góp phần rèn luyện cho học sinh thpt khả năng liên tưởng và huy động kiến thức trong dạy học đại số và giải tích

Giả thuyết khoa học Trong dạy học Toán nói chung, dạy học Đại số và Giải tích ở THPT nóiriêng, nếu chú trọng việc rèn luyện cho học sinh năng lực liên tưởng và huyđộng kiến thức thì sẽ h

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Dạy Toán là dạy hoạt động toán học, cho nên một trong những yêu cầucủa dạy Toán là phải khơi dậy được khả năng suy nghĩ và khám phá đối vớingười học Trước khi học một kiến thức nào đó thì học sinh cũng đã có mộtvốn kiến thức nhất định rồi, làm sao có thể vận dụng tốt những cái đã biếtnhằm giải quyết những cái mới - đó chính là một trong những nhiệm vụ củaviệc học

Môn Toán có độ liên kết lôgíc giữa các chủ đề kiến thức, muốn học Toán

có chất lượng thì người học phải biết liên hệ, phải biết tích luỹ những kiếnthức để rồi khi cần thì đem ra mà sử dụng

Liên tưởng và huy động kiến thức là những năng lực rất quan trọng, cầnphải rèn luyện cho học sinh Nếu có năng lực liên tưởng tốt thì nhiều khi đứngtrước một bài toán rất khó, nhưng ta vẫn nghĩ tới được một kiến thức nào đóliên quan, có vai trò quyết định trong việc tìm ra lời giải Ngược lại, nếu taliên tưởng kém thì gặp một vấn đề nào đó ta chẳng biết đặt nó trong mối liên

hệ với các kiến thức đã biết, thành ra ta nhìn các vấn đề một cách cục bộ vàrời rạc Trong khi đó, Toán học là một hệ thống các kiến thức có liên hệ khámật thiết với nhau

Chưa có công trình nào nghiên cứu sâu việc rèn luyện cho học sinh khảnăng liên tưởng và huy động kiến thức, vì lý do đó chúng tôi chọn đề tài

“Góp phần rèn luyện cho học sinh THPT khả năng liên tưởng và huy động kiến thức trong dạy học Đại số và Giải tích”.

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn vềliên tưởng và huy động kiến thức, từ đó tìm ra những giải pháp để rèn luyệncho học sinh THPT những năng lực này.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn có nhiệm vụ giải đáp những vấn sau đây:

- Liên tưởng và huy động kiến thức là gì?

- Vì sao lại cần phải bồi dưỡng cho học sinh khả năng liên tưởng và huyđộng kiến thức?

- Vai trò của liên tưởng và huy động kiến thức là như thế nào?

- Tình hình thực tế của học sinh THPT trong việc liên tưởng và huy độngkiến thức là ra sao?

- Làm thế nào để rèn luyện cho học sinh khả năng liên tưởng và huyđộng kiến thức?

4 Giả thuyết khoa học

Trong dạy học Toán nói chung, dạy học Đại số và Giải tích ở THPT nóiriêng, nếu chú trọng việc rèn luyện cho học sinh năng lực liên tưởng và huyđộng kiến thức thì sẽ hình thành được ở học sinh một hệ thống những kiếnthức vững vàng, làm sáng tỏ được mối liên hệ mật thiết và độ liên kết lôgícgiữa các chủ đề kiến thức, góp phần giúp học sinh lĩnh hội kiến thức một cáchbền vững và sâu sắc hơn

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và mục lục, luận văngồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Góp phần rèn luyện cho học sinh THPT khả năng liên tưởng và huy động kiến thức trong dạy học Đại số và Giải tích

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Liên tưởng

1.1.1 Khái niệm liên tưởng

Theo Từ điển tiếng Việt thì liên tưởng có nghĩa là: “Nhân sự vật, hiệntượng nào đó mà nghĩ đến sự vật, hiện tượng khác có liên quan”

1.1.2 Vai trò của liên tưởng dưới góc độ tâm lý học

Trong tâm lý học, trường phái tiếp cận liên tưởng vấn đề tưduy(Đ.Ghatli, D.S.Milơ, H.Spenxơ, …) cho rằng: tư duy là quá trình thay đổi

tự do tập hợp các hình ảnh, là sự liên tưởng các biểu tượng

Theo các nhà liên tưởng, có 4 loại liên tưởng:

Liên tưởng giống nhau, liên tưởng tương phản, liên tưởng gần nhau vềkhông gian và thời gian, liên tưởng nhân quả

Liên tưởng nhân quả có vai trò đặc biệt quan trọng trong các quá trình trítuệ Sự phát triển trí tuệ là quá trình tích luỹ các mối liên tưởng Sự khác biệt

về trình độ trí tuệ được quy về sự khác nhau, về số lượng các mối liên tưởng,

về tốc độ hoá các liên tưởng đó

Tác giả Bùi Văn Huệ chia liên tưởng thành 4 loại: liên tưởng gần nhau vềkhông gian và thời gian, liên tưởng giống nhau về hình thức hoặc nội dung,liên tưởng trái ngược nhau, liên tưởng nhân quả

Theo tác giả, liên tưởng có vai trò rất quan trọng khi ghi nhớ và nhớ lại.Nhà tâm lý học P.A.Sêvarev đã nghiên cứu tỉ mỉ những mối liên tưởng kháiquát độc đáo và vai trò của chúng trong dạy học Ông chỉ ra rằng: những mốiliên tưởng khái quát bao gồm 3 kiểu cơ bản, những liên tưởngđược biến đổi 1nửa, những liên tưởng trừu tượng - biến thiên, những liên tưởng cụ thể - biếnthiên.

