ứng dụng cỉa xác suất giải toán sinh học

Các phép toán ứng dụng trong sinh học phổ thông hiện nay có rất nhiều bài tập sử dụng xác suất thống kê.. Mặc dù trong môn Toán ở trường phổ thông học sinh cũng được làm quen với các phé

i đặt vấn đề

1 Lí do chọn chuyên đề

Trong thực tiễn quá trình giảng dạy môn Sinh học tại trường tôi nhận thấy việc giải các bài toán sinh học đối với học sinh là một vấn đề còn có nhiều vướng mắc và khó khăn Mặt khác, thời gian để chữa bài tập sinh học ở trên lớp theo phân phối chương trình không nhiều (2 tiết/năm học) Lượng thời gian đó không đủ để giáo viên hướng dẫn học sinh cách giải bài tập vận dụng, củng cố lí thuyết

Học sinh của trường là học sinh vùng cao, ở cách xa trung tâm của tỉnh, các đầu sách tham khảo đến được tay các em học sinh còn hạn chế nên các em ít có điều kiện tiếp cận với phương pháp tự học cách giải bài tập qua sách tham khảo

Muốn làm được các bài toán Sinh học phổ thông cần phải vận dụng nhiều phương pháp giải toán Nhưng muốn ứng dụng được các phép toán thì phải biết cách giải toán, phải hiểu được bản chất của vấn đề sinh học mới làm

được Các phép toán ứng dụng trong sinh học phổ thông hiện nay có rất nhiều bài tập sử dụng xác suất thống kê Mặc dù trong môn Toán ở trường phổ thông học sinh cũng được làm quen với các phép xác suất nhưng khả năng vận dụng của học sinh vào môn Sinh học còn nhiều hạn chế Có nhiều học sinh còn sợ toán sinh đặc biệt là những bài toán liên quan đến xác suất thống

kê

Hơn nữa hiện nay, Bộ Giáo dục - Đào tạo đang thực hiện thi trắc nghiệm môn Sinh học trong các kì thi Học sinh muốn trả lời đúng, nhanh các bài tập toán trắc nghiệm thì phải biết cách giải nhanh các bài tập Nếu học sinh biết ứng dụng thuyết xác suất thì sẽ góp phần rút ngắn thời gian thực hiện các thao tác để giải một số bài tập

Do đó, qua chuyên đề này, tôi mong muốn các em học sinh sẽ biết ứng dụng thành thạo một số phép xác suất trong việc giải bài tập sinh học phổ

thông Chính vì những lí do trên mà tôi chọn chuyên đề: “ứng dụng một số phép xác suất trong giải toán Sinh học phổ thông

2 Mục tiêu nghiên cứu

Đề xuất việc ứng dụng một số phép xác suất trong giải một số bài tập sinh học ở bậc THPT - giúp nâng cao chất lượng và hiệu quả trong quá trình dạy - học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Cơ sở toán học xác suất thống kê

- Cơ sở sinh học

- Một số dạng bài tập ứng dụng

4 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu tổng xác suất, tích xác suất và việc ứng dụng giải một số bài tập sinh học phổ thông

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu lí thuyết, phương pháp so sánh thực nghiệm - đối chứng, nghiên cứu các tài liệu liên quan đến nội dung của chuyên

đề bao gồm: sách giáo khoa, sách tham khảo, sách bài tập…

II GiảI quyết vấn đề

1 Cơ sở

1.1 Cơ sở lí luận

- ở nước ta, xu hướng khai thác các ứng dụng toán học trong sinh học phổ thông nói chung là có tác dụng tích cực, chúng giúp học sinh hiểu một số kiến thức sinh học chắc chắn và sâu sắc hơn Các bài toán sinh học đều góp phần kích thích tư duy độc lập của học sinh Nếu giáo viên khéo léo với một tỉ lệ thích hợp thì các bài tập ứng dụng toán học đặc biệt là ứng dụng thuyết xác suất trong dạy

và học môn sinh học phổ thông giữ vai trò rất quan trọng trong việc củng cố kiến thức cơ bản và “giảng dạy lấy người học làm trung tâm”

