sử dụng phép tương tự vào dạy học nghiên cứu áp dụng vào dạy học phương pháp tọa độ trong không gian

BÙI PHƯƠNG UYÊN SỬ DỤNG PHÉP TƯƠNG TỰ VÀO DẠY HỌC: NGHIÊN CỨU ÁP DỤNG VÀO DẠY HỌC PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIANChuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN LUẬN VĂN TH

BÙI PHƯƠNG UYÊN

SỬ DỤNG PHÉP TƯƠNG TỰ VÀO DẠY HỌC: NGHIÊN CỨU ÁP DỤNG VÀO DẠY HỌC PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIANChuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Cần Thơ, 2012

BÙI PHƯƠNG UYÊN

SỬ DỤNG PHÉP TƯƠNG TỰ VÀO DẠY HỌC: NGHIÊN CỨU ÁP DỤNG VÀO DẠY HỌC PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học PGS TS NGUYỄN PHÚ LỘC

Cần Thơ, 2012

Lời cam đoan

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác Các số liệu trích dẫn trong quá trình nghiên cứu điều được ghi rõ nguồn gốc

Tác giả luận văn

BÙI PHƯƠNG UYÊN

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Phú Lộc, người luôn động viên, hướng dẫn và chỉ dạy cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Cần Thơ, Trường Đại học Tây Đô, Trường Đại Học Vinh đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quý báu về phương pháp dạy học môn Toán

Tôi xin chân thành cám ơn thầy Trần Quốc Khởi, giáo viên trường THPT Châu Văn Liêm đã tận tình giúp đỡ tôi tiến thành thực nghiệm sư phạm tại

trường phổ thông

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trường THPT Châu Văn Liêm đã trao đổi những kinh nghiệm dạy học quý báu, và giúp đỡ tôi hoàn thành nghiên cứu

Tôi xin cám ơn các anh chị và các bạn học viên lớp Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán K17 đã ủng hộ và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn

Tác giả luận văn

BÙI PHƯƠNG UYÊN

Mục lục

Trang Lời cam đoan 3

Lời cảm ơn 4

Mục lục 5

Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt 8 i

Danh mục bảng viii

Danh mục hình 10

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 5

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 5

4 Giả thuyết nghiên cứu 5

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5

6 Phương pháp nghiên cứu 6

7 Cấu trúc chính của luận văn 6

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 7

1.1 Phép tương tự: vị trí, vai trò trong dạy học Toán 7

1.1.1 Phép tương tự là gì? 8

1.1.2 Các loại tương tự 12

1.1.3 Những điều kiện đảm bảo độ tin cậy của suy luận tương tự 14

1.1.4 Vai trò của phép tương tự trong dạy học 14

1.2 Đặc điểm nội dung phương pháp tọa độ trong không gian 19

1.2.1 Lịch sử và ý nghĩa của sự ra đời hình học giải tích 19

1.2.2 Cơ sở khoa học luận của phép tương tự giữa phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và phương pháp tọa độ trong trong không gian 20

1.2.3 Mối liên hệ giữa nội dung chương trình sách giáo khoa về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở lớp 10 và phương pháp tọa độ trong không gian ở lớp 12 25

1.3 Các mô hình dạy học sử dụng phép tương tự 29

1.3.1 Mô hình The General Model of Analogy Teaching (GMAT) 29

1.3.2 Mô hình Teaching-With-Analogies (T-W-A) 32

1.3.3 Mô hình Focus-Action-Reflection (FAR) 33

1.4 Thực trạng về việc dạy học PPTĐ trong không gian ở trường trung học phổ thông Châu Văn Liêm, thành

phố Cần Thơ 36

1.5 Kết luận chương 1 39

Chương 2 SỬ DỤNG PHÉP TƯƠNG TỰ TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 40

2.1 Định hướng xây dựng các ứng dụng của phép tương tự trong dạy học chuyển từ phương pháp tọa độ trong mặt phẳng sang phương pháp tọa độ trong không gian 40

2.1.1 Mục đích yêu cầu khi dạy học phương pháp tọa độ trong không gian 40

2.1.2 Yêu cầu khi sử dụng phép tương tự trong dạy học 42

2.2 Nguyên tắc xây dựng các ứng dụng của phép tương tự trong dạy học chuyển từ PPTĐ trong mặt sang phẳng PPTĐ trong không gian 44

2.3 Các ứng dụng của phép tương tự trong dạy học chuyển từ phương pháp tọa độ trong mặt phẳng sang phương pháp tọa độ trong không gian 46

2.3.1 Sử dụng phép tương tự vào dạy học khái niệm và ngăn ngừa sai lầm của học sinh 46

2.3.2 Sử dụng phép tương tự vào dạy học giải bài tập toán 57

2.3.3 Sử dụng tương tự để đề xuất bài toán mới 72

2.4 Kết luận chương 2 78

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 79

3.1 Thực nghiệm giảng dạy 79

3.1.1 Mục đích thực nghiệm giảng dạy 79

3.1.2 Nội dung thực nghiệm giảng dạy 79

3.1.3 Phân tích tiết dạy sau khi thực nghiệm 80

3.2 Kiểm tra kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm 84

3.2.1 Mục đích của đề kiểm tra 84

3.2.2 Nội dung kiểm tra 84

3.2.3 Phân tích kết quả bài kiểm tra 86

3.3 Phỏng vấn học sinh 90

3.3.1 Mục đích phỏng vấn học sinh 90

3.3.2 Nội dung phỏng vấn 91

3.3.3 Kết quả phỏng vấn học sinh 91

3.3.4 Phân tích chung về kết quả phỏng vấn 102

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm 105

PHẦN KẾT LUẬN 106

TÀI LIỆU THAM KHẢO 107

Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt

Ký hiệu Diễn giải

Danh mục bảng

Bảng 1.1 Tương tự trong dạy học công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và

mặt phẳng 16

Bảng 1.2 Nội dung chương trình SGK chương PPTĐ trong mặt phẳng và trong không

gian 26

Bảng 1.3 Mô hình FAR 33

Bảng 1.4 Dạy học khái niệm phương trình mặt cầu theo mô hình FAR 35

Bảng 1.5 Thống kê thâm niên của giáo viên 36

Bảng 2.1 Tương tự giữa hệ trục Oxy và Oxyz 49

Bảng 2.2 Tương tự giữa đường tròn và mặt cầu 51

Bảng 2.3 Tương tự giữa đường thẳng và mặt phẳng 53

Bảng 2.4 Tương tự trong công thức tính khoảng cách 54

Bảng 2.5 Tương tự giữa phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và không gian 56

Bảng 2.6 Phân dạng các bài tập về hệ trục tọa độ 58

Bảng 2.7 Phân dạng các bài tập về viết phương trình mặt cầu 61

Bảng 2.8 Phân dạng các bài tập tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu 63

Bảng 2.9 Phân dạng các bài tập viết phương trình mặt phẳng 64

Bảng 2.10 Phân dạng các bài tập viết phương trình đường thẳng 69

Bảng 2.11 Phân dạng các bài tập xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng và hai mặt phẳng 71

