bước chuyển từ lượng giác trong đường tròn đến lượng giác trong hàm số trong dạy học toán ở trường thpt

Nghiên cứu trên sẽ là yếu tố tham chiếu cho nghiên cứu mối quan hệ thể chế mà ở đó, chúng tôi sẽ lần lượt triển khai các nhiệm vụ sau:  Thứ nhất: Thông qua nghiên cứu chương trình THPT,

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Cẩm Hằng

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS LÊ VĂN PHÚC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2007

51B50B49B48B47B46B45B44B43B42B41B40B39B38B37B36B35B3 4B33B32B31B30B29B28B27B26B25B24B23B22B21B20B19B18B17 B16B15B14B13B12B11B10B9B8B7B6B5B4B3B2B1B0B2H3H4H5 H6H7H8H9H10H11H12H13H14H15H16H17H18H19H20H21H22 H23H24H25H26H27H28H29H30H31H32H33H34H35H36H37H38 H39H40H41H42H43H44H45H46H47H48H49H50H51H0H1H

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Lượng giác là một trong các chủ đề toán học quan trọng và có nhiều ứng dụng trong ngành vật lý, thiên văn, hàng hải Trong chương trình môn Toán ở bậc phổ thông tại nhiều nước trên thế giới như Mỹ, Pháp, Úc…, lượng giác luôn được giảng dạy theo thứ tự: lượng giác “trong tam giác”1, lượng giác “trong đường tròn”

2 và lượng giác “trong hàm số”3

Ở Việt Nam, không nằm ngoài xu hướng giảng dạy của các nước trên thế giới, lượng giác cũng được đưa vào giảng dạy trong chương trình Toán phổ thông hiện hành theo thứ tự như thế Cụ thể: lượng giác “trong tam giác” được đưa vào giảng dạy ở lớp 9, lượng giác “trong đường tròn” được giảng dạy ở lớp 10 và lượng giác “trong hàm số” được dạy ở lớp 11

Như thế, chúng tôi thấy rõ có một trình tự để dạy lượng giác (theo ba giai

đoạn) ở bậc trung học cơ sở (THCS) và trung học phổ thông (THPT) tại Việt

Nam

Câu hỏi đặt ra là:

 Tại sao những người soạn thảo chương trình và sách giáo khoa Việt Nam lại lựa chọn và đưa nội dung "lượng giác" vào giảng dạy ở trường phổ thông theo trình tự đó? Có thể thay đổi trình tự giảng dạy lượng giác trên được không?

1 Tri thức lượng giác gắn với tam giác được gọi tắt

2 Tri thức lượng giác gắn với đường tròn lượng giác được gọi tắt

3 Tri thức lượng giác gắn với hàm số lượng giác được gọi tắt

 Tri thức lượng giác cần dạy ở giai đoạn trước chuẩn bị cho việc dạy học tri thức lượng giác ở giai đoạn sau như thế nào? Và, tri thức lượng giác ở giai đoạn sau khai thác các tri thức lượng giác ở giai đoạn trước ra sao? Có hay không sự thống trị của tri thức lượng giác ở giai đoạn trước đối với giai đoạn sau? Đâu là mâu thuẫn tạo động lực phát triển tri thức lượng giác ở giai đoạn sau?

 Nếu nhìn từ góc độ tri thức ở bậc đại học thì trình tự trên xuất hiện như thế nào? Tri thức lượng giác trong từng giai đoạn gắn liền với tình huống nào?  Đâu là sự khác biệt về cách trình bày trong sách giáo khoa với giáo trình đại học về tri thức lượng giác trong từng giai đoạn? Lý do của sự khác biệt đó?  Cách trình bày của sách giáo khoa ảnh hưởng như thế nào đến ứng xử của giáo viên và học sinh khi dạy - học các tri thức lượng giác ở từng giai đoạn?

Những câu hỏi này đã lôi cuốn và dẫn chúng tôi đến việc cần phải nghiên

cứu sâu sắc bước chuyển từ giai đoạn trước sang giai đoạn sau của tri thức lượng

giác không những trong sách giáo khoa (SGK) mà còn trong việc giảng dạy Đặc

biệt, phân tích tính kế thừa và gián đoạn của các bước chuyển trên

Trong phạm vi của một luận văn thạc sĩ, để đảm bảo tính khả thi, chúng tôi chọn chủ đề nghiên cứu chủ yếu của mình vào hai giai đoạn giảng dạy lượng giác

ở bậc THPT - từ tri thức lượng giác “trong đường tròn” đến tri thức lượng giác “trong hàm số”

Việc lựa chọn này xuất phát từ lý do:

- Tri thức lượng giác “trong hàm số” luôn được ưu tiên đề cập trong cả hai bộ

sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 (ban nâng cao và cơ bản) ở Việt Nam,

- Chủ đề hàm giữ vai trò chủ đạo xuyên suốt chương trình môn Toán ở trường

phổ thông tại Việt Nam,

- Giáo viên và học sinh thường gặp khó khăn khi dạy - học những tri thức liên quan đến lượng giác “trong hàm số”

2 Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu

Mục đích tổng quát của luận văn này là nghiên cứu bước chuyển từ giai

đoạn giảng dạy tri thức lượng giác “trong đường tròn” sang giai đoạn giảng dạy tri

thức lượng giác “trong hàm số”; đặc biệt là xoay quanh tính kế thừa và gián đoạn

của bước chuyển này

Để thực hiện mục đích nghiên cứu trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic toán Cụ thể, chúng tôi vận dụng các khái niệm công cụ

như: tổ chức toán học, mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân, cách đặt vấn đề sinh thái học và khái niệm hợp đồng didactic

Trong phạm vi didactic với các khái niệm công cụ đã chọn, các câu hỏi cấu thành nên mục đích nghiên cứu của chúng tôi được trình bày lại như sau:

Q1 Nếu nhìn từ góc độ tri thức ở bậc đại học thì các tri thức lượng giác «trong

đường tròn» và «trong hàm số» được trình bày như thế nào? Chúng gắn liền với các tổ chức toán học (TCTH) và có những đặc trưng nào? Đặc biệt, bước

chuyển từ tri thức lượng giác “trong đường tròn” sang tri thức lượng giác

“trong hàm số” có đặc trưng gì?

Q2 Trong chương trình và SGK Việt Nam, các tri thức lượng giác “trong đường

tròn” và “trong hàm số” được trình bày như thế nào? Đặc biệt, bước chuyển

từ tri thức lượng giác “trong đường tròn”sang tri thức lượng giác “trong hàm số” có đặc trưng gì? Đâu là TCTH được xây dựng xung quanh các tri thức

lượng giác trong hai giai đoạn trên? Những đặc trưng của các TCTH này là

gì? Có sự chênh lệch nào giữa TCTH ở bậc đại học với TCTH ở trường phổ thông? Sự chênh lệch đó bắt nguồn từ những điều kiện và ràng buộc nào của thể chế?

Q3 Những quy tắc nào của hợp đồng didactic có thể được hình thành giữa giáo

viên và học sinh trong quá trình tiếp cận với các tri thức lượng giác trong từng giai đoạn?

Q4 Cách trình bày của SGK về tri thức lượng giác “trong đường tròn” có ảnh

hưởng như thế nào đến giáo viên và học sinh khi dạy - học về tri thức lượng giác “trong hàm số”?

3 Phương pháp và tổ chức nghiên cứu

Bằng cách tham khảo một số tài liệu, chúng tôi sẽ thực hiện một nghiên cứu

sơ lược lịch sử lượng giác và các TCTH hiện diện trong giai đoạn đường tròn 4 và

giai đoạn hàm số 5 ở bậc đại học

Nghiên cứu trên sẽ là yếu tố tham chiếu cho nghiên cứu mối quan hệ thể chế

mà ở đó, chúng tôi sẽ lần lượt triển khai các nhiệm vụ sau:

 Thứ nhất: Thông qua nghiên cứu chương trình THPT, chúng tôi sẽ làm rõ

sự hiện diện của các tri thức lượng giác trong giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số qua các cấp học; từ đây có thể dự đoán được tương lai của chúng trong

chương trình Toán bậc THPT

 Thứ hai: Bằng sự nghiên cứu sâu các SGK, SBT, SGV Toán (lớp 10 và lớp

11), chúng tôi sẽ chỉ ra TCTH được xây dựng xung quanh các kỹ thuật giải các bài

toán trong giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số để phân tích tính kế thừa và gián đoạn trong bước chuyển từ TCTH hiện diện ở giai đoạn đường tròn sang giai đoạn hàm số

Song song đó, chúng tôi sẽ làm rõ các quy tắc hợp đồng didactic ngầm ẩn liên

quan đến tri thức lượng giác trong việc dạy - học lượng giác ở cả hai giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số

Từ đó, chúng tôi xác định sự chênh lệch có thể có giữa TCTH tham chiếu và TCTH cần giảng dạy ở trường phổ thông Điều này sẽ hỗ trợ cho chúng tôi trong việc làm rõ những điều kiện và ràng buộc của thể chế trong việc dạy - học các tri thức lượng giác ở hai giai đoạn trên

 Thứ ba: Việc quan sát thực tế giờ dạy - học các tri thức lượng giác ở giai đoạn đường tròn (lớp 10) sẽ giúp chúng tôi bước đầu tìm hiểu ứng xử của giáo

viên và học sinh trước khi dạy - học các tri thức lượng giác ở giai đoạn hàm số Qua đó, kết hợp quan sát thực tế giờ dạy - học các tri thức lượng giác ở giai đoạn hàm số (lớp 11) với phân tích chương trình và SGK để hình thành các giả

thuyết nghiên cứu, đề xuất câu hỏi mới

 Sau cùng, nghiên cứu mối quan hệ thể chế với các tri thức lượng giác trong

hai giai đoạn trên sẽ giúp chúng tôi rút ra được một số giả thuyết nghiên cứu mà tính hợp thức của các giả thuyết này sẽ được kiểm chứng qua một thực nghiệm được tiến hành trên hai đối tượng giáo viên và học sinh

