SKKN phương pháp tìm tòi lời giải các bài toán hình học THCS

Việc dạy cho học sinh có đợc phơng pháp học tập là đề tài tơng đối rộng nh dạy cho học sinh tự nghiên cứu, hình thành khái niệm, định lí, tính chất hay dạy cho học sinh tự tìm tòi nghiên

Môc lôc

Trang

2.1 Ph©n tÝch bµi to¸n thµnh tõng bé phËn hoÆc thµnh nh÷ng bµi

4.4 T×m c¸ch sö dông kÕt qu¶ hay ph¬ng ph¸p gi¶i bµi nµy cho

Phần I Đặt vấn đề

1 Lí do chọn đề tài:

Trong quá trình dạy học hiện nay việc dạy cho học sinh cách học là một yêu cầu quan trọng trong việc đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay Việc dạy cho học sinh có đợc phơng pháp học tập là đề tài tơng đối rộng nh dạy cho học sinh tự nghiên cứu, hình thành khái niệm, định lí, tính chất hay dạy cho học sinh tự tìm tòi nghiên cứu lời giải của các bài toán Đây là những vấn đề đã

đợc nhà khoa học giáo dục, các nhà giáo đã nghiên cứu, tuy nhiên để cụ thể vào từng vấn đề cụ thể thì vẫn còn cha thực sự triệt để Với điều kiện có hạn

đề tài này tôi xin đợc trình bày vấn đề phơng pháp tìm tòi lời giải bài toán Hình học THCS.

Toán học nói chung và hình học nói riêng có rất nhiều bài toán cha có hoặc cha có angorit (thuật toán, thuật giải) để giải Bài toán đặt ra là với những bài toán đó phải hớng dẫn học sinh nên bắt đầu từ đâu, suy nghĩ theo trình tự nào, là vấn đề khó khăn và phức tạp đối với mỗi giáo viên trong việc rèn luyện cho học sinh có đợc những kĩ năng, kinh nghiệm trong việc giải các bài tập toán Vì lẽ đó không có cách nào khác, không có phơng pháp tổng quát nào mà chúng ta phải dạy cho học sinh từ việc tìm tòi lời giải các bài toán cụ thể mà truyền cho học sinh có đợc kinh nghiệm và nghệ thuật trong phơng pháp suy nghĩ, giúp các em tự tìm lời giải của các bài toán khác, trong những tình huống mới

Thực tiễn hiện nay cho thấy việc tìm tòi lời giải các bài toán hình học đối

với học sinh THCS là vấn đề còn rất yếu mà việc dạy học các phơng pháp tìm tòi lời giải các bài toán đối với nhiều giáo viên cũng cha thực sự chú ý Chính vì lẽ đó tôi đã chọn đề tài phơng pháp tìm tòi lời giải bài toán Hình học THCS với mục đích hệ thống lại các bớc tìm tòi lời giải của bài toán hình học

và những chú ý khi dạy học hình học THCS để cùng các bạn đồng nghiệp nghiên cứu, trao đổi kinh nghiệm trong dạy học

2 Phạm vi của đề tài:

Là giáo viên Toán THCS ngoài việc dạy học, tôi đã không ngừng học hỏi, tích luỹ kiến thức kinh nghiệm dạy học cho bản thân Với thời gian và điều

kiện không cho phép đề tài này xin thu gọn ở phạm vi phơng pháp tìm tòi lời giải bài toán Hình học THCS trong chơng trình Toán THCS với những nội

dung cụ thể sau:

- Cơ sở lí thuyết về các phơng pháp tìm tòi lời giải của bài toán hình học

- Một số ví dụ minh hoạ

Đề tài này đợc nghiên cứu trên cơ sở phơng pháp luận của phơng pháp dạy học Toán ở trờng THCS, trong quá trình nghiên cứu đề tài chỉ mang tính ứng dụng, triển khai và vận dụng, phát triển các luận điểm đã đa ra