Bảng 2.12 Phân dạng các bài tập quỹ tích các điểm cách đều 73

Bảng 2.13 Phân dạng các bài tập tìm hình chiếu và điểm đối xứng 74

Bảng 3.1 Đáp áp đề kiểm tra 84

Bảng 3.2 Thống kê kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng theo điểm 88 Bảng 3.3 Thống kê kết quả kiểm tra lớp thực nghiệm và lớp đối chứng theo xếp loại 89

Bảng 3.4 Kiểm định giả thuyết H0 theo phương pháp t 89

Bảng 3.5 Kiểm định giả thuyết H0 theo phương pháp Z 90

Danh mục hình

Hình 1.1 Sơ đồ cấu trúc của phép suy luận tương tự 10

Hình 1.2 Mô hình học tập bằng tương tự của Holyoak (2005) 11

Hình 1.3 Tương tự theo thuộc tính 12

Hình 1.4 Tương tự theo quan hệ 12

Hình 1.5 Tương tự giữa hình thang và khối chóp cụt 20

Hình 2.1 Các thành phần cơ bản của quá trình tương tự 42

Hình 2.2 Sử dụng so sánh khi dùng tương tự 42

Hình 3.1 Biểu đồ tần số điểm kiểm tra lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 88

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Phép tương tự là một phép suy luận quan trọng trong dạy học toán ở nhà trường phổ thông

Một trong những nhiệm vụ quan trọng của dạy học toán là rèn luyện cho học sinh (HS) các hoạt động trí tuệ: khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự, so sánh, phân tích, tổng hợp Các hoạt động này giúp cho HS nắm vững, đào sâu kiến thức, phát huy tính độc lập, sáng tạo của bản thân các em không những trong học tập môn toán mà còn các môn học khác Chúng còn là cơ sở ban đầu để hình thành những phẩm chất trí tuệ cho HS

Trong các hoạt động trí tuệ nêu trên, phép suy luận tương tự là rất phổ biến Khi gặp một vấn đề mới, người ta có xu hướng so sánh, đối chiếu nó với các vấn đề tương tự trước đó Phép tương tự có mối quan hệ khăng khít với các thao tác tư duy khác So sánh là thành tố tiên phong của phép tương tự Phép tương tự có thể coi là yếu

tố tiền đề của bước khái quát hoá vì để khái quát hoá người ta phải chuyển từ một tập

hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một

số trong các đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát

Tương tự cổ điển đã được sử dụng bởi Aristotle gần 2000 năm trước Từ lâu, phép tương tự đã được nghiên cứu và đóng một vai trò trọng yếu trong học tập toán học Năm 1954, Polya đã nghiên cứu việc sử dụng tương tự trong toán học và cho rằng tương tự có thể cung cấp một nguồn của các vấn đề mới và có thể nâng cao hiệu suất, ý tưởng giải quyết vấn đề [35] Gần đây, các nghiên cứu chú ý nhiều hơn đến vai trò của phép tương tự trong học tập khoa học và đặc biệt là việc học tập các khái niệm toán

học cơ bản của HS Năm 1989, Glynn đã đề cập mô hình dạy học với phép tương tự

T-W-A trong tác phẩm Teaching Science With Analogy: A Strategy for Teachers and Textbook Authors [22] Năm 2007, Harrison and Coll đưa ra một hướng dẫn dạy học

với phép tương tự: mô hình FAR [25] Ở Việt Nam, cũng có nhiều nghiên cứu về phép tương tự và ứng dụng của nó trong dạy học được giới thiệu bởi các tác giả như PGS Hoàng Chúng [6], GS Nguyễn Bá Kim [10], GS Đào Tam [17], PGS Nguyễn Phú Lộc [12],… Các công trình này đã khẳng định được vai trò quan trọng của phép tương

tự trong dạy học toán học

Bên cạnh đó, trong dạy học Toán, nếu người giáo viên chỉ quan tâm truyền thụ kiến thức cho HS thì còn nhiều khiếm khuyết Họ phải cân nhắc đến việc rèn luyện các phẩm chất trí tuệ cho HS Điều này được ghi nhận trong Luật giáo dục năm 2005 tại

mục 2 điều 5 chương I như sau: "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự

giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên" Thêm vào đó, GV sử

dụng phép tương tự trong dạy học toán sẽ góp phần thực hiện mục tiêu trên đối với HS

1.2 Dạy học phương pháp tọa độ trong hình học không gian liên hệ với phương pháp tọa độ trong hình học phẳng

Trong các sách giáo khoa (SGK) hiện nay chỉ trình bày chủ yếu một hệ tọa độ

là hệ tọa độ Descartes vuông góc, đặc biệt là hệ tọa độ Descartes trực chuẩn, trong cả mặt phẳng lẫn không gian vì nó là hệ tọa độ thông dụng nhất và cho phép giải quyết cả những bài toán aphin lẫn những bài toán mêtric Các loại hệ tọa độ như tọa độ aphin, tọa độ cực, thuộc dạng nâng cao so với HS phổ thông Các kiến thức về tọa độ của một vectơ, tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ, các biểu thức tọa độ đối với các phép toán vectơ, công thức khoảng cách giữa hai điểm, góc giữa hai đường thẳng, là những kiến thức quan trọng để có thể sử dụng phương pháp tọa độ (PPTĐ) PPTĐ là

“một phương pháp tư duy mới, tư duy hình học bằng những con số, tìm hiểu các hình hình học qua phương trình của chúng Việc đưa kiến thức vectơ và PPTĐ vào chương trình hình học đã giúp HS tiếp cận với một phương pháp tư duy hiện đại có thêm những phương tiện mới để suy luận một cách có cơ sở khoa học mà hoàn toàn không dựa vào trực giác” [5,tr 120]

Sách giáo khoa Toán 10 (nâng cao) đề cập đến một số nội dung quan trọng Đường thẳng được nhắc đến qua phương trình tham số (PTTS), phương trình chính tắc, phương trình tổng quát (PTTQ), phương trình theo đoạn chắn, góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, Đường tròn cũng được các tác giả trình bày một cách khá đầy đủ SGK đưa ra các dạng của đường tròn, vị trí tương đối của điểm đối với đường tròn, vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, tiếp tuyến tại một điểm, tiếp tuyến đi qua một điểm,

Các đường elip, hyperbol, parabol được nêu ra theo một trình tự và với yêu cầu thống nhất: trước hết trình bày định nghĩa hình học (HH) của chúng, sau đó lập phương trình chính tắc của chúng bằng cách chọn một hệ tọa độ đặc biệt thích hợp, từ phương trình chính tắc suy ra, một số tính chất về hình dạng của đường cong tương ứng

Trong không gian, nội dung của PPTĐ được bổ sung thêm tích có hướng của hai vectơ, tích hỗn tạp của 3 vectơ, biểu thức tọa độ của chúng, điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng và các công thức của chúng

Vấn đề đặt ra là GV cần làm cho HS thấy rằng những chủ đề nghiên cứu về mặt phẳng trong không gian bằng PPTĐ: PTTQ, vectơ pháp tuyến (VTPT), cặp vectơ chỉ phương (VTCP), vị trí tương đối của hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến

mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, là những vấn đề tương tự như đã xét đối với đường

thẳng (ĐT) trong mặt phẳng Một cách tương tự, mặt cầu trong chương trình toán lớp

