skkn bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh tiểu học theo định hướng tìm nhiều cách giải cho một bài toán

Muốn thực sự trở thành một học sinh giỏi toán thì sau khi đã giải xong tìm ra đúng đáp số của bài toán thì mỗi học sinh phải tập thêm cho mình thói quen cha tự bằng lòng mỗi khi đã giải

Sở dĩ việc giải toán có vị trí quan trọng nh trên là vì nó có những tác dụng rất lớn và toàn diện nh :

Việc giải toán giúp học sinh củng cố , vận dụng và hiểu sâu sắc thêm tất cả các kiến thức về số học ,về đo lờng và các yếu tố đại số ,

về các yếu tố hình học đã đợc học trong môn toán ở tiểu học Hơn thế nữa phần lớn các biểu tợng , khái niệm , qui tắc tính chất toán học

ở tiểu học đều đợc học sinh tiếp thu qua con đờng giải toán chứ không phải qua con con đờng lí luận

Nếu chỉ nhắm vào một mục đích đơn giản là phấn đấu để

đạt đợc điểm tốt trong môn toán thì chỉ cần giải đúng các bài toán là

đủ Muốn thực sự trở thành một học sinh giỏi toán thì sau khi đã giải xong tìm ra đúng đáp số của bài toán thì mỗi học sinh phải tập thêm cho mình thói quen cha tự bằng lòng mỗi khi đã giải xong bài toán tìm

ra đúng đáp số , ngay cả trong trờng hợp đã thử lại cẩn thận đâu vào

đó học sinh nên suy nghĩ tiếp tục để khai thác bài toán đó bằng nhiều cách giải khác Đây là giai đoạn làm việc hoàn toàn có tính chất sáng tạo nhằm giúp học sinh hiểu sâu thêm bài toán , học một hiểu mời

Việc đi sâu vào tìm nhiều cách giải khác nhau của một bài toán

có vai trò to lớn trong việc rèn luyện kĩ năng , củng cố kiến thức rèn luyện trí thông minh , óc sáng tạo khả năng suy nghĩ một cách linh hoạt

Việc tìm nhiều cách giải của một bài toán góp phần rèn luyện

đức tính tiết kiệm, bởi vì từ những cách giải đó học sinh có thể chọn

ra con đờng ngắn nhất để đi tới đích không vội bằng lòng với kết quả đầu tiên

2 Cơ sở thực tiễn

Trong thực tế giảng dạy và đi dự giờ , bồi dỡng học sinh giỏi môn toán nhiều năm ở tiểu học Tôi nhận thấy một trong các nguyên nhân cơ bản mà nhiều giáo viên và học sinh khó khăn trong việc tìm nhiều cách giải cho một bài toán , để có một cách giải hợp lí phù hợp với yêu cầu và phạm vi kiến thức học sinh đại trà tiểu học là họ cha có kĩ năng chuyển đổi các phơng pháp giải toán không nắm đợc " cơ sở toán " học của lời giải và mói quan hệ giữa dãy tính gộp với các cách giải khác Khi gặp bài toán yêu cầu tìm nhiều cách giải thì các em rất lúng túng và khó khăn trong việc tìm tòi cách giải khác bởi vì trong tay các em cha có công cụ giải toán mạnh , các em cha nắm chắc đợc " cơ sở toán học" của lời giải mà các em đã làm , nhìn chung ngoài các em học sinh giỏi đợc trang bị thuật giải toán đủ mạnh nh ( phơng pháp khử, ph-

ơng pháp giả thiết tạm , tính ngợc từ cuối … ) thì số còn lại rất thụ

động trong việc tìm cách giải khác dới sự giúp đỡ của giáo viên

Xuất phát từ thực tế trên , ngay từ khi nhận thức đợc vấn đề này tôi đã đi sâu vào nghiên cứu , tập hợp thành chuyên đề phổ biến dạy thực nghiệm ở các lớp 3A năm học 2005-2006, lớp 4A năm học 2006-2007 , lớp 5A năm học 2007-2008 của trờng tiểu học Thắng Lợi Nay tôi đa

vào nghiên cứu đề tài , mục đích hệ thống , mở rộng : Bồi d ỡng năng lực toán học cho học sinh tiểu học theo định h ớng tìm nhiều cách giải của một bài toán

