hình thành cho học sinh trung học phổ thông một số kiến thức về phép bcdv trong quá trình dạy học toán

Kết quả tất yếu của việc không nắm vững các kiến thức của phép BCDV trong dạy và học toán ...29 Kết luận chương1...30 Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM HÌNH THÀNH CHO HỌC SINH THPT MỘT SỐ

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh

-Ngô thị kim thoa

hình thành cho học sinh trung học phổ thông một số kiến thức về

phép biện chứng duy vật trong quá trình dạy học toán

luận văn thạc sĩ giáo dục học

Vinh-2008

Ng« thÞ kim thoa

h×nh thµnh cho häc sinh trung häc phæ th«ngmét sè kiÕn thøc vÒ phÐp biÖn chøng duy vËttrong qu¸ tr×nh d¹y häc to¸n

chuyªn ngµnh: lý luËn vµ ph¬ng ph¸p d¹y häc bé m«n to¸n

m· sè: 60.14.10

luËn v¨n th¹c sÜ gi¸o dôc häc

Ngêi híng dÉn khoa häc: TS nguyÔn v¨n thuËn

vinh - 2008

Vinh-2008

Lời cảm ơn

Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Thuận, người thầy đã nhiệt tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này trong thời gian qua.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, ban chủ nhiệm khoa sau Đại học trường Đại học Vinh cùng tất cả các thầy cô giáo

đã tham gia giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập nghiên cứu và hoàn thành các chuyên đề thạc sĩ khoá 14, nghành Toán trường Đại học Vinh.

Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán trường THPT Nam Đàn 1 , Nam Đàn, Nghệ An - nơi tôi đang công tác giảng dạy, đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm.

Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý quý báu của các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán.

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp - những người luôn cổ vũ động viên tôi để tôi hoàn thành tốt Luận văn này.

Tuy đã có nhiều cố gắng, Luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.

Vinh, tháng 11 năm 2008

Tác giả

QUY ƯỚC VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT

SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

DVBC : Duy vật biện chứng

BCDV : Biện chứng duy vật THPT : Trung học phổ thông SGK : Sách giáo khoa BĐT : Bất đẳng thức NXB : Nhà xuất bản

NC : Nâng cao

HS : Học sinh

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Giả thuyết khoa học 3

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Những đóng góp của luận văn 4

7 Cấu trúc luận văn 4

Chương1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Thế giới quan DVBC là gì 6

1.2 Nội dung cơ bản của phép biện chứng duy vật 8

1.2.1 Những nguyên lý cơ bản của phép biện chứng duy vật 8

1.2.2 Những quy luật cơ bản của phép biện chứng duy vật 15

1.2.3 Các cặp phạm trù cơ bản của phép biện chứng duy vật 19

1.3 Khái niệm tư duy Toán học 25

1.4 Khái niệm TDBC 26

1.5 Vì sao cần phải hình thành cho học sinh THPT một số kiến thức về phép BCDV trong quá trình dạy học toán 26

1.6 Thực trạng hình thành một số kiến thức về phép BCDV cho học sinh THPT trong dạy học toán hiện nay 28

1.7 Kết quả tất yếu của việc không nắm vững các kiến thức của phép BCDV trong dạy và học toán 29

Kết luận chương1 30

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM HÌNH THÀNH CHO HỌC SINH THPT MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ PHÉP BCDV 33

2.1 Đặc điểm chương trình môn toán THPT 33

2.2 Các định hướng nhằm hình thành cho học sinh THPT một số kiến thức về phép BCDV trong quá trình dạy học toán 36

2.3 Một số biện pháp nhằm hình thành cho học sinh THPT một số kiến thức về phép BCDV trong quá trình dạy học toán 43

2.4 Kết luận chương 2 100

Chương 3 : THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 102

3.1 Mục đích thực nghiệm 102

3.2 Tổ chức thực nghiệm 102

3.3 Nội dung thực nghiệm 102

3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm 103

3.5 Kết luận chung về thực nghiệm 108

KẾT LUẬN 110

TÀI LIỆU THAM KHẢO 111

PHỤ LỤC 114

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Con người luôn có nhu cầu nhận thức thế giới Nhận thức của con người

là quá trình phản ánh một cách biện chứng thế giới khách quan trên cơ sởthực tiễn lịch sử - xã hội Quá trình nhận thức đó diễn ra không đơn giản, thụđộng, máy móc, nhận thức không có sẵn, bất di bất dịch, mà là quá trình phản

ánh hiện thực khách quan vào bộ óc con người một cách năng động, sáng tạo,

biện chứng Đó là quá trình đi từ không biết đến biết, từ biết ít đến biết nhiều,

từ nông đến sâu, từ không đầy đủ và không chính xác trở thành đầy đủ hơn vàchính xác hơn

Cũng như các khoa học khác, Toán học nghiên cứu những quy luật củahiện thực khách quan Nó là một trong những môi trường thuận lợi, là phươngtiện để người dạy có thể tổ chức lồng ghép, cài đặt những quy luật của hiệnthực khách quan vào trong quá trình dạy học của mình Vì vậy các kiến thứcToán học nếu được giảng dạy chính xác với phương pháp đúng đắn sẽ gópphần tích cực giúp HS hiểu sâu sắc các quy luật phát triển của tự nhiên, cũngnhư nhận thức đúng về thái độ của con người đối với tự nhiên, đối với nhữngbiến đổi đang diễn ra trong tự nhiên, tức là sẽ góp phần vào việc bồi dưỡngthế giới quan DVBC cho HS

Và ngược lại khi HS nhận thức được các quy luật của tự nhiên, hoàmình vào thực tế của cuộc sống thì tất yếu sẽ nảy sinh nguyện vọng và ý chícải tạo thực tiễn và từ đó có được động cơ mạnh mẽ vươn lên nắm lấy nhữngkiến thức mới mẻ khác, giải quyết những vấn đề Toán học tốt hơn

Nhưng như vậy không có nghĩa là cứ dạy những kiến thức Toán họcthuần tuý rồi tự khắc sẽ góp phần xây dựng thế giới quan đúng đắn, mà phảibiết khai thác tư liệu Toán học đó theo một mục đích đã định sẵn, nếu không

HS dễ nhầm Toán học là kết quả thuần tuý của hoạt động trí tuệ, tách rời hiệnthực khách quan.

Thực tế cho thấy, ở các trường phổ thông hiện nay, cách dạy học mônToán của GV hoặc chỉ chú trọng đến việc truyền thụ tri thức mà không thấyđược tầm quan trọng của việc bồi dưỡng thế giới quan DVBC cho HS hoặc có

ý thức nhưng chưa biết cách cài đặt, lồng ghép một cách thích hợp những kiếnthức thuộc về phép BCDV trong quá trình giảng dạy Toán Từ đó dẫn đếnviệc HS bộc lộ những yếu kém về tư duy biện chứng, nhìn các đối tượngToán học một cách rời rạc, trong trạng thái tĩnh mà chưa thấy mối liên hệ phụthuộc, sự vận động biến đổi, quá trình phát sinh và phát triển, chưa thấy được

sự thống nhất và mâu thuẫn giữa các mặt đối lập nên chưa hiểu rõ bản chấtToán học; vì vậy nhiều khi gặp khó khăn khi giải các bài Toán, nhất là các bàiToán đòi hỏi phải có sự sáng tạo

Hiện nay, vấn đề làm thế nào để bồi dưỡng thế giới quan DVBC cho

HS còn rất ít các nhà nghiên cứu giáo dục bàn tới, về tư duy biện chứng đãđược nhiều học giả nghiên cứu, bàn luận như giáo sư – tiến sĩ khoa học

Nguyễn Cảnh Toàn đề cập đến khía cạnh “tập cho HS giỏi Toán làm quen

dần với nghiên cứu Toán học” hay “phương pháp luận DVBC với việc học, dạy, nghiên cứu Toán học”; giáo sư – tiến sĩ Đào Tam quan tâm đến khía

cạnh “một số cơ sở phương pháp luận của Toán học và việc vận dụng chúng

trong dạy học Toán ở trường phổ thông” trong tạp chí nghiên cứu giáo dục số

09/1998

Mặt khác, yêu cầu cấp thiết của việc cải tiến, đổi mới phương phápdạy học của ngành giáo dục nước ta trong xu thế hiện nay càng đòi hỏi sựnghiệp giáo dục và đào tạo sản sinh ra thế hệ những HS phát triển toàn diện,năng động, sáng tạo phù hợp yêu cầu xã hội hiện nay Vì vậy, quá trình dạyhọc môn Toán cũng như các môn học khác phải là quá trình thống nhất giữa

giáo dục và giáo dưỡng, trong đó việc bồi dưỡng thế giới quan DVBC chohọc sinh là một việc làm góp phần vào việc thực hiện nhiệm vụ đó.

Từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài: “Hình thành cho học sinh trung học phổ thông một số kiến thức về phép BCDV trong quá trình dạy học Toán”.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận về phép BCDV từ đó đưa ra các định hướng,các biện pháp để hình thành một số kiến thức về phép BCDV cho HS THPTthông qua dạy học môn Toán nhằm mục đích nâng cao chất lượng dạy họcmôn Toán

3 Giả thuyết khoa học

Trong quá trình dạy học Toán ở bậc THPT, nếu đề xuất và thực hiệnđược những giải pháp phù hợp thì có thể trang bị được cho HS một số kiếnthức ban đầu về phép BCDV bên cạnh những kiến thức Toán học, và việc HSnắm được các kiến thức đó sẽ góp phần nâng cao hiệu quả phát hiện và giảiquyết các vấn đề Toán học

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích trên, luận văn có nhiệm vụ làm sáng tỏ nhữngvấn đề sau:

- Thế giới quan DVBC là gì?