12 có thể được dạy học trong sự so sánh đối chiếu với đường tròn trong HH lớp 10

Tóm lại, việc dạy học HH không gian ở lớp 12 cần liên hệ chặt chẽ với những kiến thức HH phẳng lớp 10 Đó chính là tư tưởng của phép tương tự khi dạy HH không gian lớp 12 thông qua HH phẳng lớp 10

Trong môn toán, phân môn HH giải tích trong không gian lớp 12 có nhiều thuận lợi để phát triển trí tuệ cho HS vì nó bao hàm nhiều hoạt động Vận dụng tương

tự hoá cùng với các hoạt động trí tuệ khác sẽ giúp các em không những dễ dàng tiếp thu, lĩnh hội kiến thức mà còn nâng cao khả năng tự học, phát huy tính độc lập sáng tạo cho các em

Trên thực tế, đã có một số luận văn và luận án nghiên cứu về phép tương tự

trong dạy học hình học như: luận án tiến sĩ: “Phương pháp tương tự trong dạy học các

bài toán hình học không gian” của TS Bùi Duy Hưng, trường Đại học Sư phạm Hà

Nội, bảo vệ năm 1991; luận văn thạc sĩ: “Vận dụng phép suy luận tương tự trong dạy

học bài tập hình học không gian lớp 11 theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho HS ”

của Khoa Thị Loan (người hướng dẫn PGS TS Vũ Quốc Chung); luận văn thạc sĩ:

“Khai thác và vận dụng tương tự hóa trong dạy học hình học không gian lớp 11 trung

học phổ thông” (người hướng dẫn PGS TS Bùi Văn Nghị ) Tuy nhiên, chúng tôi

nhận thấy rằng chưa có đề tài nào nghiên cứu ứng dụng của phép tương tự vào dạy học PPTĐ

Những phân tích trên đặt ra cho chúng tôi nhiều câu hỏi mà việc giải đáp chúng sẽ gợi ra những cái mới và đóng góp của luận văn

- Phép tương tự được định nghĩa được như thế nào? Phép tương tự có vị trí, vai trò gì trong dạy học toán?

- PPTĐ trong HH phẳng lớp 10 gồm những nội dung gì? PPTĐ trong HH không gian lớp 12 gồm những nội dung gì? Mối tương quan giữa chúng ra sao?

- GV có thường xuyên sử dụng phép tương tự trong dạy học toán không? Tần suất sử dụng của họ trong dạy học chuyển từ PPTĐ trong mặt phẳng sang PPTĐ trong không gian ra sao?

- Có những biện pháp sư phạm nào để giúp GV sử dụng phép tương tự trong dạy học chuyển từ PPTĐ trong mặt phẳng sang PPTĐ trong không gian? Hiệu quả của chúng ra sao?

Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn:

“Sử dụng phép tương tự vào dạy học: nghiên cứu áp dụng vào dạy học phương pháp tọa độ trong không gian”

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu phép tương tự, vai trò, vị trí của nó và các biện pháp sư phạm để sử dụng phép tương tự trong dạy học PPTĐ trong không gian

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau:

- Phép tương tự được định nghĩa được như thế nào? Phép tương tự có vị trí, vai trò gì trong dạy học toán?

- PPTĐ trong HH phẳng lớp 10 gồm những nội dung gì? PPTĐ trong HH không gian lớp 12 gồm những nội dung gì? Mối tương quan giữa chúng ra sao?

- GV có thường xuyên sử dụng phép tương tự trong dạy học toán không? Tần suất sử dụng của họ trong dạy học chuyển từ PPTĐ trong mặt phẳng sang PPTĐ trong không gian ra sao?

- Có những biện pháp sư phạm nào để giúp giáo viên sử dụng phép tương tự trong dạy học chuyển từ PPTĐ trong mặt phẳng sang PPTĐ trong không gian? Hiệu quả của chúng ra sao?

4 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu GV biết sử dụng phép tương tự trong dạy học chuyển từ PPTĐ trong mặt phẳng sang PPTĐ trong không gian thì sẽ mang lại hiệu quả đích thực cho hoạt động dạy học PPTĐ trong không gian lớp 12

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận

Phương pháp nghiên cứu lý luận: phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa kiến thức

về phép tương tự và các phép suy luận khác từ các giáo trình lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tạp chí khoa học,… đồng thời phân tích nội dung chương trình sách giáo khoa, từ đó đề ra các ứng dụng của phép tương tự trong dạy học chuyển

từ PPTĐ trong mặt phẳng sang PPTĐ trong không gian

6 Đóng góp chính của luận văn

Luận văn đã đạt các kết quả sau

 Tổng kết, hệ thống hóa cơ sở lý luận về phép tương tự cùng với vị trí, vai trò của nó trong dạy học toán

 Tìm hiểu thực trạng việc sử dụng phép tương tự trong dạy học toán của GV tại trường THPT Châu Văn Liêm

 Xây dựng các ứng dụng của phép tương tự trong dạy học chuyển từ PPTĐ trong mặt phẳng sang PPTĐ trong không gian

 Kiểm chứng được tính hiệu quả của các hoạt động dạy học có sử dụng phép tương tự trong chương PPTĐ trong không gian

7 Cấu trúc chính của luận văn

Luận văn được trình bày theo 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Sử dụng phép tương tự trong dạy học phương pháp tọa độ trong không gian

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Chương này nhằm tổng hợp, hệ thống hóa quan điểm của các nhà giáo dục về phép tương tự, vị trí và vai trò của nó trong quá trình dạy học; đồng thời phân tích cơ

sở khoa học luận cùng đặc điểm nội dung Phương pháp tọa độ trong chương trình sách

giáo khoa hiện nay để đưa ra những kiến thức tương tự giữa hai nội dung phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và phương pháp tọa độ trong không gian Bên cạnh đó, chương này cũng đề cập một số mô hình dạy học có sử dụng phép tương tự đã được áp dụng như: mô hình giảng dạy tương tự tổng quát, mô hình T-W-A, mô hình FAR Ngoài ra, trong chương này, chúng tôi cũng phân tích những thực trạng dạy học có sử dụng phép tương tự của các giáo viên toán ở trường trung học phổ thông Châu Văn Liêm, thành phố Cần Thơ

1.1 Phép tương tự: vị trí, vai trò trong dạy học Toán

Lý luận phép tương tự từ lâu đã đóng một vai trò trọng yếu trong học tập toán học

và giải quyết vấn đề Có nhiều suy luận của con người liên quan đến phép tương tự và được thực hiện bằng cách sử dụng các lược đồ từ cuộc sống hàng ngày Do đó, tương

tự là một khía cạnh tự nhiên và phổ biến của nhận thức con người Năm 1954, Polya đã nghiên cứu việc sử dụng tương tự trong toán học và đã chứng minh được rằng tương tự

có thể cung cấp một nguồn màu mỡ của các vấn đề mới và có thể nâng cao hiệu suất, ý tưởng giải quyết vấn đề Tuy nhiên, các nghiên cứu gần đây chú ý nhiều hơn đến vai trò của phép tương tự trong học tập, nghiên cứu khoa học và đặc biệt là việc học tập các khái niệm toán học của trẻ em [35]

1.1.1 Phép tương tự là gì?

Danh từ tương tự có nguồn gốc từ “αναλογια”, một từ toán học của Hy Lạp Từ này có nghĩa là sự bằng nhau của hai tỉ số Ví dụ 3:4::9:12, tức là hệ hai số 3 và 4 tương tự với hệ hai số 9 và 12 [14,tr 81- 82]