L.B.Itenxơn cho rằng: Tư duy tốt tức là tư duy đúng đắn và có hiệu quả,biết thực hiên được những liên tưởng khái quát, những liên tưởng phù hợp vớibài toán cần giải Vì vậy, để việc dạy tư duy có hiệu quả, không chỉ đòi hỏiphải tìm hiểu những thuộc tính hay những quan hệ chung xác định của các đốitượng, mà còn phải biết thuộc tính này là bản chất đối với những bài toánnào"

K.K.Plantônôv xem tư duy như là một quá trình gồm nhiều giai đoạn kếtiếp nhau, mà hai trong số các giai đoạn ấy là: xuất hiện liên tưởng, sàng lọcliên tưởng và hình thành giả thuyết

Theo tác giả Vũ Dương Thuỵ: “Trong dạy học, cần chú ý rèn cho họcsinh kỹ năng biến đổi xuôi chiều và ngược một cách song song với nhau,nhằm giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời vớiviệc hình thành các liên tưởng thuận”

Như vậy có thể thấy rằng: Vai trò của liên tưởng trong quá trình tư duy làrất quan trọng, liên tưởng cũng đóng vai trò quan trọng trong hoạt động tưduy giải toán nói chung và giải toán Đại số và Giải tích nói riêng

1.1.3 Liên tưởng trong Toán học

Về mức độ khó, dễ của bài toán, G.Pôlya cho rằng: “Không dễ dàng xétđoán mức độ khó của một bài toán, lại càng khó hơn nữa khi xác lập giá trịgiáo dục của nó”

Theo G.Pôlya, thầy giáo nên nắm được cách phân loại mức độ khó, dễcủa các bài toán, vì đó là một điều có ích cho việc giảng dạy Ông đã ghi nhậncông lao của F.Denk về sự phân loại này trên cơ sở sự phân loại của F.Denk,G.Pôlya có điều chỉnh chút ít và phân loại như sau:

Loại thứ nhất: các bài toán có thể giải được bằng cách vận dụng trực tiếp

quy tắc mẫu hoặc tuân theo một cách máy móc các ví dụ mẫu Hơn nữa, quytắc hoặc ví dụ mẫu có ngay trước mắt HS (vừa mới học song), thầy giáothường cho các bài toán như thế vào cuối giờ học

Loại thứ hai khó hơn, nó được giải tuy cũng vận dụng trực tiếp quy tắc

đã được học trong lớp hoặc tuân thủ máy móc ví dụ mẫu đã được biết, tuynhiên HS chưa rõ ngay nên chọn quy tắc mẫu nào hoặc ví dụ mẫu nào, HScần phải có sự chọn lọc sơ bộ trong phạm vi nào đó

Loại thứ ba còn khó hơn nữa Để giải được chúng, HS cần phải kết hợp

một số quy tắc hoặc ví dụ đã học Bài toán sẽ không quá khó nếu một tổ hợpnào đó tương tự với nó (nhưng không phải chính nó) đã được thoả luận ở lớp.Nếu tổ hợp này hoàn toàn mới, hoặc cần phải phối hợp nhiều phần của giáotrình (có thể rất xa nhau), thì bài toán thường là rất khó

Có người đã ví, quá trình giải một bài toán giống như quá trình xây mộtngôi nhà Đầu tiên, phải thu thập những vật liệu cần thiết, sau đó phải kết cấunhững vật liệu rời rạc thành một cái toàn thể theo một mẫu thiết kế đã đượchình dung trước

Thực ra, thường trước khi xây nhà ta đã hình dung được cần đến nhữngvật liệu nào, có chăng, nếu thiếu vật liệu gì thì sau đó cũng có thể dễ dàng bổsung cho đủ

Trước khi giải bài toán, thường là chưa khẳng định được chắc chắn mình

sẽ dùng những kiến thức (định nghĩa, định lý, mệnh đề, quy tắc, công thức, )nào, trừ khi đó là bài toán đã có thuật giải hoặc bài toán khá dễ Sau khi giải

xong bài toán, người giải tự hỏi mình: thế mà ngay từ đầu tại sao mình lạikhông nghĩ đến định lý này nhỉ? (mặc dầu trước đó họ phải mò mẫm, suynghĩ rất lâu mới biết cách sử dụng định lý này)

Ví dụ 1: Xét bài toán, Chứng minh rằng: với ABC ta luôn có

sin2Asin2Bsin2C94

Nếu bài toán yêu cầu học sinh giải khi chưa học về các công thức lượnggiác (công thức hạ bậc) nhưng đã học về định lý hàm số sin thì việc đưa ra bàitoán này vẫn hợp lý Giáo viên dẫn dắt để học sinh liên tưởng đến việc ápdụng định lý hàm số sin cho vế trái của bất đẳng thức, có thể nêu câu hỏi:sinA, sinB, sinC gợi cho em liên tưởng đến một cái gì đó rất quen thuộc ởphần giải tam giác thường sử dụng?

Chúng ta mong đợi học sinh sẽ trả lời rằng: đó là định lý hàm số sin.Giáo viên dẫn dắt để học sinh phát hiện ra và đưa bất đẳng thức về dạng:

9R2  (a2  b2  c2 )  0 (1)Giáo viên có thể đặt vấn đề: Chứng minh bất đẳng thức đã cho ta sẽkhông chứng minh trực tiếp mà có thể chứng minh bất đẳng thức (1), conđường để chứng minh (1) đúng? sử dụng công thức nào liên quan đến độ dàicạnh của tam giác?

Chúng ta mong đợi học sinh sẽ trả lời rằng: chứng minh (1) bằng phươngpháp hình học, sử dụng công thức tích vô hướng hai véc tơ và định lý hàm sốcôsin

Trong tam giác ABC thì OH                            OA OB                             OC

, với H là trực tâm, O làtâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Ta có OH              2                (OA OB                             OC) 2

OA2 OB2 OC2  2(OA OB                                                        OB OC                            OC OA )

Áp dụng tích vô hướng và định lý hàm số côsin ta có:

Vế trái của bất đẳng thức (*) gợi cho em liên tưởng đến cái gì? Một cái

gì đó liên quan khi giải bất phương trình thường dùng?

- Ta mong đợi học sinh sẽ trả lời rằng:

Vế trái của (*) là tam thức bậc hai đối với cosC

Sau đó giáo viên dẫn dắt học sinh phát hiện ra tam thức bậc hai này cóbiệt thức  chính là - sin2 (A - B) Lúc này học sinh có thể kết luận vế trái của(*) luôn không dương, và được điều cần chứng minh.

