Tài Liệu Toán Chuyên Đề Viễn Thông Và Bài Tập

Tất cả tài liệu bài tập, bài giảng, bài giải Toán Chuyên Ngành Kĩ Thuật Viễn Thông bao gồm cáp phép biến đổi FOURIE, LAPLACE... Hàm biến số phức Số phức và các phép biến đổi trên trường số phức Thăng dư và ứng dụng Tích phân của hàm biến phức Chuỗi hàm phức Fourie Laplace Bài tập và lời giải

SÁCH H NG D N H C T P TOÁN CHUYÊN NGÀNH

(Dùng cho sinh viên ngành T-VT h đào t o đ i h c t xa)

L u hành n i b

=====(=====

Ti p theo ch ng trình toán h c đ i c ng bao g m gi i tích 1, 2 và toán đ i s Sinh viên chuyên ngành đi n t -vi n thông còn c n trang b thêm công c toán xác su t th ng kê và toán k thu t.

đáp ng nhu c u h c t p c a sinh viên chuyên ngành đi n t vi n thông c a H c vi n, chúng tôi đã biên so n t p bài gi ng Toán k thu t t n m 2000 theo đ c ng chi ti t môn h c

c a H c vi n Qua quá trình gi ng d y chúng tôi th y r ng c n hi u ch nh và b sung thêm đ cung c p cho sinh viên nh ng công c toán h c t t h n Trong l n tái b n l n th hai t p bài gi ng

đ c nâng lên thành giáo trình, n i dung bám sát h n n a nh ng đ c thù c a chuyên ngành vi n thông Ch ng h n trong n i dung c a phép bi n đ i Fourier chúng tôi s d ng mi n t n s f thay cho mi n ω D a vào tính duy nh t c a khai tri n Laurent chúng tôi gi i thi u phép bi n đ i Z

đ bi u di n các tín hi u r i r c b ng các hàm gi i tích Tuy nhiên do đ c thù c a ph ng th c đào t o t xa nên chúng tôi biên so n l i cho phù h p v i lo i hình đào t o này

T p giáo trình bao g m 7 ch ng M i ch ng ch a đ ng các n i dung thi t y u và đ c coi là các công c toán h c đ c l c, hi u qu cho sinh viên, cho k s đi sâu vào l nh v c vi n thông N i dung giáo trình đáp ng đ y đ nh ng yêu c u c a đ c ng chi ti t môn h c đã đ c

H c vi n duy t Trong t ng ch ng chúng tôi c g ng trình bày m t cách t ng quan đ đi đ n các khái ni m và các k t qu Ch ch ng minh các đ nh lý đòi h i nh ng công c v a ph i không quá sâu xa ho c ch ng minh các đ nh lý mà trong quá trình ch ng minh giúp ng i đ c hi u sâu h n

b n ch t c a đ nh lý và giúp ng i đ c d dàng h n khi v n d ng đ nh lý Các đ nh lý khó ch ng minh s đ c ch d n đ n các tài li u tham kh o khác Sau m i k t qu đ u có ví d minh ho

d , đ nh lý, đ nh ngh a t ng ng Các công th c đ c đánh s th t theo t ng ch ng

H th ng câu h i ôn t p và bài t p c a t ng ch ng có hai lo i Lo i tr c nghi m đúng sai

nh m ki m tra tr c ti p m c đ hi u bài c a h c viên còn lo i bài t p t ng h p giúp h c viên v n

d ng ki n th c m t cách sâu s c h n

Vì nh n th c c a chúng tôi v chuyên ngành i n t Vi n thông còn h n ch nên không tránh

kh i nhi u thi u sót trong vi c biên so n tài li u này, c ng nh ch a đ a ra h t các công c toán h c

c n thi t c n trang b cho các cán b nghiên c u v chuyên ngành đi n t vi n thông Chúng tôi r t mong s đóng góp c a các nhà chuyên môn đ chúng tôi hoàn thi n t t h n t p tài li u này

Tác gi xin bày t l i cám n t i PGS.TS Lê Tr ng Vinh, TS Tô V n Ban, đã đ c b n th o

và cho nh ng ý ki n ph n bi n quý giá và đ c bi t t i KS Nguy n Chí Thành ng i đã giúp tôi biên t p hoàn ch nh cu n tài li u

