sáng kiến kinh nghiệm bài tập giải phương trình vô tỷ

TRUNG TÂM K THU T T NG H NG NGHI P

(

BÀI T P GI I PH NG TRÌNH VÔ T

N m h c: 2010 - 2011

PH N I: M U

I/ LÝ DO CH N TÀI

- Trong ch ng trình toán THPT, mà c th là phân môn i s 10, các em h c sinh

đã đ c ti p c n v i ph ng trình ch a n d i d u c n và đ c ti p c n v i m t vài cách gi i thông th ng đ i v i nh ng bài toán c b n đ n gi n Tuy nhiên trong th c t các bài toán gi i ph ng trình ch a n d i d u c n r t phong phú và đa d ng và đ c

bi t là trong các đ thi i h c - Cao đ ng -THCN, các em s g p m t l p các bài toán

v ph ng trình vô t mà ch có s ít các em bi t ph ng pháp gi i nh ng trình bày còn

l ng c ng ch a đ c g n gàng, sáng s a th m chí còn m c m t s sai l m không đáng

có trong khi trình bày

- Lý do chính đây là: S ti t phân ph i ch ng trình cho ph n này quá ít nên trong quá trình gi ng d y, các giáo viên không th đ a ra đ a ra đ c nhi u bài t p cho nhi u

d ng đ hình thành k n ng gi i cho h c sinh Nh ng trong th c t , đ bi n đ i và gi i chính xác ph ng trình ch a n d i d u c n đòi h i h c sinh ph i n m v ng nhi u

ki n th c, ph i có t duy m c đ cao và ph i có n ng l c bi n đ i toán h c nhanh

nh n thu n th c

- T lý do ch n đ tài Tôi đã h th ng hoá các ki n th c thành m t chuyên đ : “M t

s gi i pháp giúp h c sinh có k n ng gi i ph ng trình vô t ’’.

- Qua n i dung c a đ tài này tôi mong mu n giúp các em h c sinh gi i bài toán v

ph ng trình vô t t t h n

III/ I T NG NGHIÊN C U :

- Ph ng trình vô t (Ph ng trình ch a n d i d u c n)

IV/ PH M VI NGHIÊN C U :

- N i dung ph n ph ng trình vô t và m t s bài toán c b n, nâng cao n m trong

ch ng trình đ i s 10

- M t s bài gi i ph ng trình ch a n d i d u c n trong các đ thi i h c - Cao

đ ng - TCCN

PH N II: N I DUNG TÀI

CH NG 1: C S LÝ LU N

Trong sách giáo khoa i s 10 ch nêu ph ng trình d ng

và trình bày ph ng pháp gi i b ng cách bi n đ i h qu , tr c khi gi i ch

đ t đi u ki n f(x) ≥ 0 Nh ng chúng ta nên đ ý r ng đây ch là đi u ki n đ đ

th c hi n đ c phép bi n đ i cho nên trong quá trình gi i h c sinh d m c sai

l m khi l y nghi m và lo i b nghi m ngo i lai vì nh m t ng đi u ki n f(x) ≥ 0

là đi u ki n c n và đ c a ph ng trình

Tuy nhiên khi g p bài toán gi i ph ng trình vô t , có nhi u bài toán đòi

h i h c sinh ph i bi t v n d ng k t h p nhi u ki n th c k n ng phân tích bi n

đ i đ đ a ph ng trình t d ng ph c t p v d ng đ n gi n

Trong gi i h n c a SKKN tôi ch h ng d n h c sinh hai d ng ph ng trình th ng g p m t s bài toán v n d ng bi n đ i c b n và m t s d ng bài

toán không m u m c (d ng không t ng minh) nâng cao

* D ng 1: ph ng trình f( )x = g(x) (1)

( ) 2

0

x

g

f g

≥

⎧⎪

⎨

=

⎪⎩

đi u ki n gx) ≥ 0 là đi u ki n c n và đ c a ph ng trình (1) sau khi gi i

ph ng trình f (x) = g 2 (x) ch c n so sánh các nghi m v a nh n đ c v i đi u

ki n g x) ≥ 0 đ k t lu n nghi m mà không c n ph i thay vào ph ng trình ban

đ u đ th đ l y nghi m

* D ng 2: ph ng trình f( )x = g( )x (2)

( ) ( ) ( )

0

x

f

f g

≥

⎧⎪

⎨ =

⎪⎩

Ph ng trình (2) ⇔

i u ki n f (x) ≥ 0 là đi u ki n c n và đ c a ph ng trình (2) Chú ý đây không nh t thi t ph i đ t đi u ki n đ ng th i c f (x) và g (x) không âm vì

f (x) = g (x)

*D ng bài toán không m u m c:

Lo i này đ c th c hi n qua các ví d c th

1/ D NG 1:

( ) ( )

f x =g x

Giáo viên: ch cho h c sinh th y đ c r ng n u khi bình ph ng hai v đ đi

đ n ph ng trình t ng đ ng thì hai v đó ph i không âm

( ) 2 ( ) ( )

0

x

g

f g

≥

⎧⎪

⎨

=

⎪⎩

( ) ( )

f x =g x

pt ⇔

i u ki n g x) ≥ 0 là đi u ki n c n và đ vì f (x) = g 2 (x) ≥ 0 Không c n đ t thêm đi u ki n f x) ≥ 0

b, Các ví d :

Ví d 1

+ : Gi i ph ng trình

3x− 4 = x - 3 (1)

i u ki n x ≥ 3 (*)

(Chú ý: không c n đ t thêm đi u ki n 3x - 4 0) ≥

2

Khi đó pt(1) 3x - 4 = (x - 3)⇔

⇔ x2 - 6x + 9 = 3x - 4

⇔x - 9x + 13 = 0

9 29 2

9 29 2

x x

=

⎢

⎢

=

⎢

⎣ ⇔

đ i chi u v i đi u ki n (*) ta thu đ c nghi m c a ph ng trình (1)

9 2

2

+ 9

là x =

L u ý: không c n ph i thay giá tr c a các nghi m vào ph ng trình ban đ u

đ th mà ch c n so sánh v i đi u ki n x 3 (*) đ l y nghi m ≥

Ví d 2

+ : Gi i ph ng trình

2

3x − 2x− 1 = 3x + 1 (2)

Nh n xét

Bi u th c d i d u c n là bi u th c b c hai, nên n u s d ng ph ng pháp bi n

đ i h qu s g p khó kh n khi bi u th đi u ki n đ 3x2

- 2x -1 ≥ 0 và thay giá

tr c a các nghi m vào ph ng trình ban đ u đ l y nghi m

Ta có th gi i nh sau:

1 3 i u ki n: x ≥ - (**)

Khi đó pt(2) 3x - 2x - 1 = (3x + 1) ⇔

⇔3x2 - 2x - 1 = 9x2 + 6x + 1

1 1 3

x x

= −

⎡

⎢

⎢ = −

⎣ ⇔6x2 + 8x + 2 = 0 ⇔

1 3

đ i chi u v i đi u ki n (**) ta thu đ c nghi m pt(2) là x =

-Ví d 3

+ : Gi i ph ng trình

2

5 2

4x − 12x+ 1 1 = 4x - 12x + 15 (3)

Nh n xét: Bi u th c ngoài d u c n là bi u th c b c hai, n u ta bình ph ng hai

v thì s đi đ n m t ph ng trình b c b n r t khó gi i

Ta có th gi i bài toán nh sau:

Ch a v i đ t đi u ki n b c gi i này.ta bi n đ i

pt(3) 4x2 - 12x + 11 - 5 2

4x 12x 1

t 2

4x − 12x+ 1 1 = t ; đk t 0 , (***) ≥

2

Ph ng trình tr thành: t - 5t + 4 = 0

1 4

t t

=

⎡

⎢ =

⎣ ⇔ (tho mãn đi u ki n (***) )

V i t = 1 2

4x − 12x+ 1

⇔4x2 - 12x + 10 = 0 ph ng trình này vô nghi m V i t = 4 2

4x − 12x+ 1

2

⇔4x - 12x - 5 = 0

3 56 4

3 56 4

x x

=

⎢

⎢

=

⎢

⎣ ⇔

3 56 4

4

− ; x =

V y nghi m c a ph ng trình là: x =

2/ D ng 2

f x = g x (2)

* Gi i ph ng trình:

Giáo viên h ng d n h c sinh đ t đi u ki n và bi n đ i

pt(2) ( ) ( )

( ) ( )

0( 0)

f g

⎧⎪

⎪⎩

⇔

Chú ý: Không c n đ t đ ng th i c g (x) ≥ 0 và f (x) ≥ 0 vì f (x) = g (x)

Các ví d

Ví d 1

+ : Gi i ph ng trình

− + 3x 2 = 2x+ 1 , (1)

1 2

− i u ki n x ≥ , (*)

pt(1) ⇔-3x + 2 = 2x + 1

1 5 ⇔5x = 1 ⇔ x = (tho mãn v i đi u ki n (*) )