1.1.4 Vai trò của liên tưởng trong dạy học Toán

Dạy học toán bao gồm dạy học khái niệm, định lý, mệnh đề, giải bài tậptoán… Năng lực liên tưởng ở mỗi người một khác, khi đứng trước một vấn đề

cụ thể (bài toán, định lý, mệnh đề, khái niệm…) Có người liên tưởng đượcnhiều định lý, mệnh đề, bài toán phụ, để hy vọng sẽ giúp cho việc giải quyếtvấn đề khá đơn giản Nhưng có người không liên tưởng được hay chỉ liêntưởng được ít định lý, mệnh đề, bài toán phụ thì vấn đề ấy sẽ bị bế tắc ngay

x y z

y z x

dễ dàng, nếu không có sự chỉ dẫn của thầy giáo giúp học sinh phát hiện ra vế

phải của các phương trình trong hệ có liên quan đến một công thức mà ta gặp ở trong lượng giác Vậy nên cần có sự thuyết trình, vấn đáp của giáo viên

2tan tan2 =

Từ công thức: tan2 = 2tan2

1-tan





 và hệ đã cho

Đặt X= tan suy ra Y= tan2, Z = tan4,

Thay vào hệ ta sẽ được phương trình: X = tan8

Đến đây học sinh có thể tìm được số nghiệm của hệ phương trình là 7nghiệm

1.2 Huy động kiến thức

1.2.1 Khái niệm huy động kiến thức

Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, lẽ đương nhiên không

cần huy động đến mọi kiến thức mà người giải đã thu thập, tích luỹ được từ

trước Cần huy động đến những kiến thức nào, cần xem xét đến những mối

liên hệ nào, điều đó còn phụ thuộc vào khả năng chọn lọc của người giải toán.

Người giải toán đã tích luỹ được những tri thức ấy trong tri nhớ, giờ đây rút ra

và vận dụng một cách thích hợp để giải bài toán G.Pôlya gọi việc nhớ lại có

chọn lọc các tri thức như vậy là sự huy động.

1.2.2 Vai trò của huy động kiến thức trong dạy học Toán

Năng lực huy động kiến thức không phải là điều bất biến, một bài toán

cụ thể nếu đặt vào thời điểm này có thể không giải được, chứng minh được,hoặc giải được, chứng minh được một cách rất máy móc và dài dòng, nhưngđặt trong thời điểm khác (có thể không xa lắm), nếu có năng lực huy độngkiến thức tốt, học sinh có thể giải quyết vấn đề một cách rất độc đáo, hay

Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau với ẩn n thuộc tập hợp số tự nhiên:

 n(n2 - 9n + 26) + 6 > 0 luôn đúng với mọi n  2.

Như vậy nếu chọn lọc công thức phù hợp thì việc giải quyết bài toán kháđơn giản và nhanh Còn nếu, không huy động được các công thức đã học trên((2) đến (6)) và áp dụng nó thì việc giải quyết bài toán sẽ dài dòng hơn, có khi

Yêu cầu bài toán đòi hỏi là tam giác ABC cân, ta phải huy động nhữngđịnh nghĩa, định lý, tính chất liên quan đến tam giác cân.

Để chứng minh một tam giác là cân, ta có thể chứng minh là tam giác đó

có hai cạnh hoặc hai góc bằng nhau Vấn đề ở đây là chứng minh hai cạnhbằng nhau hay hai góc bằng nhau?

Ở đây, giả thiết bài toán cho ta một hệ thức giữa các góc thông qua cáchàm số lượng giác giữa chúng Do vậy, để chứng minh tam giác ABC cân,trong bài toán này ta sẽ chứng minh hai góc bằng nhau:

Để chứng minh A - B = 0, ta đã biết các cách sau:

Chứng minh sin(A - B) = 0

(8)

Ta chọn cách nào trong hai cách đó?

Từ biểu thức sinA.sinB trong giả thiết, ta thu được cos(A - B)

Vì sinA.sinB = 1

2[cos(A - B) - cos(A + B)] Toàn bộ giả thiếtkhông thể biến đổi để làm xuất hiện sin(A - B) được Từ đó ta có đượccách giải bài toán

Để làm xuất hiện liên tưởng, có khi ta phải biến đổi bài toán Nói cáchkhác, nếu giữ nguyên cách phát biểu của bài toán thì không làm xuất hiện liêntưởng, nhưng biến đổi chút ít thì lập tức xuất hiện một liên tưởng có lợi choviệc giải nó

Chẳng hạn, xét bài toán: Chứng minh rằng nếu 0  a b 2 thì:

(*)  cos12a  tanb b a tan a cos12b

Thì có thể liên tưởng đến định lý Lagrange, nhờ đó có thể giải được bài

toán bằng cách: Xét hàm số f(x) = tanx trên [a,b], trên đoạn này hàm số liên

tục và có đạo hàm, do đó theo định lý Lagrange thì tồn tại một số c(a,b) mà

cos

b a c



 vì 0   a c b 2 nên 0 cos bcosccosa

 cos12acos12c cos12b

Từ đó rút ra điều phải chứng minh

Như vậy, năng lực huy động và liên tưởng kiến thức là rất quan trọngtrong quá trình giải bài toán Giáo viên cần đặc biệt chú ý phát triển năng lựcnày cho học sinh, giúp các em có khả năng độc lập giải quyết các bài toán

1.3 Hoạt động trí tuệ của học sinh trong học tập môn Toán

Quá trình tư duy không nảy sinh nếu để giải quyết nhiệm vụ nhận thức(trả lời câu hỏi, giải bài tập), học sinh chỉ vận dụng một cách máy móc, tựđộng những kiến thức có sẵn, nhưng quá trình tư duy cũng không nảy sinhnếu như để giải quyết được nhiệm vụ, nhận thức phải cần đến những kiếnthức mà học sinh chưa thể có được

Tư duy là thao tác lựa chọn các kiến thức phù hợp với nội dung và loạihình nhiệm vụ nhận thức được đặt ra.