Phần hai

giải quyết vấn đề

I những vấn đề cần giải quyết

Trong các môn học không có môn nào lại giúp rèn luyện năng lực suy nghĩ và phát triển trí tuệ cho học sinh nh môn toán Thông qua các nội dung thực tế nhiều hình nhiều vẻ của các đề toán học sinh sẽ tiếp nhận đợc những kiến thức phong phú về cuộc sống và

có điều kiện để rèn luyện mình Việc giải toán bằng nhiều cách khác nhau còn đòi hỏi học sinh phải biết tự mình xem xét các vấn

đề , tự mình tìm tòi cách giải quyết vấn đề , tự mình thực hiện các phép tính , tự mình kiểm tra lại các kết quả Từ đó mà các em

sẽ hiểu rõ hơn " cơ sở toán học " của lời giải và những mối liên hệ giữa dãy tính gộp của bài toán với các cách giải khác

Do đó giải toán là cách tốt nhất để rèn tính kiên trì , tự lực vợt khó , cẩn thận , chu đáo yêu thích sự chặt chẽ , chính xác

Vì những tác dụng to lớn đã nói ở trên nên mỗi giáo viên tiểu học khi dạy toán cần quan tâm bồi dỡng năng lực toán học cho học sinh bằng cách khai thác tiềm năng SGK nh :

* Phát triển các năng lực thực hiện các thao tác t duy , phân tích tổng hợp , so sánh ,khái quát hoá đặc biệt hoá , trừu tợng hoá cụ thể hoá

* Phát triển năng lực nhìn nhận các vấn đề toán học theo nhiều góc độ khác nhau

* Phát triển năng lực đánh giá các giải pháp để lựa chọn giải pháp tối u cho việc giải toán

Những phơng pháp hớng dẫn học sinh tìm nhiều cách giải sau

đây tuy không mới mẻ với học sinh song những phơng pháp này đã dẫn dắt học sinh biết đi từ ít đến nhiều từ dễ đến khó từ đó rút

ra đợc cách giải tổng quát Đặc biệt đi sâu vào các phơng pháp khai

thác tiềm năng SGK Sau đây là một số biện pháp hớng dẫn học sinh tìm nhiều cách giải của một bài toán theo hớng khai thác các tiềm năng đó

+ Biến đổi biểu thức

+ Tìm nhiều cách giải của một bài toán

+Nhận xét và rút kinh nghiệm sau khi giải mỗi bài toán

iI nội dung và phơng pháp tiến hành

A Biến đổi biểu thức

Để bồi dỡng năng lực giải toán cho học sinh theo định hớng tìm nhiều cách giải cho một bài toán Tôi đã hớng cho học sinh huy động nhiều loại kiến thức khi giải quyết một vấn đề của toán học nào đó Mỗi loại kiến thức có thể giúp cho việc đa ra một định hớng giải quyết bài toán Việc huy động nhiều loại kiến thức khi giải quyết vấn

đề của bài toán vừa có tác dụng củng cố các kiến thức đã học , vừa góp phần bồi dỡng t duy linh hoạt , vừa gúp học sinh vận dụng kién thức khai thác kiến thức đã biết với vai trò là công cụ để kiến tạo tri thức mới Tôi đã hớng cho học sinh khai thác một số bài tập sau:

Từ đó tôi cho học nêu tên các tính chất của phép toán và ghi nhớ

1 Tính chất giao hoán của phép cộng

2 Tính chất kết hợp

3 Tính chất 1 số trừ đi 1 tổng

4 Tính chất 1 tổng trừ đi 1 số

5 Tính chất Giao hoán của phép nhân

6 Tính chất 1 tích chia cho 1 số

7 Tính chất 1 số chia cho 1 tích

8 Tính chất kết hợp

9 Tính chất 1 tổng nhân 1 số

10 Tính chất 1 hiệu nhân 1 số

11 Tính chất 1 tổng chia cho 1 số

12 Tính chất 1 hiệu chia cho 1 số

* Dạng biểu thức có chứa nhiều phép tính

Với dạng này giáo viên định hớng cho học sinh trớc hết tìm thứ tự thực hiện các phép tính của biểu thức ròi biến đỏi biểu thức đó theo thứ tự các cặp phép tính tôi cho học sinh vận dụng làm 1 số bài tập

từ dễ đến khó

B ài toán 2 Tính bằng 3 cách khác nhau

( 7 - 3 ) x 8 : 2 =

Giải

- Cách 1 Học sinh làm thông thờng theo thứ tự thực hiện phép tính

- Cách 2 Vận dụng tính chất 1 hiệu nhân 1số

Sau khi học sinh giải đợc bài toán này tôi cho các em nhận xét " cơ

sở toán học " của việc tìm nhiều cách giải cho bài toán nói trên là gì ?