Cu i cùng, tác gi xin bày t s cám n đ i v i Ban Giám đ c H c vi n Công ngh B u Chính Vi n Thông, Trung tâm ào t o B u Chính Vi n Thông 1 và b n bè đ ng nghi p đã khuy n khích, đ ng viên, t o nhi u đi u ki n thu n l i đ chúng tôi hoàn thành t p tài li u này

CH NG I: HÀM BI N S PH C

PH N GI I THI U

Gi i tích ph c là m t b ph n c a toán h c hi n đ i có nhi u ng d ng trong k thu t Nhi u hi n t ng v t lý và t nhiên đòi h i ph i s d ng s ph c m i mô t đ c Trong ch ng này chúng ta tìm hi u nh ng v n đ c b n c a gi i tích ph c: Lân c n, gi i h n, hàm ph c liên

t c, gi i tích, tích phân ph c, chu i s ph c, chu i l y th a, chu i Laurent… nghiên c u các

v n đ này chúng ta th ng liên h v i nh ng k t qu ta đã đ t đ c đ i v i hàm bi n th c M i hàm bi n ph c w= f z( )= f x iy( + )=u x y( , )+iv x y( , ) t ng ng v i hai hàm th c hai bi n

( , )

u x y ,v x y( , ) Hàm ph c f z( ) liên t c khi và ch khi u x y( , ),v x y( , ) liên t c f z( ) kh vi khi và ch khi u x y( , ),v x y( , ) có đ o hàm riêng c p 1 th a mãn đi u ki n Cauchy-Riemann Tích phân ph c t ng ng v i hai tích phân đ ng lo i 2 …M i chu i s ph c t ng ng v i hai chu i s th c có s h ng t ng quát là ph n th c và ph n o c a s h ng t ng quát c a chu i s

ph c đã cho S h i t hay phân k đ c xác đ nh b i s h i t hay phân k c a hai chu i s th c này

T nh ng tính ch t đ c thù c a hàm bi n ph c chúng ta có các công th c tích phân Cauchy ó là công th c liên h gi a giá tr c a hàm ph c t i m t đi m v i tích phân d c theo

đ ng cong kín bao quanh đi m này Trên c s công th c tích phân Cauchy ta có th ch ng minh đ c các k t qu : M i hàm ph c gi i tích thì có đ o hàm m i c p, có th khai tri n hàm

ph c gi i tích thành chu i Taylor, hàm gi i tích trong hình vành kh n đ c khai tri n thành chu i Laurent

B ng cách tính th ng d c a hàm s t i đi m b t th ng cô l p ta có th áp d ng đ tính các tích phân ph c và tích phân th c, tính các h s trong khai tri n Laurent và phép bi n đ i Z

Hai s ph c z1= +x1 iy1 và z2 =x2+iy2 b ng nhau khi và ch khi ph n th c và ph n o

Oxy, có véc t đ n v trên hai tr c t ng ng là

i và j M i đi m M trong m t ph ng này hoàn

M y

M y

y

j

Góc ϕ c a s ph c z = + ≠ x iy 0 đ c xác đ nh theo công th c sau

=ϕ

2 2cos

tg

y x x/

z x

Ví d 1.5: a) T p các s ph c z th a mãn z− = t ng ng v i t p các đi m có kho ng 2 3cách đ n I(2; 0) b ng 3, t p h p này là đ ng tròn tâm I bán kính 3

T công th c (1.15)-(1.16) ta có công th c Moivre:

n n

=θ

=θ

=ρ

⇔ω

=

n k

r k

k n

r z

n n

n

2,

(1.19)

Vì Argument c a m t s ph c xác đ nh sai khác m t b i s nguyên c a π2 nên v i m i s

ph c z≠0 có đúng n c n b c n Các c n b c n này có cùng mô đun là n r, Argument nh n các giá tr

n

k n

π+

ϕ

=

θ 2 ng v i k = 0 , 1 , , n − 1, vì v y n m trên đ nh c a n-giác đ u n i ti p trong đ ng tròn tâm O bán kính n r