Kiến thức vừa là cái kích thích ban đầu, vừa là phương tiện cơ bản, vừa

là kết quả cuối cùng của quá trình tư duy, kiến thức được nói tới ở đây baohàm trong nó có cả mặt khối lượng lẫn các mặt khác như tính hệ thống, tínhchính xác, tính sâu sắc

Kiến thức và điều kiện của bài toán động viên hành động trí tuệ(thao tác

tư duy) Phân tích điều kiện này trong khi phân tích điều kiện bài toán, trongkhi vạch ra những khía cạnh mới trong điều kiện bài toán, người ta đã tạo rađược những tiền đề phản ánh những khía cạnh này, đã động viên được nhữngkiến thức mới Những kiến thức mới về điều kiện của bài toán lại động viênnhững hành động trí tuệ và cứ như thế quá trình tiếp diễn

Những kiến thức tham gia vào quá trình tư duy có thể chia làm 2 loại:

- Những kiến thức mà người giải toán thu nhận trực tiếp từ điều kiện củabài toán khi đọc kĩ đầu bài

- Những kiến thức tuy không nằm trong điều kiện của bài toán, nhưngkhông có chúng thì quá trình tư duy không nảy sinh được, đó là các kiến thức

về định nghĩa, định lí, định luật toán học mà người giải toán đã thu thập được

từ trước Những kiến thức này cần thiết lập mối quan hệ logíc giữa điều kiện

và kết luận của bài toán

Quá trình tư duy trong giải toán có tiến triển được hay không là tuỳ thuộc

ở chỗ giữa 2 loại kiến thức trên có thiết lập được mối quan hệ qua lại haykhông? Những mối quan hệ qua lại này được thực hiện thông qua những hànhđộng trí tuệ với những kiến thức thu nhận trực tiếp những điều kiện của bàitoán Căn cứ vào lý thuyết những hành động trí tuệ mà xem xét, những liênhội kiến thức trực tiếp cũng được thực hiện bằng hành động trí tuệ

Những hành động trí tuệ này được rút gọn, trở nên tự động hoá, nênngười giải toán dường như không ý thức được chúng.

Mỗi đại lượng toán học được phản ánh trong một khái niệm có rất nhiềumặt, nhiều vẻ, nhều khía cạnh, tạo lập những liên hội kiến thức khác nhau.Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, không cần huy động mọi kiếnthức mà người giải đã thu thập được, không cần xét đến liên hội kiến thức cóthể có, không cần thiết lập mọi mối liên hệ qua lại có thể có giữa 2 loại kiếnthức, cần huy động kiến thức nào, cần xem xét những mối liên hội kiến thứcnào, cần thiết lập những mối liên hệ qua lại nào giữa 2 loại kiến thức tất cảphụ thuộc vào những hành động trí tuệ của người giải đã hướng tới với nhữngmặt nào, những khía cạnh nào của điều kiện của bài toán và phụ thuộc vào cơchế chung, của các hành động trí tuệ ấy

Sự phát triển của các năng lực tư duy đòi hỏi sự phát triển cả mặt nộidung (các kiến thức) lẫn hành động của tư duy (các hành động trí tuệ) Kháiniệm dạy toán ở trường phổ thông cho thấy nhiều học sinh có thói quen xấu làchỉ nghe giảng qua loa ở lớp rồi lao vào làm bài tập toán ngay, vì kiến thứcchưa nắm vững, chưa có đầy đủ kiến thức đã thu thập từ trước nên không giảiđược toán Có nhiều học sinh chỉ học thuộc lòng kiến thức toán trong sách, ítchịu giải bài tập, có hành động trí tuệ, ít được rèn dũa nên cũng không giảiđược các bài toán đòi hỏi phải “động não” chút ít

Theo Pôlya thành phần căn bản của quá trình giải bất cứ bài toán nào là ýmuốn, khát vọng, quyết tâm giải bài toán đó Bài toán mà anh có ý định giải,mặc dầu đã hiểu nó, vẫn chưa phải là hoàn toàn là bài toán của anh Bài toánchỉ thực sự trở thành bài toán của anh, thực tế chiếm lĩnh anh, khi anh đã cóquyết tâm nghiên cứu bài toán, cố gắng giải bài toán Trong khi giải toán anh

có thể trở thành “tù binh” của bài toán đó, đôi khi nó thu hút sự chú ý củangười giải đến mức trở nên có vẻ đãng trí

Trong quá trình dạy học môn Toán, muốn nâng cao chất lượng nắm vữngkiến thức thì giáo viên cần coi trọng bồi dưỡng động cơ học tập đúng đắn(động cơ là sử thể hiện của nhu cầu có ý thức của con người), bồi dưỡng hứngthú toán học cho học sinh của mình.

Hành động trí tuệ là hành động tinh thần có liên quan đến quá trình tưduy, là hành động tinh thần hướng tới mục đích nhận thức Mỗi hành động trítụê bao hàm trong nó một loạt các thao tác được thực hiện trong một trật tựxác định và phù hợp với những quy tắc nhất định Một tập hợp các hành độngtrí tuệ để giải quyết được nhiệm vụ nhận thức nào đó gọi là hoạt động trí tuệtrong việc giải quyết nhiệm vụ nhận thức ấy

Trong học tập môn toán có các thao tác tư duy chính là phân tích và tổnghợp Phân tích là chia cái toàn thể ra từng phần, là phân cái toàn thể ra từng

bộ phận, là chia nhỏ, là tách ra hoặc trừu xuất hoá đi một mặt nào đó nhữngdấu hiệu và những phần riêng lẽ nào đó Tổng hợp là kết các phần riêng lẽ lại,

là khái quát các dấu hiệu, là tạo lập một cái toàn vẹn

Phân tích và tổng hợp không bao giờ tách rời nhau, chúng là 2 mặt đốilập của một quá trình thống nhất Các thao tác phân tích và tổng hợp có mặttrong mọi hành động trí tuệ

Theo G Pôlya, dự đoán chiếm vị trí trung tâm của hoạt động trí tuệ trongkhi giải toán Ngay sau khi đã đọc kĩ một đầu bài toán, người giảng cố gắng

dự đoán phạm vi bài giảng Phạm vi này có thể còn mơ hồ, thậm chí có thểcòn phần nào không đúng, mặc dầu thật ra không phải lúc nào cũng quá sailầm Trên cơ sở dự đoán ta có được cái toàn thể ban đầu

Sơ đồ hoạt động trí tuệ trong giải toán của G.Pôlya:

Nhận biết

Dự đoán

Trong tư duy đã diễn ra 2 hành động trí tuệ, động viên kiến thức và tổchức kiến thức.