- Nội dung cơ bản của phép BCDV (các nguyên lý, các quy luật và cáccặp phạm trù)

- Khái niệm tư duy biện chứng

- Vì sao cần phải hình thành cho HS các kiến thức về phép BCDVtrong quá trình dạy học Toán?

- Các định hướng và các biện pháp nhằm “ hình thành cho HS THPTmột số kiến thức về phép BCDV trong quá trình dạy học Toán ”

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận :

Nghiên cứu một số tài liệu, sách, báo về Triết học Mác – lênin, về Toánhọc, các tài liệu liên quan đến tư duy biện chứng

5.2 Phương pháp nghiên cứu thực tế :

Sơ bộ tìm hiểu và rút ra một số nhận xét về việc hình thành một số kiếnthức về phép BCDV cho HS qua dạy học Toán ở một số trường phổ thôngqua dự giờ, điều tra, phỏng vấn GV và HS

5.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm :

- Tiến hành một số giờ dạy thực nghệm sư phạm ở trường THPT Nam Đàn I

- Kiểm tra, đánh giá kết quả thực nghiệm, so sánh đối chiếu giữa lớpthực nghiệm và lớp đối chứng có cùng trình độ học vấn tương đương nhằmminh họa bước đầu những biẹn pháp đã được đề ra trong luận văn

6 Những đóng góp của luận văn

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.

1.1 Thế giới quan DVBC là gì ?

1.2 Nội dung cơ bản của phép BCDV

1.2.1 Những nguyên lý cơ bản của phép BCDV

1.2.2 Những quy luật cơ bản của phép BCDV

1.7 Kết quả tất yếu của việc không nắm vững các kiến thức của phép BCDVtrong dạy và học Toán

Kết luận chương 1

Chương 2: Một số biện pháp nhằm hình thành cho HS THPT một số kiến thức về phép BCDV trong quá trình dạy học toán.

2.1 Đặc điểm chương trình môn Toán THPT

2.2 Các định hướng nhằm hình thành cho HS THPT một số kiến thức vềphép BCDV trong quá trình dạy học Toán

2.3 Một số biện pháp nhằm hình thành cho HS THPT một số kiến thức vềphép BCDV trong quá trình dạy học Toán

Như vậy thế giới quan là toàn bộ những quan điểm, quan niệm của conngười về thế giới, về bản thân con người, về cuộc sống và về vị trí của conngười trong thế giới ấy.

Ngược lại với thế giới quan duy tâm, thế giới quan duy vật là thế giớiquan thể hiện bản chất của thế giới là vật chất, thể hiện vai trò quyết định củavật chất đối với các biểu hiện của đời sống tinh thần và thể hiện vị trí, vai tròcủa con người trong cuộc sống hiện thực

Thế giới quan duy vật trải qua nhiều giai đoạn và đến giữa thế kỷ thứXIX, thế giới quan DVBC đã được C.Mác và Ăngghen xây dựng, sau đóđược V.I.Lênin và những người kế tụng phát triển

* Sự thống nhất hữu cơ giữa thế giới quan duy vật và phép biện chứng:

Trước Mác, chủ nghĩa duy vật và phép biện chứng về cơ bản bị tách rờinhau.Việc tách rời giữa thế giới quan duy vật với phép biện chứng đã khôngchỉ làm các nhà duy tâm mà ngay cả những nhà duy vật trước Mác khônghiểu về mối liên hệ phổ biến, về sự thống nhất và nối tiếp nhau của các sựvật, hiện tượng trong thế giới vật chất C.Mác và Ăngghen đã giải thoát thếgiới quan duy vật khỏi hạn chế siêu hình và cứu phép biện chứng khỏi tínhchất duy tâm thần bí để hình thành nên chủ nghĩa DVBC với sự thống nhấthữu cơ giữa thế giới quan duy vật và phép biện chứng Sự thống nhất này đem

lại cho con người một quan niệm hoàn toàn mới về thế giới - quan niệm thếgiới là một quá trình với tính cách là vật chất không ngừng vận động, chuyểnhoá và phát triển

Như vậy, thế giới quan DVBC chính là cách nhìn các đối tượng, sựvật, hiện tượng một cách biện chứng, nghĩa là nhìn chúng trong mối liên hệ,trong sự vận động và phát triển, trong sự thống nhất và mâu thuẫn giữa cácmặt đối lập

Lịch sử Toán học đã chứng tỏ như vậy : Trước Lobachevski cũng cónhiều người tìm cách chứng minh tiên đề Euclide bằng phản chứng : họ phủnhận tiên đề Euclide với hy vọng sẽ tìm ra mâu thuẫn Nhưng do thế giớiquan hạn chế nên họ không thể quan niệm nổi những điều họ tìm ra, phủ nhậntiên đề Euclide và đành phải rút lui, nhường vinh quang cho Lobachevski.Lobachevski đã có những nhận thức mới về không gian nên cho rằng nhữngđiều họ tìm ra đó không tồn tại trong cuộc sống đời thường nhưng có thể tồntại trong vũ trụ bao la Vì vậy ông không lùi bước và trở thành người đầu tiênphát minh ra hình học phi Euclide và quan điểm của ông, mãi đến khi lýthuyết tương đối rộng ra đời, mới được chứng minh Hoặc như về tính giảiđược băng căn thức của các phương trình đại số bậc n : Abel chứng minh sựkhông giải được bằng căn thức khi n > 4 Nhưng rồi Galois không chịu dừng

ở đó mà tự đặt câu hỏi : “Tại sao ?” nên cuối cùng đã đưa ra một tiêu chuẩnkhiến cho ta thấy rõ mâu thuẫn mà thống nhất giữa hai trường hợp n  4 và

n > 4

Khi biết rằng khái niệm xạ ảnh về khoảng cách giữa hai bộ n giá trị củamột bộ n biến số đã được người ta giải quyết khi n = 2 nhưng chưa giải quyếtđược khi n > 2 thì GS.TS Nguyễn Cảnh Toàn cảm thấy ở đây cũng có vấn đềmâu thuẫn và thống nhất giữa hai trường hợp n = 2 và n > 2 Ông có niềm tinrằng, với n > 2, nhất định sẽ có cái gì đó thống nhất mâu thuẫn với trường hợp

n = 2 Lòng tin đó đã giúp ông sự kiên nhẫn vượt khó khăn để giải quyết

trường hợp n > 2 Và ông đã thành công, xây dựng nên không gian phiEuclide khi n = 2 nhưng không phải là phi Euclide (sau này gọi là siêu phiEuclide) khi n > 2, tạo ra sự thống nhất biện chứng giữa hai trường hợp Nhưvậy thế giới quan DVBC đã thấm vào ông và phát huy tác dụng đến quá trìnhngiên cứu Toán học và đã góp phần vào những sáng tạo trong tư duy Toánhọc của ông.

1.2 Nội dung cơ bản của phép BCDV :

Quan điểm DVBC không chỉ khẳng định bản chất vật chất, tính thốngnhất vật chất của thế giới, mà còn khẳng định các sự vật hiện tượng trong thếgiới đó luôn tồn tại trong sự liên hệ, trong sự vận động và phát triển khôngngừng theo những quy luật vốn có của nó Làm sáng tỏ những vấn đề đó lànội dung cơ bản của phép biện chứng Chính vì vậy, Ph.Ăngghen đã khẳngđịnh rằng phép biện chứng là lý luận về mối liên hệ phổ biến, là môn khoahọc về những quy luật phổ biến của sự vận động và phát triển của tự nhiên,của xã hội loài người và của tư duy V.I.Lênin nhấn mạnh thêm: Phép biệnchứng là học thuyết sâu sắc nhất, không phiến diện về sự phát triển

1.2.1 Các nguyên lý cơ bản của phép BCDV:

1.2.1.1 Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến:

Thế giới được tạo thành từ những sự vật, những hiện tượng, những quátrình khác nhau Những người theo quan điểm biện chứng xem thế giới nhưmột chỉnh thể thống nhất Các sự vật, hiện tượng và các quá trình cấu thànhthế giới đó vừa tách biệt nhau, vừa có mối liên hệ qua lại, thâm nhập vàchuyển hoá lẫn nhau Cơ sở của sự liên hệ qua lại giữa các sự vật và hiệntượng là tính thống nhất vật chất của thế giới Theo quan điểm này các sự vật,các hiện tượng đa dạng trên thế giới chỉ là những dạng tồn tại khác nhau củamột thế giới duy nhất là thế giới vật chất Ngay cả tư tưởng, ý thức của conngười cũng chỉ là thuộc tính của một dạng vật chất có tổ chức cao là bộ óc

con người, nội dung của chúng cũng chỉ là kết quả phản ánh của quá trình vậtchất khách quan.