Phần II: Giải quyết vấn đề

A Cơ sở lí thuyết và minh hoạ

Để giải một bài toán (có thể là số học, đại số, hình học hay một bài toán thực tế) cần phải tiến hành theo 4 bớc sau:

- Tìm hiểu bài toán

- Xây dựng chơng trình giải

- Thực hiện chơng trình giải

- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

Ví dụ: Đối với một bài toán thực tế đặt ra cho một ngời thợ sửa chữa cũng

cần phải trải qua bốn bớc nh: định hớng tìm hiểu, xác định nguyên nhân hỏng máy; xây dựng kế hoạch, chơng trình sửa chữa; thực hiện kế hoạch, chơng trình sửa chữa; kiểm tra lại sau khi sữa chữa, rút ra những kinh nghiệm lần sau

Trong thực tiễn nhiều khi mỗi bớc trên đây lại là một bài toán nhỏ mà cũng

đợc giải quyết bằng bốn bớc trên Trong các bớc trên ta không thể bỏ qua đợc bớc nào tuy nhiên ngay từ bớc đầu cũng là bài toán phức tạp cần phải giải quyết và nó đóng vai trò quyết định trong việc giải quyết bài toán

Ví dụ Đối với ngời thợ sửa chữa việc xác định nguyên nhân hỏng máy là

vấn đề khá phức tạp cũng cần phải xác định tính chất của máy, những nguyên nhân có thể gây ra hỏng máy, từ đó xây dựng kế tìm ra chỗ hỏng, đến việc thực hiện kế hoạch, kiểm tra chỗ hỏng

Việc tìm tòi lời giải một bài toán hình học cũng nh vậy cần phải trải qua đủ

4 bớc mà từ bớc tìm hiểu bài toán, xây dựng chơng trình giải đến việc kiểm tra

và nghiên cứu lời giải đóng vài trò hết sức quan trọng trong việc tìm tòi giải của bài toán

1 Tìm hiểu bài toán

Để tìm hiểu bài toán hình học phải trải qua 3 bớc: tìm hiểu, phân tích đề;

vẽ hình; chọn kí hiệu trên hình vẽ Trong mỗi bớc có một vai trò nhất định trong việc hình thành lời giải của bài toán

1.1 Tìm hiểu, phân tích đề

Để giải một bài toán, trớc hết phải tìm hiểu bài toán và hơn nữa, còn phải có hứng thú giải bài toán đó Chính vì vậy ngời thầy cần chú ý hớng dẫn học sinh giải toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải toán của các em, giúp các em tìm hiểu bài toán đó

Trớc hết, phải tìm hiểu bài toán một cách tổng hợp (xem bài toán thuộc loại gì; có những yếu tố nào đặc biệt ) tránh thói quen đi vào ngay các chi tiết trớc khi nhìn nhận bài toán một cách tổng quát, phải hiểu bài toán một cách toàn bộ

Sau đó, phân tích bài toán cái đã cho, đã biết và cái cha biết, cái cần tìm, cần chứng minh; mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm Trong quá trình phân tích cũng cần lọc ra đợc những yếu tố nào là bản chất, yếu tố nào là không bản chất, chỉ giữ lại những yếu tố, quan hệ toán học trong bài toán

1.2 Vẽ hình

Đối với các bài toán hình học, nói chung phải vẽ hình: thông thờng phải sau khi vẽ hình học sinh mới hiểu đợc nội đợc bài toán, mới nhìn đợc bài toán một cách tổng hợp sau đó mới phân tích đợc các chi tiết cần thiết của bài toán

Việc vẽ hình khi giải bài tập hình học cũng cần phải chú ý đến một số vấn đề sau:

(1) Hình vẽ phải có tính tổng quát, không vẽ hình trong những trờng hợp

đặc biệt

Ví dụ: Khi vẽ hình cho bài toán có ghi “Cho tam giác ABC” thì phải vẽ

một tam giác ABC bất kì không rơi vào trờng hợp tam giác vuông, tam giác cân (nên vẽ tam giac có 3 góc nhọn, không có hai góc nào bằng nhau) Nếu bài toán có ghi “Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B” thì ta vẽ hai đờng tròn có bán kính khác nhau, cắt nhau tại A và B mà tâm của đờng tròn này không nằm trên đờng tròn kia, OA không vuông góc với O'A