1

5

V y nghi m c a ph ng trình là x =

1 2

−

L u ý: i u ki n x ≥ , (*) là đi u ki n c n và đ c a ph ng trình (1) nên

ta ch c n đ i chi u v i đi u ki n (*) đ l y nghi m cu i cùng c a ph ng trình

Ví d 2

+ : Gi i ph ng trình

2

2x + 3x− 4 = 7x+ 2 , (2) Nh n xét: Bi u th c d i d u c n v trái là bi u th c b c hai nên ta đ t đi u

ki n cho v ph i không âm

7 2 K: x - , (*) ≥

2

pt(2) ⇔ 2x + 3x - 4 = 7x +2

1 3

x x

= −

⎡

⎢ =

⎣

2

⇔ 2x - 4x - 6 = 0 ⇔

i chi u v i đi u ki n (*), nghi m c a ph ng trình là x = 3

Ví d 3

+ : Gi i ph ng trình 2x+ = 5 x− 2 (*)

Tóm t t bài gi i

⎩

⎨

⎧

−

= +

≥

−

⇔

−

= +

⇔

2 5

2

0 2 2

5 2

x x

x x

x

(*)

⎩

⎨

⎧

−

=

≥ 7

2

x

x

⇔

V y ph ng trình đã cho vô nghi m

3/ D ng 3 :

Ví d 1

+ : Gi i ph ng trình

x+ + x+ - = 4 (1)

2 x+ 1

i u ki n c a ph ng trình là x -1 , (*) ≥

x+ + x+

.Nh n xét: Bi u th c d i d u c n có d ng h ng đ ng th c

2

(a + b) = a2 +2ab + b nên ta bi n 2 đ i nh sau

2 ( x+ + 1 1)

⇔2 x+ 1 +2 - x+ 1 = 4

= 2 x + 1 = 4 ⇔ x = 3 (tho mãn đi u ki n (*) ) ⇔ x+ 1 ⇔

V y, nghi m c a ph ng trình là x = 3

Ví d 2

+ : Gi i ph ng trình

3x+ 7 - x+ 1 = 2 (2)

7 3 1

x x

⎧ ≥ −

⎪

⎨

⎪ ≥ −

⎩

i u ki n 3 7

1 0

x x

+ ≥

⎧

⎨ + ≥

⎩

0

⇔ x ≥ − 1 (**)

⇔

Chuy n v và bình ph ng hai v ta đ c

pt(2) ⇔ 3x+ 7 = 2 + x+ 1

v i đi u ki n (**) nên hai v luôn không âm , bình ph ng hai v ta đ c ⇔3x + 7 = x + 5 + 4 x+ 1

⇔2 x+ 1 = x + 1 ti p t c bình ph ng hai v

2

⇔4x + 4 = x + 2x + 1

2

⇔x -2x - 3 = 0

1 (tho mãn đi u ki n (**))

3

x

x

= −

⎡

⎢ =

⎣

⇔

V y nghi m c a ph ng trình là x = -1 và x = 3

Ví d 3

+ : Gi i ph ng trình

7 −x +x x+ 5 = 2 (3)

3 2x− −x

2 2

5 0

x x x

x x x

⎪⎪ − − ≥

⎨

⎪ + ≥

⎪⎩

0 (***)

H ng d n : k

L u ý: H đi u ki n (***) r t ph c t p nên ta không c n gi i ra c th

T K (***) nên hai v không âm ,bình ph ng hai v ta đ c

pt(3) ⇔ 7 - x + x x+ 5 = 3 - 2x - x

⇔ x x+ 5 = - 2x - 4

2(2 4) 0 2

x x

⎧

⎨

⎩

⇔

32 2 0

x

x x x

− ≤ ≤

⎧

⎨

⎩

⇔

1 4

x x x

− ≤ ≤

⎧

⎪ = − ⎡

⎨

⎢

⎪ = ±⎣

⎩

2 20

x

x x

− ≤ ≤

⎧

⎨

Thay giá tr c a x = -1 vào h K (***) , tho mãn

V y nghi m c a ph ng trình là x = -1

Ví d 4

+ : Gi i ph ng trình

2x+ 3 + = 3x + 2 2

2x 5x

1

3 2 1

x x

⎧ ≥ −

⎪

⎨

⎪ ≥ −

⎩

HD: i u ki n 2 3

1 0

x x

+ ≥

⎧

⎨ + ≥

⎩

0

x -1 (****)

t 2x+ 3 + x+ 1 = t ( K: t 0) ≥

⇔3x + 2 2

2x + 5x+ 3 2

= t - 4

2

pt(4) ⇔ t - t - 20 = 0 ⇔t = 5 (nh n) ho c t = - 4 (lo i)

V i t = 5 2 2

2x + 5x+ 3 =21 - 3x ( là ph ng trình thu c d ng 1)

⇔

2 2

x

⎧

⎨

⎩

⇔

x

⇔ 2 7

x

≤

⎧

⎨

V y nghi m ph ng trình là x = 118 - 1345

+ Ví d 5: Gi i ph ng trình

(x− 3) (x2 −x− 6)