Học sinh dễ dàng nhận ra việc giải toán bằng nhiều cách khác nhau dựa vào việc biến đổi biểu thức theo các tính chất của 4 phép tính cộng , trừ , nhân , chia Nh chúng ta đã biết nội dung bài toán này thật đơn giản nhng khi dạy cho học sinh , bạn đừng vội cho là học sinh thấy dễ mà bỏ qua phân tích kĩ lời giải của bài toán Sau khi phân tích ta nhìn thấy đợc điều thú vị của bài toán Nó là nền tảng là cơ

sở vững chắc để học sinh rút ra kinh nghiệm giải qua các bài toán từ

đơn giản đến phức tạp , từ đó để học sinh phát hiện ra Đặc điểm

của ph ơng pháp này Sau khi tôi cho học sinh luyện tập 1 số bài tập

dạng đơn giản ở SGK , tôi cho các em làm với yêu cầu cao hơn cụ thể

và tính giá trị của các biểu thức đó đợc kết quả là : 108 000

B Tìm nhiều cách giải của một bài toán

Dạng 1 Bài toán chỉ có 2 phép tính cộng và trừ

Bài toán 1

Hằng , Nga và Lan hái đợc 19 bông hoa , Hằng hái đợc 8 bông hoa Nga hái đợc 5 bông hoa Hỏi Lan hái đợc bao nhiêu bông hoa ? ( giải bằng 2 cách )

19 - 13 = 6 ( bông hoa ) Đáp số 6 bông hoa Cách 2

Số bông hoa Nga và Lan hái đợc là :

19 - 8 = 11 (bông hoa )

Số bông hoa Lan hái đợc là : 11- 5 = 6 ( bông hoa ) Đáp số 6 bông hoa

ớc 2 Nhận xét

Với bài toán trên thật đơn giản nhng bạn đọc đừng vội bỏ qua Hãy đánh giá rút kinh nghiệm các giải pháp để lựa chọn giải pháp tối u cho việc giải các bài toán phức tạp hơn đó là việc cần làm của ngời học toán

Sau khi cho học sinh giải xong 3 cách của bài toán tôi cho học sinh nhận xét rút kinh nghiệm để tìm ra đặc điểm của cách giải bài toán , các quy tắc chung để giải bài toán cùng loại đó chính là cơ

sở toán học của việc giải toán bằng nhiều cách khác nhau

Trong cách giải thứ 1 ta lấy số hoa của Hằng (8 bông) cộng với số hoa của Lan (5 bông ) trớc rồi đi tìm hiệu của tổng số hoa 3 bạn ( 19 bông ) với tổng số hoa của Hằng và Lan Cách giải này tơng ứng với dãy tính : 19 - ( 8 + 5 )

Trong cách giải thứ 2 , ta đi tìm tổng số hoa của của Nga và Lan chính là hiệu giữa tổng số hoa của 3 bạn (19 bông ) và số hoa của Hồng trớc rồi lấy tổng số hoa đó trừ đi số hoa của Nga ( 5 bông ) Cách giải này tơng ứng với dãy tính : ( 19 - 8 ) - 5

Trong cách giải thứ 3 ta đi tìm tổng số bông hoa của Hồng và Lan chính là hiệu giữa tổng số hoa của 3 bạn ( 19 bông ) với số hoa của Nga (5 bông ) rồi lấy tổng đó trừ đi số hoa của Hồng ( 8 bông ) thì

đợc số hoa của Lan Cách giải này tơng ứng với dãy tính

Bài toán 2

Một ngời thợ dệt trong 3 ngày dệt đợc tất cả 58,35 m vải Ngày thứ nhất ngời đó dệt đợc 18,75 m ngày thứ hai dệt hơn ngày thứ nhất 0,8m Hỏi ngày thứ 3 ngời đó dệt đợc bao nhiêu mét vải ?