14

sin4

cos

0

i i

i z

i iz

P

) ( S

c i m biên

i m z , có th thu c ho c không thu c 1 E, đ c g i là đi m biên c a E n u m i lân c n

c a z 1 đ u có ch a các đi m thu c E và các đi m không thu c E

T p h p các đi m biên c a E đ c g i là biên E, ký hi u ∂ E

Hình tròn m {z∈ z−z0 <r} và ph n bù c a hình tròn m {z∈ z−z0 >r} là các

t p m có biên l n l t là {z∈ z−z0 =r} và {z∈ z−z0 =r}∪{ }∞

Hình tròn đóng { z ∈ z − z0 ≤ r } không ph i là t p m vì các đi m biên z−z0 =r

không ph i là đi m trong

d T p liên thông, mi n

T p con D c a m t ph ng ph c hay m t c u ph c đ c g i là t p liên thông n u v i b t k

2 đi m nào c a D c ng có th n i chúng b ng m t đ ng cong liên t c n m hoàn toàn trongD

M t t p m và liên thông đ c g i là mi n

Mi n D cùng biên ∂ D c a nó đ c g i là mi n đóng, ký hi u D=D∪∂D Mi n ch có

m t biên đ c g i là mi n đ n liên, tr ng h p ng c l i g i là mi n đa liên

Ta qui c h ng d ng trên biên c a mi n là h ng mà khi ta đi trên biên theo h ng đó thì mi n D bên tay trái

f

Ta có th bi u di n m t hàm ph c b i hai hàm th c c a hai bi n (x,y) nh sau:

iy x

y x u u

y x u

2

3

2 2

0 0

lim

limlim

y y

x x iy

x z z

n n

n n n

0 )

, ( ) , (

),(lim

),(limlim

0 0

0 0

u y x u L

z f

y x y x

y x y x z

z

(1.29)

trong đó z0 =x0 +iy0, L=u0 +iv0

1.2.4 Hàm kh vi, đi u ki n Cauchy-Riemann

−Δ+

z z z z z

Δ

Δ

⇒Δ

+Δ

=

−Δ+

w

z

lim'

v y

x y u

y x y

v y x x u

,,

,,

(1.34)

Ng c l i, n u ph n th c u ,( )x y , ph n o v ,( )x y kh vi t i (x,y) và th a mãn đi u ki n Cauchy-Riemann thì w= f( )z kh vi t i z =x+iy và

y

u i y x y

v y x x

v i y x x

u z

y

v x x u

2

2

, do đó hàm kh vi

t i m i đi m và w'( )z =2x+i2y=2z

không th a mãn đi u ki n Cauchy-Riemann,

do đó hàm không kh vi t i b t k đi m nào

1.2.5 Hàm gi i tích

nh ngh a 1.6: Hàm đ n tr w= f( )z kh vi trong m t lân c n c a z đ c g i là gi i tích t i z N u f( )z kh vi t i m i đi m c a D thì ta nói f( )z gi i tích trong D f( )z gi i tích trong D n u nó gi i tích trong m t mi n ch a D

Khái ni m kh vi và đ o hàm c a hàm ph c đ c đ nh ngh a t ng t nh tr ng h p hàm

th c Vì v y các tính ch t và quy t c tính đ o hàm đã bi t đ i v i hàm th c v n còn đúng đ i v i hàm ph c

w = nh cúa tia Argz =ϕ+k2π là

tia Argw=nϕ+k'2π nh cúa hình qu t

w

e e

( v i v)

e e

e z iv u z

lnReLn

k z w

z w z

i u này ch ng t hàm lôgarit ph c là hàm đa tr ng v i m i z có vô s giá tr c a w ,

nh ng giá tr này có ph n th c b ng nhau còn ph n o h n kém nhau b i s nguyên c a 2 V i π

z z

2

1 2

1 2

e z

iz iz iz

iz

;2sin

,2

z

z z

k z z

z

sin

coscotg

;212,cos

sin

Các hàm l ng giác ph c còn gi đ c nhi u tính ch t c a hàm l ng giác th c

̇ Hàm cosz sin, z tu n hoàn chu k 2 , hàm π tgz,cotgz tu n hoàn chu k π

̇ Các hàm l ng giác ph c gi i tích trong mi n xác đ nh

z

z z

z z z

z z

2

' 2

' '

'

sin

1cotg

,cos

1tg

,sincos

,cos

,12

i

e e ni e

e ni

n n n

n

1.2.6.6 Các hàm l ng giác hyperbolic ph c

z

z z z

z z e

e z e

e z

z z z

z

sh

chcoth,ch

shth,2sh

,2

z z z

z z

2

' 2

' '