Từ việc nghiên cứu nguyên lý về mối liên hệ phổ biến của các sự vật,

hiện tượng chúng ta cần rút ra quan điểm toàn diện trong việc nhận thức cũng như trong hoạt động thực tiễn Quan điểm toàn diện đòi hỏi chúng ta phải

xem xét nó trong mối liên hệ qua lại giữa các bộ phận, giữa các yếu tố, cácthuộc tính khác nhau của chính sự vật đó; phải xem xét trong mối liên hệ qualại giữa các sự vật đó với các sự vật khác; "muốn thực sự hiểu được sự vật,cần phải nhìn bao quát và nghiên cứu tất cả các mặt, tất cả các mối liên hệ và

“quan hệ gián tiếp” của sự vật đó ”(V.I.Lênin )

Trong Toán học có vô vàn những ví dụ làm sáng tỏ nguyên lý vừa nêu.Thật vậy ta thường xuyên nhìn những đối tượng Toán học duới nhiều góc độkhác nhau, phải nhìn trong mối liên hệ qua lại giữa các bộ phận, giữa cácyếu tố và nhìn trong mối liên hệ với các đối tượng Toán học khác

Chẳng hạn với bài Toán : Giải phương trình :

2(tanx – sinx) + 3(cotx – cosx) + 5 = 0 (1)

Nếu ta nhìn bài Toán này trong mối quan hệ qua lại giữa các bộ phận,các yếu tố của chính nó thì sẽ thấy được mối liên hệ giữa các số có mặt trongbài Toán : Để ý đến sự có mặt của các số 2 và 3 trong hai số hạng đầu của vếtrái phương trình và số 5 ta sẽ có được mối liên hệ : 5 = 2 + 3

Khi đó (1)  2(tanx – sinx + 1) + 3(cotx – cosx + 1) = 0

 (sinx + cosx – sinxcosx) (cos2x sin3x ) = 0

 sinx + cosx – sinxcosx = 0 (1a)

hoặc cos2xsin3x = 0 (1b)

Khi giải phương trình (1a) nếu để ý vế trái ta sẽ thấy mối liên hệ giữahai nhóm số hạng sinx + cosx và sinxcosx Chúng có mối liên hệ với nhau bởi

hệ thức :

(sinx + cosx)2 = 1 + 2sinxcosx

Từ mối liên hệ đó gợi cho ta suy nghĩ là đặt ẩn phụ

t = sinx + cosx = 2sin(x + 4 ) với điều kiện - 2 t 2

 t2 – 2t – 1 = 0

Đây là một phương trình bậc hai ẩn t, giải tìm t rồi trở về tìm x

Quan điểm toàn diện cho rằng để giải quyết tốt các vấn đề của đốitượng Toán học, ta không chỉ nhìn chúng trong mối liên hệ qua lại giữa các

bộ phận, các yếu tố, các thuộc tính khác nhau của chúng mà còn cần phải nhìntrong mối liên hệ với các đối tượng Toán học khác Vì vậy, khi đứng trướcmột bài Toán, phải biết nhìn bài Toán trong bối cảnh chung nhưng lại phảibiết nhìn bài Toán trong từng hoàn cảnh cụ thể; lại phải nhìn bài Toán trongmối tương quan với các loại bài Toán khác Một bài Toán đại số có thể nhìn

nó dưới góc độ lượng giác, hình học và ngược lại Có như vậy mới rèn luyệnđược tư duy cho người học Toán

Chẳng hạn với bài Toán : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất củahàm số : u = y – 2x + 5

Biết rằng x và y thoả mãn phương trình : 36x2 + 16y2 = 9 (2)

Đây là một bài Toán liên quan đến cực trị của hàm số, HS thường cóthói quen là sẽ tìm cách đánh giá u  M nào đó và u  m nào đó

Bài Toán này có thể giải theo nhiều cách khác nhau nếu ta nhìn nó theonhiều góc độ.

Lời giải 1: Nhìn dưới góc độ đại số nhưng quy việc tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của hàm số (umax và umin) thoả mãn điều kiện (2) về bàiToán: Tìm miền giá trị của hàm số u và do đó cần phải tìm mọi giá trị của u(xem như tham số) để hệ phương trình :

36

5 2

2

x

u x

y

(I) có nghiệm (x, y)

Bằng cách rút y theo x từ phương trình đầu rồi thế vào phương trình thứhai của hệ, ta thu được phương trình đối với x :

100x2 + 64 (u – 5)x + 16 (u – 5)2 – 9 = 0 (I’)

Do việc tìm y theo x từ điều kiện (2) không đòi hỏi điều kiện đối với u,chính vì vậy mà điều kiện có nghiệm x của phương trình (I’) cũng là điều kiện

có nghiệm (x, y) của hệ (I)

Đó là điều kiện   0 (2a)

Ta có (2a)  1024 (u – 5)2 – 100 [16(u – 5)2 – 9]  0

 (u – 5)2 

16 25

cos 3 6

y x

cos 2 1

y x

Khi đó điều kiện (2) trở thành :

9(cos2 + sin2) = 9 là một đồng nhất thức đúng với mọi  Hàm số u dưới dạng lượng giác có dạng :

Lời giải 3 : Nhìn dưới góc độ hình học:

Từ điều kiện (6x)2 + (4y)2 = 32 (2),

4 6

X x

4 1 6 1

Điều kiện (2) có dạng :

X2 + Y2 = 32 (2b),

là phương trình đường tròn trong hệ toạ độ

vuông góc XOY có tâm là O và bán kính

bằng 3

Còn hàm số u = 41 Y - 31 X + 5

có thể xem như là một phương trình

hai ẩn X và Y và viết lại dưới dạng :

Y = 34 X + 4(u – 5) (3) ,chính là phương trình của đường thẳng trong mặt phẳng

Đường thẳng này có phương không đổi, luôn sông song với đườngthẳng Y0 = 34 X và cắt trục OY tại điểm có tung độ là 4(u – 5)

Khi đó bài Toán đã cho chuyển thành bài Toán hình học sau :

Tìm điều kiện của u để đường thẳng có phương trình (3) cắt đường tròn

có phương trình (2b) Rồi từ điều kiện thu được của u ta suy ra kết quả

Y1m

O

P

B M

N

3

n 4(u-5)

1.2.1.2 Nguyên lý về sự phát triển:

Theo quan điểm DVBC thì phát triển là một phạm trù Triết học dùng

để khái quát quá trình vận động tiến lên từ thấp đến cao, từ đơn giản đếnphức tạp, từ kém hoàn thiện đến hoàn thiện hơn Theo quan điểm đó thì pháttriển là một trường hợp đặc biệt của sự vận động Sự phát triển là kết quảcủa quá trình thay đổi về lượng dẫn đến sự thay đổi về chất; sự phát triển diễn

ra theo đường xoáy trôn ốc, nghĩa là trong quá trình phát triển dường như có

sự quay trở lại điểm xuất phát, nhưng trên một cơ sở mới cao hơn

Ví dụ : Toán học càng phát triển càng trừu tượng :

Từ các tập hợp đối tượng rời rạc, cụ thể, xây dựng nên khái niệm vềcác số tự nhiên rồi trong việc đo các đại lượng và gặp các đại lượng có thể

tính theo hai chiều, từ các số tự nhiên phát triển thành các số hữu tỉ, khi gặpcác đại lượng vô ước với đơn vị lại phát triển thành khái niệm số vô tỉ; sốthực bất lực trong việc giải phương trình bậc ba đã làm cho khái niệm số thựcphát triển đến khái niệm số phức.

Từ những hình ảnh cụ thể như sợi dây căng thẳng, mặt nước đứng yêntiến lên khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng

Như vậy, tự nhiên, xã hội và tư duy đều nằm trong quá trình vận động

và phát triển không ngừng, bản chất khách quan đó của quá trình đòi hỏi

chúng ta, để phản ánh đúng hiện thực khách quan, cần phải có quan điểm

phát triển Điều đó có nghĩa là, khi xem xét các sự vật và hiện tượng phải đặt

nó trong sự vận động, trong sự phát triển; và phát hiện ra các xu hướng biếnđổi, chuyển hoá của chúng V.I.Lênin viết: “Lôgic biện chứng đòi hỏi phải xét

sự vật trong sự phát triển, trong “sự tự vận động” ( ) trong sự biến đổi củanó”

Việc giảng dạy Toán ở trường phổ thông có rất nhiều cơ hội làm cho

HS thấu triệt hơn về nguyên lý này, nghĩa là khi dạy Toán ta có thể lồng ghép,cài đặt hoặc chốt lại những nhận định để qua đó HS có thể hình dung đượcnguyên lý này của DVBC Nắm được nguyên lý đó thì người học sẽ đượcphát triển nhận thức về tự nhiên, xã hội và tư duy; nhằm góp phần giúp họ cónhận thức về cuộc sống tốt hơn

Ví dụ ban đầu chỉ có thể tính diện tích của một số hình phẳng có dạngtưong đối đặc biệt, về sau học về tích phân thì có thể tính được diện tích củanhiều loại hình Trước khi dạy tích phân người GV có thể gợi động cơ, nhằm

“khêu gợi” hứng thú của HS theo kiểu đại thể như : Ta đã biết cách tính diệntích của hình chữ nhật, hình vuông, nhưng có những hình mà biên của nókhông phải là đoạn thẳng, chỉ là những đường cong Cố nhiên sau khi họcxong tích phân và biết cách tìm diện tích của hình phẳng thì cũng nên làm cho

HS thấy sự phát triển kiến thức để dẫn đến kiến thức về tích phân đã mang lại

ý nghĩa gì

Chúng ta cần lưu ý rằng trong giảng dạy Toán ở trường phổ thông, việcrèn luyện TDBC và nói rộng hơn nữa là bồi dưỡng thế giới quan DVBC rấtkhác với việc cung cấp kiến thức Thế giới quan đó sẽ hình thành theo kiểu