4 Giai đoạn giảng dạy các tri thức lượng giác gắn với đường tròn lượng giác

5 Giai đoạn giảng dạy các tri thức lượng giác gắn với hàm số lượng giác

4 Cấu trúc của luận văn

Dựa vào phương pháp luận nghiên cứu nêu trên, cấu trúc luận văn của chúng tôi gồm 5 phần: Phần mở đầu, chương 1, chương 2, chương 3 và phần kết luận

 Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày lý do chọn đề tài, câu hỏi xuất

phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích nghiên cứu của đề tài, phương pháp,

tổ chức nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

 Trong chương 1, chúng tôi nghiên cứu các tri thức lượng giác “trong

đường tròn” và “trong hàm số” ở cấp độ tri thức khoa học Cụ thể: chúng tôi tìm

các TCTH liên quan đến các tri thức lượng giác hiện diện ở giai đoạn đường tròn

và giai đoạn hàm số; đồng thời, làm rõ đặc trưng của bước chuyển từ TCTH hiện diện ở giai đoạn đường tròn sang giai đoạn hàm số trong các giáo trình ở bậc đại

học Các TCTH tìm được trong giáo trình ở bậc đại học sẽ đóng vai trò là TCTH tham chiếu cho phép chúng tôi bước sang chương 2

 Trong chương 2, chúng tôi thực hiện nghiên cứu chương trình và SGK để

làm rõ mối quan hệ thể chế với các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và

“trong hàm số” Chúng tôi sẽ chỉ rõ "vết" mà TCTH tham chiếu để lại trong SGK

và giải thích sự chênh lệch có thể có giữa TCTH tham chiếu và TCTH cần giảng dạy Từ đó, chúng tôi làm rõ những ràng buộc của thể chế và các quy tắc hợp đồng chuyên biệt gắn liền với các bài toán ở hai giai đoạn trên

Việc tiến hành tổng hợp kết quả ở chương 1 và chương 2 sẽ cho phép chúng

tôi đề xuất các hợp đồng didactic, câu hỏi mới và giả thuyết nghiên cứu liên quan

đến bước chuyển từ giai đoạn đường tròn sang giai đoạn hàm số

 Trong chương 3, chúng tôi trình bày các thực nghiệm nhằm kiểm chứng

tính thoả đáng của những giả thuyết nghiên cứu và hợp đồng didactic đã nêu, tìm câu trả lời cho những câu hỏi mới

 Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt những kết quả đạt được ở ba

chương trên, chỉ ra lợi ích của đề tài, đồng thời nêu ra hướng mở rộng nghiên cứu cho luận văn

Cấu trúc luận văn được sơ đồ hóa như sau :

Mở đầu

Chương 1

Chương 2

Chương 3

Chương 1: CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC THAM CHIẾU

LIÊN QUAN ĐẾN CÁC TRI THỨC LƯỢNG GIÁC “TRONG ĐƯỜNG TRÒN” VÀ “TRONG HÀM SỐ”

Mục đích của chương 1 là nghiên cứu các tri thức lượng giác “trong đường

tròn” và “trong hàm số” dưới cấp độ tri thức ở bậc đại học Qua đó, chúng tôi tìm

câu trả lời cho câu hỏi Q1 đặt ra trong phần mở đầu như sau:

Q1 Nếu nhìn từ góc độ tri thức ở bậc đại học thì các tri thức lượng giác ”trong

đường tròn” và “trong hàm số” được trình bày như thế nào? Chúng gắn liền với các tổ chức toán học (TCTH) và có những đặc trưng nào? Đặc biệt, bước chuyển từ các tri thức lượng giác “trong đường tròn” sang các tri thức lượng giác ” trong hàm số” có đặc trưng gì?

Các giáo trình đại học chủ yếu được chọn tham khảo để nghiên cứu trong chương này là:

[35] Toán học cao cấp và Bài tập Toán cao cấp (tập 2) (dùng cho sinh viên các

trường đại học kỹ thuật) của Nguyễn Đình Trí (chủ biên)

[41] "College Algebra with Trigonometry" của Raymond A Barnett

[42] "Algebra and Trigonometry for College students" của Richard S Paul và

Ernest F Haeussler

[43] "A text book of Trigonometry for Colleges and Engineering Schools" của

William H H Cowles và James E Thompson

Sau đây, chúng tôi sẽ thực hiện một nghiên cứu sơ lược về lịch sử lượng giác Nhưng, phần phân tích của chúng tôi không chỉ đơn thuần là sự tóm tắt các

sách, báo viết về lịch sử lượng giác đã tham khảo Nghiên cứu của chúng tôi chủ

yếu là tìm trong lịch sử trình tự xuất hiện của từng giai đoạn mà chúng tôi đã nêu

ở phần mở đầu cũng như các tình huống gắn liền với các tri thức lượng giác trong từng giai đoạn

1.1 Sơ lược lịch sử lượng giác

Kết quả trong mục này được rút ra từ [6], [24], [32], [33] và http://www.math.rutgers.edu/, http://vi.wikipedia.org về lịch sử lượng giác

Lịch sử lượng giác có thể chia thành hai thời kỳ lớn

Lượng giác đã bắt đầu với tư cách là yếu tố tính toán của hình học Nó nảy sinh từ sự cần thiết phải đo lại ruộng đất sau những trận lụt hàng năm ở sông Nin

và hình thành cùng với sự phát triển của hình học

Ngay từ thời kỳ cổ Hi Lạp, khi xây dựng các công trình đồ sộ như đền đài,

kim tự tháp, người ta đã biết sử dụng khái niệm về tỉ số các đoạn thẳng (trùng với khái niệm sin, cosin ngày nay) Về sau, những tri thức lượng giác đầu tiên đã

xuất hiện ở thời cổ Hi Lạp do nhu cầu của thiên văn Hippac và Plôtêmê (thế kỷ

thứ 2 trước công nguyên) đã lập các bảng về sự liên hệ giữa độ dài của dây trương một cung tròn đã biết Việc biến đổi lượng giác có sử dụng các tỉ số sin, cos, tan, cot ở tam giác vuông đã được những nhà học giả Ả Rập tiến hành vào

thế kỷ thứ 9

Kiến thức hình học của người Babilon, về căn bản cũng như người Ai Cập

Tuy nhiên, người Babilon đã có khái niệm sơ bộ về đo góc và đó là mầm mống

của "tam giác lượng" (hay lượng giác trong tam giác)

Lượng giác đặc biệt phát triển mạnh vào thời kỳ trung cổ ở phương Đông rồi sau đó mới phát triển ở châu Âu Để giảm bớt nặng nhọc trong lao động tính toán,

người ta đã thành lập những bảng sin, tan v.v An Casi (đầu thế kỷ 15) cũng đã lập ra bảng các giá trị lượng giác của góc (cung) với độ chính xác đến 9 chữ số

thập phân

Lượng giác phẳng và lượng giác cầu đã có được một “hệ thống cân đối” giàu

sự kiện Chẳng hạn, trong tác phẩm của Naxirêđin (1201 - 1274) với tên là "Luận

văn về hình bốn cạnh đầy đủ" đã có phần phương pháp giải tam giác phẳng và tam

giác cầu, giải các bài toán xác định cạnh của một tam giác cầu theo ba góc Như vậy, trong thời kỳ đầu, lượng giác chỉ bao gồm những thủ thuật tính toán các yếu tố của một tam giác và các hình có thể quy về những tam giác Vì thế, người Hilạp gọi là "tam giác lượng" tức là đo đạc các tam giác

Ở thời kỳ thứ hai, lượng giác đã xuất hiện như một khoa học về "tam giác

lượng" Việc ra đời của giải tích toán và sự phát triển mạnh mẽ của nó ở thế kỷ 17

và 18 đã tạo điều kiện cho lượng giác phát triển, nhưng theo một phương hướng mới Các đại lượng của lượng giác trước đây chỉ được coi như là phương tiện để giải các vấn đề hình học thì nay đã trở thành những đối tượng để nghiên cứu Các

đối tượng đó được xem như là những hàm

Lý thuyết về các hàm lượng giác được Euler nghiên cứu lần đầu tiên (1748)

trong tác phẩm "Mở đầu về giải tích của các vô cùng bé"; trong đó, các hàm lượng

giác đã được nghiên cứu theo phương pháp giải tích nhờ các chuỗi Hướng mới này bắt nguồn từ các dao động trong cơ học, âm học, quang học và sóng điện từ Sau đó, Wessel, một nhà đo đạc người Nauy, đã xuất phát từ hình học để giải thích sự tồn tại của số phức (1797) với ý đồ muốn tìm cách biểu diễn các phương trong không gian theo kiểu giải tích Ông đã đưa ra cách giải thích hình học cho 1

và chỉ ra mọi bán kính của vòng tròn đơn vị đều có thể viết ở dạng cosv + δ

sinv, trong đó δ.δ = -1 Từ đó, suy ra mọi đoạn thẳng của mặt phẳng đều được biểu

diễn bởi biểu thức giải tích dạng: r(cosv + δ sinv) hay a + δb

 Tóm lại

- Qua nghiên cứu sơ lược lịch sử, các tri thức lượng giác liên quan rất nhiều đến các hiện tượng trong đời sống và ứng dụng trong các ngành khoa học như: kỹ thuật, vật lý, thiên văn, trắc địa, hàng hải v.v

- Lượng giác xuất hiện ban đầu chỉ với tư cách là công cụ giải quyết các vấn đề

hình học, có thể xem đây là sự xuất hiện của các tri thức lượng giác “trong tam

giác” Sau đó, lượng giác tiến triển và trở thành đối tượng nghiên cứu, cụ thể là

các tri thức lượng giác “trong hàm số” Tuy nhiên, các tri thức lượng giác “trong hàm số” chỉ được nghiên cứu theo hướng phát triển của giải tích; đặc biệt, hàm số

lượng giác được định nghĩa nhờ vào các chuỗi lũy thừa

- Các tri thức lượng giác “trong đuờng tròn” dường như ít để lại dấu vết trong lịch sử, chỉ thấy tri thức lượng giác “trong đường tròn” xuất hiện khi đề cập đến số phức