Theo [6,tr 87- 88], suy luận tương tự là suy luận căn cứ vào một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng, để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của hai đối tượng đó

Sơ đồ: - Hai đối tượng A và B có các thuộc tính chung (giống nhau) a, b, c, d, e

- Đối tượng A có thuộc tính f

Có thể: B cũng có thuộc tính f

Ví dụ 1.1 - Trái đất và sao Hỏa có một số thuộc tính chung: Là hành tinh của mặt trời,

đều có không khí, đều có nước, đều có khí hậu tương đối ôn hòa

- Trên trái đất có sự sống

Có thể, trên sao Hỏa cũng có sự sống

Theo [15,tr 24 - 26], tương tự là một kiểu giống nhau nào đó Những đối tượng phù hợp với nhau trong những mối quan hệ được quy định là những đối tượng tương

tự Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng Ví dụ tam giác trong mặt phẳng tương ứng tứ diện trong không gian Trong mặt phẳng, hai đường thẳng không tạo nên một hình có giới hạn, còn ba đường thẳng tạo nên một tam giác Trong không gian, ba mặt phẳng không tạo nên được một vật giới hạn, còn bốn mặt phẳng thì có thể tạo nên một tứ diện Quan

hệ của tam giác với mặt phẳng cũng như quan hệ của tứ diện với không gian bởi chúng đều được giới hạn bởi số tối thiểu những yếu tố cơ bản

Trong toán học, theo [20,tr 42 - 43], tương tự là suy luận dựa trên sự giống nhau về tính chất, mối quan hệ giữa các đối tượng toán học Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương pháp chứng minh là giống nhau Hai vấn đề là tương

tự nếu có cùng tính chất hay vai trò như nhau, hay giữa các phần tử tương ứng của chúng có mối quan hệ tương đương

Theo từ điển Bách khoa toàn thư, phép tương tự là phương pháp luận xác định

sự giống nhau trong một số mặt, tính chất và quan hệ giữa những đối tượng không đồng nhất với nhau Trong các giai đoạn ban đầu của khoa học, phép tương tự thay cho

sự quan sát có hệ thống và thực nghiệm; những kết luận (suy lí) của nó là căn cứ vào những sự tương tự bên ngoài và thứ yếu Triết học tự nhiên cổ đại là triết học giải thích

đã xuất hiện như thế Về sau, phép tương tự được sử dụng cùng với những hình thức nhận thức khác Trong khoa học hiện đại, phép tương tự được sử dụng nhiều nhất trong việc lập mô hình [32]

Phép tương tự, theo từ điển Wester, được định nghĩa như là “sự so sánh giữa những vật nói chung khác nhau nhưng nổi bật lên là sự giống nhau ở vài khía cạnh thích hợp”.Vật làm cơ sở cho tương tự, là phần tử để so sánh, được gọi là nguồn; trong khi đó, những vật được giải thích hoặc được học nhờ sử dụng phép tương tự được gọi

là đích Sử dụng phép tương tự là một quá trình liên quan đến sự trao đổi giữa nguồn

và đích [26,tr 163-165].

Mô hình tương ứng phép tương tự (mapping analogies)

George Lakoff, một học giả trong ngôn ngữ học và khoa học nhận thức, đã xây dựng và phát triển lý thuyết về phép ẩn dụ Theo [33], các phép ẩn dụ có nghĩa là

một tương ứng trong hệ thống khái niệm Các đối tượng trong một miền cơ sở được

tương ứng tới các đối tượng trong một miền mục tiêu Một trong những ý tưởng chính

của Lakoff là với một tình huống quen thuộc được sử dụng để hiểu biết đặc điểm, bản chất của một tình huống không quen thuộc

Deidre Gentner đã đóng góp nhiều tài liệu về sử dụng phép tương tự trên lĩnh vực giáo dục Gentner xem phép tương tự có liên quan đến phép ẩn dụ của Lakoff [31] Theo định nghĩa của Duit (1991) và Glynn (1995), một “tương tự’” biểu thị “sự tương đồng giữa hai lĩnh vực có liên quan đến đặc tính cụ thể” Tương tự, Gentner (1989) mô

tả một tương tự như một “tương ứng của kiến thức từ một miền (cơ sở) vào một mục tiêu” Vì vậy, muốn giải thích một số khái niệm mới (mục tiêu) cần đề cập đến một số khái niệm đã được biết đến hoặc đã hiểu (cơ sở) Như vậy, ta xem xét một mối quan hệ tương tự giữa cơ sở và mục tiêu [33]

Một định nghĩa tương tự khác của Gentner, theo [34], là: tương tự là một tương ứng từ một cấu trúc, cơ sở hoặc nguồn đến một cấu trúc khác hay mục tiêu hệ thống Thông thường, cơ sở là một phần đã được biết đến, trong khi mục tiêu là một phần có thể suy ra hoặc phát hiện Sự tương tác của các cơ sở và mục tiêu tạo ra một cấu trúc mới mở rộng vượt ra ngoài trước kinh nghiệm đã có Theo lý thuyết cấu trúc tương ứng

của Gentner, “Sự tương tự T giống như B được định nghĩa một tương ứng từ B đến T”

B được gọi là miền cơ sở và phục vụ như là một kiến thức nguồn, T được gọi là miền mục tiêu và là đề tài được học

Mô hình học tập bằng tương tự của Holyoak

Trong những năm 1980, một cách tiếp cận tương tự quan trọng đã được Holyoak phát triển Nghiên cứu của ông tập trung vào việc sử dụng tương tự trong vấn

đề giải quyết Phương pháp này nhấn mạnh vai trò của sử dụng tương tự như thế nào để thực hiện các mục tiêu và hướng dẫn việc giải thích của một tương tự Holyoak xác định tương tự như là tương tự đối với một mục tiêu và đề nghị rằng quá trình lập tương ứng giữa cơ sở và mục tiêu theo hướng đạt được mục tiêu

Miền cơ sở Miền mục tiêu

Cấu trúc Cấu trúc

đã biết được suy ra

Hình 1.1 Sơ đồ cấu trúc của phép suy luận tương tự [33]

Suy luận quy nạp là suy luận từ những chân lý riêng lẻ, cụ thể khái quát lên thành những chân lý tổng quát Quy nạp có thể dẫn đến các kết luận sai vì vậy không cho phép dùng quy nạp để chứng minh Cho nên quy nạp có thể dùng để phát hiện vấn

đề, mầy mò, dự đoán ra chân lý, sau đó dùng suy diễn để chúng minh [21,tr 119-120] Phép tương tự là phép suy luận quy nạp, không phải là một suy luận chứng minh, nên những kết luận dự kiến chỉ là giả thuyết, thực tế đúng đắn của chúng không được bảo đảm mà phải được kiểm tra một cách riêng biệt Vì vậy, khi đánh giá một tương tự cần chú ý: cho dù những kết luận dự kiến có cấu trúc nhất quán đi nữa, tính đúng đắn của mục tiêu vẫn có thể khác so với các kết luận dự kiến Một tiêu chí khác được áp dụng trong giải quyết vấn đề là liệu các kết luận của phép tương tự có liên quan đến mục tiêu hiện tại hay không Một tương tự có thể được cấu trúc suy luận đúng, nhưng vẫn không liên quan đến mục tiêu Đó là khả năng thích ứng của những kết luận cho vấn đề mục tiêu [35]