“mưa dầm thấm đất” hoặc “lắng đọng phù sa” (Nguyễn Cảnh Toàn) Hạt mưaphùn hay hạt phù sa cực nhỏ nếu tích luỹ liên tục, lâu dài thì sẽ làm nênchuyện thấm đất hay bồi đắp phù sa

1.2.2 Những quy luật cơ bản của phép BCDV :

Quan điểm DVBC cho rằng, mọi quy luật đều mang tính khách quan.Các quy luật được phản ánh trong các khoa học không phải là sự sáng tạothuần tuý của tư tưởng Những quy luật do khoa học phát hiện ra chính là sựphản ánh những quy luật hiện thực của thế giới khách quan và của tư duy.Các quy luật cơ bản của phép biện chứng phản ánh quá trình vận động và pháttriển từ những phương diện cơ bản của nó:

1.2.2.1 Quy luật chuyển hoá từ những sự thay đổi về lượng dẫn đến những sự

thay đổi về chất và ngược lại :

Quy luật này chỉ ra cách thức vận động và phát triển của sự vật, hiệntượng Trong đó, chất là tính quy định khách quan vốn có của sự vật, là sựthống nhất hữu cơ giữa các thuộc tính làm cho nó là nó mà không phải là cáikhác Lượng là tính quy định vốn có của sự vật về một số lượng, quy mô,trình độ, nhịp điệu của sự vận động, phát triển của sự vật cũng như các thuộctính của nó Mọi sự vật đều là sự thống nhất giữa chất và lượng Giới hạn,trong đó những thay đổi về lượng của sự vật chưa gây ra những thay đổi cănbản về chất được gọi là độ Những thay đổi về lượng vượt qua giới hạn độ sẽlàm cho chất của sự vật biến đổi căn bản Bước nhảy là bước thay đổi căn bản

về chất của sự vật do sự thay đổi về lượng trước đó gây ra Mối quan hệ giữa

sự thay đổi về lượng và sự thay đổi về chất cũng có chiều ngược lại Đến lượt

nó, sự thay đổi về chất lại tác động đến lượng, thúc đẩy lượng tiếp tục pháttriển.

Sự biến đổi về lượng dẫn đến sự biến đổi về chất và ngược lại diễn ramột cách phổ biến trong giới tự nhiên, trong đời sống xã hội và trong lĩnhvực tư duy Ví dụ: Bảng tuần hoàn các nguyên tố hoá học do Menđêlêép xâydựng đã chỉ rõ tính đa dạng về chất của các nguyên tử phụ thuộc vào số lượngcác hạt proton có trong hạt nhân nguyên tử, khi số proton tăng cũng như giảmthì nguyên tử sẽ trở thành nguyên tử của nguyên tố khác

Nắm được quy luật này sẽ giúp chúng ta rút ra được rằng: Để có trithức tương đối đầy đủ về sự vật, ta phải nhận thức cả về mặt lượng và mặtchất của nó Từ những nhận thức ban đầu về chất đi tới nhận thức lượng,trong quá trình đó, tri thức về chất được làm sâu sắc thêm, khi đạt đến tri thức

về sự thống nhất về chất và lượng chúng ta sẽ có tri thức tương đối hoànchỉnh về sự vật đó

Ví dụ : Trong quá trình giảng dạy môn Toán, những kiến thức Toánhọc mà bản thân nó thể hiện được quy luật này thì GV nên chốt lại hoặc đưa

ra những bình luận tưong đối ngắn gọn để HS được dần dần tích luỹ kiến thức

về quy luật lượng đổi - chất đổi Chẳng hạn khi học về cực trị của hàm sốtrong chương trình giải tích lớp 12 thì HS được học bổ đề Fecma: Nếu hàm sốf(x) đạt cực trị tại x0 mà đạo hàm của f(x) tại x0 là tồn tại thì f’(x0) = 0 Cầnlàm cho HS hiểu rằng hàm số f(x) đạt cực trị tại x0 thì có nghĩa là điểmM(x0,y0) nằm trên đồ thị phải là điểm cao nhất (thấp nhất) (trong một vùngnào đó) Việc giải thích căn cứ vào hình ảnh trực quan như trên không nhằmthay thế việc chứng minh bổ đề Fecma theo con đường suy diễn mà chỉ giúp

HS tiếp cận bổ đề một cách tự nhiên hơn, bởi vì nếu định lý nào cũng phátbiểu một cách áp đặt rồi sau đó chứng minh chặt chẽ thì cũng chưa khơi dậyđược ở HS khả năng sẵn sàng chiếm lĩnh tri thức Giáo sư Phan Đình Diệu có

nói: “Dạy học Toán phải chú ý cái lý thì nó phải đúng còn cái lẽ thì nó sinhra”.

1.2.2.2 Quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập:

Quy luật này là "hạt nhân" của phép BCDV, nó chỉ ra nguồn gốc độnglực của sự vận động, phát triển Theo phép biện chứng, mọi sự vật và hiệntượng đều có những mâu thuẫn, những mặt, những khuynh hướng đối lậptrong bản thân mình; các mặt, các khuynh hướng đối lập đó nằm trong trạngthái liên hệ qua lại, phủ định lẫn nhau tạo thành xung lực nội tại của sự vậnđộng và phát triển, dẫn tới sự mất đi cái cũ và sự ra đời cái mới

Toán học phát triển theo quy luật "thống nhất biện chứng giữa hai mặtđối lập" Hai mặt đối lập đó là: Một mặt càng phát triển càng khái quát, càngtrừu tượng, mặt khác càng phát triển càng nâng cao thêm khả năng ứng dụng

dx trong  f(x)dx vừa bằng không vừa khác không

Tam giác là tam giác, đồng thời cũng là tứ giác (có một cạnh bằngkhông)

Số nguyên là số nguyên, đồng thời cũng là phân số (có mẫu số bằng 1)

1.2.2.3 Quy luật phủ định của phủ định:

Triết học DVBC thấy rõ sự chuyển hoá từ những thay đổi về lượngthành những thay đổi về chất và ngược lại, sự đấu tranh giữa các mặt đối lậpdẫn tới mâu thuẫn được giải quyết, sự vật cũ mất đi và sự vật mới ra đời Mỗi

sự thay đổi ấy làm thành một mắt xích của sợi dây xích phát triển của hiệnthực và tư duy Sự ra đời cái mới là kết quả của sự phủ định cái cũ, cái lỗithời Vậy phủ định đóng vai trò rất quan trọng trong quá trình phát triển Phủ

định biện chứng là nhân tố tất yếu của bất kỳ sự phát triển nào Phủ định biệnchứng là quá trình tự thân phủ định, tự thân phát triển, là mắt xích trên conđường dẫn tới sự ra đời cái mới tiến bộ hơn so với cái phủ định Phủ định biệnchứng mang tính kế thừa Phủ định biện chứng nói lên một giai đoạn, một nấcthang trong quá trình phát triển, nó đi theo hình thức xoáy trôn ốc Cái đặctrưng của quá trình phát triển biện chứng là tính kế thừa, tính lặp lại nhưngkhông quay trở lại và tính chất tiến lên của sự phát triển Phủ định biện chứngchẳng phải là sự phủ định sạch trơn, bác bỏ tất cả sự phát triển trước đó mà làđiều khiển cho sự phát triển, nó duy trì và gìn giữ nội dung tích cực của cácgiai đoạn trước, lặp lại một số đặc điểm cơ bản của cái xuất phát nhưng trên

cơ sở mới cao hơn "Không bao giờ có cái "mới toanh" hiểu theo nghĩa là

"không dính dáng gì đến cái cũ" Cái "mới" bao giờ cũng là cái cũ mà ra, cácnhà phát minh thế hệ sau bao giờ cũng đứng trên vai những nhà phát minh thế

hệ trước, kế thừa các thành quả của họ Các thành quả này chỉ đẻ ra vấn đềcho thế hệ sau nghiên cứu khi chúng bất lực trong việc giải quyết các vấn đề

lí luận hay thực tiễn mới đặt ra Kết quả nghiên cứu sẽ là một lí thuyết mớivừa kế thừa những mặt tích cực của lí thuyết cũ (đây là mặt thống nhất giữahai lí thuyết mới và cũ), vừa phủ định những mặt tiêu cực của lí thuyết cũ,theo nghĩa là nó giải quyết được những yêu cầu mới mà lí thuyết cũ đành bấtlực Chẳng hạn, lí thuyết số phức đã kế thừa những mặt tích cực của lí thuyết

số thực vì nó cũng thoả mãn những tính chất của một trường đồng thời nó phủđịnh những mặt tiêu cực của lí thuyết số thực là đẫ bó tay trước việc lấy cănbậc hai của các số âm, nhờ vậy mà phương pháp Cacđanô đã trót lọt trongviệc giải các phương trình bậc ba Quy luật "phủ định của phủ định" này làkhách quan, không phụ thuộc chủ quan người nghiên cứu Lôbasepki đã phátminh ra hình học mang tên ông, chỉ nghĩ rằng mình phư định tiên đề Ơclit,phủ định hình học Ơclit, chứ chưa nghĩ rằng mình phủ định hình học Ơclit.Những nghiên cứu khách quan của ông và của các tác giả khác càng ngày

càng cho thấy rõ hình học Lôbasepki, một mặt phủ định hình học Ơclit nhưngmặt khác là sự mở rộng hình học Ơclit; hình học Ơclit trở thành trường hợpgiới hạn của hình học Lôbasepki khi góc nhọn của hai đường thẳng song songvới một đường thẳng a xuất phát từ một điểm A nằm ngoài đường thẳng a,dần tới không Như vậy ngay một phát minh vĩ đại đã tạo nên một cuộc cáchmạng trong Toán học như hình học Lôbasepki cũng không thoát khỏi quy luật