Động viên kiến thức là lấy ra, tách ra từ trí nhớ những yếu tố có liênquan đến bài toán, còn tổ chức kiến thức là chắp nối những yếu tố ấy lại vớinhau

Thao tác phân tích - tổng hợp là cơ sở của hành động tổ chức động viênnhận biết và nhớ lại hành động trí tuệ động viên kiến thức thường được bắtđầu bằng thao tác nhận biết một yếu tố nào đó chứa đựng trong bài toán Tiếptục bằng thao tác nhớ lại những kiến thức đã quen thuộc và có liên quan vớiyếu tố vừa được nhận biết

Hành động trí tuệ tổ chức gồm các thao tác bổ sung và nhóm lại

Khi nghi cứu một đối tượng phức tạp có thể tách biệt một chi tiết, một bộphận cụ thể khỏi cái toàn thể Sau đó lại kết hợp liên kết những chi tiết, những

bộ phận đã được xem xét lại với nhau trong một cái toàn thể, được phản ánhđầy đủ hơn trước Hành động tách biệt dẫn đến hành động kết hợp, hành độngkết hợp lại dẫn đến hành động tách biệt mới, tách biệt những chi tiết mới,những bộ phận mới, đó là tiến trình suy nghĩ làm cho người giải hiểu bài toán

và giải được bài toán

Hành động trí tuệ dự đoán được đặt ở trung tâm hình vuông, các cặphành động trí tuệ đối lập nhưng thống nhất: động viên tổ chức, cách biệt đốilập được đặt ở những đỉnh đối nhau của hình vuông, các thao trí tuệ được đặttrên các cạnh của hình vuông, và khi đọc từ trái sang phải chúng ta tóm tắtquá trình trí tuệ như sau: từ những chi tiết được động viên đi đến một cái toàn

thể có tổ chức, một chi tiết vừa mới được phân biệt được tách biệt ra, đượctập trung nghiên cứu, có thể dẫn tới được thay đổi quan niệm của người về bàitoán Cũng như vậy một chi tiết mà chúng ta nhớ lại được và tỏ ra thích ứngkhi kết hợp, sẽ làm cho hiểu biết của người giải về bài toán được phong phúthêm bổ sung cho cái toàn thể.

Tập hợp các hành động trí tuệ, các thao tác trí tuệ cùng mối liên hệ giữachúng mà ở sơ đồ trên gợi ý cho ta ý niệm về cơ chế của hoạt động trí tuệ khigiải toán

Khi giải quyết một bài toán cụ thể thì những thao tác trí tuệ có dạng xácđịnh phù hợp với những câu hỏi tương ứng

1.4 Đôi nét thực trạng về khả năng liên tưởng và hoạt động kiến thức của học sinh

Hiện nay học sinh nhìn vấn đề một cách rời rạc, ít có sự liên hệ các kiếnthức với nhau nên bế tắc trong nhiều bài toán mà lẽ ra có thể giải quyết tốtnếu ở họ biết liên tưởng và huy động kiến thức

Đối với học sinh dưới trung bình thì việc giải bài toán này là khó, vì khốikiến thức ít và sức liên tưởng có hạn

Đối với học sinh trung bình, có thể liên tưởng đến phương pháp đổi biến

số, nhưng việc giải đúng bài toán này theo phương pháp đổi biến số không phải

là đơn giản vì còn liên quan đến nhiều kiến thức khác trong quá trình giải

Ta có: /2 cos

2

1 sin2

t cost dt t

Học sinh khá, giỏi thì sức liên tưởng và huy động kiến thức có thể lớnhơn nên nhìn vấn đề bài toán ở đây có sự liên hệ cận đối nhau, nghĩ đến việcxét hàm số dưới dấu tích phân:

Đây là một bài toán tổ hợp không phải là khó đối với mọi học sinh Khigặp bài toán này học sinh phải có sự liên tưởng đến việc sử dụng công thứckhai triển Newton và phải huy động các công thức đã học về tổ hợp Nhưngviệc lựa chọn đúng công tức và sử dụng khai triển nhị thức Newton như thếnào để chứng minh được bài toán là một vấn đề không phải học sinh nào cũngthực hiện được Nếu lựa chọn và liên tưởng được:

Xét khai triển Newton x, n  N*:

Mỗi người (học sinh) có sức liên tưởng và huy động kiến thức khác nhaunên khi giải bài toán gặp những khó khăn ở mức độ khác nhau

Hiện nay tình trang học sinh nhìn nhận về bài toán tổ hợp còn ít sự liên

hệ giữa các kiến thức với nhau và liên tưởng các kiến thức vận dụng giải bàitoán

Khi dạy công thức nhị thức Newton giáo viên cần khắc sâu kiến thức,thông qua các bài tập củng cố Để từ đó học sinh ghi lại trong trí nhớ để rồikhi gặp các bài toán tương tự đưa ra mà vận dụng

Có thể tham khảo một số bài toán sau:

1 Chứng minh các đẳng thức sau:

a 0 6 1 62 2 6n n 7n

n  n  n   n 

5 Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của 1 x2(1 )x 8

1.5 Liên hệ với Phép duy vật biện chứng

Để góp phần hình thành thế giới quan duy vật biện chứng cho học sinh,trong quá trình giảng dạy Toán cần chú ý lồng ghép, cài đặt một cách hợp lýnhằm truyền thụ cho học sinh những kiến thức (thuộc về Phép biện chứng duyvật) Nói như vậy không có nghĩa là chúng ta dạy Triết học trong môn Toán,

mà quan trọng ở chỗ tình huống nào, thời điểm nào trong quá trình dạy Toáncho học sinh, người thầy sẽ chốt lại về một cái gì đó để làm cho học sinh sáng

tỏ hơn nữa về Phép biện chứng duy vật, và khi nắm được những kiến thức vềPhép biện chứng duy vật thì học sinh có thêm những cơ sở để giải quyết cácvấn đề Toán học

Quan điểm duy vật biện chứng không chỉ khẳng định bản chất vật chất,tình thống nhất vật chất thế giới mà còn khẳng định các sự vật, hiện tượngtrong thế giới đó luôn luôn tồn tại trong sự liên hệ, trong sự vận động và pháttriển không ngừng theo những quy luật vốn có của nó, làm sáng tỏ những vấn

đề đó là nội dung cơ bản của phép biện chứng Ăngghen khẳng định rằngphép biện chứng là lý luận về mối liên hệ phổ biến là môn khoa học về những

quy luật phổ biến của sự vận động, của tự nhiên, của xã hội loài người và của tưduy.