Qua các phân tích trên, chúng tôi xin đưa ra một tóm tắt về phép tương tự như sau: phép tương tự là phép suy luận về sự tương ứng các mối quan hệ từ đối tượng

Giải quyết vấn đề

Cơ sở

Mục tiêu - Suy luận

thiết lập lại lập tương ứng

đánh giá

Hình 1.2 Mô hình học tập bằng tương tự của Holyoak (2005)

trong miền cơ sở đến đối tượng trong miền mục tiêu Vì thế, để đạt được hiệu quả khi

sử dụng phép tương tự đòi hỏi một sự hiểu biết đúng đắn về lĩnh vực cơ sở Do đó, kiến thức mà HS đã học đóng một vai trò quan trọng trong sự hiểu biết đúng đắn về các khái

niệm mới Hơn nữa, việc sử dụng phép tương tự còn phù hợp với quan điểm học tập

kiến tạo, có nghĩa là, học tập là một quá trình hoạt động xây dựng kiến thức mới dựa trên cơ sở kiến thức đã có Nói cách khác, học tập về cơ bản có liên quan với xây dựng tương đồng giữa những ý tưởng mới và những ý tưởng hiện có

1.1.2 Các loại tương tự

Theo [14,tr 82 - 83], phép tương tự được chia thành hai loại:

 Tương tự theo thuộc tính: dấu hiệu được rút ra trong kết luận biểu thị thuộc tính

 Tương tự theo quan hệ: dấu hiệu được rút ra trong kết luận biểu thị quan hệ

- A và B cùng loại (hay cùng cấu trúc tương tự)

Theo [26,tr 163 -165], chúng ta có thể xem xét ba loại tương tự sau:

 Tương tự với nguồn và đích trong miền giống nhau: Loại tương tự này so sánh đối với hai hiện tượng, hai khái niệm trong cùng một lĩnh vực Chẳng hạn, trong toán học, nguồn của phương trình hay đồ thị trong không gian ba chiều là phương trình hay đồ thị trong không gian hai chiều

 Tương tự với nguồn và đích trong miền khác nhau: Loại tương tự này so sánh những khái niệm được hình thành từ các miền khác nhau, các lĩnh vực khác nhau

Ví dụ, trong Đại số, đồ thị hàm số yaxb tương tự với phương trình đường thẳng

0

AxBy C trong Hình học

 Tương tự dựa vào kinh nghiệm của HS: Loại tương tự này so sánh hiện tượng hoặc khái niệm mới có đặc điểm tương tự với những gì mà HS đã biết trong cuộc sống Ví dụ, trong Vật lý, dòng electron đi từ nơi có hiệu điện thế cao đến nơi có hiệu điện thế thấp giống như dòng nước chảy từ chỗ cao đến chỗ thấp là hiện tượng quen thuộc trong cuộc sống; mặt nước trong cốc nước hình trụ đặt nghiêng là nguồn cho khái niệm elip trong Hình học

Theo [36], phép tương tự được phân chia thành các loại như sau:

1 Tương tự trực tiếp (Direct Analogy): Đối tượng được so sánh gần giống với đối tượng tương tự của nó trong tự nhiên Ví dụ, để cải thiện hệ thống cánh máy bay, người ta có thể tham khảo cánh chim, vây cá hay mũi tên, viên đạn,

2 Tương tự cá nhân (Personal Analogy): Người cần giải quyết vấn đề hóa thân thành đối tượng hay một phần đối tượng để có một góc nhìn mới Ví dụ, tưởng tượng mình là chiếc ô tô đang chạy, khi gặp chướng ngại vật, bùn lầy sẽ làm gì,

3 Tương tự tượng trưng (Symbolic Analogy): Ở đây cần có sự tương tự về đặc trưng, tính chất giữa hai đối tượng

4 Tương tự viễn tưởng (Fantasy Analogy): Đưa vào bài toán các giả định để thực hiện những yêu cầu đòi hỏi mới đối với bài toán

1.1.3 Những điều kiện đảm bảo độ tin cậy của suy luận tương tự

Theo [6,tr 87-88], những điều kiện để đảm bảo độ tin cậy của suy luận tương tự bao gồm:

a) Các đối tượng so sánh có càng nhiều thuộc tính giống nhau thì mức độ chính xác của kết luận càng cao

b) Các thuộc tính giống nhau càng phong phú, nhiều mặt thì mức độ chính xác của kết luận càng cao

c) Số lượng các thuộc tính bản chất giống nhau càng nhiều thì mức độ chính xác của kết luận càng cao

Ví dụ 1.2 A và B đều được sinh ra từ gia đình có bố mẹ làm ngành Y, đều được

học đại học Y khoa tại Pháp, A đã trở thành bác sĩ giỏi Vậy B cũng có thể trở thành bác sĩ giỏi

Suy luận sau đây đáng tin cậy hơn :

Ví dụ 1.3 M và N đều xuất thân từ gia đình có truyền thống âm nhạc Bố của M

và bố của N đều là những tay đàn Vi-ô-lông cự phách Cả M và N đều tự hào về truyền thống gia đình và say mê âm nhạc Vì thế cả hai đều vào học ở nhạc viên, khoa Vi-ô-lông và cùng được sự hướng dẫn dìu dắt của một giáo sư Vi-ô-lông nổi tiếng Cũng như M, N vừa mới đoạt giải Vi-ô-lông toàn quốc Hiện nay, M đã trở thành một tay đàn Vi-ô-lông giỏi Chắc chắn, N cũng sẽ trở thành một tay đàn Vi-ô-lông giỏi như M

1.1.4 Vai trò của phép tương tự trong dạy học

Trong suốt lịch sử, phép tương tự đã đóng một vai trò quan trọng trong việc khám phá khoa học Tương tự cũng đóng một vai trò quan trọng trong việc giải thích những khám phá Bên cạnh đó, phép tương tự còn đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết vấn đề Khả năng sử dụng một tương tự giữa cơ sở hoặc nguồn với vấn đề mới hay mục tiêu có một cấu trúc tương đồng có thể nâng cao hiệu quả và năng suất giải quyết vấn đề Phép tương tự liên quan đến việc xây dựng mối liên hệ giữa các

thành phần trong cơ sở và các thành phần trong mục tiêu và hình thành giải pháp từ vấn đề cơ sở để phù hợp với yêu cầu của vấn đề mục tiêu

GV thường xuyên sử dụng phép tương tự để giải thích khái niệm cho HS Các tương tự được xem như là mô hình ban đầu, hoặc thể hiện các đặc điểm đơn giản của các khái niệm khoa học GV thường sử dụng phép tương tự và không biết họ đang sử dụng chúng một cách tự động Bất cứ khi nào họ bắt đầu một lời giải thích với “Nó giống như ”, “Nó tương tự như ”, hoặc “Hãy nghĩ về nó theo cách này ”, khi đó

họ đang sử dụng một tương tự để giải thích một khái niệm cho HS của mình Phép tương tự có thể đóng một vai trò quan trọng trong việc giúp HS xây dựng kiến thức riêng của họ, một quá trình phù hợp với quan điểm học tập kiến tạo Tương tự có thể giúp HS xây dựng cầu nối giữa các khái niệm, những gì quen thuộc với những gì mới