Tóm tắt

Ngày thứ nhất 18,75m

Ngày thứ hai 0,8m 58,35m Ngày thứ ba

B

ớc 1 Tìm cách giải 1

Ngày thứ hai dệt đợc số mét vải là :

18,75 + 0,8 = 19,55 (m) (1) Ngày thứ ba dệt đợc số mét vải là :

58,35 - ( 19,55 + 18,75 ) = 20,05 ( m )

Đáp số 20,05 m vải

Đối với việc tìm lời giải của cách 1 nhìn chung học sinh dựa vào đề bài phân tích dữ kiện đã cho và hỏi của bài toán , giáo viên dẫn dắt gợi mở thì các em tìm đợc cách giải dễ dàng Nhng để giúp các em tìm tìm đợc nhiều cách giải thì tôi hớng dẫn các em dựa vào nhận xét của bài toán 1 để thực hiện bớc 2

B

ớc 2 Lập biểu thức đáp số ( hay dãy tính gộp )

Biểu thức này đợc lập bằng cách thay các giá trị trong biểu thức đã có trớc đó ở trong lời giải của cách 1 cụ thể nh sau :

Trong lời giải của cách 1 biểu thức cuối cùng của đáp số là :

20,05 = 58,35 - ( 19,55 + 18,75 ) (2) Giá trị 19,55 đợc thay bởi biểu thức (1) thì biểu thức (3) trở thành

ớc 3 Biến đổi biểu thức đáp số

Để có nhiều cách giải thì cần phải có nhiều biểu thức đáp số tơng ứng Giáo viên hớng dẫn học sinh vận dụng các tính chất của phép toán

để biến đổi biểu thức ( 3)

- áp dụng tính chất 1 số trừ đi 1 tổng ta có :

58,35 - [ (18,75+0,8 ) + 18,75 ] =

= (58,35 - 18,75)- ( 0,8 + 18,75 ) Kết quả 2

= 58,35 - (18,75+0,8 ) - 18,75 Kết quả 3

Nếu ta coi biểu thức đáp số là kết quả 1 thì sau khi vận dụng các tính chất của phép tính ta lại có thêm đợc 2 kết quả tơng ứng với 2 cách giải khác

B

ớc 4 Đặt câu lời giải cho từng phép tính

- Mỗi bài giải đều có 2 phần chủ yếu xen kẽ là :

- Các câu lời giải

- Các phép tính giải

- Việc viết câu lời giải nh thế nào ? vừa là 1 vấn đề của môn toán vừa là vấn đề của môn Tiếng Việt Giáo viên hớng dẫn học sinh tìm tòi lời giải cho từng phép tính hoặc từng cặp phép tính chính là giúp học sinh dựa vào mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm để

đặt lời giải sao cho phù hợp

- Đối với mỗi kết quả biến đổi ta có các cách giải tơng ứng sau :

Đáp số 20,05 m vải Cách 3 Kết qủa của đáp số 3

Ngày thứ hai dệt đợc số mét vải là ; 18,75 + 0,8 = 19,55 ( m )

Ngày thứ ba dệt đợc số mét vải là : 58,35 - 19,55 - 18,75 = 20, 05(m) Đáp số 20,05 m vải

Nhận xét

Đối với bài toán này áp dụng tính chất 1 số trừ đi 1 tổng bằng cách biến đổi biểu thức đáp số ta tìm đợc 3 cách giải khác nhau ở biểu thức đáp số (3) đã cho chỉ chứa 2 phép tính cộng và trừ nên trong biến đổi ta cũng nhận đợc những biểu thức có 2 loại phép tính

đó Đặc biệt số lần thực hiện phép tính là không đổi ( luôn là 3 lần ) trong các dạng biến đổi biểu thức đáp số đã nêu Do vậy mỗi cách giải sẽ tơng ứng với 3 câu trả lời hoặc 2 câu trả lời thì tơng ứng với phép tính gộp

2 Dạng chỉ có phép tính nhân và chia

Để giúp học sinh nắm chắc về đặc điểm của phơng pháp tìm nhều cách giải của 1 bài toán và rèn kĩ năng biến đổi biểu thức có chứa phép nhân và chia tôi còn đa thêm 1 số dạng bài tập khác và nâng cao hơn cho học sinh luyện tập thực hành , có dịp so sánh các cách giải đó chọn ra cách hay hơn và tích luỹ đợc nhiều kinh nghiệm

1 ngời ăn trong 1ngày 450 gam gạo

4 ngời ăn trong 30 ngày ? gạo Sau khi cho học sinh phân tích bài toán các em đều hiểu và có ngay lời giải thứ nhất của bài toán ( đó là bớc 1)