- Theo các nhà nghiên cứu lịch sử, ý tưởng tổng quát về liên hệ hàm - trong đó,

có hàm lượng giác chưa xuất hiện trong thời cổ đại Cuối thế kỷ 16, những hàm được nghiên cứu bằng các bảng giá trị như bảng lượng giác, bảng lôgarit

- Vào thế kỷ 17, Euler cho thấy phạm vi mà ông quan tâm là lý thuyết hàm số

và thay đổi cách xem xét hình học bằng cách xem xét biểu thức của hàm số - trong

đó có hàm số lượng giác Quan niệm hình học của Euler tồn tại rất lâu trong sự phát triển của giải tích nhưng đã trở thành một sự cản trở cho sự phát triển của lý thuyết hàm, nhất là từ sau công trình của Fourier

- Gần đây, người ta đã xây dựng các hàm lượng giác theo phương pháp tiên đề; nhờ đó, lượng giác đã đi sát được với toán học hiện đại và có một giá trị lớn về cơ

sở lý thuyết

Như thế, tri thức lượng giác xuất hiện trong các bài toán về đo đạc - thuộc

phạm vi hình học Đặc biệt, từ sự nghiên cứu cung và góc, người ta đã nghiên cứu đến hàm số lượng giác thuộc phạm vi đại số

Chúng tôi sẽ phân tích cụ thể giáo trình “College Algebra with Trigonometry" của Raymond A Barnett và tổng hợp một số giáo trình đại học đã

tham khảo để làm rõ những TCTH được xây dựng xung quanh các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số”

1.2 Các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số” trong các giáo trình ở bậc đại học

1.2.1 Lượng giác trong giáo trình “College Algebra with Trigonometry" của

Raymond A Barnett

Mở đầu giáo trình, tác giả giới thiệu cách tiếp cận với lượng giác của mình theo sự tiến triển của lịch sử Đó là lý do mà chúng tôi chọn giáo trình này để phân tích tình huống nảy sinh các tri thức lượng giác trong giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số

- Xuất phát từ các hiện tượng trong tự nhiên, nhu cầu đo góc bất kỳ được đưa

ra Người ta đã nghiên cứu đến việc xây dựng góc lượng giác để đáp ứng nhu cầu

trên Đường tròn số mà trên đó xác định các góc tương ứng với hai đơn vị đo góc:

độ và radian cũng xuất hiện

- Tác giả đã giới thiệu định nghĩa hàm số lượng giác của góc  bất kỳ dựa vào toạ độ của điểm nằm trên tia cuối của góc với công cụ chủ yếu là mặt phẳng tọa độ và công thức tỉ số lượng giác của góc trong tam giác Cách xây dựng định nghĩa này thể hiện cụ thể qua việc mô tả "máy cosin" với đối số là góc có đơn vị đo như sau:

"Máy cosin" [41, tr.355] * Ứng dụng để tìm dạng lượng giác của số phức: Các tác giả Franklin Demana, Bert K Waits và Stanley R Clemens trong [39] đã giới thiệu6:

"Dạng chung để biểu diễn các số phức liên quan đến các hàm số lượng giác của góc sin, cos  Để xây dựng dạng lượng giác của số phức, chúng ta sẽ sử dụng cách biểu diễn hình học của số phức Số phức a + bi tương ứng với điểm P(a, b) trong mặt phẳng phức

6 Các trích dẫn do chúng tôi dịch từ bản tiếng Anh

a R

 

TXĐ (Góc)

1 Tìm tọa độ của điểm trên tia cuối của góc  Tìm bán kính R

b a  b a

R P(a,b)

2 cos a

R

 

TGT (Số thực)

 (độ hay radian)

cos a

R

 

P(a,b)

a + bi

b

r



Số phức a + bi xác định một tam giác vuông

Trên hình, chúng ta thấy tam giác vuông được xác định bởi z = a + bi, độ

dài ba cạnh của tam giác là a, b, r, với r a2 b2,cos a,sin b

* Một tình huống ứng dụng trong ngành kỹ thuật:

"Hình minh họa một piston được nối với một bánh xe

quay 3 vòng/giây Từ đây, góc  sẽ là 3(2) =

6/giây hay  = 6t, với t là thời gian tính bằng giây Giả sử P ở (1, 0) khi t = 0, chứng minh rằng:

y = b + 42a2 sin 6t 16 (cos 6 ) , t 2 t0

và tìm vị trí của piston khi t = 0,2 s"

[41, tr.354]

 Nhận xét

- Thuật ngữ "hàm lượng giác" được sử dụng chung để chỉ các hàm sin, cos,

tan, cot, csc, mà không có sự phân biệt rạch ròi giữa khái niệm hàm số lượng

giác và giá trị lượng giác của góc bất kỳ như ngày nay

- Các tri thức lượng giác “trong đường tròn” đã vận hành khi xây dựng hàm

số lượng giác của góc 7 Đánh dấu cho sự vận hành này là sự xuất hiện của đường

tròn định hướng gắn với hệ trục tọa độ

Song song đó, người ta luôn tìm một "tam giác tham chiếu" hay "góc tham

chiếu" trong đường tròn định hướng; thao tác trên tọa độ (a, b) của điểm nằm trên

đường tròn định hướng và tia cuối của góc khi định nghĩa hàm số lượng giác của

góc

7 Trong các giáo trình đại học mà chúng tôi tham khảo, khái niệm hàm số lượng giác của góc trùng với

khái niệm giá trị lượng giác của góc bất kỳ trong các SGK môn Toán dạy ở trường phổ thông tại Việt

- Vấn đề giải quyết các tình huống trong ngành kỹ thuật đã làm xuất hiện

những biến không phải là các góc có đơn vị đo độ và radian Chính vì thế, tác giả

dẫn chúng ta đến một cách tiếp cận mới với hàm số lượng giác - không dựa vào

các góc có đơn vị đo Đó là việc xây dựng định nghĩa hàm số lượng giác - dựa vào

các số thực với công cụ đường tròn lượng giác - đường tròn định hướng bán

kính đơn vị

Chúng tôi nhận thấy tác giả giáo trình giới thiệu định nghĩa hàm số lượng

giác của số thực bằng hai cách:

* Cách 1:

b x R 

"Máy sin"

* Cách 2:

sinx = b = 1 b = sin(x rad) ; cosx = a = 1 a = cos(x rad)

[41, tr.355-372]

- Chúng tôi chỉ minh họa hai hàm số lượng giác sin và cosin Cách thứ nhất đã ngầm ẩn sử dụng đường tròn định hướng có bán kính tùy ý, cách thứ hai dùng đường tròn lượng giác - Điểm giống nhau của hai cách là cùng dựa vào hàm số lượng giác của góc có đơn vị đo radian và tọa độ của điểm nằm trên tia cuối của góc, cùng thuộc phạm vi đại số Việc giải thích cho hai cách trên lại dựa trên phạm vi hình học Thật vậy: b x

O (1, 0) a (-1, 0) P (cosx, sinx) (0, 1) (0, -1) a b x TGT (Số thực) x (số thực) TXĐ (Số thực) 1 Liên hệ số thực x với góc x radian 2 Tìm tọa độ của điểm trên tia cuối của góc x Tìm bán kính R b P(a,b)

a x

a

3 sinx = sin (x rad) = b R

sinx b R



Từ hệ thức trong hình học phẳng s = r, nếu r = 1 thì s =  Trong trường hợp này s và  được biểu thị bằng cùng một số thực Tương ứng tự nhiên giữa góc

và cung cũng cho phép sử dụng số đo cung làm số đo góc chắn cung

- Mặt khác, công nghệ giải thích cho kỹ thuật trên còn là tri thức về mặt phẳng tọa độ và khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ

- Đặc trưng của lượng giác trong hàm số là nó luôn đồng hành với công cụ

đường tròn lượng giác, nhất là khi xây dựng định nghĩa hàm số lượng giác của số

thực và các tính chất của hàm số này Chính điều đó mà thuật ngữ "hàm số vòng"

còn được dùng thay thế cho hàm số lượng giác của số thực

1.2.2 Các giáo trình đại học khác

Chúng tôi sẽ tổng hợp các giáo trình đại học đã tham khảo để tìm hiểu cụ

thể cách định nghĩa “hàm lượng giác”

 Định nghĩa bằng tam giác vuông

 Định nghĩa bằng đường tròn đơn vị

Định nghĩa dùng đường tròn đơn vị thật ra cũng dựa vào tam giác vuông, nhưng chúng có thể định nghĩa cho mọi góc là số thực, không chỉ giới hạn giữa 0

 Dùng đại số

Vòng tròn đơn vị và một số điểm đặc biệt ứng với một số góc đặc biệt

Với góc θ là góc giữa đường thẳng nối gốc tọa độ và điểm (x; y) trên vòng tròn và chiều dương của trục x của hệ tọa độ Oxy, các hàm lượng giác có thể được