Từ đó giúp HS hình dung những khái niệm mới, phức tạp, khó hiểu Tuy nhiên, phép tương tự cũng mặt hạn chế: nó có thể thúc đẩy sự hiểu biết, nhưng nó cũng có thể dẫn với quan niệm sai lầm

Như vậy, phép tương tự có nhiều ứng dụng rộng rãi trong đời sống cũng như trong khoa học Trong dạy học toán ở trường phổ thông, theo tác giả Nguyễn Phú Lộc, phép tương tự có các ứng dụng: xây dựng ý nghĩa cho tri thức, xây dựng giả thuyết, dự đoán và ngăn ngừa sai lầm của HS Bên cạnh đó, chúng tôi còn nhận thấy một ứng dụng nữa của phép tương tự là dùng tương tự để giải bài tập toán cho HS

1.1.4.1 Dùng tương tự để xây dựng ý nghĩa của tri thức [14 ,tr 81 – 82]

Trong quá trình dạy học để giúp HS hiểu được những khái niệm khoa học, GV thường sử dụng phép tương tự Chẳng hạn, con mắt giống máy quay phim, trái tim giống như một máy bơm, dòng điện giống dòng nước, hay màng tế bào tương tự như một hàng rào liên kết với chuỗi cửa tuần tra bởi các nhân viên bảo vệ,… Trong toán học, một vô cùng lớn trừ cho một số hữu hạn là một vô cùng lớn giống như ta lấy một

số hữu hạn thùng nước biển không làm thay đổi mực nước biển; một dãy số có giới hạn

là a thì các số hạng có khuynh hướng tập trung quanh a giống như trên đoạn đường

quy định xe ô tô chỉ chạy với vận tốc giới hạn là 40 km/h thì tốc độ các xe ô tô đến đoạn đường này hầu hết gần 40 km/h; đồ thị hàm số gián đoạn giống như một tuyến đường giao thông có một cây cầu bị gãy;…

1.1.4.2 Dùng tương tự để xây dựng giả thuyết

Trong dạy học môn toán, chúng ta có thể sử dụng phép tương tự theo thuộc tính hay tương tự theo quan hệ giữa các đối tượng để đưa ra giả thuyết, sau đó tiến hành chứng minh hay bác bỏ

Bảng 1.1 Tương tự trong dạy học công thức tính khoảng cách từ một điểm đến

1.1.4.3 Dùng tương tự trong giải bài tập toán

Trong toán học, nhiều dạng bài tập chúng ta có thể sử dụng các phương pháp tương tự để giải Đặc biệt, đối với PPTĐ trong không gian cũng có nhiều dạng bài tập

có thể sử dụng phương pháp tương tự như trong PPTĐ trong mặt phẳng

Ví dụ 1.4 Xét hai bài toán sau:

Bài toán 1: Viết PT đường tròn (C) biết tâm I(1,3) và một điểm đi qua A(3,1) [2,tr 95] Bài giải

1.1.4.4 Dùng tương tự để dự đoán và ngăn ngừa sai lầm của HS

Trong những năm gần đây, các nhà giáo dục đã tập trung sự chú ý vào các yếu tố ảnh hưởng đến quá trình học tập của HS Những định kiến hay kiến thức mà HS đã học trước đó có thể gây bất lợi cho việc học của HS Nhận thức được vai trò quan trọng của định kiến trong kinh nghiệm học tập, GV cần phải giúp HS thay đổi mô hình hiện có của họ không chính xác hay mâu thuẫn với mô hình khoa học [33] Clement và Brown

đã phát triển chiến lược “cầu nối tương tự” (Bringing Analogies) để giúp HS khắc

phục các sai lầm này Phép tương tự này giúp HS mở rộng đúng trực giác với các tình huống mục tiêu mà họ có quan niệm sai lầm Sau khi cho HS một phân tích không chính xác về một tình huống mục tiêu cho biết sự tồn tại của một quan niệm sai lầm,

GV trình bày một tình huống tương tự được gọi là “neo” Chiến lược cầu nối tương tự

cố gắng để đưa HS đến hiểu biết về mối quan hệ tương tự giữa mục tiêu và các tình huống neo này bằng cách trình bày một chuỗi các tương tự trung gian (được gọi là cầu nối tương tự) tại một số điểm mà HS đã cho câu trả lời mâu thuẫn Kết quả của xung đột nhận thức sẽ thúc đẩy HS thay đổi tâm trí của mình về những quan niệm sai lầm [28,tr 79-101]

Phương pháp tiếp cận này phù hợp với mô hình kiến tạo trong dạy học Học tập theo quan điểm kiến tạo là hoạt động của HS dựa vào kinh nghiệm của bản thân, huy động chúng vào quá trình tương tác với các tình huống, tiêu hóa chúng và rút ra điều cần hình thành Dạy học theo quan điểm kiến tạo không phải là truyền tải kiến thức toán học mà là tạo tình huống cho HS thiết lập các cấu trúc cần thiết [18,tr.21-22] Tương tự như vậy, mô hình cầu nối tương tự cũng cho rằng việc học không phải là một quá trình thụ động cho phép thông tin đến được nhớ trong não bộ, nhưng là một quá trình hoạt động cố gắng để duy trì trạng thái cân bằng trong một môi trường thay đổi Mặt khác, chiến lược cầu nối tương tự cũng tương đồng với phương pháp giảng dạy của Socrates trong đó nó liên quan đến lý luận từ một số trường hợp cụ thể và hướng dẫn chủ yếu là đặt ra từ các câu hỏi trái ngược với thông tin truyền đạt

Chúng tôi xin đưa ra một ví dụ về tình huống này: HS đã quen làm việc với các đường trong mặt phẳng, khi chuyển sang các đối tượng trong không gian cũng có nhiều đối tượng tương tự Tuy nhiên, PPTĐ trong không gian cũng có những điểm khác, những dị biệt so với PPTĐ trong mặt phẳng mà HS rất dễ gặp sai lầm Chẳng hạn: từ

PTTQ của ĐT: Ax+By+C=0 có thể suy ra PTTQ của mặt phẳng: Ax +By +Cz +D=0

tương tự là PTTS của mặt phẳng có dạng

0 0 0

Điều này là do mặt phẳng không

xác định bởi 1 VTCP, mà xác định bởi 2 VTCP không cùng phương

1.2 Đặc điểm nội dung phương pháp tọa độ trong không gian

1.2.1 Lịch sử và ý nghĩa của sự ra đời hình học giải tích

Vào cuối thế kỷ XVII, Descartes và Fermat đã xây dựng nên môn hình học giải tích Đây là sự kết hợp giữa các phương trình đại số và các đường cong, trong đó sử dụng các phương pháp định lượng vào nghiên cứu hình học Cốt lõi của phương pháp này là xác lập một sự tương ứng giữa các cặp số thực sắp thứ tự với các điểm trong mặt phẳng (và tương tự là bộ ba số với các điểm trong không gian), từ đó thiết lập một sự tương ứng giữa đường trong mặt phẳng và phương trình hai biến sao cho mỗi đường

cong trong mặt phẳng có một phương trình xác định f(x,y)= 0 và ngược lại ứng với một

phương trình như vậy có một đường xác định trong mặt phẳng Một sự tương ứng như

vậy xác lập tính chất đại số hay giải tích của phương trình f(x,y)= 0 với đường liên kết