"phủ định của phủ định" tức là phủ định có kế thừa, nghĩa là không "mớitoanh" " ([23] – tr.54,55)

Trong Toán học có rất nhiều bằng chứng nói lên quy luật phủ định củaphủ định Ví dụ số nguyên và phép chia phủ định lẫn nhau vì với số nguyênthì phép chia không phải khi nào cũng thực hiện được; sự ra đời của phân số

đã phủ định sự phủ định nói trên, tức phép chia (cho một số khác không) baogiờ cũng thực hiện được

Tất nhiên không được hiểu rằng những kiến thức Toán học xuất hiệntrước là sai, sau đó bị bác bỏ mà cần phải hiểu theo nghĩa chẳng hạn như: kiếnthức Toán học chưa đủ để giải quyết vấn đề đặt ra, có sự bất cập giữa cung vàcầu Ở đầu lớp 10 HS học khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến, lúc đó đểxem xét một hàm số nào đấy có đơn điệu hay không chỉ có con đường duynhất là sử dụng trực tiếp định nghĩa Tới lớp 12 trước khi dạy định lý về mốiliên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số ta có thể nói với HS rằng:

Để xem xét hàm số f(x) có đơn điệu trên khoảng (a;b) thì theo định nghĩa talấy x1,x2 bất kỳ thuộc (a;b), x1 < x2 và xét hiệu f(x1) – f(x2) tuy nhiên chẳnghạn như hàm số f(x) = x + cosx thì việc so sánh x1 + cosx1 với x2 + cosx2 sẽrất khó khăn, vì vậy ta đi tìm một công cụ mới Trình bày như vậy với HS sẽ

có tác dụng gợi động cơ mở đầu bài học, làm cho HS tiếp thu bài học mộtcách hứng thú và có mục đích hơn Và khi hoàn thành bài học, lúc đó có thểtổng kết lại về những phương pháp để xét tính đơn điệu của hàm số, trongchừng mực nào đó có thể nhắc đến quy luật phủ định của phủ định

1.2.3 Các cặp phạm trù cơ bản của phép BCDV:

1.2.3.1 Cái riêng và cái chung:

Theo quan điểm của phép BCDV, nhận thức bắt đầu từ sự phản ánhnhững sự vật, hiện tượng cụ thể của thế giới Nhưng trong quá trình so sánhgiữa những sự vật, hiện tượng này với những sự vật, hiện tượng khác; phânbiệt chỗ giống và khác nhau giữa chúng, nhận thức đi đến sự phân biệt cáiriêng và cái chung Cái riêng là phạm trù dùng để chỉ một sự vật, một hiệntượng, một quá trình riêng lẻ nhất định Cái chung là phạm trù dùng để chỉnhững mặt, những thuộc tính chung không những có ở một kết cấu vật chấtnhất định, mà còn được lặp lại trong nhiều sự vật, nhiều hiện tượng hay quátrình riêng lẻ khác nữa

Giữa cái riêng và cái chung có mối quan hệ biện chứng với nhau Cáichung chỉ tồn tại trong cái riêng, biểu hiện thông qua cái riêng; ngược lại, cáiriêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ với cái chung, bao hàm cái chung; cái riêng

là cái toàn bộ, phong phú hơn cái chung, cái chung là cái bộ phận nhưng sâusắc hơn cái riêng V.I.Lênin viết: "Cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ đưađến cái chung Cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng, thông qua cái riêng Bất

cứ cái riêng (nào cũng) là cái chung ( ) Bất cứ cái chung nào cũng chỉ baoquát một cách đại khái tất cả mọi vật riêng lẻ Bất cứ cái riêng nào cũngkhông gia nhập đầy đủ vào cái chung, v.v Bất cứ cái riêng nào cũng thôngqua hành nghìn sự chuyển hoá mà liên hệ với những cái riêng thuộc loạikhác"([29] -tr.29, tr 381)

Toán học có lẽ là lĩnh vực đặc thù để xét mối quan hệ giữa cái chung vàcái riêng Sự sắp xếp chương trình học Toán nói chung là dẫn dắt HS từnhững trường hợp riêng rồi khái quát dần lên những cái chung như từ số tựnhiên rồi đến số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ, từ tam giác vuông rồi đến tamgiác thường, từ tam giác rồi đến tứ giác, từ hàm lượng giác các góc nhọn rồi

đến hàm lượng giác các góc suy rộng v.v Khi làm bài tập, HS lại phải vậndụng những khái niệm chung vào các trường hợp riêng cụ thể cho từng bài.

Nói rộng ra thì phát minh lí thuyết có tầm cỡ trong lĩnh vực Toán họcluôn luôn là một sự mở rộng từ một "cái riêng" đã biết đến một hay nhiều "cáichung" trước đó chưa ai biết, mà "cái riêng" đã biết chỉ là một trường hợp đặcbiệt Cũng có những phát minh chỉ là phát hiện ra một trường hợp riêng trước

đó chưa ai biết của một cái chung đã biết Trong lịch sử Toán học, có nhữngbài Toán mà suốt hàng chục năm, có khi hàng trăm năm, công sức của bao thế

hệ các nhà Toán học chỉ mới giải được bài Toán trong một số trường hợp đặcbiệt, nghĩa là chỉ mới giải được một phần của bài Toán Lấy thí dụ bài Toánsau đây:

" Chứng minh rằng phương trình:

xn + yn = zn

không có nghiệm nguyên khác không với n > 2 ", được gọi là "định lí lớnFecma", do Fecma đề ra từ thế kỷ thứ 17 Hơn 100 năm sau, Ơ- le chứngminh được định lí cho các trường hợp đặc biệt n = 3, n = 4 Sau đó Lơ-giăng

và Đi-rich-lê chứng minh được cho trường hợp n = 5, La-me chứng minhđược cho trường hợp n = 7, Cu-me chứng minh được cho mọi số nguyên tố n

từ 3 đến 100 Năm 1960, dùng máy tính điện tử người ta chứng minh đượcđịnh lí cho mọi n 2521 (n > 2) Đến nay định lí đã được chứng minh chonhững số n lớn hơn nữa nhưng như vậy định lí cũng chỉ mới được chứngminh cho một số rất lớn các trường hợp đặc biệt Sự cố gắng của các nhàToán học còn tiếp tục và trong thời gian qua, việc tìm cách chứng minh định

lí lớn Fecma đã góp phần thúc đẩy Toán học tiến tới

1.2.3.2 Nguyên nhân và kết quả

Nguyên nhân là “tương tác giữa các mặt trong một sự vật hoặc giữa cácmặt trong một sự vật hoặc giữa các sự vật với nhau gây ra những biến đổi

nhất định, còn kết quả là những biến đổi xuất hiện do sự tác động lẫn nhaucủa các mặt trong một sự vật hoặc giữa các sự vật với nhau” ([1] - tr.258).

Theo Triết học DVBC, nguyên nhân và kết quả có mối quan hệ biệnchứng với nhau, nguyên nhân là cái sinh ra kết quả và kết quả sau khi xuấthiện lại tác động tích cực trở lại đối với nguyên nhân Quan hệ biện chứnggiữa nguyên nhân và kết quả còn biểu hiện ở chỗ, cái trong mối quan hệ này

là nguyên nhân thì trong mối quan hệ khác là kết quả và ngược lại

Vì vậy, nhiệm vụ của nhận thức khoa học là phải tìm ra nguyên nhâncủa những hiện tượng trong tự nhiên, xã hội và tư duy để giải thích đượcnhững hiện tượng đó Và trong dạy học chúng ta phải chú ý rèn luyện cho HSkhả năng nhìn nhận đối tượng Toán học trong mối quan hệ nhân quả để tìm racách chứng minh định lí hay giải một bài Toán một cách không khó khăn

1.2.3.3 Tất nhiên và ngẫu nhiên

Theo Triết học Mác- Lênin, “Tất nhiên (tất yếu) là cái do nhữngnguyên nhân cơ bản bên trong của kết cấu vật chất quyết định và trong nhữngđiều kiện nhất định nó phải xảy ra như thế chứ không thể khác được Ngẫunhiên là cái không do mối liên hệ bản chất, bên trong kết cấu sự vật, bên trong

sự vật quyết định mà do các nhân tố bên ngoài, do sự ngẫu hợp nhiều hoàncảnh bên ngoài quyết định Do đó nó có thể xuất hiện, có thể không xuất hiện,

có thể xuất hiện như thế này, hoặc có thể xuất hiện như thế khác”

Tất nhiên và ngẫu nhiên đều tồn tại một cách khách quan và độc lập với

ý thức của con người đều có vị trí nhất định đến sự phát triển của vật chất sựvật đó Tất nhiên và ngẫu nhiên đều tồn tại nhưng không tồn tại dưới dạngthuần tuý biệt lập, mà chúng có thể chuyển hoá cho nhau Nó không nằm ởtrạng thái cũ mà thay đổi cùng sự thay đổi của sự vật trong những điều kiện

nhất định, cái này cũng có thể trở thành cái kia và ngược lại.” Sự thống nhất

biện chứng của bản chất và hiện tượng là sự thể hiện bản chất luôn được thểhiện qua hiện tượng