Những nguyên lý và những quy luật cơ bản của Phép biện chứng duy vật

là: Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến; Nguyên lý về sự phát triển; Quy luật lượng đổi - chất đổi; Quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập; Quy luật phủ định của phủ định.

Thế giới như một chỉnh thể thống nhất, các sự vật, hiện tượng và các quátrình cấu thành thế giới đó vừa tách biệt lẫn nhau vừa có mối liên hệ qua lại,thâm nhập và chuyển hoá lẫn nhau Từ nghiên cứu nguyên lý về mối liên hệphổ biến này, ta rút ra quan điểm toàn diện trong việc nhận thức cũng nhưtrong hoạt động thực tiễn Quan điểm toàn diện đòi hỏi chúng ta phải xem xét

nó trong mối liên hệ qua lại giữa các bộ phận, giữa các yếu tố, các thuộc tínhkhác nhau của chính sự vật đó Phải xem xét trong mối liên hệ giữa sự vật đóvới các sự vật khác “Muốn thực sự hiểu được sự vật cần phải nhìn bao quát

và nghiên cứu tất cả các mặt, các mối liên hệ và quan hệ gián tiếp của nó”(V.I.Lênin)

Liên tưởng và huy động các kiến thức nó có gắn liền với việc nhìn cácđối tượng Toán học trong mối liên quan mật thiết đối với các đối tượng khác

Đó chính là quy luật về tính toàn diện của tư duy biện chứng

Trong Toán học có vô vàn những ví dụ làm sáng tỏ điều vừa nêu trên.Thật vậy, ta thường xuyên phải nhìn những đối tượng Toán học dưới nhiềuđối tượng khác nhau, phải nhìn trong mỗi liên hệ qua lại giữa các bộ phận,yếu tố, và nhìn trong mối liên hệ với các đối tượng khác

Ví dụ: Ta cần làm cho học sinh nhìn mỗi đối tượng Toán học dưới nhìngóc độ và trong nhiều mối quan hệ khác nhau Chẳng hạn:

Giải và biện luận phương trình: x4 - 2ax2 + a2 - x - a = 0 (*)

Với sự liên tưởng và huy động kiến thức khác nhau của học sinh nên sẽ

có các lời giải khác nhau

Cách 1: Phương trình (*) là phương trình bậc 4 ẩn x và tham số a nên sẽ

giải và biện luận (*) theo a

(*)  (x2 - a)2 - x - a = 0

 (x2 - a)2 - x2 + x2 - x - a = 0

 (x2 - a - x) (x2 - a + x) + (x2 - x - a) = 0

 (x2 - x - a) (x2 + x - a - 1) = 0 (* *)Sau đó thực hiện các bước giải biện luật (* *) theo a khá đơn giản

Cách 2: Nếu nhìn vế trái của (*) là phương trình bậc hai ẩn a:

là các biểu thức dưới dấu căn, chúng có gì đặc biệt không?

mà thôi, bởi vì do A  A2 , phương trình đã cho có dạng:

cos x2  14  cos x2  34 12 (*)

Ta lại nói tiếp về phương trình (*) là phương trình lượng giác có dấu giátrị tuyệt đối, các biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối và nhận thấy cả hai đều

có chứa cos2x Do đó, ta có thể bổ sung ẩn phụ: u = cosx với 0u 1 Khi

đó ta có phương trình đối với u là:

u 14  u 34 12 (**)Phương trình (**) là phương trình đại số chứa dấu giá trị tuyệt đối, có thểgiải được bằng cách khử dấu giá trị tuyệt đối

Ta hãy nhìn cách khác đối với phương trình (**)

Ta cách ly từng dấu giá trị tuyệt đối và nhận thấy rằng có thể xem đó chỉ

là độ dài các đoạn thẳng u  14 là độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm M có

hoành độ u và A có hoành độ 1

4,

34

u  là độ dài đoạn thẳng nối điểm M và

B, B có hoành độ 3

4 Liên hợp các chi tiết này, phương trình (**) cho ta dưới dạng mới:

MA + MB = 12

Bằng cách nhìn mới, bài toán được phát biểu lại là: Xác định vị trí của

điểm M trên trục số sao cho tổng khoảng cách đến A và B bằng 12 Đến đây,việc giải bài toán chỉ còn các bước có tính chất kỹ thuật mà thôi

Có thể có nhiều cách giải nữa Việc tìm ra mỗi cách giải phụ thuộc chính

sự liên tưởng, huy động kiến thức hoặc là việc nhìn bài toán ấy dưới nhữnggóc độ khác nhau Đó cũng chính là biểu hiện khả năng tư duy biện chứng

Số liệu trong bài toán không thể là hoàn toàn ngẫu nhiên Một cách tổngquát thì ta đã gặp một số bài toán nếu sửa đi một con số thì không tài nào giảiđược dù rằng trước đó có lời giải đẹp Đó là những cặp phạm trù tất nhiên -ngẫu nhiên.

Kết luận chương 1:

Trong chương này luận văn đã đưa ra các cơ sở khoa học lý luận và thựctiễn về liên tưởng và huy động kiến thức, luận văn đã trình bày được vai trò, ýnghĩa của “liên tưởng và huy động kiến thức” trong Toán học Khẳng định vịtrí của nó trong hoạt động trí tuệ khi giải toán Thực tiễn sư phạm cho thấyviệc rèn luyện cho học sinh khả năng liên tưởng và huy động kiến thức trongdạy học Đại số và Giải tích là rất phù hợp với thực trạng hiện nay và hết sứccần thiết

Chương 2 GÓP PHẦN RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH THPT KHẢ NĂNG LIÊN TƯỞNG VÀ HUY ĐỘNG KIẾN THỨC TRONG DẠY HỌC

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

2.1 Các định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp sư phạm

Định hướng 1: Các biện pháp sư phạm được xây dựng phải dựa trên nền

tảng tri thức chuẩn của sách giáo khoa Toán hiện hành

Định hướng 2: Các biện pháp sư phạm cần bảo đảm tạo ra khó khăn

đúng mức, nhằm làm cho học sinh được tham gia vào quá trình hình thành trithức và kỹ năng