'

sh

1coth

,ch

1th

,shch

,ch

i B o toàn góc gi a hai đ ng cong b t k qua đi m z ( k c đ l n và h ng)

ii Có h s co dãn không đ i t i z , ngh a là m i đ ng cong đi qua đi m này đ u có h

̇ Phép t nh ti n theo véc t b

V y phép bi n hình tuy n tính là m t phép bi n hình đ ng d ng (h p c a m t phép v t , phép quay, phép t nh ti n) Nó bi n m t hình b t k thành m t hình đ ng d ng v i nó c bi t

bi n m t đ ng tròn thành m t đ ng tròn, bi n m t đ ng th ng thành m t đ ng th ng, m t đa giác thành m t đa giác đ ng d ng

Ví d 1.10: Tìm phép bi n hình b o giác bi n tam giác vuông cân có các đ nh A(−7+2i),

( i)

B −3+2 , C(−5+4i) thành tam giác vuông cân có các đ nh A 21( )i , B1( )0 , C1( )1+i

Gi i: Hai tam giác vuông cân b t k đ u đ ng d ng v i nhau nên t n t i m t phép đ ng

i a b

i a

b i a

i

2

3122

31

22

30

272

−

=

++

Hai đi m A, B n m trên m t tia xu t phát t tâm I c a đ ng tròn ( ) C bán kính R đ c g i

là liên h p hay đ i x ng qua ( ) C n u IA.IB=R2

̇ M t đ ng tròn đi qua O thành m t đ ng th ng

̇ M t đ ng tròn không đi qua O thành m t đ ng tròn

̇ M t đ ng th ng đi qua O thành m t đ ng th ng qua O

̇ M t đ ng th ng không đi qua O thành m t đ ng tròn đi qua O

b az w

Ta có th m r ng hàm phân tuy n tính

d cz

b az w

bc ad z

a d

cz c

ad bc d cz a d cz c

bc acz d cz

b az

w

+

⋅

−+

=+

−++

=+

+

=+

ad bc d

+

⋅

−+

11

b az

1

1 1

d z

b z a c

d z c

b z c

a w

+

+

=+

b z k w

1 3 1 3 1 2

1 2 1 2 1 1

1 1 1

d z

b z a w d z

b z a w d z

b z a w

+

+

=+

+

=+

1 2 3

1 3

2

1 2 3

1

z z

z z z z

z z w w

w w w w

w w

z z k w

−

−

= (1.47)

1.3.5 Các nguyên lý t ng quát c a phép bi n hình b o giác

a S t n t i c a phép bi n hình

nh lý 1.3 ( nh lý Riemann): N u D và Δ là hai mi n đ n liên (không ph i là m t ph ng

ph c m r ng hay m t ph ng ph c m r ng b đi m t đi m) thì t n t i phép bi n hình w= f( )z

gi i tích, b o giác đ n tr hai chi u bi n D thành Δ

H n n a n u cho tr c z0∈D, w0∈Δ và θ0∈ thì ch có duy nh t w= f( )z tho mãn

bi n hình này có th tìm trong các s tay toán h c)

♦ N u ζ= f( )z bi n hình đ n tr hai chi u bi n D lên hình tròn ζ <1,

♦ N u ζ=g( )w bi n hình đ n tr hai chi u bi n Δ lên hình tròn ζ <1,

thì w=g−1 f( )z bi n D thành Δ

b S t ng ng biên

nh lý 1.4: Cho hai mi n đ n liên D và Δ có biên là ∂ ,D ∂Δ Gi s ∂ ,D ∂Δ là đ ng

tr n t ng khúc, Δ b ch n N u w= f( )z gi i tích trong D và liên t c trong D, bi n hình 1-1 D

∂ lên Δ∂ sao cho khi z ch y trên ∂ theo chi u d ng, t ng ng D w ch y trên ∂ c ng theo Δchi u d ng, thì hàm w= f( )z bi n hình b o giác đ n tr hai chi u t D lên Δ

b az

3 Bi n m t góc thành n a m t ph ng, ta xét w= z n

4 Bi n m t b ng song song v i tr c th c lên n a m t ph ng ta dùng w=e z

Ví d 1.11: Tìm phép bi n hình b o giác w= f( )z bi n n a m t ph ng trên Imz>0thành hình tròn w <1 sao cho w( )z0 =0, v i Imz0 >0