Ta phải chú ý rằng cái ngẫu nhiên không tồn tại một cách thuần tuý màbao giờ cũng là hình thức ẩn nấp cái tất nhiên cho nên trong hoạt động nhậnthức cũng như trong hoạt động thực tiễn không nên bỏ qua cái ngẫu nhiên màbao giờ cũng tìm ra cái tất nhiên ẩn dấu đằng sau cái ngẫu nhiên ấy

1.2.3.4 Bản chất và hiện tượng

Theo giáo trình Triết học Mác- Lênin: “Bản chất là tổng hợp tất cảnhững mặt, những mối liên hệ tất nhiên, tương đối ổn định bên trong sự vật,quy định sự vận động và phát triển của sự vật Hiện tượng là biểu hiện ra bênngoài của bản chất” Theo quan điểm biện chứng thì bản chất là phần cơ bảnnhất, sâu xa nhất, bền vững nhất trong nội dung Bản chất có ý nghĩa quyếtđịnh đối với sự vật, điều đó có nghĩa là nếu bản chất không còn thì không có

sự vật Còn hiện tượng là sự biểu hiện ra bên ngoài của bản chất, hiện tượngcũng là hình thức nhưng có tính chất đặc trưng và chỉ thật sự mất đi khi bảnchất không còn Song hiện tượng cũng có thể làm hiểu sai bản chất, che lấpbản chất Chẳng hạn hiện tượng mặt trời lặn và mọc hàng ngày làm cho người

ta cứ ngỡ tưởng rằng mặt trời quay xung quanh trái đất khi khoa học chưaphát triển để giải thích điều đó Như vậy sự biến thiên vạn hoá của bản chất

và hiện tượng như trên đã dẫn tới cặp phạm trù đó

Ví dụ: “khi xét bài Toán “con bướm” sau đây cũng chứa đựng việc hiệntượng làm hiểu sai bản chất:

Cho một vòng tròn và dây cung AB, trung điểm I của đoạn AB và haidây cung PQ, RS, đi qua I; PR cắt AB ở M, QS cắt AB ở N

Chứng minh rằng IM = IN

Đây là một bài Toán quen thuộc, có nhiều cách giải dựa trên các tínhchất của vòng tròn Nhưng chỉ cần chú ý rằng nếu ta chiếu song song hìnhtrên xuống một phẳng không song song với mặt giấy thì, vì phép chiếu songsong biến trung điểm của một đoạn thẳng thành trung điểm của ảnh đoạn

thẳng đó nên ở trên hình chiếu ta có một bài Toán giống y như bài Toán đãcho, chỉ khác là vòng tròn lại được thay bằng một Elip.

Bài Toán thứ hai này rõ ràng là có

tính chất afin nghĩa là ta dùng bất kì

phép biến đổi afin nào để biến đổi

hình vẽ thì ta vẫn có bài Toán ban đầu

Như vậy, bài Toán “con bướm” đã cho

có bản chất là một bài Toán afin nhưng tính chất

vòng tròn, cho thừa ra (vì chỉ cần tính chất elip cũng được) đã che lấp mất bảnchất đó

1.2.3.5 Nội dung và hình thức

Theo Triết học Mác-Lênin,“Nội dung là tổng hợp tất cả những mặt,những yếu tố, những quá trình tạo nên sự vật Còn hình thức là phương thứctồn tại và phát triển của sự vật, là hệ thống các mối liên hệ tương đối bềnvững giữa các yếu tố của sự vật đó" Điều đó thấy rằng, bất kì một sự vật nàocũng có hình thức bề ngoài của nó, song theo quan điểm BCDV thì hình thứcbên trong, cơ cấu bên trong là cực kì quan trọng nhất Nội dung là những mặtnhững yếu tố những quá trình tạo nên sự vật Nội dung và hình thức khôngtồn tại tách rời nhau, nó có sự thống nhất biện chứng với nhau Nội dung giữmột vai trò quyết định đối với hình thức trong quá trình vận động và pháttriển của sự vật, và hình thức cũng có tác động sâu sắc tới nội dung Theo GS

Nguyễn Cảnh Toàn “ nội dung có thể diễn tả bởi nhiều hình thức phong phú

nhưng như vậy không có nghĩa là tuỳ tiện khi suy nghĩ để tìm ra những hình thức khác nhau của cùng một nội dung ” Hình thức có thể làm che lấp nội

dung song bản chất của nó không thay đổi, khi có mâu thuẫn giữa nội dung vàhình thức thì mâu thuẫn này sẽ kích thích việc nghiên cứu để làm rõ sự thốngnhất

S

Q

I M

N A

B

Chẳng hạn, mâu thuẫn giữa nội dung và hình thức của đường trungbình và đường trung tuyến của tam giác và điều đó đã kích thích ta nghiêncứu đường trung bình của tứ giác và những nghiên cứu này làm rõ sự thốngnhất.

Như vậy nội dung và hình thức luôn gắn bó, thống nhất với nhau trongquá trình vận động và phát triển của sự vật trong Toán học chúng ta cần phântích rõ mối quan hệ biện chứng của chúng, cần tránh bệnh chủ nghĩa hìnhthức, không nhìn một bài Toán dưới danh nghĩa hình thức, mà chúng ta cầnnhìn nhận trong mối quan hệ qua lại giữa nội dung và hình thức để tìm ra bảnchất của nó

1.2.3.6 Khả năng và hiện thực

“Cặp phạm trù hiện thực và khả năng được dùng để phản ánh mối quan

hệ biện chứng giữa những gì hiện có, hiện đang tồn tại thực sự (hiện thực) vớinhững gì hiện chưa có, nhưng sẽ có, sẽ tới khi có các điều kiện tương ứng(khả năng)” ([1] – tr.303)

Theo Triết học DVBC, khả năng và hiện thực có mối quan hệ biệnchứng Khả năng và hiện thực liên hệ chặt chẽ với nhau, không thể tách rờinhau, luôn luôn chuyển hoá lẫn nhau vì hiện thực được chẩn bị bởi khả năng,còn khả năng hướng tới biến thành hiện thực.biện chứng với nhau Cùngtrong những điều kiện nhất định, ở cùng một sự vật có thể tồn tại một số khảnăng chứ không phải chỉ có một khả năng Để một khả năng nào đó biếnthành hiện thực thường cần có không chỉ một điều kiện, mà là một tập hợpđiều kiện Tập hợp đó được gọi là cần và đủ nếu có nó thì khả năng nhất định

sẽ biến thành hiện thực, sự biến nhất định phải xuất hiện

Vì vậy trong hoạt động thực tiễn cần dựa vào hiện thực chứ không thểdựa vào khả năng, chỉ có thể tìm ra các khả năng phát triển của sự vật ở ngaytrong chính bản thân nó chứ không thể ở nơi nào khác Nhiệm vụ của nhậnthức nói chung, của nhận thức khoa học nói riêng là phải tìm ra, xác định cho

đuợc các khả năng phát triển của sự vật và sau khi đã xác định được khả năngphát triển của sự vật phải tiến hành lựa chọn và thực hiện khả năng

1.3 Khái niệm tư duy Toán học:

"Tư duy Toán học được hiểu, thứ nhất là hình thức biểu lộ của TDBCtrong quá trình con người nhận thức khoa học Toán học hay trong quá trình

áp dụng Toán học vào các khoa học khác như kỹ thuật, kinh tế quốcdân,v.v Thứ hai, tư duy Toán học có các tính chất đặc thù được quy định bởibản chất của khoa học Toán học, bởi sự áp dụng các phương pháp Toán học

để nhận thức các hiện tượng của thế giới hiện thực, cũng như bởi chính cácphưong thức chung của tư duy mà nó sử dụng"

Nội dung của tư duy Toán học là những tư tưởng phản ánh hình dạngkhông gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực

1.4 Khái niệm TDBC:

Trong quá trình nghiên cứu việc dạy Toán theo hướng góp phần hìnhthành thế giới quan DVBC (đương nhiên là phải hoàn thành nhiệm vụ truyềnthụ tri thức), thì ta cũng sẽ đụng chạm đến khái niệm TDBC Vì vậy cũng cần

mô tả khái niệm này nhằm tránh tình trạng là phát biểu chung chung

Chủ nghĩa DVBC dựa vào những quy luật (còn gọi là những nguyêntắc) của phép biện chứng trong việc nghiên cứu tư duy để vạch ra phép biệnchứng của tư duy Chính từ đó làm cho lôgic học trở thành khoa học về sựphát triển củ tư duy con người, phản ánh sự phát triển của thế giới kháchquan, xem xét tư duy và các hình thức của tư duy một cách khoa học và vạch

ra con đưòng phải đi để nhận thức được đúng đắn thế giới bên ngoài, đi đếnchân lý

Có thể nói rằng hiện đang tồn tại rất nhiều cách phân loại tư duy, bất kìmột loại tư duy nào cũng vãn có những cách quan niệm khác nhau Tư duybiện chứng cũng không ngoại lệ Nhiều tác giả quan niệm về tư duy biệnchứng với tinh thần đại thể như sau : Là phương thức tư duy đặc trưng bởi sự

thấu tỏ tính thay đổi, tính hai chiều, tính mâu thuẫn, tính duy nhất, bởi mốiquan hệ liên quan và phu jthuộc tương hỗ của các khái niệm và quan hệ.Ngoài ra tư duy một cách biện chứng còn là ở chỗ biểu hiện khả năng có đượcnhững quan điểm không khuôn sáo, nhiều khía cạnh khi nghiên cứu các đốitượng và hiện tượng xảy ra, khi giải quyết vấn đề Dặc trưng của tư duy biệnchứng là ở chỗ hiểu biết sự khác nhau giữa các kết luận luôn đúng và khảnăng xảy ra, là ở chỗ hiểu rõ tính duy nhất và đối lập trong sự hiểu biết củahữu hạn và vô hạn.