Định hướng 3: Hệ thống các biện pháp phải đảm bảo sự kích thích hứng

thú học tập, nhằm phát huy tính tích cực và năng lực trí tuệ của học sinh

Định hướng 4: Các biện pháp sư phạm được đề xuất phải dựa trên vốn

kiến thức của học sinh và việc liên tưởng, huy động các kiến thức một cáchhợp lý sẽ góp phần giải quyết các vấn đề Toán học

Định hướng 5: Các biện pháp sư phạm được đề xuất phải đảm bảo tính

khả thi, và thông qua các biện pháp, học sinh phải thấy được vai trò của liêntưởng, huy động kiến thức trong dạy học Đại số và Giải tích

2.2 Một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần rèn luyện khả năng liên tưởng và huy động kiến thức trong dạy học Đại số và Giải tích ở trường THPT.

2.2.1 Biện pháp 1: Trong quá trình truyền thụ kiến thức Toán học

cho học sinh, cần nhấn mạnh khả năng ứng dụng của nó bằng việc lựa chọn một hệ thống bài tập phù hợp để học sinh thấy được mối liên quan giữa các nội dung Toán học.

Trong chương trình Giải tích 11 và Giải tích 12, phần đạo hàm và ứngdụng đạo hàm giữ vai trò quan trọng, chủ đạo, có số tiết khá lớn và bằngphương pháp đạo hàm có thể giải quyết được khá nhiều dạng Toán ở bậctrung học phổ thông

Vậy nên khi dạy học về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm, giáo viên cầnnhấn mạnh đến khả năng ứng dụng của nó

Chẳng hạn: ứng dụng của sự đồng biến, nghịch biến của hàm số để chứngminh bất đẳng thức (trong §1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số Giải tích 12)

Phương pháp chung:

Bằng việc xét hàm số f(x) trên đoạn [a; b], ta có:

Nếu f’(x) ≥ 0, x [a; b]  hàm số f(x) đồng biến trên [a; b]  f(a)

Giáo viên hướng dẫn gợi ý cho học sinh giải bằng cách xét khoảng đơn

điệu của hàm số f(x) = x – sinx trên khoảng (0; 

2 )

- Xét hàm số f(x) = x - sinx (0  x <

2 ), ta có f’(x) = 1 - cosx ≥ 0 (f’(x) = 0 chỉ tại x = 0) nên theo định lý tính đơn điệu của hàm số ta có f(x) đồng biến

trên nửa khoảng [0; 

• Ứng dụng của đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: (§3 Giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, Giải tích 12).

Từ bảng biến thiên, ta được: Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5 tại x =

-1, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -15 tại x = -3

Ngoài ra ta còn có thể theo quy tắc sau để tìm giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ của hàm số:

- Tìm các điểm xi, (i =1;m) , xi  (a; b) tại đó hàm số f(x) có đạo hàm

bằng 0 hoặc không có đạo hàm

- Tính f(x1), f(x2), , f(xm), f(a), f(b).

- So sánh các giá trị tìm được số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn

nhất của f(x) trên đoạn [a; b], số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

Sau khi giới thiệu cho học sinh ví dụ và cách tìm giá trị lớn nhất và giátrị nhỏ nhất của hàm số theo khảo sát lập bảng biến thiên hoặc cách so sánh

các giá trị f(x) trên đoạn [a; b], giáo viên đưa ra một hệ thống bài tập yêu cầu

về nhà làm để khắc sâu phương pháp này:

Tìm giá lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

Ta nhận thấy rằng giải bài toán này ta nên đặt ẩn phụ.

Với cách đặt t = sin2x, t  [0; 1] Khi đó học sinh có thể thực hiện đường

các bước tiếp theo:

Gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè f(t) = 1, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè f(t) b»ng 1

2.Vậy từ bài toán này đưa ra các bài tập đề nghị sau:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

1 y = 2sin2x + 2sinx - 1

2 y = cos2 2x + sinx cosx +4

- Tìm điều kiện của biến mới t = g(x) có thể lại dùng đạo hàm, có thể

dùng phương pháp miền giá trị hoặc có thể đưa về dạng bình phương hay sửdụng bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki… Từ đó tìm miền xác định của hàm

số mới thiết lập theo biến đã chọn

- Việc xác định của dấu đạo hàm f’(x) phải xác định dấu của g(x) thì mới

lập được bảng biến thiên

Dù khảo sát trực tiếp hay gián tiếp để giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tuỳhọc sinh cũng phải thực hiện được các kỹ năng: tính đạo hàm, tìm điểm cựctrị, xét chiều biến thiên của hàm số thông qua hệ thống bài tập

• Ứng dụng của đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất để giảimột bài toán trong thực tiễn: (SGK Giải tích 12 - Ban nâng cao và cơ bản §3.Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số)

Giáo viên gợi ý các bước thực hiện bài toán này như sau:

Bước 1: Chuyển bài toán thực tế về bài toán học bằng cách: lựa chọn ký

hiệu, xác định đại lượng biến thiên, đại lượng cần tìm giá trị lớn nhất, giá trịnhỏ nhất thông qua việc thiết lập hàm số

Bước 2: Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Bước 3: Chuyển kết quả tìm được về ngôn ngữ của lĩnh vực thực tế

Ví dụ 11: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a Người ta cắt ở 4 góc 4

hình vuông bằng nhau, rồi gấp tấm nhôm lại như hình vẽ bên để được một cái

hộp không nắp Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khốihộp là lớn nhất.

