bài giảng xác suất thống kê toán chương 7 ước lượng các số đặc trưng tổng thể

Từ một mẫu cụ thể, ta ước lượng đặc trưng tổng thể θ bằng cách tuyên bố θ là θo ước lượng điểm hoặc tuyên bố θ thuộc một khoảng ước lượng khoảng... Ước lượng điểm Ta tuyên bố mỗi số đặc

CHƯƠNG 7 Ước lượng các số đặc trưng tổng thể

* Không thể tính được các số đặc trưng tổng thể Từ một mẫu cụ thể, ta ước lượng đặc trưng tổng thể θ bằng cách tuyên bố θ là θo (ước lượng điểm) hoặc tuyên bố θ thuộc một khoảng (ước lượng khoảng)

1 Ước lượng điểm

Ta tuyên bố mỗi số đặc trưng ứng với một mẫu cụ thể là số đặc trưng tương ứng của tổng thể

1.1 Ước lượng điểm trung bình tổng thể µµ

Trung bình tổng thể µ được ước lượng bởi trung bình mẫu ngẫu nhiên X

Công thức ước lượng này có tính chất:

Không chệch: Kỳ vọng của sai số khi ước lượng bằng 0, tức là E( X – µ) = 0

Hiệu quả: Phương sai của (X – µ) là nhỏ nhất trong các công thức ước lượng µ

Vững: X càng gần µ khi kích thước mẫu càng lớn

1.2 Ước lượng điểm phương sai tổng thể σ2

Phương sai tổng thể σ2 được ước lượng bởi phương sai mẫu ngẫu nhiên S2

Công thức ước lượng điểm này là không chệch, vững

1.3 Ước lượng điểm tỷ lệ tổng thể p

Tỷ lệ tổng thể p được ước lượng bằng với tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên F

Công thức ước lượng điểm này là không chệch

Ví dụ

Đo chiều cao (m) của 50 cây rừng ta có bảng:

Chiều cao Số lượng Chiều cao Số lượng

2 Ước lượng khoảng

Xét mẫu ngẫu nhiên X1, X2, , Xn Chọn 2 thống kê
1

Với độ tin cậy 1–α từ 95% trở lên, ta cho rằng biến cố
1

2.1 Ước lượng khoảng trung bình tổng thể µµ

Xét mẫu ngẫu nhiên X1, X2,…, Xn và độ tin cậy 1–α

Ta chọn khoảng ngẫu nhiên dạng ( X − ε, X + ε) để ước lượng µ ε gọi là độ chính xác của ước lượng

Để tìm khoảng ngẫu nhiên ước lượng µ, ta cần xác định công thức tính độ chính xác ε

TH1 n ≥≥≥≥ 30 và biết phương sai tổng thể σσ2

xỉ Z với phân phối Chuẩn Chính tắc

/ n

ε

σ là phân vị mức α/2 củaphân phối Chuẩn Chính tắc Vậy:

Lấy mẫu cụ thể kích thước n, ta tính được giá trị

ε và do đó tìm được khoảng tin cậy ( x−ε, x+ε) với độ tin cậy 1–α để ước lượng µ

TH2 n < 30, biết phương sai tổng thể σ2 và X có phân phối Chuẩn

TH3 n ≥≥≥≥ 30 và chưa biết phương sai tổng thể σ2

Lúc này X

S / n

− µ có phân phối Student bậc tự do

(n–1) Theo giả thiết n ≥ 30, phân phối Student được xấp xỉ với phân phối Chuẩn Chính tắc; hơn nữa, S cũng được xấp xỉ bởi s Vậy tất cả lập luận cũng như công thức nêu trên đều áp dụng được, miễn là thay σ bởi s khi tính ε ứng với mẫu cụ thể

TH4 n ≤≤≤≤ 30, chưa biết phương sai tổng thể

σ2, X có phân phối Chuẩn

Lúc này X

S / n

− µ có phân phối Student bậc tự do

(n–1) Tất cả lập luận trên cũng áp dụng được cho phân phối Student Công thức tính độ chính xác ε ứng với mẫu cụ thể lúc này là công thức đã biết nhưng thay σ bởi s và thay zα/2 bởi tα/2(n–1)

Tóm tắt – Khoảng tin cậy trung bình tổng thể µµµµ

Cho trước một mẫu cụ thể kích thước n và độ tin cậy 1–α Trung bình tổng thể µ được ước lượng thuộc khoảng tin cậy ( x−ε, x+ε) Độ chính xác ε được tính theo công thức gồm hai trường hợp sau:

n > 30 hoặc "n ≤≤≤≤ 30, biết σσ2 và tổng thể có phân phối Chuẩn"

Excel

ε trong trường hợp đầu được tính theo công thức

=CONFIDENCE(α, σ, n)

Ví dụ

(1) Thống kê về tuổi thọ (giờ) của một số bóng đèn

do một nhà máy sản xuất ta có bảng:

Tuổi thọ Số bóng đèn Tuổi thọ Số bóng đèn

Lấy trung điểm mỗi khoảng Ta có:

n = 256 x= 1.587,50 s2 = 51.450,98 ⇒ s = 226,83 a) Tính tuổi thọ trung bình của bóng đèn với độ tin cậy 95%

b) Nếu muốn độ tin cậy đạt đến 98% và độ chính xác như trên thì phải có số liệu về tuổi thọ của bao nhiêu bóng đèn?

zα

 ε

  = 360,66 ≈ 361 Phải có số liệu của 361 bóng đèn

c) Nếu lấy độ chính xác là 20 giờ và dùng số liệu điều tra 256 bóng đèn như trên thì độ tin cậy đạt bao nhiêu?