định nghĩa là: Khi các góc quay trên vòng tròn, hàm sin, cos, sec và cosec trở nên hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π radian hay 3600: sin = sin( + 2k); cos = cos( + 2k) Ở đây θ là góc, một số thực bất kỳ; k là một số nguyên bất kỳ Tan

và cot tuần hoàn với chu kỳ π radian hay 1800

 Dùng hình học

sin(θ) AC Định nghĩa lần đầu giới thiệu trong lịch sử bởi người Ấn Độ cos(θ) OC

tan(θ) AE

Đường tiếp tuyến với đường tròn tại A, ý nghĩa này đã mang lại

cho cái tên "tan" của hàm, xuất phát từ tiếng La tinh là "tiếp

tuyến"

cot(θ) AF

sec(θ) 1/x csc(θ) 1/y

Mọi hàm lượng giác đều có thể được dựng lên bằng phương pháp hình học trên một vòng tròn đơn vị có tâm ở O Hình vẽ cho thấy định nghĩa các hàm lượng giác cho góc bất kỳ trên vòng tròn đơn vị tâm O

bằng hình học, với θ là nửa cung AB:

sec(θ) OE

Đường cắt vòng tròn, ý nghĩa này đã mang lại cho cái tên

"secant" của hàm, xuất phát từ tiếng La tinh là "đường cắt vòng

tròn"

csc(θ) OF

Nhiều cách xây dựng tương tự có thể được thực hiện trên vòng tròn đơn vị và các tính chất của các hàm lượng giác có thể được chứng minh bằng hình học

 Định nghĩa bằng chuỗi

Hàm sin được xấp xỉ bằng chuỗi Taylor bậc 7

Có thể dùng chuỗi Taylor để phân tích hàm sin và cos ra chuỗi cho mọi góc x

đo bằng giá trị radian thực Từ hai hàm này, có thể suy ra chuỗi của các hàm lượng giác còn lại Các đẳng thức bên dưới đây cho biết chuỗi Taylor của các hàm lượng giác Chúng có thể dùng làm định nghĩa hàm lượng giác

Chúng được dùng trong nhiều ứng dụng như chuỗi Fourier, vì lý thuyết của chuỗi vô hạn có thể được xây dựng từ nền tảng hệ thống số thực, độc lập với hình học Các tính chất như khả vi hay liên tục có thể được chứng minh chỉ từ định nghĩa bằng chuỗi

Trong bảng bên dưới, quy ước: En là số Euler thứ n , Un là số lên/xuống thứ n

0

( 1) ( 2 1) !

n n n

x n

Sec(x)

Csc(x)

 Trên trường số phức

Từ định nghĩa bằng chuỗi, có thể chứng minh rằng các hàm sin và cos là phần

ảo và phần thực của hàm mũ của số ảo: , với i là đơn vị ảo, i =

1



Liên hệ này được phát hiện lần đầu bởi Euler và công thức này đã được gọi là

công thức Euler Trong giải tích phức, nếu vẽ đường tròn đơn vị trên mặt phẳng

phức, gồm các điểm z = e ix thì các mối liên hệ giữa số phức và lượng giác trở nên

rõ ràng Ví dụ như các quá trình miêu tả bởi hàm mũ phức có tính chất tuần hoàn

Công thức trên cũng cho phép mở rộng hàm lượng giác ra cho biến phức z:

Trong trường hợp đặc biệt, z = x, một số thực: ;

 Định nghĩa bằng phương trình vi phân

Cả hai hàm sin và cos thỏa mãn phương trình vi phân: y'' = - y Các hàm này

là các hàm trái dấu của vi phân bậc hai của chúng

Trong không gian vectơ hai chiều V chứa tất cả các nghiệm của phương trình

vi phân trên, sin là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 0 và y′(0) = 1, còn cos là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 1 và y′(0) = 0 Hai hàm này lại độc lập tuyến tính trong V, chúng tạo thành hệ cơ sở cho V

Thực tế cách định nghĩa này tương đương với việc dùng công thức Euler Phương trình vi phân không chỉ có thể được dùng để định nghĩa sin và cos mà còn

có thể được dùng để chứng minh các đẳng thức lượng giác cho các hàm này Như vậy, xét về lý thuyết trong giáo trình ở bậc đại học, có nhiều cách tiếp cận với hàm lượng giác thuộc các phạm vi đại số, hình học và giải tích Tri thức lượng giác được trình bày theo trình tự:

Lượng giác “trong tam giác” Lượng giác “trong đường tròn” Lượng giác “trong hàm số”

Phạm vi hình học Phạm vi đại số

Bước chuyển từ giai đoạn đường tròn sang giai đoạn hàm số trong giáo trình

đại học có những đặc trưng gì?

Trong khi tiếp cận với lượng giác trong hàm số, tác giả giáo trình đại học này

cũng như hầu hết các giáo trình khác không thể không nhờ đến sự hỗ trợ của

lượng giác trong đường tròn

Đâu là mâu thuẫn thúc đẩy sự phát triển của lượng giác trong hàm số? Có hay

không mâu thuẫn giữa "cái cũ" (hàm số lượng giác có đối số là góc có đơn vị đo)

và "cái mới" (hàm số lượng giác có đối số là số thực)?

Việc làm rõ các TCTH liên quan đến các tri thức lượng giác hiện diện trong

giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số ở các giáo trình đại học sẽ cho phép

chúng tôi phân tích sâu sắc hơn tính kế thừa và gián đoạn trong bước chuyển trên

Cụ thể hơn, chúng tôi sẽ làm rõ chức năng của các bài toán lượng giác trong

giai đoạn đường tròn đối với giai đoạn hàm số

Qua việc tổng hợp các giáo trình ở bậc đại học, chúng tôi thấy tồn tại các

TCTH liên quan đến "hai lượng giác" được ưu tiên sau đây:

1.2.3 Các TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong đường tròn”

Các kiểu nhiệm vụ T*, kỹ thuật τ*, công nghệ θ* tương ứng như sau:

τ* 11: Áp dụng công thức π = 180 0

θ* 11 : Công thức tìm số đo cung tròn s

r

 và độ dài đường tròn s = 2 r

τ* 12 : Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng tính Brađixơ

♦ T* 21 : Tìm góc  khi biết nó có cùng tia cuối với góc cho trước,

τ* 21: Cộng thêm hoặc trừ đi k2π vào góc đã cho (k  )

θ* 21: Tính chất của góc lượng giác: "Nếu  là số đo của một góc, có một số

nguyên k và ' sao cho  = ' + k2π"

3

 biết 0 ≤  < 2π [38, tr 343]

♦ T* 22 : Tìm góc  khi biết một giá trị của hàm số lượng giác của góc đó,

τ* 22 : Dùng máy tính bỏ túi hay bảng Brađixơ

 T * 3 : Tìm độ dài cung tròn biết bán kính và góc chắn cung đó

τ* 3: Đổi số đo góc từ độ sang radian, áp dụng công thức s =  r

θ* 3 = θ* 11

τ* 4: Đổi số đo góc từ độ sang radian, rồi áp dụng công thức A= 1

2r 2

θ*4 = θ* 11

đường tròn khi biết bán kính và số vòng quay

τ* 5: Áp dụng công thức ω = 2πn với n là số vòng quay và v = ωr

θ* 5 = θ* 11

Ví dụ: Một bánh xe bán kính 18 đang quay khoảng 850 vòng/phút

Xác định: Vận tốc góc của bánh xe và vận tốc dài của 1 điểm trên

đường tròn bánh xe [39, tr.164]

con sau:

♦ T* 61 : Tìm giá trị của hàm số lượng giác của góc  khi biết tọa độ (x, y) của

điểm trên tia cuối,

τ* 61: - Áp dụng công thức trong định nghĩa tính r = x2y2,

- Thay vào sin= y

r , cos = x

r , tan = y

x , cot = x

y ,

θ* 61 : Khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ và định lý Pitago:

"Bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc

vuông"

♦ T* 62 : Tìm các giá trị của hàm số lượng giác khác của góc  khi biết một hoặc

hai giá trị của hàm số lượng giác của góc đó,

τ* 62a: - Áp dụng các công thức cơ bản, hệ thức lượng giác,

- Xét dấu các giá trị lượng giác của góc 

τ* 62b : Sử dụng đường tròn lượng giác

θ* 62 = θ* 61 : Định lý Pitago và định nghĩa góc lượng giác

Ví dụ: Cho sin = 1

4

 Tìm các giá trị lượng giác khác của góc  biết tan > 0 [36, tr 352]

♦ T* 63 : Tìm giá trị của hàm số lượng giác của góc  khi biết số đo của góc  ,

τ* 63a : - Vẽ tia cuối của góc đó trên hệ trục tọa độ,

- Tìm góc tham chiếu là góc nhọn rồi áp dụng vào công thức trong định

nghĩa hàm số lượng giác của góc

θ* 63a : Định nghĩa góc lượng giác và tỉ số lượng giác trong tam giác.

τ* 63b : Dùng bảng Brađixơ hoặc máy tính bỏ túi

τ*71 : - Biểu diễn góc lượng giác,

- Tính giá trị của hàm số lượng giác của góc, tìm dấu của hàm số lượng

giác

τ* 72 : - Áp dụng các hệ thức liên hệ để tìm giá trị hàm số lượng giác của góc

- Suy ra dấu của hàm số lượng giác

θ* 7 : Định nghĩa hàm số lượng giác của góc và tính chất của góc lượng giác

 Nhận xét

- Kiểu nhiệm vụ T* 6: "Tìm các giá trị của hàm số lượng giác của góc "

được ưu tiên trong các giáo trình ở bậc đại học mà chúng tôi chọn tham khảo trong

mục này

- Kiểu nhiệm vụ T*22: "Tìm góc  khi biết một giá trị của hàm số lượng

giác của góc đó" với số lượng bài tập rất hiếm, thường được giới hạn miền xác

định của góc là từ 00   3600 nên  tìm được chỉ có một hoặc hai giá trị

- Các kỹ thuật thiên về dùng công thức lượng giác cơ bản và bảng lượng giác

được ưu tiên trong việc tính toán bằng đơn vị đo radian

- Đặc trưng trong việc giải thích cho các kỹ thuật là dựa vào quan điểm hình

học

1.2.4 Các TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong hàm số”

♦ T* 81 : Tìm miền xác định của hàm số lượng giác, với 2 kỹ thuật:

τ* 81a : "Phương pháp đại số"

τ* 81b : Dùng đường tròn đơn vị hay đồ thị suy ra tập xác định

θ* 81b = θ* 7 + Định nghĩa hàm số lượng giác

♦ T* 82 : Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số lượng giác,

τ* 82a: "Phương pháp đại số": Biến đổi đại số đưa về dạng f(x + T) = f(x)

τ* 82b : Áp dụng "phương pháp đồ thị"

θ* 82 : Định nghĩa hàm số tuần hoàn

♦ T* 83 : Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác,

τ* 83: - Tìm tập xác định (TXĐ), với x TXĐ, xét -x TXĐ?