- Tại sao nhiều em học sinh về nhà lại không làm được bài tập môn sinh? Ngay cả trên lớp khi giáo viên đưa ra các câu hỏi lí thuyết thì học sinh còn hứng thú trả lời còn những câu hỏi về bài tập thì rất ít học sinh biết cách giải Ví dụ các dạng bài tập cơ bản phần quy luật di truyền Menđen, di truyền người hay một số bài di truyền quần thể Có những bài tập hỏi về xác suất rất thực tế và áp dụng được vào thực tế mà học sinh không biết câu trả lời thì thật đáng tiếc Các

em muốn giải được những dạng bài tập đó trước hết các em phải hiểu được các khái niệm về xác suất, các phép toán xác suất, biết gán các đại lượng sinh học vào công thức toán

1.2 Cơ sở thực tiễn

Thực tiễn cho thấy Menđen đã thành công trong việc sử dụng xác suất thống kê trong các thí nghiệm sinh học tìm ra các quy luật di truyền

Xét 2 tính trạng màu sắc và hình dạng hạt trên đậu Hà Lan, Menđen tiến hành các thí nghiệm đều thu được kết quả:

Pt/c: Hạt vàng, trơn x Hạt xanh, nhăn

F1 100% Hạt vàng, trơn

Cây F1 tự thụ phấn

F2 9/16 Hạt vàng, trơn: 3/16 Hạt vàng, nhăn:

3/16 Hạt xanh, trơn: 1/16 Hạt xanh, nhăn

Xét riêng từng tính trạng ở F2 cho thấy:

Tỉ lệ hạt vàng/ hạt xanh = 3: 1, như vậy hạt vàng là tính trạng trội (A) chiếm 3/4, nhăn là tính trạng lặn (a) chiếm 1/4

Tỉ lệ hạt trơn/ hạt nhăn = 3: 1, nghĩa là hạt trơn là tính trạng trội (B) chiếm 3/4, còn hạt nhăn là tính trạng lặn (b) chiếm 1/4

Menđen đã khẳng định các cặp tính trạng đã di truyền độc lập với nhau dựa trên cơ sở toán xác suất Theo lí thuyết xác suất hai sự kiện A và B được gọi

là độc lập với nhau nếu:

P(AB) = P(A) P(B)

P ở đây là kí hiệu xác suất Công thức trên có thể diến giải là xác suất

đồng thời của hai sự kiện độc lập A và B bằng tích xác suất của mỗi sự kiện đó Xác suất xuất hiện mỗi kiểu hình ở F2 bằng tích xác suất của các tính trạng hợp thành nó:

9/16 hạt vàng, trơn = 3/4 hạt vàng x 3/4 hạt trơn

3/16 hạt vàng, nhăn = 3/4 hạt vàng x 1/4 hạt nhăn

3/16 hạt xanh, trơn = 1/4 hạt xanh x 3/4 hạt trơn

1/16 hạt xanh, nhăn = 1/4 hạt xanh x 1/4 hạt nhăn

Menđen kết luận rằng khi lai cặp bố, mẹ thuần chủng khác nhau về hai (hoặc nhiều) cặp tính trạng tương phản, di truyền độc lập với nhau, thì xác suất xuất hiện mỗi kiểu hình ở F2 bằng tích xác suất của mỗi tính trạng hợp thành nó Ngoài việc lập khung pennet để xác định kiểu gen ở F2 còn có thể nhân trực tiếp với tỉ lệ các loại giao tử đực và cái, về thực chất là tính xác suất đồng thời của hai loại giao tử đực và cái gặp nhau chính bằng tích xác suất của mỗi loại giao tử đó (sự thụ tinh của các loại giao tử đực và cái diễn ra hoàn toàn ngẫu nhiên) Mỗi bên cơ thể F1 (AaBb) đều cho 4 loại giao tử AB, Ab, aB, ab với tỉ lệ

là 1/4 Cách xác định tỉ lệ kiểu gen như sau:

(1/4AB + 1/4Ab + 1/4aB + 1/4ab)( 1/4AB + 1/4Ab + 1/4aB + 1/4ab) = 1/16AABB + 2/16AABb + 1/16AAbb + 2/16AaBB + 4/16AaBb + 2/16Aabb + 1/16aaBB + 2/16aaBb + 1/16aabb