2

– 7x + 12 = x

L i gi i sai: Ta có

(x− 3) (x2 −x− 6)

2

x – 7x + 12 =

(x− 3) (2 x− 2) (x− 3)(x− 3)(x− 2)

⇔(x-3)(x-4) = ⇔(x-3)(x-4) =

( )

⎢

⎢⎣

⇔

( − 3) ( + 2 − + 4)= 0

( − 3) + 2

Gi i (1) = (x-3)(x-4)

3

x

x x

=

⎡

⇔ ⎢

+ = −

⎣

3 7

x x

=

⎡

⇔ ⎢ =

⎣

(x 3) ( x 2 x 4)

(x 3) x

Gi i (2) 2= (x-3)(x-4) ⇔ − − + + − = 0

3

2 4

x

=

⎡

⇔ ⎢

+ = −

⎣

3 2

x x

=

⎡

⇔ ⎢ =

⎣

V y ph ng trình đã cho có nghi m là : x = 2 v x = 3 v x = 7

Nhân xét:

Bài toán này HS có th gi i m c sai l m nh sau:

L i gi i sai:

(x− 3) (x2 −x− 6)

2

Ta có: x – 7x + 12 =

(x− 3)(x− 3)(x− 2) (x− 3) (2 x− 2) ⇔(x-3)(x-4) = ⇔(x-3)(x-4) =

( − 3) ( + 2 − + 4)= 0

( − 3) + 2

⇔ x x = (x-3)(x-4)

( )

⎢

⎣

⎡

∗

−

= +

=

⇔

4 2

3

x x

x

( )

⎩

⎨

⎧

−

= +

≥

−

⇔

−

=

4 2

0 4 4

2

x x

x x

x

Gi i (∗) ta có

0 14 9

4

⎩

⎨

⎧

= +

−

≥

x x x

V y ph ng trình đã cho có nghi m x = 3 và x = 7

HS có th k t lu n v i x =3 và x = 7 là hai nghi m tho mãn c a ph ng trình

Mà không ng r ng ph ng trình đã cho còn có m t nghi m n a là x = 2 c ng

tho mãn

Chú ý r ng: 2

0 0

khi A

A B A B A B khi A

A B khi A

=

⎧

⎪

⎩

L i gi i trên đã b sót m t tr ng h p A ≤ 0

Bài t p

1 Gi i ph ng trình

a 3x− 2 = 1 - 2x

b 5 2x− = x− 1

c 2

3x − 9x+ 1 + x - 2 = 0 HD: Bi n đ i theo d ng 1 và d ng 2

2

- 3x +

2 Gi i ph ng trình: x 2

x − x+ = 7 HD: t t = 2

x − x+ (t≥ 0) S: x = -1 và x = 4

+

3 Gi i ph ng trình: x− 1 3x− 2 = 5x− 1

HD: t đk sau đó bình ph ng hai v

S: x = 2

1

1 1

2

−

+

=

−

+

x

x x

x

4 Gi i ph ng trình:

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<

<

−

>

≥

=

=

0

; 0

0

; 0

B A khi B

AB

B A khi B

AB B

AB B

A

HD :

S : Nghi m ph ng trình là : x = -3

5 Gi i ph ng trình: ( ) 2

5

2 = + +

−

x x

x

5 +

x

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

<

<

−

>

≥

=

0

; 0

0

; 0

B A khi AB

B A khi AB B

A

HD:

S:

Nghi m c a ph ng trình là: x = 14

6 Gi i ph ng trình: x+ 1 x+ 10 x+ 2 x+ 5

+ = 4

7 Gi i ph ng trình: x+ 1 x− 1

1

x+ + x+1

8 Gi i ph ng trình: x + = 2

2

9 Gi i ph ng trình: x + 3x + 1 = (x + 3) 2

1

x +

= 2x3 + 2x +1

10 Gi i ph ng trình: (4x - 1) 3

1

x + 2

- 1 = 2x

11 Gi i ph ng trình: x 2

2

x − x

12 Gi i ph ng trình: x2 + 4x = (x + 2) 2

x − x+

PH N III: K T LU N

* K t qu ki m nghi m :

i m 8 tr lên i m t 5 đ n 8 i m d i 5

T ng

s

N m

l ng

T l S

l ng

T l S

l ng

T l

2007-2008

2009-2010

* Ph ng trình vô t là m t n i dung quan tr ng trong ch ng trình môn toán l p

10 nói riêng và b c GDTX nói chung Nh ng đ i v i h c sinh l i là m t m ng

t ng đ i khó, đây c ng là ph n nhi u th y cô giáo quan tâm tài c a tôi đ a

ra giúp các em h c sinh có h ng thú h c t p h n

_