- Xét f(-x) = f(x): hàm số chẵn, f(-x) = -f(x): hàm số lẻ

θ* 83 : Tính chất chẵn - lẻ của hàm số

♦ T* 84 : Tìm giá trị của hàm số lượng giác, với 5 kỹ thuật:

τ* 84a : Áp dụng tri thức về số đo độ

θ* 84a : Định nghĩa số đo radian

Ví dụ: Tìm sin 9π

hay 9π nằm trên tia x ở phần âm Do đó: sin 9π = 0.

τ* 84d : Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số lượng giác [39, tr.345]

τ* 84e: Dùng công thức số gia của hàm số khả vi: f(x 0 + ∆x)  f(x 0 ) + f'(x 0 )∆x

θ* 84e : Định nghĩa đạo hàm của hàm số

♦ T* 85 : Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác,

Về vấn đề khảo sát sự biến thiên của một hàm số, Ngô Thúc Lanh đã nêu:

"Khảo sát sự biến thiên của một hàm số là phân chia miền xác định của nó

thành những khoảng trong đó hàm số là đơn điệu và nêu rõ chiều biến thiên

của hàm số trong các khoảng ấy"

[21, tr.94] Chúng tôi thấy có hai kỹ thuật để giải quyết:

τ* 85a : Dùng "phương pháp đại số" (Đặt ẩn phụ, tìm TXĐ, lập bảng giá trị, )

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = cosx - 1

cos x [21, tr 96]

τ* 85b : Dựa vào đường tròn lượng giác (Tìm TXĐ, xét tính tuần hoàn và tìm chu

kỳ, tính chẵn- lẻ, xét sự biến thiên)

θ* 85 : Định nghĩa hàm số lượng giác và các tính chất của hàm số lượng giác

♦ T* 86 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lượng giác,

τ* 86 : - Biến đổi đưa về dạng chứa một hàm số lượng giác,

- Dùng tính chất tập giá trị của hàm số lượng giác suy ra

- Vẽ đồ thị của hàm số lựơng giác và y = a trên cùng hệ trục toạ độ,

- Xét vị trí tương đối giữa hai đồ thị rồi kết luận tập nghiệm

Ví dụ: Giải phương trình sinx = 0,8 [39, tr.242]

- Kiểu nhiệm vụ "Khảo sát hàm số lượng giác" và "Giải phương trình lượng

giác" được ưu tiên Công cụ đường tròn lượng giác luôn song hành cùng các kỹ

thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ trên Một đặc trưng của kỹ thuật là được giải

thích dựa vào quan điểm đại số

- Kiểu nhiệm vụ T* 84: "Tìm giá trị của hàm số lượng giác của số thực" đồng

nhất với kiểu nhiệm vụ T* 63: "Tìm giá trị của hàm số lượng giác của góc  khi

biết số đo của góc  " trong TCTH liên quan đến lượng giác trong đường tròn

- Đối với kiểu nhiệm vụ T * 10: "Giải các phương trình lượng giác", kỹ thuật

giải quyết dùng đồ thị được ưu tiên Tuy nhiên, chúng tôi thấy xuất hiện rất nhiều

trường hợp "Giải phương trình lượng giác" nhưng tập xác định là các góc có đơn

vị đo

Phải chăng đây là mâu thuẫn giữa hai khái niệm hàm số lượng giác của góc

có đơn vị đi kèm và hàm số lượng giác của số thực trong việc xây dựng TCTH gắn

liền với kiểu nhiệm vụ T * 10:"Giải các phương trình lượng giác"?

- Việc xây dựng các TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong hàm số” không chỉ dựa vào các TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong đường tròn”

(công nghệ giải thích cho kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ thuộc phạm vi hình học) mà còn dựa vào các tri thức liên quan đến hàm số trong đại số (công nghệ giải thích cho kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ thuộc phạm vi đại số)

1.2.5 Đặc trưng của bước chuyển từ TCTH liên quan đến tri thức lượng giác

“trong đường tròn” sang TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong hàm số”

- Kiểu nhiệm vụ T* 84 : "Tìm giá trị của hàm số lượng giác biến số thực"

được giải quyết thông qua kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ T* 63: "Tìm giá trị

của hàm số lượng giác của góc khi biết số đo của góc  "

- Khi xây dựng TCTH gắn liền với kiểu nhiệm vụ T* 81: "Tìm miền xác định của hàm số lượng giác" và T * 10: "Giải phương trình lượng giác", công nghệ giải

thích cho các kỹ thuật là định nghĩa hàm số lượng giác của góc - tri thức lượng giác ở giai đoạn đường tròn

- Bản chất của các bài toán lượng giác ở giai đoạn đường tròn là tính toán các giá trị cụ thể; đặc trưng tương ứng của hàm số lượng giác còn ngầm ẩn

Sang giai đoạn hàm số, việc tính toán các giá trị cụ thể chỉ đóng vai trò là kỹ

thuật khi xét kiểu nhiệm vụ phức tạp hơn, tổng quát hơn - quan tâm đến đặc trưng

tương ứng, biến thiên và phụ thuộc của khái niệm hàm số lượng giác biến số thực

Từ đó, các kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ ở giai đoạn hàm số cũng phức tạp, chủ yếu được giải thích dựa vào tính chất tuần hoàn của hàm số lượng giác

- Công nghệ giải thích cho các kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ ở giai đoạn đường tròn chủ yếu thuộc phạm vi hình học Sang giai đoạn hàm số, công nghệ chủ yếu thuộc phạm vi đại số

- Tồn tại mâu thuẫn giữa hai khái niệm hàm số lượng giác của góc có đơn vị

đo và của biến số thực

1.3 Kết luận chương 1

Bằng sự tổng hợp các TCTH được ưu tiên trong các quyển sách trên cho phép

chúng tôi nêu lên các TCTH tham chiếu OM C và OM f liên quan đến các tri thức

lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số” qua bảng tóm tắt sau:

Bảng 1.1: Bảng tóm tắt các TCTH tham chiếu liên quan đến các tri thức

lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số”



T * 3

Tìm

độ dài cung tròn

T * 6

Tìm các giá trị của hàm

số lượng giác của góc 

T * 7

Xác định dấu của các hàm số lượng giác của góc

T * 8

Khảo sát các hàm số lượng giác

T * 9

Vẽ đồ thị của hàm số lượng giác

T * 10

Giải phương trình lượng giác

τ τ*τ*11 12 τ*21

τ* 22

τ*3 τ*61 τ*62a τ*62b τ*63a τ*63b

τ*71 τ*72

τ*81a τ*81b τ*82a τ*82b τ* 83 τ* 84a τ*84b τ*84c τ*84d τ*84e τ* 85a τ* 85b

τ*86

τ*91 τ*92τ* 93

τ* 10a τ* 10b

τ*10c

θ* 3 = θ*11

θ* 61 θ* 63a

θ*7 θ*7 θ*82

θ* 83 θ* 85

θ* 9 = θ*82

θ* 10 = θ*7

+ θ*85 + θ*82

Phân tích sơ lược lịch sử lượng giác và các giáo trình ở bậc đại học đã cho thấy trình tự xuất hiện của "hai lượng giác"10: từ lượng giác “trong đường tròn” đến lượng giác “trong hàm số”

Chúng tôi nhận thấy: Khi chuyển từ TCTH liên quan đến các tri thức lượng

giác trong giai đoạn đường tròn sang các tri thức lượng giác trong giai đoạn hàm

số, người ta đã xem các TCTH liên quan đến các tri thức lượng giác “trong đường

tròn” có vai trò kết nối rất quan trọng

Song song với điều đó, việc đưa vào các tri thức lượng giác “trong hàm số”

luôn dựa vào quan điểm đại số Các kiểu nhiệm vụ, kỹ thuật giải quyết tương tự

như hàm số bậc nhất, bậc hai trong đại số; xét biến số là các số thực (không có đơn

vị đo) trong khi ẩn của các phương trình lượng giác là số đo góc (cung) có đơn vị

đo

Liên quan đến các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số”,

khi chuyển từ tri thức ở bậc đại học sang tri thức cần giảng dạy, noosphère đã thực

hiện sự chuyển đổi như thế nào? Sự kế thừa và gián đoạn của bước chuyển từ TCTH liên quan đến các tri thức lượng giác ở giai đoạn đường tròn sang các tri thức lượng giác ở giai đoạn hàm số có sự chuyển đổi ra sao? GV và HS ứng xử

như thế nào khi trải qua bước chuyển này?

Việc phân tích các TCTH cần giảng dạy ở chương 2 trên cơ sở TCTH tham

chiếu đã xây dựng sẽ cho phép trả lời các câu hỏi trên và các câu hỏi đã đặt ra trong phần mở đầu

10 Các tri thức lượng giác gắn với đường tròn lượng giác và hàm số lượng giác

Chương 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI CÁC TRI THỨC

LƯỢNG GIÁC “TRONG ĐƯỜNG TRÒN” VÀ

“TRONG HÀM SỐ”

Mục đích của chương 2 là thực hiện một nghiên cứu về mối quan hệ thể chế

với các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số”, nghĩa là chúng tôi sẽ giải quyết các câu hỏi tiếp theo được đặt ra trong phần mở đầu như sau:

Q2 Trong chương trình và SGK Việt Nam, các tri thức lượng giác “trong đường

tròn” và “trong hàm số” được trình bày như thế nào? Đặc biệt, bước chuyển

từ tri thức lượng giác “trong đường tròn” sang tri thức lượng giác “trong hàm số” có đặc trưng gì? Đâu là TCTH được xây dựng xung quanh các tri thức lượng giác trong hai giai đoạn trên? Những đặc trưng của các TCTH này là gì? Có sự chênh lệch nào giữa TCTH ở bậc đại học với TCTH ở trường phổ thông? Sự chênh lệch đó bắt nguồn từ những điều kiện và ràng buộc nào của thể chế?