(2) Hình vẽ phải rõ, dễ nhìn thấy mối quan hệ và tính chất Muốn vậy, nhiều khi phải thay đổi thứ tự dựng từng phần trong bài toán Đối với nhiều bài toán, nếu vẽ hình theo trật tự của bài toán thì sẽ dẫn đến hình thiếu chính xác hoặc hình khó nhìn, khó nhận ra các yếu tố trong bài toán

Ví dụ: Xét bài toán cho hình thang vuông ABCD (có ), phân giác góc A đi qua trung điểm E của BC Chứng minh rằng AB + CD

= BC.

Với bài toán này thông thờng học sinh sẽ vẽ tuần tự theo các thứ tự nêu trong đề bài toán và vì vậy khi đó hình vẽ sẽ dẫn đến AE không là phân giác góc BAD hoặc E không là trung điểm của BC nh hình bên

E

E

Từ việc vẽ hình thiếu chính xác trên rất có thể tìm đợc lời giải của bài toán hoặc dự đoán đợc các bớc đi cho việc xây dựng chơng trình giải Trong trờng hợp này ta có thể vẽ hình theo theo một trật tự khác:

- Trớc hết cần vẽ phác hoạ hình vẽ theo đúng trật tự của bài toán.

- Vẽ lại hình theo các bớc sau: Vẽ góc vuông BAx, kẻ phân giác của góc BAx, trên đó lấy điểm E tuỳ ý Lấy sao cho E là trung điểm của BC Từ

C kẻ đờng vuông góc với Ax cắt Ax tại D ta có hình thoả mãn yêu cầu

đề bài.

x

D

C

E

Ta xét ví dụ khác: (Bài 97 - trang 105 SGK Toán 9 tập hai) Cho tam“

giác ABC vuông ở A Trên AC lấy một điểm M và vẽ đờng tròn đờng kính

MC Kẻ BM cắt đờng tròn tại D Đờng thẳng DA cắt đờng tròn tại S Chứng minh rằng:

a) ABCD là một tứ giác nội tiếp;

c) CA là tia phân giác của góc SCB”

- Nếu vẽ hình theo trật tự bài toán thì ta có thể dẫn tới hình sau:

S D M

A

C B

- Hình vẽ hai điểm S và D rất gần nhau và có nhiều trờng hợp S và D trùng nhau hoặc gần nh trùng nhau Chính vì vậy dẫn đến việc xác định lời giải của bài toán gặp không ít khó khăn Trong trờng hợp này ta thực hiện nh sau:

+ Vẽ hình theo đúng trật tự của đề toán ta đợc hình nh hình trên.

+ Vẽ lại hình theo cách sau: Vẽ góc vuông CAx, lấy M trên CA và vẽ đờng tròn đờng kính MC, kẻ cát tuyến ASD (sao cho S, D không gần nhau), lấy B

là giao của DM và Ax ta có hình vẽ rõ ràng hơn (hình vẽ sau) và qua đó ta xác định lời giải bài toán dễ dàng hơn.

S

D M

A

C B

(3) Vẽ hình bằng tay và vẽ hình bằng dụng cụ (thớc và compa )

Khi dạy học sinh ta thờng dạy cho các em vẽ hình một cách chuẩn mực, ngoài việc rèn kĩ năng sử dụng dụng cụ để vẽ hình còn phải rèn cho các em tính chính xác, chặt chẽ khoa học Tuy nhiên trong quá trình dạy học ta cũng không nên cứng nhắc quá vấn đề này, việc vẽ hình bằng tay cũng có vai trò không nhỏ trong việc phát triển t duy của học sinh