Gi i: Vì z 0 đ i x ng v i z0 qua Ox , ∞ đ i x ng v i 0 qua w =1, do đó theo nguyên

lý t ng ng biên ta ch c n tìm hàm phân tuy n tính bi n tr c th c Imz=0 lên w =1 và b o toàn chi u

Hai mi n đã cho không đ ng d ng nên c ≠ 0 M t khác w ( ) z0 = 0 và tính ch t b o toàn tính đ i x ng nên w( )z0 =∞, do đó theo (1.47) ta có th xét hàm phân tuy n tính d ng

z x k z x

z x

z z e

z z k z z z

z z k

Vì nh c a z =1 là w =1 và

z z

z z z

z z z k z z

z

z z k z z

z

z z k z

0

0 0

0

0 0

0

0 0

11

z z e

w i

Ví d 1.13: Tìm phép bi n hình b o giác w= f( )z bi n hình qu t

3arg

w i

+ξ

−ξ

0

Imξ> thành w <1 th a mãn w( )i =0, w( )− i =∞

N u ta thêm đi u ki n w( )0 =i thì e i

i

i e

i z i w

1:

b az

i z i

z

iz i w

1.4 TÍCH PHÂN PH C, CÔNG TH C TÍCH PHÂN CAUCHY

Trong m c này ta nghiên c u các tính ch t và các bi u di n c a hàm ph c gi i tích, vì v y

Chia L thành n đo n b i các đi m A≡ z0, z1, z2, ,z n ≡B n m trên L theo th t t ng

= n

k

k k

S

1

(1.48)

đ c g i là t ng tích phân c a hàm f( )z trên L ng v i phân ho ch và cách ch n các đi m đ i

di n trên T ng này nói chung ph thu c vào hàm f( )z , đ ng L, cách chia L b i các đi m z k và cách ch n các đi m ζk

≤

≤k n k

z t ng S n ti n t i gi i h n I∈ không ph thu c cách chia đ ng

L và ch n các đi m ζk thì I đ c g i là tích phân c a hàm f( )z d c theo đ ng cong L t A đ n

k n

x z

( )

f z dz = udx vdy i− + vdx udy+

N u hàm w= f( ) ( ) ( )z =u x,y +iv x,y liên t c trên D và cung AB tr n t ng khúc thì t n

t i hai tích phân đ ng lo i 2 v ph i c a (1.51) do đó t n t i tích phân ph c t ng ng

ng th c (1.51) suy ra r ng tích phân ph c có các tính ch t nh các tính ch t c a tích phân

ds z f dz z

Khi A trùng v i B thì L là đ ng cong kín (ta ch xét các đ ng cong kín không t c t, g i

là đ ng Jordan) Tích phân trên đ ng cong kín L đ c quy c l y theo chi u d ng, ký hi u là

4

4 4

3

862

2

x x

Qua ví d trên ta nh n th y giá tr c a tích phân không ph thu c vào đ ng l y tích phân t A

đ n B Các đ nh lý sau cho đi u ki n c n và đ đ tích phân ph c không ph thu c vào đ ng l y tích phân n i hai đ u mút c a đ ng

1.4.2 nh lý tích phân Cauchy

nh lý 1.6: i u ki n c n và đ đ tích phân c a hàm f( )z trong mi n D không ph thu c vào đ ng l y tích phân là tích phân c a f( )z d c theo m i đ ng cong kín b t k (không t c t nhau) trong D ph i b ng 0

nh lý 1.7: N u hàm ph c w= f( )z gi i tích trong mi n đ n liên D thì tích phân c a

( )z

f d c theo m i đ ng cong kín L b t k trong D đ u b ng 0

Ch ng minh: Áp d ng đ nh lý Green đ đ a tích phân đ ng lo i 2 v tích phân kép và công th c (1.51) ta có

trong đó Δ là hình ph ng gi i h n b i đ ng cong kín L n m trong D

Vì w= f( )z gi i tích trong mi n đ n liên D nên các hàm d i d u tích phân trong hai tích phân kép trên đ u b ng 0 do th a mãn đi u ki n Cauchy-Riemann V y ( ) 0