Q3 Những quy tắc nào của hợp đồng didactic có thể được hình thành giữa giáo

viên và học sinh trong quá trình tiếp cận với các tri thức lượng giác trong hai giai đoạn trên?

Q4 Cách trình bày của SGK về tri thức lượng giác “trong đường tròn” có ảnh

hưởng như thế nào đến giáo viên và học sinh khi dạy - học về tri thức lượng giác “trong hàm số”?

Liên quan đến câu hỏi Q2, trong một số trường hợp cụ thể, chúng tôi sẽ tìm

cách giải thích ý định của "noosphère" ẩn sau những điều kiện và ràng buộc này

2.1 Các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số” trong các chương trình THPT

Nội dung "lượng giác" trong các chương trình phổ thông đã được Nghiêm Thị

Xoa nghiên cứu và trình bày trong luận văn với đề tài "Máy tính bỏ túi và lượng giác trong dạy học chủ đề Giải tam giác" (2006) Song, để trả lời phần đầu cho câu

hỏi Q2, chúng tôi sẽ phân tích các chương trình 1990, 2000, hiện hành 2007 gắn

với lượng giác trong đường tròn và lượng giác trong hàm số

2.1.1 Chương trình THPT 1990

 Lớp 10: Trong chương trình Hình học, lượng giác chỉ xuất hiện với tư cách

là công cụ tính toán chủ yếu trong hình học Chương trình giới thiệu khái niệm

hàm số lượng giác của một góc  11 (0    180 ) Khái niệm này được trình bày

dựa vào lượng giác trong tam giác đã học ở lớp 8 - tỉ số lượng giác của góc nhọn

kết hợp với mặt phẳng tọa độ và tọa độ của điểm Sau đó, vận dụng trong việc xây dựng tích vô hướng của hai vectơ, hệ thức lượng trong tam giác và đường tròn

 Lớp 11: Trong chương trình Đại số và Giải tích, phần đầu, chương trình

đưa vào các định nghĩa cung (góc) định hướng, số đo cung (góc) định hướng, đường tròn lượng giác, radian Lượng giác trong đường tròn đã xuất hiện tường minh để chuẩn bị cho việc đưa vào lượng giác trong hàm số

 Lớp 11: Tiếp trên, định nghĩa hàm số lượng giác của cung (góc) được trình

bày dựa vào tọa độ của điểm trên đường tròn lượng giác Song song với định nghĩa

11 Trong chương trình 1990, hàm số lượng giác của góc được dùng như giá trị lượng giác của góc

hàm số lượng giác của cung (góc) là việc giới thiệu hàm số lượng giác của cung

(góc) liên kết, hàm số tuần hoàn, tính chất tuần hoàn, đơn điệu của hàm số lượng

giác, đồ thị, công thức lượng giác; định nghĩa phương trình lượng giác cơ bản, vận

dụng chúng để giải các phương trình lượng giác khác, hệ phương trình lượng giác, bất đẳng thức và bất phương trình lượng giác Kế đến, chương trình tiếp tục đưa

vào các hàm số lượng giác ngược cùng đồ thị và ý nghĩa của chúng xen kẽ trong chương III - Ánh xạ và hàm số Sau đó, hàm số lượng giác được vận dụng trong ví

dụ và bài tập của chương IV - Giới hạn của hàm số, hàm số liên tục

 Lớp 12: Lượng giác trong hàm số tiếp tục được vận dụng trong phần tính

đạo hàm, tích phân của các hàm lượng giác thuộc phạm vi giải tích

2.1.2 Chương trình THPT chỉnh lý hợp nhất 2000

 Lớp 10: Trong Hình học, có thay đổi thuật ngữ, đưa vào định nghĩa tỉ số

lượng giác của góc bất kỳ (0    180 ) dựa vào tọa độ của điểm trên nửa đường tròn đơn vị Có sự đồng nhất hai khái niệm tỉ số lượng giác của góc và giá trị lượng giác của góc Lượng giác vận dụng trong tích vô hướng của hai vectơ, các

hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn

 Lớp 11: Trong Đại số và Giải tích, phần đầu, chương trình giới thiệu các

định nghĩa góc và cung lượng giác, số đo của chúng, đường tròn lượng giác và giá trị lượng giác của cung

 Lớp 11: Tiếp theo là việc định nghĩa hàm số lượng giác của biến số thực

dựa vào định nghĩa giá trị lượng giác của cung Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản, giá trị lượng giác của cung có liên quan đặc biệt cũng được giới thiệu Định nghĩa hàm số tuần hoàn, đồ thị của hàm số tuần hoàn xen kẽ với xét tính tuần hoàn, biến thiên, đồ thị của các hàm số lượng giác của biến số thực Công thức

lượng giác, công thức biến đổi và phương trình, hệ phương trình lượng giác cũng được trình bày

 Lớp 12: Tương tự như chương trình 1990, vận dụng trong phần tính đạo

hàm, tích phân của các hàm lượng giác thuộc phạm vi giải tích

2.1.3 Chương trình THPT hiện hành 2007

 Lớp 10: Lượng giác đưa vào cả chương trình hình học và đại số Đây là

thay đổi mới của chương trình lần này Tinh thần chung của chương trình mới là giảm nhẹ các tính toán lượng giác phức tạp

Chương trình Hình học lớp 10 cả hai ban nâng cao và cơ bản định nghĩa về

giá trị lượng giác của một góc bất kỳ (0    180 ) dựa vào tọa độ của điểm trên

nửa đường tròn đơn vị Lượng giác cũng được vận dụng trong xây dựng tích vô

hướng của hai vectơ, các hệ thức lượng trong tam giác

Trong chương trình Đại số lớp 10, các định nghĩa góc và cung lượng giác,

đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác lần lượt được trình bày Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt, một số công thức lượng giác cũng được giới thiệu trong chương trình lần này

"Phần lượng giác lớp 10 nhằm làm cho học sinh quen dần với các công

thức lượng giác cơ bản, công thức cộng, công thức nhân đôi để đến đầu lớp 11 tiến hành khảo sát các hàm số lượng giác và giải phương trình lượng giác"

[26, tr.242]

Chương trình gợi ý về dạy học cho giáo viên là:

"Giúp học sinh hiểu về cung và góc lượng giác, mặt khác nhấn mạnh ý nghĩa của việc xác định vị trí của điểm trên đường tròn lượng giác nhờ số thực"

[26, tr.254]

 Lớp 11:

"Lượng giác lớp 11 là sự nối tiếp chương trình lượng giác lớp 10 Đặc điểm

đó đòi hỏi giáo viên phải lưu ý nhắc lại hay gợi mở cho học sinh nhớ lại

các kiến thức ở lớp 10 có liên quan đến bài học để dễ dàng tiếp thu kiến

thức mới"

[29, tr.16] Chương trình lớp 11 tiếp tục cung cấp cho học sinh một cách hệ thống những

kiến thức và kỹ năng về việc khảo sát các hàm số lượng giác và giải phương trình

lượng giác cơ bản Vận dụng trong việc tìm đạo hàm của hàm số lượng giác

 Lớp 12: Chương trình giới thiệu nội dung mới so với các chương trình năm

1990, 2000 Đó là "Số phức"- một nội dung nằm giao nhau giữa Đại số và Hình

học Lượng giác được trình bày khi xét dạng lượng giác của số phức trong SGK

Giải tích 12 (chương trình thí điểm 2003)

Bảng 2.1: Bảng tóm tắt nội dung lượng giác qua các chương trình

 Đối với giai đoạn giảng dạy lượng giác “trong đường tròn”

Chương

Phạm vi

10 Hình học - Định nghĩa hàm số lượng giác của góc [0

0,1800]

dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn

Đại số

- Chuyển đổi đơn vị đo radian và độ,

- Biểu diễn cung định hướng trên đường tròn lượng giác,

- Tìm độ dài của cung vạch bởi một điểm trên đường tròn định hướng,

- Xác định một điểm trên đường tròn lượng giác ứng với một cung định hướng,

- Xác định các hàm số lượng giác của cung (góc)

định hướng bằng cách chiếu một điểm trên đường tròn lượng giác xuống các trục, dựa vào độ dài đại

số của vectơ trên các trục

- Sử dụng thuật ngữ hàm số lượng giác của góc là

giá trị lượng giác của góc

- Định nghĩa giá trị lượng giác của góc [00, 1800]

bằng tọa độ trên nửa đường tròn lượng giác

Đại số

- Tương tự chương trình CCGD 1990

- Tuy nhiên, xác định các hàm số lượng giác của

cung bằng tọa độ của điểm trên đường tròn lượng giác

-Thay đổi thuật ngữ hàm số lượng giác của

cung(góc) là giá trị lượng giác của góc(cung)

- Trình bày tường minh tương ứng giữa số thực và

điểm trên đường tròn lượng giác

- Gián tiếp đưa vào định nghĩa hàm số lượng giác của biến

số thực bằng toạ độ của điểm trên đường tròn lượng giác

- Tìm TXĐ của các hàm số lượng giác, hàm số lượng giác ngược

- Khảo sát tính chẵn- lẻ của các hàm số lượng giác

- Tìm chu kì và vẽ đồ thị của các hàm số lượng giác

- Giải phương trình, bất phương trình lượng giác cơ bản, ẩn

x là số thực chỉ số đo của một cung (góc) định hướng; giải

hệ phương trình lượng giác

11

Giải tích - Tìm giới hạn của hàm số chứa các hàm số lượng giác

- Xét tính liên tục của hàm số chứa các hàm số lượng giác

CCGD

1990

12 Giải tích

- Tìm đạo hàm của hàm số lượng giác tại một điểm x

- Tìm giá trị lớn nhất(GTLN) - giá trị nhỏ nhất(GTNN) của các hàm số lượng giác

- Tìm nguyên hàm, tích phân của các hàm số lượng giác

Đại số

- Tương tự chương trình CCGD 1990 nhưng lượt bỏ hàm số lượng giác ngược, bất phương trình lượng giác