6

a 2

Tõ b¶ng biÕn thiªn ta thÊy trong kho¶ng (0; a

2) hàm số có một điểm cực trị

duy nhất là điểm cực đại x = a

6 nên tại đó V(x) có giá trị lớn nhất bằng 2a3

27 Trên đây là một bài toán trong thực tiễn được chuyển về bài toán học,việc giải bài toán thực tiễn đó nhờ ứng dụng đạo hàm, tìm giá trị lớn nhất vàgiá trị nhỏ nhất Không phải bài toán nào đặt ra học sinh cũng có thể giảiđược, vì nó phụ thuộc vào năng lực từng đối tượng, cụ thể là năng lực liêntưởng và huy động kiến thức, nhớ lại các kiến thức đã học có chọn lọc và nhìnvào những yếu tố đã cho trong bài toán nhớ đến mối liên hệ với đạo hàm Cókhả năng liên tưởng tốt và sự huy động kiến thức một cách chọn lọc phù hợpthì mỗi bài toán đặt ra đều giải quyết một cách đơn giản Từ bài toán này giáoviên đưa ra một số bài tập đề nghị sau:

1 Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật

có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó

Các ví dụ và các bài tập đề nghị trên là những bài toán trong khi dạy §1.Tính đơn điệu của hàm số (Giải tích 12 - Ban nâng cao) hay §1 Sự đồng biến,nghịch biến của hàm số (Giải tích 12 - Ban cơ bản), và §3 Giá trị lớn nhất vàgiá trị nhỏ nhất của hàm số (Giải tích 12 - Ban nâng cao và cơ bản), giáo viên

cần giới thiệu cho học sinh, mặc dù thời gian trên lớp không thể giới thiệu hếtcách giải của từng bài nhưng với mức độ tiếp thu của học sinh giáo viênhướng dẫn yêu cầu về nhà hoặc trong các tiết luyện tập tại lớp phải hoànthành Để từ đó học sinh thấy được mối liên quan mật thiết của đạo hàm và sựđồng biến, nghịch biến, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trịnhỏ nhất của hàm số Thông qua hệ thống bài tập trên học sinh sẽ tiếp thu vàkhắc sâu kiến thức đạo hàm, ứng dụng của nó Góp phần rèn luyện khả năngliên tưởng và huy động kiến thức trong giải toán Giải tích.

Ngoài ra từ ứng dụng của đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất củahàm số có thể sử dụng để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

Giả sử f(x) là một hàm liên tục trên miền D, và giả thiết rằng tồn tại các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D kí hiệu bởi maxx D f(x) và minx D f(x).Khi đó ta cần chú ý các mệnh đề sau:

x

f ( )



có nghiệm    maxx D f(x) 2/ Hệ bất phương trình 







D x x

(Với giả thiết f(x) là hàm liên tục x  D , maxx D f(x) và minx D f(x) tồn tại)

Sử dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất để giải phương trình

Phương pháp:

- Chọn hàm số bằng cách đặt ẩn phụ

- Chỉ có những bài toán mà giữa các đại lượng tham gia trong một bàitoán có một mối liên hệ nào đó (được biểu hiện bởi các hệ thức toán học), nhờcác mối liên hệ này, các đại lượng được biểu diễn qua lại thì mới có khả năngdùng được ẩn phụ.

Ví dụ 12: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

m x

x x

Dựa vào bảng biến thiên phương trình có nghiệm  m 6

Sử dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất để giải hệ phương trình

Dạng 1:

Bất phương trình m < f(x) có nghiệm  m < Max D f (x)

Ví dụ 14: Tìm m để phương bất trình sau có nghiệm: 2x2  3 x m (14)

Dạng 2:

Xét hàm số y=f(x) có tập xác định D

Bất phuơng trình mf (x) có nghiệm  mminD f(x)

Ví dụ 15: Tìm m để phương bất trình sau có nghiệm:

m x

- Nếu không xác định được các điểm tới hạn của hàm số f(x) thì ta dựa

vào f x ( ): Tính f x ( ) rồi từ dấu của f x ( ) ta tìm được các khoảng đơn điệucủa hàm số f x ( ),từ đó xác định được dấu của f x ( )

Khi dạy chương 3 Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (Giải tích 12 Ban cơ bản và nâng cao) giáo viên sau khi đưa ra các phương pháp tính có thể khắc sâu cho học sinh nhận dạng đối với từng bài toán qua một số dấu hiệu nhận biết:

Trong phương pháp đổi biến số để tính tích phân I = ( )

 thay cho việc tính tích phân trên

Như vậy vấn đề ở đây là bài toán dạng nào thì vận dụng được phươngpháp đổi biến số này và việc chọn ẩn phụ dựa vào các dấu hiệu gì? ta phải tìmhiểu bài toán đã cho để phát hiện ra điều đó Việc đặt ẩn phụ rất đa dạng tuỳthuộc vào hàm số đã cho dưới dấu tích phân; nhiều khi còn phụ thuộc vào cận

a và b nữa Dưới đây là một số dấu hiệu và các gợi ý đặt ẩn phụ khi dạy họcsinh giải bài tập tính tích phân:

* Phép đổi biến số:

Khi đặt x = u(t):

Cần chú ý các vấn đề sau:

+ f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

+ x=u(t) là hàm đơn điệu, khả vi liên tục trên đoạn [α; β]

+ Hàm số hợp f(u(t)) xác định trên đoạn [α; β]

Ý nghĩa của việc đổi biến số trong bài toán:

+ Thay việc tính tích phân khó bởi một tích phân dễ hơn

+ Phát hiện và đặt x = u(t), hoặc t=u(x) cho đúng là vấn đề then chốt củaphương pháp giải bài toán tính tích phân

Giáo viên cho học sinh suy nghĩ, xem xét giả thiết để phát hiện các dấuhiệu đặc trưng, tăng cường khả năng liên tưởng và huy động kiến thức dựatrên một số gợi ý:

- Những bài toán có dạng như thế nào thì vận dụng phương pháp đổi biến

số được

- Các dạng quen thuộc nào để vận dụng phương pháp đổi biến số

Sau đây là một số dấu hiệu đổi biến số cần rèn luyện cho học sinh:

STT Dấu hiệu của hàm

dưới dấu tích phân

Gợi ý cách đổi biến số trong giải toán

1 f( a2  x2 ) x= | a |.sint hoặc x=| a |.cost

2 f( x2 a2 )

xsin

a t

Đặt x = sint, ta có dx = costdt với t  ;

x







HD Giải: Với bài toán này hàm số dưới dấu tích phân gợi cho ta liêntưởng đến dấu hiệu hàm số f( a x 2 ) và huy động các công thức:

HD Giải: Với hàm số dưới dấu tích phân với tập xác định [-a; a) ta liên

tưởng tới công thức lượng giác : 1 cos 2

t cos t