Thông thờng đối với học sinh lớp 6 và lớp 7 ta cần rèn cho các em tính chuẩn mực trong vẽ hình đó là phải sử dụng các dụng cụ trong vẽ hình Đối với học sinh lớp 8 và lớp 9 ta cũng cần dạy cho các em vẽ hình bằng tay cho nhanh, chỉ vẽ hình bằng dụng cụ khi là bài viết hoặc khi cần vẽ hình tơng đối chính xác để dự đoán các mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán

Ví dụ: Để vẽ trung điểm của đoạn thẳng nếu dễng thớc và compa thì trong mỗi bài toán cũng có rất nhiều lần phải thực hiện mà với những việc làm nh vậy thì dẫn đến mất rất nhiều thời gian trong vẽ hình Hơn nữa đối với mỗi bài toán hình học thông thờng để có đợc lời giải nhiều khi học sinh phải vẽ thêm đờng phụ theo nhiều hớng khác nhau và qua đó phải vẽ nhiều hình khác nhau để đi đến đợc hình vẽ cuối cùng cho bài toán.

Tuy nhiên vẽ hình bằng thớc và compa hay vẽ hình bằng tay cũng phải yêu cầu học sinh vẽ cẩn thận, thể hiện gần đúng các mối quan hệ về độ lớn giữa các yếu tố góc, đoạn thẳng cho bài toán

1.3 Chọn kí hiệu trên hình vẽ

Chọn kí hiệu cũng là khâu quan trọng trong vẽ hình “Thời gian dành để chọn kí hiệu sẽ đợc trả công rất hậu bởi thời gian tiết kiệm đợc tránh khỏi mọi

sự do dự và lẫn lộn” (theo G Polia)

Kí hiệu phải có nội dung, dễ nhớ, tránh nhầm lẫn hoặc hiểu nớc đôi; thứ tự tơng quan giữa các kí hiệu phải giúp chúng ta liên tởng đến thứ tự và tơng quan giữa các đối tợng tơng ứng

Ví dụ: Khi chứng minh hai tam giác bằng nhau viết các đỉnh theo thứ tự

t-ơng ứng, chẳng hạn nếu muốn chứng minh hai tam giác ABC và DEF bằng nhau có ; AB = ED và BC = DF ta nên viết xét hai tam giác ABC và EDF Với cách viết này ta không cần nhìn vào hình vẽ cũng xác định đợc các góc ; và CA = EF.

2 Xây dựng chơng trình giải

Xây dựng chơng trình giải là khâu quan trọng để hình thành lời giải bài toán Để xây dựng chơng trình giải cho học sinh trung hoc cơ sở cần giúp các

em làm tốt các thao tác sau: phân tích bài toán đã cho, chia bài toán thành nhiều bài toán đơn giản hơn, biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm, dự đoán bằng cách xét trờng hợp đặc biệt, xét bài toán tơng tự hay khái quát hơn

2.1 Phân tích bài toán thành từng bộ phận hoặc thành những bài toán

đơn giản.

Khi gặp một bài toán ta có thể chia bài toán thành những bài toán đơn giản hơn, việc giải quyết các bài toán nhỏ sẽ giúp ta giải quyết dễ dàng đợc bài toán lớn

Ví dụ ta xét bài toán: “Dựng tam giác ABC biết cạnh BC = a, trung tuyến AM = m, đờng cao AH = h ”

Bài toán này có thể đợc chia thành hai bài toán nhỏ:

- Dựng tam giác ABC biết cạnh BC = a, trung tuyến AM = m

- Dựng tam giác ABC biết cạnh BC = a, đờng cao AH = h

Qua việc giải hai bài toán trên ta có A chạy trên đờng tròn (M; m) và chạy trên đờng thẳng d song song với BC và cách BC khoảng H Từ đó lấy giao của (M; m) và d ta đợc điểm A của bài toán đã cho

a h

m

a

a

d

h

H M

A

A

Xét bài toán:

“Hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Qua A vẽ cát tuyến CAD với hai đờng tròn (C ∈ (O), D ∈ (O’)) Từ C vẽ tiếp tuyến với đờng tròn (O), từ

D vẽ tiếp tuyến với đờng tròn (O’) chúng cắt nhau tại S

Chứng minh rằng:

a) Khi cát tuyến CAD luôn quay quanh A thì góc CSD có số đo không

đổi.

b) Tứ giác BCSD là tứ giác nội tiếp”

S

C

A

B O

O'

D

Để chứng minh góc CSD không đổi và tứ giác BCSD nội tiếp thì ta phải

có góc CBD không đổi Từ đó ta có hai bài toán (với giả thiết trên).