- Việc đưa vào hàm số lượng giác của biến số thực dựa vào

tương ứng 1-1 số thực và giá trị lượng giác của cung một cách tường minh

11

Giải tích - Tương tự chương trình CCGD 1990 nhưng lượt bỏ hàm số

lượng giác ngược

CLHN

2000

12 Giải tích - Tương tự chương trình CCGD 1990 nhưng lượt bỏ hàm số

lượng giác ngược

- Việc đưa vào hàm số lượng giác của biến số thực dựa vào

tương ứng 1-1 số thực và giá trị lượng giác của cung bằng công cụ đường tròn lượng giác kết hợp với hệ trục toạ độ

- Khảo sát sự biến thiên của hàm số lượng giác bằng cách theo dõi chuyển động của điểm trên đường tròn lượng giác

Giải tích

- Tính đạo hàm của hàm số chứa các hàm số lượng giác

- Xét tính liên tục, tìm giới hạn của hàm số chứa các hàm số lượng giác

Chương trình môn Toán THPT qua các thời kỳ đều đưa các tri thức lượng

giác vào theo trình tự: từ tri thức lượng giác “trong đường tròn” đến tri thức lượng giác “trong hàm số”

Các tri thức lượng giác “trong đường tròn”và “trong hàm số” qua các chương trình được giới thiệu trong các phạm vi khác nhau gắn với hàng loạt chủ đề như vectơ, số phức, hàm số tuần hoàn, phương trình, giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân

Mặt khác, dù không phân tích chi tiết chương trình môn Vật lý ở THPT nhưng chúng tôi xét thấy: Trong chương trình và SGK Vật lý ở trường THPT qua các thời kỳ, các tri thức lượng giác được vận dụng rất nhiều trong lý thuyết cũng như bài tập thuộc các chủ đề như: Sóng cơ học, Quang học, Sự quay Điều này

cũng cho thấy hệ sinh thái của các tri thức lượng giác rất phong phú

Với trình tự trình bày trong chương trình và SGK của các tri thức lượng giác trong từng giai đoạn như thế, bước chuyển từ giai đoạn giảng dạy các tri thức lượng giác “trong đường tròn” sang giai đoạn giảng dạy các tri thức lượng giác

“trong hàm số” có đặc trưng gì?

Việc phân tích lý thuyết xen kẽ với bài tập trong SGK kết hợp với việc làm rõ các TCTH liên quan với các tri thức lượng giác trong từng giai đoạn sẽ cho phép trả lời câu hỏi trên

2.2 Các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số” ở

SGK

Chúng tôi sẽ tập trung phân tích SGK lớp 10 và SGK lớp 11, ban nâng cao

(chương trình hiện hành) Để thuận tiện, chúng tôi dùng ký hiệu:

M 10 để chỉ SGK Đại số 10, ban nâng cao, do Đoàn Quỳnh chủ biên,

M H10 để chỉ SGK Hình học 10, ban nâng cao, do Đoàn Quỳnh chủ biên,

M 11 để chỉ SGK Đại số và Giải tích 11, ban nâng cao, do Đoàn Quỳnh chủ biên

Trong nhiều trường hợp, chúng tôi sẽ tham khảo SGV và SBT Ký hiệu:

G 10 , G 11 ứng với SGV Đại số 10 và SGV Đại số và Giải tích 11, ban nâng cao

E 10 , E 11 ứng với SBT Đại số 10 và SBT Đại số và Giải tích 11, ban nâng cao

2.2.1 Các tri thức lượng giác “trong đường tròn” ở SGK Hình học, Đại số 10

 Phần lý thuyết

Trong M H10,chương 2 - Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng bao gồm:

§1 Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ [00 ,1800],

§2 Tích vô hướng của hai vectơ,

§3 Hệ thức lượng trong tam giác

Nổi bật trong phần lý thuyết của chương là định nghĩa giá trị lượng giác của

một góc  (0 0    180 ) 0 dựa vào tọa độ của điểm M nằm trên nửa đường tròn đơn

vị trong hệ toạ độ Oxy sao cho MOx SGK chọn lựa cách định nghĩa này sẽ

"tạo thuận lợi hơn khi sau này định nghĩa giá trị lượng giác của góc lượng giác

bất kỳ". [4, tr 56]

Trong M 10, chương 6 - Góc lượng giác và công thức lượng giác bao gồm:

§1 Góc và cung lượng giác,

§2 Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác,

§3 Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác có liên quan đặc biệt,

§4 Một số công thức lượng giác

Mục tiêu về kỹ năng của chương là:

"Giúp học sinh biết cách xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu

diễn số thực  , từ đó xác định sin , cos, tan, cot (dấu, ý nghĩa hình

học, giá trị bằng số) và mối liên quan giữa chúng"

[26, tr 241]

Trong SGK Đại số lớp 10 , ban cơ bản, tác giả viết:

"Trong chương này, học sinh được cung cấp các khái niệm về đường tròn

định hướng, cung và góc lượng giác (mở rộng khái niệm cung và góc hình

học) chuẩn bị cho việc xây dựng các hàm số lượng giác lớp 11"

[11, tr 32]

Như thế, những tri thức lượng giác cần giảng dạy cụ thể nào ở giai đoạn

đường tròn chuẩn bị cho việc dạy học các tri thức lượng giác ở giai đoạn hàm số?

 Các tri thức lượng giác “trong đường tròn”

 Khái niệm số đo (bằng độ, radian) của góc (cung) lượng giác

M 10 đưa vào số đo mới là radian - "một đơn vị được sử dụng nhiều trong

toán học, khoa học và kỹ thuật, tỏ ra thuận lợi khi tính độ dài cung tròn"

Sau hoạt động dùng để minh họa, M 10 chứng minh và đưa ra công thức liên

quan giữa số đo radian và số đo độ của một cung tròn:

với  là số đo radian, a là số đo độ

"Sau khi đưa ra định nghĩa số đo radian nên nói ngay tác dụng thuận tiện

của radian Ví dụ công thức đo độ dài cung tròn l =  R ( đo bằng

radian) Với hệ thống đơn vị radian, việc khảo sát các hàm số lượng giác và

nhiều công thức tính toán sẽ được đơn giản hơn"

[24, tr 58-59]

Như vậy, lượng giác lớp 10 giới thiệu đơn vị đo radian với mục đích chủ

yếu là chuẩn bị cho việc khảo sát các hàm số lượng giác sau này

 Góc (cung) lượng giác và số đo của chúng

M 10 đã dùng "chuyển động quay tròn theo một chiều" để mô tả, giới thiệu

khái niệm góc (cung) lượng giác một cách trực giác

"Không nên quá nhấn mạnh vào định nghĩa chính xác góc (cung) lượng

giác Tinh thần của sách giáo khoa là thông qua các hoạt động và ví dụ mô

tả, giới thiệu dần để ngày càng hiểu tốt hơn"

[26, tr 244]

Vì sao lại có sự lựa chọn sư phạm như vậy? Chúng tôi sẽ tìm cách trả lời qua

quan điểm của các tác giả M 10 thể hiện trong G 10 như sau:

1 8 0

a



 

"Khái niệm góc, cung lượng giác khó có thể định nghĩa chính xác ở cấp

THPT Trong việc giới thiệu góc lượng giác (Ou; Ov) và số đo của nó, ta

dùng trực giác: tia quay (luôn cùng chiều) từ Ou đến trùng với Ov Hiện

tượng cơ học này học sinh thường gặp Chính số đo, độ dài cung tròn là

cơ sở trực giác để xây dựng khái niệm số đo cung lượng giác"

[26, tr.244]

"Nắm vững khái niệm cung và góc lượng giác thì mới có cơ sở để hiểu được

các tính chất của hàm số lượng giác, đặc biệt là tính chất tuần hoàn"

[24, tr.48- 49]

 Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

Trước khi đưa vào định nghĩa giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác,

M 10 đưa vào định nghĩa đường tròn lượng giác

"Nắm được đường tròn lượng giác thì dễ dàng hiểu được định nghĩa các

hàm số lượng giác, hệ thức liên quan, giải phương trình lượng giác cơ bản

và biểu diễn các nghiệm của phương trình lượng giác trên đường tròn

lượng giác"

[24, tr 48]

Như vậy, đường tròn lượng giác có vai trò quan trọng - đơn giản hoá trong

việc đưa vào khái niệm hàm số lượng giác ở lớp 11, là "công cụ đắc lực giúp cho

học sinh nhớ các công thức một cách thông minh" [24, tr.28] Ngoài khái niệm

đường tròn lượng giác, bằng cách nào có thể đưa vào định nghĩa giá trị lượng giác

của góc (cung) lượng giác?