1Γ

π π

.1khi

0

1khi

21khi1

1khi

2

0

) 1 ( 1

2

0 2

0

n i

n dt e

r

n idt

dt e r

rie I

t n i n n

nh lý 1.9: (Công th c Newton - Lepnitz)

N u hàm f( )z gi i tích trong mi n đ n liên D thì t n t i m t nguyên hàm F( )z Khi đó,

v i m i z0,z1∈D ta có:

1

0 0

z

z z z

i

63

863

4 2 1

3 4

1.4.4 Công th c tích phân Cauchy

nh lý 1.10: Gi s f( )z gi i tích trong mi n D(có th đa liên) có biên là D∂ Khi đó,

Ch ng minh: V i m i ε>0 ch n r đ bé đ đ ng tròn tâm a bán kính r: C r ⊂Dvà

( ) ( )z − a f <ε

f (đi u này có đ c vì f( )z liên t c t i a) G i D r' là mi n có đ c b ng cách b

đi hình tròn C r ={z∈ z−a <r} t mi n D Biên c a D r' g m biên ∂ c a D và D C Hàm r

n

n C

f z n

C

dz f a n

' 0

u , ta đ nh ngh a m t cách hình th c ∑∞

=0

n n

u là m t chu i các s

ph c mà s h ng th n là u n

T ng S n =u0 +u1+ +u n đ c g i là t ng riêng th n c a chu i trên

N u dãy các t ng riêng { }∞

=0

n n

S có gi i h n h u h n là S∈ thì ta nói chu i ∑∞

=0

n n

u h i t khi và ch khi hai chu i s th c t ng ng

n n

n n

u c ng h i t Khi đó ta nói chu i

u h i t nh ng chu i các môđun

0

n n u

đ c g i là chu i lu th a tâm a Khi cho z m t giá tr c th ta đ c m t chu i s ph c, chu i

s ph c này h i t ho c phân k Mi n h i t c a chu i (1.60) là t p h p các giá tr z mà chu i này h i t

Rõ ràng r ng m i chu i lu th a tâma b t k có th đ a v chu i lu th a tâm 0 b ng cách

đ t ξ=z−a:

0

n n n

M t ví d đ c bi t c a chu i lu th a là chu i c p s nhân ∑∞

z z S

n n

−

=++++

1

11

1 2

z z

1 N u chu i (1.61) h i t t i z0 thì h i t tuy t đ i trong hình tròn {z < z0}

2 T đó suy ra r ng n u chu i (1.61) phân k t i z thì phân k t i m i 1 đi m z: z > z1

n n n

n n

z

z M z

z z c z c

0 0

R

ρ ρ ρ

(1.62)

là bán kính h i t c a chu i (1.61)

Nh n xét: nh lý trên cho ta cách xác đ nh bán kính h i t c a chu i (1.61) tìm mi n

h i t c a chu i này ta ch c n xét thêm s h i t c a chu i trên đ ng tròn z = R

n

n

n z nc z

c z

c) ∑∞

=

− 1

)(

!

n

n n

a z n

a f

Nh n xét: N u hàm f( )z gi i tích t i a thì hàm có th khai tri n duy nh t thành chu i lu

th a tâm a, đó chính là chu i Taylor c a f( )z t i a Vì v y, n u có th b ng m t ph ng pháp

n

n z a c z

n

a f c

n

( ) 1

12

Chu i Taylor t i đi m a =0 đ c g i là chu i Mac Laurin

1.5.4 Khai tri n thành chu i Mac Laurin c a các hàm s s c p c b n

a Hàm f ( ) z = ez

V i m i n, f(n)( )z =e z ⇒ f(n)( )0 =1 V y

∑∞

=

=+++++

!1

1

n

n n

z

n

z n

z z

z e

Hàm gi i tích t i m i đi m nên bán kính h i t c a chu i là R = ∞

b Hàm f( )z =sinz

1sin

n

n

n

z n

)!

2()1()!

12(

)12()1(sin

cos

n

n n n

n n

n

z n

z n z

=

z z

11

1

n

n

n z z

0

1

1)1()1ln(

n

n n

m z

m m mz z

!

)1) (

1(

!2

)1(1

⋅+

−

=+

=

2 2

1

)(2

)!