- Chứng minh rằng khi cát tuyến CAD quay xung quanh A thì và

có số đo không đổi.

- Chứng minh rằng tứ giác BCSD nội tiếp.

Việc tách một bài toán thành nhiều bài toán đơn giản hơn cũng là một bài toán đòi hỏi học sinh phải có kinh nghiệm trong việc giải toán Chính vì lẽ đó

ta cần truyền cho các em kinh nghiệm thực sự thông qua từng bài toán cụ thể.

Việc này chỉ thực hiện đợc thông qua việc dạy cho học sinh cách tự học, tự luyện tập nhiều khi giải các bài toán

2.2 Thay đổi cách phát biểu bài toán

Việc tách bài toán thành nhiều bài toán đơn giản hơn là một phơng pháp

để xây dựng chơng trình giải Tuy nhiên đối với mỗi bài toán ta lại phải sử dụng những nghệ thuật khác nhau Trong thực tế có nhiều bài toán tơng đối khó, phức tạp nhng nếu chỉ thay đổi cách phát biểu bài toán lại cho ta bài toán tơng đơng nhng dễ dàng giải đợc

Để thay đổi cách phát biểu bài toán ta có thể dùng định nghĩa hay định

lí đã biết để thay đổi điều phải chứng minh, cái phải tìm bằng điều tơng đơng, bài toán đợc phát biểu theo cách khác

Ví dụ:

Xét bài toán: Cho hình bình hành ABCD, gọi M, N lần lợt là trung

điểm của BC, CD Chứng minh rằng AM, AN chia đờng chéo BD thành ba

đoạn bằng nhau.

H

D

Trên hình điều cần chứng minh của bài toán là BG = GH = HD Nếu ta chứng minh bài toán này thì hớng đi, việc bắt đầu từ đâu quả là vấn đề không

dễ, cần phải vẽ thêm đờng phụ nào? việc xây dựng chơng trình giải của bài toán cũng là yêu cầu khó đối với học sinh lớp 8.

Ta có thể thay đổi kết luận bài toán thay vì chứng minh BG = GH = HD

ta chứng minh ; DH bài toán sẽ trở lên đơn giản hơn Ta

có bài toán:

Cho hình bình hành ABCD, gọi M, N lần lợt là trung điểm của BC,

CD Gọi G, H lần lợt là giao của AM, AN với đờng chéo BD Chứng minh

Đối với bài toán này nếu nối AC cắt BD tại O ta có ngay chơng trình giải cho bài toán dựa trên tính chất của ba đờng trung tuyến cắt nhau (lớp 7)

và tính chất đờng chéo của hình bình hành (lớp 8).

O H

H

D

Bài toán có thể chứng minh bằng các cách khác nhau ví dụ kéo dài BN cắt AD tại E, thì ta có H là trọng tâm của tam giác AEB.

2.3 Mò mẫm, dự đoán kết hợp với suy luận

Khi chúng ta đọc tài liệu, ngời ta chứng minh bài toán rất ngắn gọn mà không phân tích quá trình tìm tòi ra lời giải bài toán Thực ra không phải tự nhiên ngời ta nghĩ ra ngay đợc bổ đề nọ, bổ đề kia, vẽ đờng phụ này, đờng phụ nọ mà đó là kết quả của một quá trình mò mẫm, dự đoán, suy luận, tìm tòi Ngay những ý tởng sáng tạo độc đáo, bất ngờ cũng thờng nảy sinh từ con đ-ờng quanh co khi tìm lời giải của bài toán Để có đợc lời giải bài toán nhiều khi ta phải dạy cho học sinh bằng cách mò mẫm, dự đoán kết hợp với suy luận