Những bài tập về quy luật di truyền Menđen có sử dụng xác suất là những bài tập cơ bản để làm các bài tập thuộc các quy luật di truyền khác nữa Ngoài ra các dạng bài tập về di truyền học người, di truyền học quần thể cũng ứng dụng một số phép xác suất để giải Do đó, tôi cho rằng muốn giải được các bài tập sinh học sử dụng toán xác suất thì điều kiện cần thiết là phải nhận ra được các biến cố

2 Giải quyết vấn đề

2.1 Khái niệm xác suất

Có nhiều cách định nghĩa xác suất:

- Cách 1: Định nghĩa phổ thông cổ điển trong toán học thống kê: "Xác

suất của một sự kiện là tỉ số giữa khả năng thuận lợi để sự kiện đó xảy ra trên tổng số khả năng có thể”

- Cách 2: Xác suất của biến cố A là một số không âm, kí hiệu P(A) (P

viết tắt từ chữ Probability), biểu thị khả năng xảy ra biến cố A và được định nghĩa như sau:

P(A) = Số trường hợp thuận lợi cho A/ Số trường hợp có thể có khi phép thử thực hện

(Những khả năng hoặc các biến cố sơ cấp - nếu chúng xảy ra thì suy ra A xảy ra

- gọi là những trường hợp thuận lợi cho A)

Trong lí thuyết xác suất còn phân biệt tần suất thực nghiệm (tần suất sự kiện trong thực tế hay tần suất có thể kiểm chứng) và tần suất chủ quan (hay tần suất Bayer - tần suất sự kiện không thể kiểm chứng) Các bài tập toán trong sinh học còn hay gặp một thuật ngữ nữa đó là tần số Trong sinh học, có thể hiểu từ

”tần số” trong các hiện tượng di truyền là "tần suất thực nghiệm”, nghĩa là số lần

đã xảy ra biến cố đó trong một hiện t−ợng hay quá trình sinh học có thể hoặc đã

đ−ợc thống kê hay kiểm định đ−ợc

2.2 Tổng xác suất

Khi gieo con xúc sắc có 6 mặt, thì khả năng xuất hiện 1 mặt là 1/6 Hỏi xác suất xuất hiện mặt có số chẵn khi gieo là bao nhiêu?

Mặt có số chẵn của con xúc sắc có 3 loại (tức là mặt có 2, 4 và 6 chấm quen gọi là “nhị”, “tứ”, “lục” Lúc này, biến cố mong đợi là tổng xác suất 3 sự kiện A ("nhị”), B ("tứ”), C ("lục”), nên biến cố tổng:

P (AUBUC) = P(A) U P(B) U P(C)

Do mỗi sự kiện đều có đồng khả năng và là 1/6 Suy ra biến cố mong đợi

= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 hay 1/2 Trong công thức trên P là kí hiệu của xác suất

Phép cộng xác suất đ−ợc ứng dụng để xác định tỉ lệ một kiểu hình nào đó (tức tìm tần suất thực nghiệm) Thí dụ: Cây đậu Hà Lan hạt vàng Aa tự thụ phấn sinh ra bao nhiêu cây con hạt vàng?

Aa x Aa thu đ−ợc 0,25 AA (vàng) + 0,50Aa (vàng) + 0,25aa (xanh) Vậy kiểu hình vàng chiếm 0,25 + 0,50 = 0,75 hoặc 3/4 hay 75%

2.3 Tích xác suất

Khi chơi cá ngựa, mỗi lần gieo con xúc sắc có 6 mặt thì khả năng xuất hiện 1 mặt mong muốn là 1/6 Giả sử muốn mặt có 6 chấm (”con lục”) và gieo cùng một lúc 2 con xúc sắc, vậy xác suất có 2 con lục một lúc là bao nhiêu?

Lúc này, biến cố mong đợi phụ thuộc cùng một lúc vào 2 sự kiện A và B, nên gọi là biến cố tích và đ−ợc biểu diễn là A giao B Do mỗi sự kiện đều có

đồng khả năng với xác suất là 1/6, nên biến cố mong đợi sẽ có xác suất P(AB) = P(A) P(B) = 1/6 x 1/6 = 1/36

Để đơn giản, ta có thể hiểu rằng xác suất của một sự kiện mà phụ thuộc vào nhiều biến cố độc lập thì sẽ bằng tích xác suất của các biến cố độc lập tạo nên sự kiện đó

*ứng dụng phép nhân xác suất trong các bμi tập di truyền

Ví dụ với các dạng đề là:

- "Không kẻ bảng, hãy xác định cây AaBbCc tự thụ phấn có thể tạo ra cây con có kiểu hình trội về cả 3 tính trạng chiếm tỉ lệ bao nhiêu?” (đề 1)

- "Phép lai AaBbccDdee x AabbccDdEe sẽ sinh ra kiểu gen aabbccddee chiếm tỉ lệ bao nhiêu ở đời con?” (đề 2)

Những dạng như vậy, trước hết cần ngầm hiểu rằng tuy có khi không nói nhưng người ta đã giả định các cặp gen đều phân li độc lập và thường là trội hoàn toàn, đồng thời quá trình sinh giao tử là bình thường và đủ nhiều Sau đó áp dụng công thức nói trên P(AB) = P(A) P(B) để có xác suất chúng cần tìm Cụ thể ở 2 đề ví dụ trên có thể làm như sau:

- Đề 1: AaBbCc tự thụ phấn tức là có 3 phép lai độc lập nhau: Aa x Aa 3/4 A- + 1/4aa; Bb x Bb 3/4B- + 1/4bb; Cc x Cc 3/4 C- + 1/4cc Do đó, cây con có kiểu hình trội cả 3 gen có kiểu gen A-B-C- sẽ có xác suất =

3/4.3/4.3/4 = 27/64

- Đề 2: Lập luận tương tự xác định được cặp lai AaBbccDdee x AabbccDdEe sẽ sinh ra đời con có kiểu gen aabbccddee chiếm tỉ lệ = 1/4.1/2.1.1/4.1/2 = 1/64

2.4 Một số thí dụ bμi tập toán sinh học ứng dụng thuyết xác suất thống kê

2.4.1 Thí dụ 1: Khi lai đậu Hà Lan thuần chủng hạt màu vàng với hạt

màu xanh được tất cả F1 hạt vàng F2 (do F1 tự thụ) có 6022 hạt vàng và 2001 hạt xanh Tính trạng này di truyền như thế nào?

Bμi giải:

Tỉ lệ phân tính ở F2 = 6022: 2001 = 3: 1 trùng với tỉ lệ đặc trưng ở định luật phân li của Menđen Suy ra tính trạng màu vàng là trội so với màu xanh, F1

là thể dị hợp Nếu quy −ớc A là alen trội quy định màu vàng, còn a là alen lặn quy định màu xanh thì ta có sơ đồ:

Pt/c: Hạt vàng (AA) x Hạt xanh (aa)

GP A a

F1 Aa

ở kiểu gen F1 có 2 alen khác nhau, nh−ng gen trội A lấn át gen lặn a, nên tính trạng do gen lặn a quy định không đ−ợc biểu hiện Khi cho F1 tự thụ phấn, nghĩa là cho lai Aa x Aa, thì mỗi bên bố, mẹ ở F1 này qua giảm phân sẽ sản sinh

ra 2 loại giao tử: loại mang A và loại kia mang a Vì chỉ có 2 loại nên trên lí thuyết mỗi loại có xác suất 0,5 suy ra ta có bảng Pennet sau:

0,5A 0,5a

ở kiểu gen aa không có gen trội nên tính trạng xanh không bị lấn át mà biểu hiện ra bên ngoài

Vậy tỉ lệ kiểu gen: 0,25AA + 0,5Aa + 0,25aa

Tỉ lệ kiểu hình lại là: 0,75 hạt vàng + 0,25 hạt xanh hay bằng 3/4vàng + 1/4 xanh

2.4.2 Thí dụ 2: ở cà chua gen R quy định quả đỏ, gen r quy định quả

vàng Cà chua quả đỏ lai với quả vàng cho F1 thế nào?