2()1(

!22

3212

111

1

1

n

n n

n

z n

n z

z z

1.5.5 Không đi m c a m t hàm gi i tích, đ nh lý v tính duy nh t

nh ngh a 1.10: i m a đ c g i là không đi m c a hàm gi i tích f( )z n u f( )a =0

Khai tri n Taylor c a f( )z t i không đi m a có d ng

k k

n k

k k

n n

n

k

a f a

z c a

z c a z c

z

f

!

) ( 1

≠

=

n

a f c

Ch ng minh: Vì a là không đi m c a f( )z nên có th bi u di n d i d ng (1.65) trong đó hàm gi i tích ϕ( )z th a mãn ϕ a( )≠0 Vì v y t n t i m t lân c n c a a đ trong lân c n này

a có gi i h n là a khi

∞

→

n , thì f( )z đ ng nh t b ng 0 trong m t lân c n c a a

nh lý 1.18 (đ nh lý v tính duy nh t): N u f( ) ( )z , g z là hai hàm gi i tích trong mi n D

và trùng nhau trên m t dãy h i t v a trong D thì f( ) ( )z = g z , ∀z∈D

1.5.6 Chu i Laurent và đi m b t th ng

Có th x y ra tr ng h p hàm f( )z không gi i tích t i a nh ng gi i tích trong m t lân c n

c a a b đi đi m a : 0< z−a <R ho c gi i tích trong hình vành kh n r< z−a <R Trong

tr ng h p này hàm f( )z không th khai tri n thành chu i lu th a (chu i Taylor) t i a Tuy nhiên, có th khai tri n đ c d i d ng chu i Laurent t i a nh sau

c z

ph n chính c a chu i Laurent (1.66)

nh lý 1.19 (đ nh lý t n t i và duy nh t c a chu i Laurent):

1 M i hàm f( )z gi i tích trong hình vành kh n K: r< z−a <R đ u có th khai tri n thành chu i Laurent (1.66)

− − thành chu i Laurent có tâm t i z=1

Gi i: Rõ ràng r ng hàm f( )z không gi i tích t i 1 và 2 Vì v y, khi khai tri n theo chu i Laurent tâm t i 1 thì ch khai tri n đ c trong hai mi n: 0 < − < z 1 1 và z−1>1

a Khai tri n Laurent trong mi n 0 < − < z 1 1:

Ch n đ ng cong kín L bao quanh 1 1 n m trong mi n này

Γ

̇

2 1

n

n n

n

c z

b Khai tri n Laurent trong mi n z − > 1 1:

Ch n đ ng cong kín L bao quanh 2 1 n m trong mi n này

n z

11

20

n

n n

z z

c z

1

n

n n

n

z z

f z

gi i tích t i a thì a đ c g i là đi m b t th ng cô l p hay k d cô l p c a hàm f ( ) z

Theo đ nh lý 1.19 có th khai tri n thành chu i Laurent c a hàm trong hình vành kh n ng

v i đi m b t th ng cô l p Có ba tr ng h p x y ra:

a N u khai tri n Laurent c a hàm ch có ph n đ u, ngh a là

( )= + ( − )+ ( − )2+

2 1

c z f

2 1

0

a z

c a

z

c z f

n n

trong đó c −n ≠0 thì a đ c g i là c c đi m và n đ c g i là c p c a c c đi m C c đi m

c p 1 đ c g i là c c đi m đ n

c N u ph n chính có vô s s h ng thì a đ c g i là đi m b t th ng c t y u

Ví d 1.20: = − + − +

!7

!5

!3sin

7 5

z z

!7

!5

!31

z z

111

th ng cô l p T h qu 2 c a đ nh lý 1.10 ta suy ra r ng tích phân l y theo m i đ ng cong kín

C b t k bao đi m a n m trong hình vành kh n K là m t s ph c không ph thu c vào đ ng C

nh lý 1.21: Cho mi n đóng D có biên là ∂ Gi s D f( )z gi i tích trong D, ngo i tr

t i m t s h u h n các đi m b t th ng cô l p a1, ,a n∈D Khi đó

z z

=

1(z− z+

2 i e e i

=π

8

516

516

2

e

e i e

e i

x P

I , trong đó P( ) ( )x , Q x là hai đa th c th c

B đ : Gi s hàm f( )z gi i tích trong n a m t ph ng Imz≥0, tr ra t i m t s h u h n các đi m b t th ng cô l p và tho mãn:

; 0

dz z

z P z