để tìm ra đợc hớng đi cho bài toán

Mò mẫm dự đoán là bằng cách thử các trờng hợp có thể xảy ra, xét trờng hợp đặc biệt, trờng hợp tơng tự hay xét bài toán tổng quát hơn, từ đó kết hợp với suy luận ta có thể đi đến những phán đoán (giả thuyết), những đờng phụ, những bổ đề từ đó hình thành lời giải bài toán

Thực tế hiện nay nhiều học sinh khi làm các bài nh vậy không biết thử một cách có hệ thống, ít chú ý đến suy luận để giảm phép thử Các em thờng không biết nhận xét khi thử, không suy luận khi thử, cũng không xét đến các trờng hợp đặc biệt, trờng hợp tơng tự hay tổng quát hơn Chính vì vậy phép thử nhiều mà không đem lại hiệu quả

Ví dụ 1: Tìm kích thớc của tam giác có diện tích lớn nhất nội tiếp đờng tròn

(O; R) cho trớc

Việc xác định dạng của tam giác, tìm lời giải của bài toán đối với học sinh thì đây là bài toán khó, mà học sinh không biết đi từ hớng nào, giải bằng cách nào Để có đợc chơng trình giải bài toán không còn cách nào khác ở bài này cần phải mò mẫm để dự đoán ra kết quả của bài toán Việc mò mẫm yêu cầu học sinh phải thực hiện trên cơ sở suy luận để có đợc hớng đi đúng.

Mò mẫm và dự đoán và suy luận: Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O;

R), vẽ đờng cao AH thì nếu cố

định BC thì diện tích tam giác lớn nhất khi AH

lớn nhất, lúc đó A nằm chính giữa cung BC hay

tam giác ABC cân tại A

Tơng tự, nếu cố định AB thì diện tích tam

giác lớn nhất khi tam giác ABC cân tại C Vì vậy

ta dự đoán diện tích tam giác ABC lớn nhất khi

ABC là tam giác đều Và khi đó ta tính đợc

Từ việc mò mẫm, dự đoán trên dân ta đến gợi ý phải chứng minh

đẳng thức xảy ra khhi ABC là tam giác đều

Lời giải:

Xét tam giác ABC bất kì, kẻ AH và OK cùng vuông góc với BC (H, K ∊ BC) Đặt OK = x (0 ≤ x ≤ R), ta có , AH ≤ AK ≤ OA + OK Do

đó

K H

O A

áp dụng BĐT Cauchy với hai số không âm dẫn đến:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Hay ABC là tam giác đều, có cạnh

Ví dụ 2: Cho góc Trên

tia Ox lấy điểm A cố định, trên tia Oy

có một điểm B chuyển động Đờng

tròn nội tiếp tam giác OAB tiếp xúc

với AB tại M, tiếp xúc với OB tại N

Chứng minh rằng đờng thẳng MN

luôn đi qua điểm cố định

Cũng giống ví dụ trên nếu

không mò mẫm, chỉ bằng suy luận

thiết nghĩ để có đợc MN đi qua điểm

cố định nào quả thật là bài toán khó

Mò mẫm, dự đoán và suy luận: Trớc

hết cần phải xác định MN đi qua

điểm cố định nào? Không còn cách

nào khác là học sinh phải cho B

chuyển động trên hình (lấy điểm B’ khác B)

Sau khi lấy thêm điểm B’,

ta thấy M’N’ và MN cắt nhau tại điểm H, cho B’ tiếp tục chuyển động (nếu vẽ trên máy tính) hoặc lấy thêm điểm B” để kiểm tra lại H có phải là điểm cố

định hay không

Ngoài ra nếu vẽ trên máy tính (dễng phần mềm

Geo Skechpat có thể không cần lấy điểm B mà cho B chạy, tạo vết cho MN thì

ta có thể dễ dàng xác định đợc điểm cố định bằng trực quan

y

x

M

N

I

A

x

H

N'

M'

I'

M

N

I

A

B'