= 54 kg

Đáp số 54kg Để tìm nhiều cách giải của 1 bài toán học sinh cần tiến hành lập đợc biểu thức của đáp số

* Cụ thể đối với kết qủa ( 450 x 30 ) x 4

- Theo thứ tự thực hiện phép trong ngoặc trớc 450 x 30 = 13500

- Xét mối quan hệ giữa lợng gạo ăn trong 1 ngày 450 gam và đại lợng thời gia 30 ngày thì kết quả 13500 chính là khối lợng gạo của 1 ngời ăn trong 1 tháng

- Xét khối lợng gạo của 1 ngời ăn trong 1 tháng gấp lên 4 lần

(13500 x 4 ) thì đó chính là khối lợng gạo của 4 ngời ăn trong 1 tháng ( 30 ngày ) Từ đó ta có lời giải tơng ứng

* Đối với kết quả biểu thức đáp số 450 x ( 4x30 )

Với cách lập luận tơng tự của từng phép tính về mối quan hệ giữa hai

đại lợng để tìm lời giải cho thích hợp

5 ngời mỗi ngời mua 4 kg táo phải trả số tiền là 18000 đồng Nếu 10 ngời mỗi ngời mua 12 kg táo thì số tiền phải trả là bao nhiêu?

Giải

1 Tr ớc tiên tìm cách giải gọi là cách 1

Tổng số kg táo của 5 ngời mua là :

5 x 4 = 20( kg)

Giá tiền 1 kg táo là :

18000 : 20 = 900 (đồng ) Tổng số kg táo 10 ngời mua là ;

Trong lời giải cách 1 biểu thức cuối cùng của đáp số là : 900 x 120

+ Giá trị 900 ta thay bởi các biểu thức 18000 : 20

+ Giá trị 120 ta thay bởi biểu thức : 12 x 10

+ Ta lại thay giá trị 20 trong biểu thức 18000 : 20 bởi biểu thức 4 x 5

- Sau khi thay ta có biểu thức chứa các giá trị đã cho ở bài toán của đáp

số là : 18000 : ( 4 x 5 ) x 12 x 10

B

ớc 3 Biến đổi biểu thức đáp số

Học sinh vận dụng các tính chất của phép toán đã học để biến đổi biểu thức đáp số đợc các dạng sau :

ớc 4 Đặt câu lời giải cho từng phép tính hoặc phép tính gộp

của các biểu thức vừa tìm đợc

Cách 2 Đối với biểu thức 18000 : ( 4 x 5 ) x 12 x 10

Tổng số kg táo 5 ngời mua là :

Số tiền mua 4 kg táo là

18000 : 5 = 3600 (đồng )

Giá tiền 1 kg táo là :

3600 : 4 = 900 (đồng ) Tổng số tiền mua 12kg táo là :

900 x 12 = 10800 đồng

10 ngời mỗi ngời mua 12 kg phải trả số tiền là :

10800 x 10 = 108000 (đồng )

Đáp số 108 000 đồng Cách 4 Đối với biểu thức đáp số :

[ (18000 : 5 ) x (12 : 4 ) ] x 10

Mỗi ngời mua 4kg phải trả số số tiền là :

18000 : 5 = 3600 (đồng ) Mỗi ngời mua 12kg táo phải trả số tiền là :

3600 x ( 12: 4 ) = 10800 (đồng )

10 ngời mỗi ngời mua 12 kg phải trả số tiền là :

10800 x 10 = 108000 (đồng ) Đáp số 108 000 đồng

Cách 5 Đối với biểu thức đáp số ( 18000 : 4 ) x 12 : 5 x 10

5 ngời mỗi ngời mua 12 kg táo phải trả số tiền là : (18000 : 4 ) x 12 = 54000 ( đồng )

Mỗi ngời trong 5 ngời phải trả số tiền là :

54000 : 5 = 10800 (đồng )

10 ngời mỗi ngời mua 12 kg phải trả số tiền là :

10800 x 10 = 108000 (đồng ) Đáp số 108 000 đồng

Cách 6 Đối với biểu thức đáp số : ( 18000 : 4 ) x ( 10 : 5 ) x12

5 ngời mỗi ngời mua 1 kg phải trả số tiền là :

18000 : 4 = 4500 (đồng )

10 ngời mỗi ngời mua 1 kg phải trả số tiền là :