số thời gian đèn sáng và tắt trong một chu kì là:

2

1

t

t

∆

∆

= 2

1

 Đáp án : B

0

ϕ

2

3

0 1

U

u =

2

3 0 1

U

u = −

U

0

-U

0

M1 M

2

III.2 Một số bài tập tham khảo

Câu 1: (Đề thi ĐH,CĐ năm 2007) Một tụ điện có điện dung 10µ F được tích

điện đến một hiệu điện thế xác định Sau đó nối hai bản tụ điện vào hai đầu một cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm 1 H Bỏ qua điện trở của các dây nối, lấy π 2= 10 Sau khoảng thời gian ngắn nhất là bao nhiêu ( kể từ lúc nối ) điện tích trên tụ điện có giá trị bằng một nửa giá trị ban đầu?

A

400

3

600

1

300

1

1200

1 s Câu 2: (Đề thi ĐH,CĐ năm 2007) Dòng điện chạy qua một đoạn mạch có biểu thức i = I0sin100πt Trong khoảng thời gian từ 0 đến 0,01s cường độ

dòng điện tức thời có giá trị bằng 0,5I0 vào những thời điểm

A

300

1

s và

300

2

s B

400

1

s và 400

2

s C

500

1

s và 500

3

s D

600

1

s và 600

5 s Câu 3: (Đề thi CĐ năm 2008) Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox,

quanh vị trí cân bằng O với biên độ A và chu kỳ T Trong khoảng thời gian

4

Τ

, quãng đường lớn nhất mà vật có thể đi được là

A A B

2

3 Α

Câu 4: (Đề thi CĐ năm 2007) Một vật nhỏ dao động điều hòa có biên độ A, chu kì dao động T , ở thời điểm ban đầu t0 = 0 vật đang ở vị trí biên Quãng

đường mà vật đi được từ thời điểm ban đầu đến thời điểm t =

4

Τ

là

A

2

Α

4

Α

Câu 5: (Đề thi ĐH 2010)Tại thời điểm t, điện áp u = 200 2cos(100πt -

2

π

) (trong đó u tính bằng V, t tính bằng s) có giá trị 100 2 (V) và đang giảm Sau

thời điểm đó

300

1

s , điện áp này có giá trị là

A −100V B 100 3V C −100 2V. D 200 V

Người thực hiện: Lê Đình Hoà - Trường THPT Bắc Sơn - Ngọc Lặc - Thanh Hoá 13