Ta có thể đưa ra một cách hiểu về tư duy biện chứng như sau: Phươngthức tư duy biểu hiện khả năng hiểu và vận dụng những nguyên lý, những quyluật, những cặp phạm trù của phép BCDV vào giải quyết các vấn đề của Toánhọc, gọi là tư duy biện chứng (trong Toán học)

1.5 Vì sao cần hình thành cho HS THPT một số kiến thức về phép BCDV trong quá trình dạy học Toán.

- Hình thành cho HS THPT một số kiến thức về phép BCDV trong quá

trình dạy học Toán là cần thiết bởi vì:

Việc làm này nhằm bồi dưỡng thế giới quan DVBC cho HS THPT, nógóp phần quan trọng trong việc rèn luyện khả năng sáng tạo cho HS Rènluyện khả năng sáng tạo cho HS là một trong các nhiệm vụ quan trọng nhấtcủa nhà trường phổ thông, bởi vì sáng tạo là rất quan trọng: “không sáng tạokhông thể làm cách mạng thành công được”(Lê Duẩn – Thanh niên với cáchmạng XHCN, NXB thanh niên, tr 196); “ nắm vững khoa học, kỹ thuật, rasức học tập và sáng tạo” (huấn thị của Hồ Chủ tịch tại cuộc mít tinh kỷ niệm

35 năm thành lập Đoàn TNLĐVN 26- 3- 1966); “Đất nước mình rất cần cáimới, cái sáng tạo về mặt khoa học kỹ thật, cho nên nhà trường phải vũ trangcho HS cái khả năng sáng tạo vô tận” (Phạm Văn Đồng – Thư gửi các bạn trẻyêu Toán, báo Toán học và tuổi trẻ, 11-1967, tr.1); “ Nhiệm vụ và mục tiêu cơbản của giáo dục là nhằm xây dựng những con người và thế hệ làm chủ tri

thức khoa học và công nghệ hiện đại, có tư duy sáng tạo, có kỹ năng thựchành giỏi ” (Nghị quyết Trung ương 2 khoá VIII).

Khi HS được trang bị phần nào các kiến thức về phép BCDV, nắmđược các nguyên lý, các quy luật của phép BCDV (dưới dạng ẩn tàng) và biếtvận dụng chúng vào trong quá trình học của họ thì chắc chắn hiệu quả học tậpcũng sẽ được nâng cao rõ rệt

- Hình thành cho HS THPT một số kiến thức về phép BCDV trong quá trình dạy học Toán là có thể bởi vì:

Theo Ăngghen, Toán học không phải chỉ là một lĩnh vực nhất định củatri thức, mà còn là một phương pháp và một dạng nhất định của nhận thứckhoa học, nó góp phần xây dựng chính các lý thuyết khoa học Viện sĩ A.N.Cônmôgôrốp khẳng định : “ Về nguyên tắc thì phạm vi ứng dụng phươngpháp Toán học không hạn chế: Tất cả các dạng vận động đều có thể nghiêncứu theo kiểu Toán học”

Trong quá trình dạy học Toán, song song với việc truyền thụ tri thứcToán học cho HS, GV hoàn toàn có thể làm đựợc công việc đó biết cách lồngghép, cài đặt vào trong bài dạy của mình những kiến thức về phép BCDV

Ví dụ : Khi dạy về khái niệm số phức ( Giải tích 12) GV có thể trang bịcho HS một số kiến thức về phép BCDV, chẳng hạn như:

Trước khi định nghĩa số phức, cần có lời mở đầu nói lên nhu cầu mởrộng tập hợp số thực thành tập hợp số phức và giới thiệu việc nảy sinh biểuthức dạng a + bi (a, b  R, i2 = -1 ) GV nên dẫn dắt, giới thiệu sâu sắc hơnnhư nhắc lại mở rộng từ tập hợp các số tự nhiên N sang tập hợp các số nguyên

Z để xét phép Toán ngược của phép cộng, từ Z sang tập hợp các số hữu tỉ Q

để xét các phép Toán ngược của phép nhân

Khi nói về biểu diễn số phức z = a + bi (a, b  R) bởi điểm M(a ; b)trong mặt phẳng toạ độ nên nhắc lại việc biểu diễn số thực bởi điểm trên trục

số Điều đó làm cho HS cảm thấy việc mở rộng từ tập hợp các số thực Rthành tập hợp các số phức C càng có vẻ tự nhiên.

Việc biểu diễn hình học số phức giúp HS hình dung một cách trực quankhái niệm số phức đã được định nghĩa một cách hình thức bởi biểu thức a + bi(a, b  R) Chính thông qua việc biểu diễn này mà ứng dụng được số phứcvào hình học phẳng và ngược lại

Những việc làm này nhằm giúp cho HS hiểu được sơ lược lịch sử pháttriển của số phức, hiểu được mối quan hệ giữa đại số, giải tích và hình học;đồng thời làm cho họ cảm nhận phần nào nguyên lý về sự phát triển, nguyên

lý về mối liên hệ phổ biến của phép BCDV

Qua dạy học Toán có thể góp phần rèn luyện và phát triển tư duy biệnchứng cho HS phổ thông

1.6 Thực trạng của việc hình thành một số kiến thức về phép BCDV cho

HS THPT trong dạy và học Toán hiện nay.

Qua điều tra phỏng vấn một số GV cũng như quá trình tìm hiểu, dự giờcủa các GV ở trường THPT Nam Đàn I và một số trường THPT khác Chúngtôi nhận thấy tình hình vận dụng và rèn luyện phép biện chứng của tư duyToán học ở trường phổ thông như sau:

Khi dạy các kiến thức Toán học, hầu như các GV chỉ trình bày, giớithiệu kiến thức có trong sách giáo khoa, mà không có giải thích cụ thể để HShiểu rõ bản chất của các hiện tượng Toán học Do vậy làm các em HS cảmthấy rất khó nắm bắt các kiến thức Toán học một cách tự nhiên

Khi dạy xong mỗi tiết lý thuyết là đến tiết bài tập, nhiều GV chỉ giảngdạy bằng cách chữa các bài tập một cách thuần tuý, chưa làm nỗi bật đượcmối quan hệ biện chứng giữa các bài tập này với các bài tập khác, giữa nhữngkiến thức đang học với những kiến thức cũ Khi dạy xong một chương nào đómột số GV không hệ thống lại các dấu hiệu để nhận biết một đối tượng Toánhọc nằm ở trong các chương thậm chí chỉ trong một chương Hay khi hướng

dẫn HS giải một số bài tập, nhiều GV không khuyến khích HS tìm tòi nhiềulời giải khác nhau cho bài Toán dưới nhiều góc độ khác nhau Mà GV chỉ làmđược nhiệm vụ giải các bài tập mà sách giáo khoa đã nêu, hoặc là cho HS lênbảng trình bày lời giải bài Toán là xong Vì vậy mà không khuyến khích HStìm tòi nhiều lời giải khác khi nhìn nó dưới nhiều góc độ khác nhau

Khi dạy học Toán hầu như nhiều GV chỉ nghĩ đến chuyện dạy kiếnthức Toán mà sách giáo khoa đã nêu ra, mà không để ý đến các kiến thứcToán học đã học, các giai đoạn phát triển của các kiến thức đó trong mối quan

hệ biện chứng Trong quá trình dạy học Toán đa số GV cũng chỉ chú ý đếnmột mặt, một vấn đề nào đó mà chưa nhìn nó trong sự mâu thuẫn đấu tranhcủa các mặt đối lập, trong sự thay đổi về chất dẫn tới sự thay đổi về lượng

Từ những điều đó mà trong quá trình học Toán HS ít được rèn luyệnvận dụng các kiến thức đã học, để giải quyết những vấn đề liên quan trongthực tế Nhiều HS khi gặp các bài Toán thực tế thường bở ngỡ, lúng túng,không biết giải bài Toán đó như thế nào Điều này thể hiện tính yếu kém vềmặt thực tiễn của HS qua việc vận dụng một số quan điểm biện chứng của tưduy Toán học

Bên cạnh đó HS bộc lộ những yếu kém về tư duy Toán học nhìn cácđối tượng Toán học trong sự rời rạc, trong trạng thái tĩnh mà chưa thấy mốiliên hệ phụ thuộc, sự vận động biến đổi, quá trình phát triển, trong sự mâuthuẫn và đấu tranh của các mặt đối lập

Từ những vấn đề nêu trên càng cho ta thấy sự yếu kém của HS hiệnnay, có một phần không nhỏ của một số GV trong quá trình dạy học chưa biếtvận dụng một số quan điểm biện chứng của Triết học DVBC Đó là một vấn