Tác giả SGK đã đưa vào tính chất "tương ứng giữa số thực và điểm trên

đường tròn lượng giác" như sau:

"Điểm M thuộc đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) =  gọi là điểm xác định

tròn lượng giác biểu diễn cung (góc) lượng giác có số đo  Ta nhận xét ngay rằng:

Ứng với mỗi số thực α có một điểm trên đường tròn lượng giác (điểm xác định bởi số

đó) tương tự như trên trục số Tuy nhiên, mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với

vô số số thực Các số thực đó có dạng  + k2π, k "

[25, tr.193]

 Nhận xét

- M 10 chuẩn bị tri thức cho việc đưa vào hàm số lượng giác thông qua tính chất

"tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác"

Sau khi định nghĩa đường tròn lượng giác, tác giả giới thiệu hoạt động 1 mà

theo chúng tôi, nó có ý nghĩa rất quan trọng

Hoạt động 1: Hãy xét trục số At (gốc A) là tiếp tuyến của đường tròn lượng giác tại A,

hình dung At là một sợi dây và quấn dây đó quanh đường tròn lượng giác như hình vẽ:

Điểm M 1 trên trục At có tọa độ α đến trùng với điểm M trên đường tròn lượng giác thoả

mãn sđ AM =  Hỏi:

a) Các điểm nào trên trục số At đến trùng với điểm A trên đường tròn lượng giác?

b) Các điểm nào trên trục số At đến trùng với điểm A' trên đường tròn lượng giác (A' là

điểm đối xứng của A qua tâm O của đường tròn)? Hai điểm tùy ý trong số các điểm đó

cách nhau bao nhiêu ?

[25, tr.193]

Hoạt động trên tương tự như hoạt động trong SGK Đại số 10, ban cơ bản

Một chú ý về hoạt động trong SGV Đại số 10 này như sau:

"Về thực chất, hoạt động này mô tả một ánh xạ từ tập số thực trên trục số

lên tập các điểm trên đường tròn, đồng thời cũng chuẩn bị cho việc nêu

khái niệm hàm số lượng giác biến số thực sau này"

[12, tr.159]

Để định nghĩa giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác có thể dùng nhiều

phương pháp như phương pháp vectơ, đường tròn lượng giác, phương pháp giải

tích, phương pháp tiên đề

Nếu trong SGK vào thập niên 70 chọn phương pháp vectơ để định nghĩa giá

trị lượng giác của góc (cung) lượng giác và việc chọn đường tròn lượng giác để

định nghĩa chúng chỉ được nêu thành một nhận xét thì SGK sau này, trong đó có

M 10, lại sử dụng nhiều cách định nghĩa dùng đường tròn lượng giác

"Phương pháp định nghĩa dùng đường tròn lượng giác trực quan dễ hiểu,

biểu diễn đồng thời các cung cùng với giá trị lượng giác của nó Từ đó, dễ

dàng cho việc khảo sát hàm số lượng giác sau này ( ) Ở đây, nên cho học

sinh thấy được dù góc lượng giác được mở rộng như thế nào thì giá trị

lượng giác sẽ tương ứng được biểu diễn trên trục của nó; thấy được mối

M 1 (α)

A

π

2

-

 2



O A'

quan hệ biện chứng giữa các giá trị lượng giác của góc (cung) và ý nghĩa

các trục lượng giác"

[24, tr.67]

Điều này giúp chúng tôi thấy mục đích của tác giả SGK trong việc dùng

phương pháp trực quan - công cụ đường tròn lượng giác - để định nghĩa hàm số

lượng giác sau này

Theo chúng tôi, việc lựa chọn cách định nghĩa giá trị lượng giác của góc

(cung) bằng đường tròn lượng giác của tác giả SGK xuất phát từ các lý do:

- Một mặt, mô tả trực quan, giúp hiểu thêm về cung (góc) lượng giác; mặt

khác, nhấn mạnh ý nghĩa của việc xác định vị trí của điểm trên đường tròn lượng

giác nhờ số thực

- Phù hợp với yêu cầu giảm tải trong việc biên soạn chương trình và SGK,

giảm tính hàn lâm, tăng cường tính ứng dụng thực tiễn

- Định nghĩa đường tròn lượng giác là một trong các yếu tố công nghệ giải

thích cho các kỹ thuật chứng minh các tính chất của hàm số lượng giác và biểu

diễn nghiệm của phương trình lượng giác sau này

Chúng tôi tự hỏi:

 Việc định nghĩa giá trị lượng giác của góc bằng đường tròn lượng giác ảnh

hưởng như thế nào đến cách tiếp cận của GV - HS khi dạy - học lượng giác

trong hàm số?

 Tại sao M 10 lại đưa vào khái niệm giá trị lượng giác của góc (cung) lượng

giác ở lớp 10 trước khi định nghĩa hàm số lượng giác ở lớp 11 trong khi

"trước đây, có nhiều sách đưa ngay khái niệm hàm số lượng giác mà không

thông qua giá trị lượng giác của góc?" [10, tr.68]

Việc phân tích lý thuyết của M 10 sẽ góp phần trả lời cho các câu hỏi trên

Sau định nghĩa đường tròn lượng giác cùng tính chất tương ứng giữa số thực

và điểm trên đường tròn lượng giác, hệ tọa độ vuông góc gắn với đường tròn

lượng giác được đưa vào M 10 Đặc biệt, chúng tôi thấy: "ngầm ẩn" trong lời

khuyên về việc dạy hệ tọa độ vuông góc gắn với đường tròn lượng giác được trình

bày dưới đây là một sự chuẩn bị tri thức cho việc giới thiệu hàm số lượng giác ở

lớp 11:

"Cần lưu ý đến ý nghĩa của việc dùng số để xác định vị trí của điểm trên

đường tròn lượng giác C gốc A: Với mỗi số thực , có đúng một điểm M

 C để A M =  , tức là có ánh xạ p:  C

  M sao cho A M =  "

[12, tr.252]

Các định nghĩa côsin, sin, tang và côtang cùng các tính chất và ý nghĩa hình

học của chúng lần lượt được trình bày trong M 10 bằng cách sử dụng tọa độ của

điểm trên đường tròn lượng giác

"Cần phải nhấn mạnh, làm cho học sinh nắm vững ý nghĩa hình học của

sin , cos, tan và cot, bởi vì nó là một phương tiện rất có hiệu quả

giải quyết nhiều vấn đề sau này"

[1, tr.77]

Cụ thể theo tiến trình sau:

Bảng 2.2: Bảng tóm tắt nội dung được trình bày trong M 10

học côsin

cos(Ou,Ov) = cosα

= x

Hoành độ x của M được gọi là côsin của góc lượng giác (Ou, Ov) hay của α

A

B

1 cos 

tan α = AT

Trục At là trục tang

2

1 sin 

cot α = BS

Trục Bs là trục côtang

Bảng tóm tắt trên sẽ là yếu tố công nghệ để giải thích cho các kỹ thuật giải

quyết các kiểu nhiệm vụ trong phần bài tập mà chúng tôi sẽ phân tích chi tiết ở mục kế tiếp

 Nhận xét

- Mỗi cung lượng giác có một số đo với đơn vị là radian hoặc độ và mỗi cung này có các giá trị lượng giác sin, côsin, tang, côtang hoàn toàn xác định (dù cho số

đo của chúng lấy theo đơn vị nào)

- Các giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác đưa vào tường minh trong

M 10 Tất cả các định nghĩa đều dùng công cụ đường tròn lượng giác gắn với hệ trục tọa độ để minh họa

- M 10 còn đưa vào bảng giá trị lượng giác của một số góc, giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt và một số công thức biến đổi mà theo chúng

tôi, các tri thức này có vai trò hỗ trợ trong các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ:

"Tính giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác"

 Phần bài tập

Qua phân tích M 10 , G 10 , E 10, chúng tôi nhận thấy có 8 kiểu nhiệm vụ sau:

 Các TCTH liên quan đến các tri thức lượng giác «trong đường tròn»:

Tương ứng với kiểu nhiệm vụ T1, có 2 kỹ thuật τ giải quyết và công nghệ θ

giải thích cho kỹ thuật như sau:







τ 2: Áp dụng công thức l = R

θ 2 : Độ dài đường tròn

giác hay một họ góc lượng giác trên đường tròn lượng giác khi biết số đo của góc (cung) đó,

τ 3 : Dùng tính chất giá trị lượng giác của góc để minh họa trên đường tròn lượng

giác

 Nhận xét

- Hai kỹ thuật τ 1a , τ 1b đều được nêu ra một cách rõ ràng, dễ sử dụng và đều là vết của hai kỹ thuật τ* 11 , τ* 12 ở đại học Việc mô tả, giải thích cho kỹ thuật τ 1a , τ 1b

cũng được trình bày một cách tường minh trong SGK

- T 2 không được nêu tường minh trong M 10 , E 10 mà nó được trình bày gián tiếp thông qua các bài toán thực tế như tìm độ dài của dây cu-roa, tính độ dài cung kinh tuyến nối hai huyện lị, tính độ dài mà mũi kim phút của đồng hồ vạch nên

- Kỹ thuật của T 2 được nêu ra một cách rõ ràng, dễ sử dụng và là vết của τ* 3

ở đại học Việc mô tả, giải thích cho kỹ thuật τ 2 cũng được trình bày một cách tường minh trong SGK

- Khi số đo của cung là số đo bằng độ thì bước đầu tiên trong kỹ thuật τ 2 là

thực hiện kiểu nhiệm vụ T 1 Nên sự xuất hiện của T 1 còn đóng vai trò như một thành phần trong kỹ thuật τ 2

- Kiểu nhiệm vụ T 3 chỉ được nêu ra trong G 10 , E 10 với một bài tập duy nhất

mà không xuất hiện trong M 10 , không là vết của của TCTH nào ở đại học T 3 thể

hiện sự tương ứng giữa điểm trên đường tròn lượng giác với số thực

- Kỹ thuật giải quyết T 3 không được trình bày rõ ràng mà nó chỉ được phác

thảo trong lời giải nhưng được khuyến khích sử dụng trong các kiểu nhiệm vụ biểu diễn góc

- Một lưu ý của (G 10 , tr.252) khi kết hợp với T 3 mà chúng tôi đã trích dẫn ở phần lý thuyết cũng phần nào cho thấy một điều kiện của thể chế dạy học đối với

T 3: "Cần lưu ý đến việc dùng số để xác định vị trí của điểm trên đường tròn lượng giác, tức là có ánh xạ"

τ 41 : - Tìm dấu của giá trị lượng giác của góc,