Việc chứng minh một định lý trong hình học chuyển sang việc chứng minh một định lý tương ứng trong đại số và giải tích [13,tr 73 -75]

Sự ra đời của hình học giải tích đã tạo ra một bước đổi mới về đối tượng nghiên cứu của toán học Các khái niệm hình học chuyển đổi thành các khái niệm đại số và các mục tiêu hình học có thể đạt được thông qua đại số Giải thích ý nghĩa đại số bằng hình học có thể giúp ta nắm được khái niệm đại số một cách trực quan hơn và nhờ đó

có thể rút ra những kết luận mới Ý nghĩa lớn nhất của sự ra đời của hình học giải tích

là cung cấp cho khoa học một công cụ có tính định lượng Việc nghiên cứu thế giới vật chất đòi hỏi phải sử dụng hình học Các vật thể là những hình hình học và quỹ đạo chuyển động là những đường cong Và theo Descartes, toàn bộ vật lý có thể quy về

hình học Hình học giải tích giúp mô tả hình dạng và quỹ đạo của các chuyển động dưới dạng đại số Do đó, người ta có thể rút ra những kiến thức định lượng

1.2.2 Cơ sở khoa học luận của phép tương tự giữa phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và phương pháp tọa độ trong trong không gian

Một trong những ví dụ tương tự đầu tiên giữa hình học hai chiều và ba chiều của người Babylon là sự tương tự giữa một hình thang (được tạo thành bằng cách cắt bỏ phần đầu một tam giác bằng một đường song song với đáy) và khối chóp cụt (được hình thành khi cắt bỏ phần đỉnh của khối chóp bằng một mặt phẳng song song với đáy), được thể hiện trong hình 1.5:

Hình 1.5 Tương tự giữa hình thang và khối chóp cụt

Công thức tính diện tích hình thang là ½.h (A + B), với A và B là độ dài hai đáy Độ dài hai cạnh đáy A và B có thể được xem như tương tự với diện tích hai đáy của một hình chóp cụt Do đó, người Babylon đã sử dụng phép suy luận tương tự để suy ra thể tích của hình chóp cụt là ½.h (A + B), với A và B là diện tích của đa giác đáy [29,tr 2]

Như vậy, phép tuơng tự đã được sử dụng từ rất lâu từ thời kì cổ đại Tuy nhiên, người Babylon đã chưa giải thích rõ ràng cơ sở khoa học để họ sử dụng phép tương tự Điều này cũng gây ra những bất lợi cho việc mở rộng thêm nhiều tương tự khác Vì vậy, việc tìm hiểu cơ sở khoa học luận của phép tương tự giữa hình học hai chiều và ba chiều là rất cần thiết Chính vì lý do đó, chúng tôi xin nhắc lại các định nghĩa và một

vài khái niệm trong không gian Euclide n-chiều tổng quát, sau đó phân tích các khái

niệm này trong không gian Euclide hai chiều và ba chiều Đây chính là cơ sở khoa học luận của sự tương tự giữa hình học phẳng và hình học không gian

1.2.2.1 Định nghĩa không gian Euclide n – chiều

Không gian vectơ được trang bị thêm tích vô hướng đối với mọi hai vectơ bất

kì của nó trở thành một không gian vectơ Euclide, kí hiệu là n

E

Không gian Euclide n chiều là không gian Afin liên kết với không gian vectơ

Euclde n chiều, kí hiệu là En [8,tr 84-87]

Không gian Euclide 3 chiều thông thường được học trong chương trình toán

phổ thông, kí hiệu E 3 Mặt phẳng Euclide là không gian Euclide 2 chiều, kí hiệu E 2

Tích vô hướng trong các không gian vectơ Euclide này được định nghĩa:

| || | os( , )

a b a b c a b

1.2.2.2 Tọa độ trực chuẩn

 Mục tiêu afin O e e; , , ,1 2 e ncủa không gian Euclde n-chiều được gọi là mục

tiêu trực chuẩn (hay còn gọi là hệ tọa độ Descartes vuông góc) nếu cơ sở e e1, 2, ,e n

là cơ sở trực chuẩn Tọa độ của một điểm thuộc E n

đối với mục tiêu trực chuẩn gọi là

tọa độ trực chuẩn đối với mục tiêu đã cho, còn gọi là tọa độ Descartes vuông góc)

Cụ thể, hệ tọa độ Descartes vuông góc trong không gian Euclide 2 chiều là

O i j; , , một điểm M có tọa độ M(x,y) và hệ tọa độ Descartes vuông góc trong không

gian Euclide 3 chiều là O i j k; , , , một điểm M có tọa độ M(x,y,z) Khoảng cách giữa

hai điểm M, N của không gian E 2

sao cho IMđược gọi là cái phẳng  đi qua I và có phương  Nếu  có

số chiều bằng m thì  được gọi là cái phẳng m chiều hay m – phẳng

Như vậy, 0 – phẳng chính là điểm, 1 – phẳng là đường thẳng, 2 – phẳng là mặt

phẳng, còn n – phẳng là không gian En

(n-1) – phẳng của không gian Euclide En được

gọi là siêu phẳng của không gian đó

Ví dụ trong không gian E 2 , siêu phẳng là một đường thẳng; trong không gian E 3, siêu phẳng là mặt phẳng

b Phương trình tổng quát và tham số của m – phẳng

 Cho m – phẳng  xác định bởi m+1 điểm độc lập A A A0, 1, 2, ,A m cho trước Giả sử đối với mục tiêu đã chọn E E0; i, các điểm A A A0 , 1 , 2 , ,A m có tọa độ

1 ( 1 0 ) 2 ( 2 0 ) ( 0 )

trình tham số của m – phẳng, các t t1, , ,2 t n là các tham số

Chẳng hạn, trong không gian E 2, PTTS của đường thẳng đi qua 2 điểm

được gọi là phương trình tổng quát của m – phẳng

 Mỗi siêu phẳng trong E n ( ứng m = n – 1) có phương trình tổng quát:

a x a x  a x  b

Do đó, chúng ta dễ dàng suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng và mặt

phẳng trong hai không gian E 2 và E 3 lần lượt là ax by c   0 và ax by cz   d 0

c Khoảng cách từ một điểm đến siêu phẳng

 Trong E n, đối với mục tiêu trực chuẩn cho trước, siêu phẳng  có phương trình a x1 1a x2 2  a x n na0  0 Ta gọi n ( ,a a1 2, ,a n) là vectơ pháp tuyến của siêu

phẳng 

1 , 2 , , n

I x x x không thuộc siêu phẳng  , J là hình chiếu của I trên 

Khi đó khoảng cách từ I đến  bằng độ dài vectơ IJ

0 0 1

2

n

i i i n i

Khi n = 2 hoặc n = 3, chúng ta tìm lại được công thức tính khoảng cách từ một

 Cho 2 đường thẳng  và ' lần lượt có phương là V và V’ Gọi a b, 0 lấy

trên V và V’ Góc giữa 2 đường thẳng  và  ' là số  sao cho 0

Trong E n , cho điểm I cố định, tập hợp tất cả các điểm M thuộc E n sao cho

d(I,M)= r với số thực r >0 cho trước được gọi là siêu cầu thực tâm I, bán kính r

Trong E 2 siêu cầu là đường tròn, còn trong E 3 siêu cầu là mặt cầu

b Phương trình của siêu cầu

Giả sử điểm I có tọa độ ( ,a a1 2, ,a n), điểm M có tọa độ ( ,x x1 2, ,x n) Khi đó điều kiện cần và đủ để M nằm trên siêu cầu tâm I, bán kính r là n  2 2