đề còn nhiều bất cập

1.7 Kết quả tất yếu của việc không nắm vững các kiến thức của phép BCDV trong dạy học Toán

Trong quá trình học tập môn Toán nói riêng và các môn học khác nóichung, nếu không nắm vững các kiến thức của phép BCDV, tức là sẽ không

có cái nhìn một cách biện chứng thì khi học một bài học mới sự tiếp thu bàihọc sẽ không đạt hiệu quả cao, bởi những kiến thức mới ít nhiều đều liênquan đến những kiến thức cũ mà các em đã học trước đó giống như những sợidây liên kết, nối tiếp những kiến thức này đến những kiến thức khác, thậm chínếu không nắm vững những kiến thức cũ thì không hiểu nổi những kiến thứcmới mà thầy cô đang truyền thụ cho mình

Trong thực tế, có khi cần phải vận dụng những kiến thức Toán học đểgiải quyết một vấn đề nào đó các em thường tỏ ra bối rối, điều đó là do trongquá trình học Toán các em ít được chú ý đến việc ứng dụng Toán học vàothực tiễn, ít vận dụng những kiến thức đã học để giải quyết những vấn đềtrong thực tế cuộc sống

HS không linh hoạt trong tư duy khi đứng trước một bài Toán cần phảigiải quyết, điều đó cũng có nghĩa là các em luôn nhìn các đối tượng Toán họctrong trạng thái tĩnh trong khi phép BCDV đã chỉ ra rằng mọi sự vật luôn luônvận động biến đổi không ngừng, chúng có mối liên hệ phu thuộc lẫn nhau,phủ định lẫn nhau

Nói xa hơn, điều đó cũng tác động không nhỏ đến cuộc sống hàng ngàycủa các em, đến việc nhìn nhận những vấn đề trong cuộc sống vốn dĩ đã rấtphức tạp và muôn hình, muôn vẻ này Khi gặp một vấn đề nào đó trong cuộcsống cần phải giải quyết nếu không có cái nhìn biện chứng thì chắc chắn các

em sẽ rất lúng túng trong việc giải quyết chúng; và do đó việc không nắmvững các kiến thức của phép BCDV sẽ tác động không nhỏ đến sự hình thànhnhân cách của các em

Còn trong dạy học, nếu GV không quan tâm đến việc hình thành cho

HS những kiến thức của phép BCDV thì sẽ ảnh hưởng đến hiệu quả giảng dạycủa mình Chẳng hạn như khi dạy học, đôi khi GV không quan tâm đến việc

giải thích cho HS biết sự phát triển từ những kiến thức cũ dẫn đến những kiếnthức mới thì hậu quả là sẽ làm cho các em nhận thức chậm về vấn đề mà GVđang muốn truyền thụ, thậm chí các em còn thắc mắc không hiểu tại sao lạithế.

1.8 Kết luận chương I

Trong chương này luận văn đã phân tích các nguyên lí và quy luật cơbản của phép BCDV và xem xét vận dụng nó vào Toán học, phân tích thựctrạng và vì sao lại cần phải hình thành cho HS THPT những kiến thức về phépBCDV trong quá trình dạy học Toán

Từ những phân tích trên về phép BCDV và mối quan hệ giữa Toán họcvới Triết học chúng ta thấy rằng nếu trong quá trình dạy học chúng ta quantâm đến việc cài đặt, lồng ghép các kiến thức về phép BCDV vào trong quátrình dạy học Toán chúng ta hoàn toàn có thể phát triển tư duy biện chứng cho

HS Và việc bồi dưỡng tư duy biện chứng cho HS thông qua quá trình dạyhọc Toán là rất cần thiết bởi qua đó chúng ta giúp HS học tập tích cực hơn vàkích thích được tính sáng tạo của HS trong học tập và trong cuộc sống Mặtkhác nó giúp HS học tập tốt hơn các môn học khác và góp phần trong việc đổimới phương pháp dạy học ở trường phổ thông hiện nay

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM HÌNH THÀNH CHO HS THPT MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ PHÉP BCDV TRONG QUÁ TRÌNH DẠY HỌC

TOÁN.

2.1 Đặc điểm chương trình môn Toán THPT

2.1.1 Một số đặc điểm đổi mới chương trình giáo dục THPT môn Toán

Khác với chương trình và SGK cũ, chương trình mới phân chia hệ giáodục THPT thành hai chương trình với hai ban, chương trình chuẩn cho HS đạitrà và chương trình nâng cao với HS ban khoa học tự nhiên SGK vì vậy cũngđược biên soạn thành hai quyển tương ứng

Chương trình môn Toán nâng cao nặng hơn, cao hơn so với chươngtrình chuẩn Việc suy luận được tăng cường thông qua các biện pháp sau: Một

là, bổ sung một số kiến thức về lí thuyết hỗ trợ cho việc suy luận Chẳng hạn,

ở chương trình nâng cao HS được học đầy đủ các phép biến đổi lượng giác(biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng), trong khi ở chương trình chuẩn chỉhọc biến đổi biểu thức asinx + bcosx Hai là, trong những phần và nội dung líthuyết hai chương trình như nhau thì các bài tập của chương trình nâng caocũng khó hơn, đòi hỏi kĩ năng suy luận nhiều hơn

Hơn nữa, số tiết học dành cho chương trình nâng cao cũng nhiều hơn sovới chương trình chuẩn

Dưới đây là một số đặc điểm chương trình giáo dục THPT môn Toán:

2.1.1.1 Tăng cường tính thực tiễn và tính sư phạm, giảm nhẹ yêu cầu quá chặt chẽ về lý thuyết.

Tiếp nối một số kiến thức ban đầu về Thống kê mô tả ở bậc Trung học

cơ sở, HS THPT được cung cấp những hiểu biết về xác suất và thống kê mộtcách hệ thống hơn và gắn với thực tiễn trong xã hội nước ta

Những kiến thức chỉ nhằm cung cấp phương tiện để giải một số loại bàitập nào đó mà không cần thiết cho cuộc sống cũng như cho việc học tập tiếp

theo bị loại bỏ để không gây nặng nề cho HS, không làm cho việc giải bài tậpToán trở nên quá khó.

2.1.1.2 Xây dựng nội dung chương trình đáp ứng mục tiêu môn học, đồng thời chú ý đáp ứng yêu cầu của một số môn học khác như Vật lí, Sinh học

Ngay từ đầu lớp 12 môn Vật lí đã cần đến khái niệm đạo hàm, do đóphần đạo hàm HS được học ở lớp 11 Tương tự, đầu lớp 12 môn Sinh học cầnđến khái niệm xác suất nên nội dung này được đưa vào lớp 11 Một số vấn đềđược tinh giản, dành chỗ cho những nội dung cần đưa lên trước, đồng thời bổsung một số nội dung mà các chương trình trước đây còn thiếu

2.1.1.3 Hội nhập

Các kiến thức được đưa vào chương trình giáo dục THPT phù hợp ởmột mức độ nhất định so với mặt bằng kiến thức chung bậc THPT của cácnước trên thế giới Một số vấn đề, trước đây khi chỉnh lí hợp nhất đã bắt đầuđưa vào như xác suất, tổ hợp thì bây giờ cùng với thống kê lập thành một hệthống các kiến thức có nhiều ứng dụng thực tiễn Ngoài ra trong việc trìnhbày hệ thống số trước đây chỉ dừng lại ở số thực, bây giờ được hoàn chỉnh hệthống số bằng cách đưa vào khái niệm số phức

2.1.2 Một số đặc điểm đổi mới của SGK THPT môn Toán:

Chương trình Hình học 10 bổ sung thêm một số kiến thức về hình họcphẳng đã học ở cấp Trung học cơ sở, đặc biệt là về vectơ và phương pháp toạđộ.

Chương trình chuẩn môn Hình học 10 gồm ba chương:

Chương I: VectơChương II: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụngChương III: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Lớp 11:

Một phần của Lượng giác được học ở Đại số 10 nhằm phục vụ cho việchọc Vật lí, Sinh học và bước đầu giới thiệu một số ứng dụng Toán học vàothực tiễn Phần còn lại (Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác) đượcđưa tiếp vào phần đầu của SGK Đại số và giải tích 11

Chương trình chuẩn môn Đại số và giải tích mới gồm ba phần:

Phần I Lượng giácPhần II Tổ hợp – Xác suấtPhần III Dãy số – Giới hạn - Đạo hàmPhần thứ nhất hoàn thành môn Lượng giác

Phần thứ hai, lần đầu được đưa vào chương trình lớp 11, giúp HS sớmtiếp cận với Toán ứng dụng

Đại số tổ hợp, trước kia là chương cuối của Giải tích 12, nay được đưavào lớp 11 để làm cơ sở cho việc trình bày lí thuyết xác suất

Phần thứ ba là mở đầu của Giải tích

Chương đạo hàm, trước đây học ở lớp 12, nay được đưa xuống lớp 11nhằm phục vụ cho việc học Vật lí, Hoá học Hai chương "Dãy số – Cấp sốcộng và cấp số nhân" và "Giới hạn" trình bày cơ sở của Giải tích

Chương hàm số mũ và hàm số lôgarit được chuyển sang lớp 12 cho nên

ở đây chưa nói đến đạo hàm của các hàm số này

Cũng như vậy, phần ứng dụng hình học của đạo hàm không được họctiếp ngay ở đây mà chuyển sang lớp 12

Giải tích lớp 12 :