Bμi giải:

Cà chua quả đỏ có kiểu gen : RR hoặc Rr

Cà chua quả vàng có kiểu gen: rr

Sơ đồ lai:

+ RR x rr F1: 100% Rr (quả đỏ)

+ Rr x rr F1: 50% Rr (quả đỏ): 50% rr (quả vàng)

2.4.3 Thí dụ 3: Bố và mẹ đều dị hợp về tóc quăn thì sinh các con thế nào?

Biết rằng gen A là trội hoàn toàn quy định tóc quăn, a quy định tóc thẳng

ở đây phải hiểu bản chát là nêu xu hướng xảy ra của hiện tượng, tức là xác suất để có con tóc quăn là 75% hay tần số gặp là 0,75

2.4.4 Thí dụ 4: Một quần thể người có tần số người bị bệnh bạch tạng là

1/10000 Giả sử quần thể này cân bằng di truyền

- Hãy tính tần số các alen và thành phần các kiểu gen của quần thể Biết rằng, bệnh bạch tạng là do một gen lặn nằm trên nhiễm sắc thể thường quy định

- Tính xác suất để hai người bình thường trong quần thể này lấy nhau sinh

ra người con đầu lòng bị bệnh bạch tạng

Bμi giải:

Vì đầu bài cho quần thể ở trạng thái cân bằng di truyền nên ta có thể tính

được tần số của alen a bằng cách tính căn bậc 2 của 1/10000 = 0,01

Do đó tần số alen A = p = 1 – 0,01 = 0,99

Tần số kiểu gen AA = p2 = 0,992 = 0,980

Tần số kiểu gen dị hợp tử Aa = 2pq = 0,99 0,01 2 = 0,0198

Xác suất để hai vợ chồng có kiểu hình bình thường đều có kiểu gen dị hợp

Aa sẽ là [2pq/(p2 + 2pq)]2 = [0,0198/(0,980 + 0,0198)]2

Xác suất để hai vợ chồng bình thường sinh con bạch tạng là:

[2pq/(p2 + 2pq)]2.1/4 = [0,0198/(0,980 + 0,0198)]2.1/4

= (0,0198/0,9998).0,25 = 0,00495

* Chú ý:

- Trong một số bài toán sinh học đề cập tới sự kiện có thể xáy ra nhiều lần

mà không cho trước tần suất, thì phải giả định xác suất đã Ví dụ có bài toán:

“Nếu giảm phân bình thường thì một cơ thể có 2 cặp alen dị hợp BbCccho ra bao nhiêu loại giao tử? Mỗi loại chiếm tỉ lệ bao nhiêu?” Theo quy tắc nhân xác suất,

tìm được 4 loại (BC, Bc, bC và bc), nhưng mỗi loại chiếm tỉ lệ bao nhiêu? Trong trường hợp này cần hình dung quá trình xảy ra như là tiến hành phép thử (tung

đồng xu chẳng hạn) rất nhiều lần, khi đó tần suất để B (hay b) “đi với” C (hay c)

đều là đồng khả năng và do đó xác suất mỗi loại sẽ là 1/2 x 1/2 = 1/4

- Có nhứng bài toán không cần giả định xác suất, ví dụ: “Nếu giảm phân bình thường thì một tế bào có 2 cặp alen dị hợp BbCc cho ra bao nhiêu loại giao tử? Mỗi loại chiếm tỉ lệ bao nhiêu?” Trong trường hợp này không cần giả định xác suất nữa vì chỉ có một tế bào gốc nên:

- Nếu tế bào gốc sinh trứng thì chỉ cho một loại, xác suất là 1 hay tỉ lệ là 100%

- Nếu tế bào là sinh tinh thì cho ra 2 loại, xác suất mỗi loại là 0,5 hay tỉ lệ

là 50%

3 Kiểm chứng - so sánh

Đã gần 1 năm thực hiện chuyên đề vào giảng dạy chương trình sinh học

12, tuy thời gian khá ngắn ngủi nhưng tôi thấy chuyên đề rất có ích cho học sinh,

được thể hiện thông qua 1 lớp 12 năm học 2010 - 2011 như sau:

3.1 Lớp đối chứng.( Lớp 12 Năm học 2009-2010)

Số học sinh làm được bài tập đạt khá, tốt là 10%, trung bình là 50%, số còn lại dưới trung bình là 40%

3.2 Lớp thực nghiệm ( Lớp 12 Năm học 2010-2011)

Số học sinh làm được bài tập đạt khá, tốt là 32%, trung bình là 64%, số còn lại dưới trung bình là 4%

4 Kết quả

- Từ việc kiểm chứng so sánh tôi nhận thấy những học sinh được học theo chuyên đề có kết quả tốt hơn hẳn biểu hienj ở số học sinh khá, tốt tăng lên, số học sinh dưới trung bình giảm rõ rệt