Phương trình siêu cầu S(I, r) còn có thể viết dạng:

trong không gian là các trường hợp riêng của hình học Euclide trong E n Do đó, có sự tương tự giữa các nội dung giữa PPTĐ trong hình học phẳng và PPTĐ trong hình học không gian Vì vậy, việc sử dụng phép tương tự chuyển từ PPTĐ trong mặt sang PPTĐ trong không gian là hoàn toàn có cơ sở

1.2.3 Mối liên hệ giữa nội dung chương trình sách giáo khoa về phương pháp tọa

độ trong mặt phẳng ở lớp 10 và phương pháp tọa độ trong không gian ở lớp 12

Chương trình toán phổ thông nghiên cứu hệ tọa độ Descartes vuông góc, đặc biệt là hệ tọa độ Descartes trực chuẩn, vì nó là hệ tọa độ thông dụng nhất và cho phép giải quyết cả những bài toán afin lẫn mêtric [5,tr.120 - 122] Chương trình THCS đã giới thiệu hệ trục tọa độ Descartes, đồ thị hàm bậc nhất, bậc hai Những kiến thức này được đưa vào trong phạm vi đại số và chỉ nghiên cứu các hàm đơn giản SGK chỉ ra rằng đồ thị của hàm số bậc nhấty ax b là đường thẳng, nhưng thuật ngữ phương

trình đường thẳng thì chưa được đề cặp Như vậy, với PPTĐ, chương trình THCS chỉ

xem xét đường thẳng trong mặt phẳng Các yếu tố của hình học giải tích đã được nghiên cứu sâu hơn trong chương trình THPT từ lớp 10 Cùng với phương pháp vectơ, PPTĐ cho phép thiết lập mối quan hệ chặt chẽ giữa hình học và đại số PPTĐ đem lại một công cụ rất hiệu quả trong nghiên cứu hình học, đặc biệt, chúng ta có thể trang bị cho HS các algorit để giải nhiều dạng toán hình học

Nội dung PPTĐ trong chương trình THPT được trình bày ở hai chương PPTĐ

trong mặt phẳng ở SGK HH 10 và chương PPTĐ trong không gian ở SGK HH 12

Chương PPTĐ trong mặt phẳng ở SGK Hình học 10 nghiên cứu:

- Hệ trục tọa độ trong không gian 2 chiều, tọa độ điểm, vectơ, biểu thức tọa độ của các phép toán, độ dài vectơ, khoảng cách hai điểm

- Phương trình (tổng quát, tham số, chính tắc) của đường thẳng, VTPT, VTCP

- Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc, song song, trùng nhau, cắt nhau Khoảng cách giữa hai đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng

- Đường tròn, các đường conic

Chương PPTĐ trong không gian ở SGK Hình học 12 nghiên cứu:

- Hệ trục tọa độ trong không gian ba chiều, tọa độ điểm, vectơ, biểu thức tọa độ của các phép toán, độ dài vectơ, khoảng cách hai điểm

Nội dung cụ thể của hai chương được so sánh trong bảng sau:

Bảng 1.2 Nội dung chương trình SGK chương PPTĐ trong mặt phẳng và

trong không gian

Kiến thức PPTĐ trong mặt phẳng PPTĐ trong không gian

PT TS của ĐT

VTCP u( , )a b

0 0

0 0 M(x ,y )  ( ')d

- Cắt nhau: u  ( , )a b và ' ( ', ')

phương

- Song song: u ( , )a b và ' ( ', ')

0 0 M(x ,y )  ( ')d

'''

- Cắt nhau: u,u' không cùng phương và u,u',MM' đồng phẳng

- Song song: u,u' cùng phương

Vì vậy có thể sử dụng phép tương tự để dạy học PPTĐ trong không gian dựa trên

PPTĐ trong mặt phẳng

1.3 Các mô hình dạy học sử dụng phép tương tự

Hiện nay, đã có nhiều nghiên cứu về việc sử dụng phép tương tự trong quá trình dạy học như [24]:

• Mô hình giảng dạy tương tự tổng quát (The General Model of Analogy Teaching - GMAT)

• Giảng dạy với phép tương tự (Teaching With Analogy – TWA )

• Mô hình FAR (Focus-Action-Reflection)

1.3.1 Mô hình The General Model of Analogy Teaching (GMAT) [30,tr.164 – 177]

Có các mô hình khác nhau của phép tương tự được sử dụng như những chiến lược trong việc giảng dạy và học tập khoa học Những mô hình này đã được phát triển thông qua nghiên cứu thực hiện bởi nhiều nhà giáo dục Tuy nhiên, hầu hết các mô

hình đều dựa trên việc giảng dạy tương tự và xây dựng nhằm mục đích phục vụ cho việc giảng dạy của các GV Một trong những mô hình đầu tiên là mô hình giảng dạy tương tự tổng quát (The General Model of Analogy Teaching – GMAT) đề xuất bởi Hassan Hussein Zeitoun năm 1984.

Định nghĩa của một tương tự trong nghiên cứu này được dựa trên bốn thành phần cụ thể là “nguồn”, “mục tiêu”, “tương đồng” và “dị biệt” “Mục tiêu” là các vật không quen thuộc, các vật trừu tượng để được học Nó có thể là một khái niệm, nguyên tắc, quy luật, lý thuyết hay vấn đề công việc cần được giải quyết Khái niệm “nguồn” là các vật cụ thể, quen thuộc, thu được từ xung quanh hoặc từ một tình huống trong môi trường Nó được sử dụng để tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập của khái niệm mục tiêu Khái niệm “nguồn” cũng đại diện cho tương tự và ngược lại Thuật ngữ

“tương đồng” đề cập đến những điểm tương đồng chia sẻ giữa các tính năng tương ứng của khái niệm nguồn và khái niệm mục tiêu Thuật ngữ “dị biệt” được sử dụng để chỉ bất kỳ hình thức khác biệt hoặc không tương đồng giữa các tính năng của khái niệm

“nguồn” và khái niệm “mục tiêu” Điều này phá vỡ phép tương tự

Trong lý luận về phép tương tự tự tạo, cảm xúc của người học nên được xem xét Những cảm xúc tiêu cực cũng có thể kiềm chế động lực tạo ra tương tự của người học Vì thế, một tư duy tích cực và kích thích tạo nên những cảm xúc tích cực của người học Các kích thích bên ngoài và bên trong cũng là một biến quan trọng trong việc tạo ra phép tương tự Các tương tự tạo ra sẽ phụ thuộc vào mục tiêu của người học cho dù đó là cho sự hiểu biết, động lực, duy trì Tương tự như vậy, người học có lẽ sẽ tìm kiếm một tương tự mà họ quan tâm và họ có kinh nghiệm tới

Mô hình GMAT tạo ra phép tương tự thể hiện trong ba giai đoạn sau đây:

1 Giai đoạn tiếp nhận;

2 Giai đoạn tương tác;

3 Giai đoạn phát hiện