(2) Trọng lượng của một sản phẩm lấy ngẫu nhiên tại một nhà máy là một ĐLNN có phân phối Chuẩn Cân 20 sản phẩm lấy ngẫu nhiên thì tính được trung bình trọng lượng của một sản phẩm là 1.100g và độ lệch chuẩn là 25,649g Ước lượng trọng lượng một sản phẩm của nhà máy này với độ tin cậy 98%

2.2 Ước lượng khoảng tỷ lệ tổng thể p

Xét mẫu ngẫu nhiên X1, X2,…, Xn và độ tin cậy 1−α

Ta tìm khoảng ngẫu nhiên dạng (F−ε, F+ε) để ước lượng p ε gọi là độ chính xác của ước lượng

Cần xác định công thức tính độ chính xác ε

Xét n ≥≥≥≥ 30 Z = −

−

F pp(1 p) / n được xấp xỉ với phân phối Chuẩn Chính tắc Ta có:

ε

−p(1 p) / n) = α

⇔ P(Z > ε

−p(1 p) / n ) = α

⇔ P(Z > ε

−p(1 p) / n ) = α/2 Đẳng thức cuối chứng tỏ ε

−

p(1 p) / n là phân vị mức α/2 của phân phối Chuẩn Chính tắc Theo giả thiết n > 30, p được xấp xỉ bởi F Vậy:

ε = zα/ 2 F(1 F) / n −Lấy mẫu cụ thể kích thước n, ta tính được giá trị

ε và do đó tìm được khoảng tin cậy (f−ε, f+ε) với độ tin cậy 1−α để ước lượng p

Tóm tắt – Khoảng tin cậy tỷ lệ tổng thể p

Cho trước một mẫu cụ thể kích thước n (n ≥ 30) và độ tin cậy 1−α Tỷ lệ tổng thể p được ước lượng thuộc khoảng tin cậy (f−ε, f+ε) Độ chính xác ε được tính theo công thức:

εεεε ==== z / 2 f(1 f )

n

b) Nếu muốn độ tin cậy đạt đến 98% và độ chính xác như trên thì phải điều tra thêm bao nhiêu công nhân nữa?

c) Nếu lấy độ chính xác là 7% và dùng số liệu điều tra 100 công nhân như trên thì độ tin cậy đạt được bao nhiêu?

2.3 Ước lượng khoảng phương sai tổng thể σ2

Xét mẫu ngẫu nhiên X1, X2,…, Xn và độ tin cậy 1–α

Ta tìm khoảng ngẫu nhiên dạng (a, b) để ước lượng σ2

Ta chỉ xét tổng thể có phân phối Chuẩn

TH1 chưa biết trung bình tổng thể µµ

Lúc này (n 1)S− 2 2

σ có phân phối Chi Bình n–1 bậc tự do Ta có:

P(a<σ2<b) = 1–α ⇔ P(σ2 > b) + P(σ2< a) = α Để có đẳng thức trên, ta chọn P(σ2 > b) = α/2 và P(σ2 <a)=α/2 Ta có:

2 2

(n 1)STương tự:

2 2 / 2

(n 1)S

Lấy mẫu cụ thể kích thước n, ta tính được giá trị

a, b và do đó tìm được khoảng tin cậy [a, b] với độ tin cậy 1–α để ước lượng σ2

TH2 biết trung bình tổng thể µµ

∑ có phân phối Chi Bình n bậc tự do Lập luận tương tự trên, ta chọn được:

=

α

− µχ

i 1

2 / 2

i 1 2

X

Tóm tắt – Khoảng tincậy phương sai tổng thểσ σσ σ 2

Xét tổng thể là ĐLNN có phân phối Chuẩn Cho trước một mẫu cụ thể kích thước n và độ tin cậy 1–α Phương sai tổng thể σ2 được ước lượng thuộc khoảng tin cậy [a, b] a và b được tính theo công thức gồm hai trường hợp sau:

Chưa biết trung bình tổng thể µµ

a ==== 2 2

/ 2

(n 1)s(n 1)α

/ 2

x(n)

====

α

− µχχχχ

∑

và b ==== n (((( ))))2

i

i 1 2

/ 2

x(n)

====

−α

− µχχχχ

Nguyên Liệu (g) 19,0 19,5 20,0 20,5

Số sản phẩm 5 6 14 3

Hãy ước lượng phương sai với độ tin cậy 95% trong trường hợp:

a) Biết lượng nguyên liệu tiêu hao để sản xuất một sản phẩm trung bình là 20g

b) Chưa biết lượng tiêu hao nguyên liệu trung bình a) Do đã biết µ = 20 nên ta cần tính n ( )2

/ 2

x(n)

=

α

− µχ

∑

0,1631

/ 2

x(n)

=

α

− µχ

∑

1

0,4736

Với độ tin cậy 95% thì 0,1631 ≤ σ2 ≤ 0,4736

b) Từ số liệu trên bảng ta tính được:

−

b = 2 2

(n 1)s(n 1) −α

−

Với độ tin cậy 95% thì 0,1329 ≤ σ2 ≤ 0,3939