Phương trình tiếp tuyến của ñường cong y = fx và bài toán liên quan là một vấn ñề ñược giáo viên và học sinh thâm nhập với một lượng thời gian không nhiều khoảng 2 tiết nhưng ñây là vấn
Trang 1S GIÁO D C VÀ ÀO T O LÀO CAI
TR NG THPT S 1 TP LÀO CAI
Tên sáng ki n:
Lê Th Hi n
Lào Cai, n m 2011
Trang 2- Trang 1 -
MỤC LỤC
PHẦN 1 MỞ ĐẦU
Chủ ñề Trang
1 Tính cấp thiết của ñề tài 2
2 Tình hình nghiên cứu 2
3 Mục ñích nghiên cứu 3
4 Nhiệm vụ nghiên cứu 4
5 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 4
PHẦN 2 NỘI DUNG 6 Đặt vấn ñề 5
7 Viết phương trình tiếp tuyến của ñường cong y = f(x) tại ñiểm M0(x0;y0) 5
8 Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y = f(x) khi biết hệ số góc k 14
9 Viết phương trình tiếp tuyến qua A(xA;yA) 18
PHẦN 3 KẾT LUẬN 23
PHẦN 4 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 24
Trang 3- Trang 2 -
Đề tài:
KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY CHUYÊN ĐỀ
TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG Y = F(x) VÀ BÀI TOÁN
LIÊN QUAN
Phần 1 MỞ ĐẦU
1 Tính cấp thiết của ñề tài
Trang bị những tri thức, phương pháp và phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh là các mục tiêu ñược ñặt lên hàng ñầu trong các mục tiêu dạy học môn toán
Phương trình tiếp tuyến của ñường cong y = f(x) và bài toán liên quan là một vấn ñề ñược giáo viên và học sinh thâm nhập với một lượng thời gian không nhiều (khoảng 2 tiết) nhưng ñây là vấn ñề có thể phát triển khả năng tư duy toán học cho học sinh và ñược áp dụng nhiều trong các kì thi tốt nghiệp và Đại học Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán 12, tôi nhận thấy rằng học sinh còn lúng túng khi lựa chọn cho mình một phương pháp phù hợp có hiệu quả nhất ñể giải quyết các bài toán về tiếp tuyến và bài toán liên quan ñến tiếp tuyến
của ñường cong y = f(x) Từ ñó, tôi ñã lựa chọn ñề tài “Kinh nghiệm
giảng dạy chuyên ñề tiếp tuyến của ñường cong y = f(x) và bài toán liên quan” với mong muốn giúp học sinh:
1 Tổng hợp ñược kiến thức, không còn bị ñộng trong quá trình nắm bắt kiến thức, hiểu và nhớ kiến thức mới một cách chủ ñộng
2 Rút ngắn ñược thời gian giải toán với ñộ chính xác cao
2 Tình hình nghiên cứu
Trong chương trình dạy học bộ môn Toán nói chung và ôn thi tốt nghiệp và Đại học-Cao ñẳng cho học sinh khối 12 nói riêng, chúng ta
Trang 4- Trang 3 -
cần phải cho học sinh ñề cập ñến chuyên ñề “Tiếp tuyến của ñường cong y = f(x) và bài toán liên quan” Sau nhiều năm trực tiếp tham gia giảng dạy môn Toán 12 và ôn thi Đại học – Cao ñẳng cho học sinh khối 12 của trường THPT số 1 TP Lào Cai, tôi nhận thấy trình ñộ nhận thức, kỹ năng thực hành, phương pháp tư duy của một số học sinh về các bài toán tiếp tuyến của ñường cong y = f(x) và bài toán liên quan còn yếu Có nhiều nguyên nhân ñể dẫn ñến tình trạng này như: học sinh giải toán kém, không phát huy ñược tính tư duy sáng tạo của mình, học tập còn thụ ñộng, ñối phó Điều này liên quan ñến người dạy, người học và nhiều vấn ñề khác nữa Nhưng theo tôi nguyên nhân chủ yếu nhất là do học sinh học kém, nắm kiến thức cơ bản không vững, thiếu cố gắng trong học tập, chưa có ý thức học tập một cách tích cực, chủ ñộng, ngại phát hiện và giải quyết những vấn
ñề mới dựa trên nền tảng kiến thức cũ, hơn nữa thời lượng cho chuyên
ñề không nhiều, tài liệu tham khảo còn chung chung, hoặc nhiều thầy,
cô chưa thực sự ñi sâu về chuyên ñề này Dựa trên tình hình thực tế
ñó, từ năm học 2007 – 2008 tôi ñã ñăng ký với tổ chuyên môn ñi sâu nghiên cứu, tìm tòi về chuyên ñề này nhằm cùng với quí thầy, cô trong trường cùng với các em học sinh khắc phục phần nào những tồn tại trên
3 Mục ñích nghiên cứu
Với mục ñích giúp cho học sinh học có hiệu quả hơn và có cái nhìn tổng quan, hiểu ñược bản chất của vấn ñề ñặt ra, từ ñó ñưa ra phương pháp giải mạch lạc phù hợp với những ñòi hỏi của mỗi bài thi, giúp học sinh tự tin và có phương pháp phù hợp khi gặp phải các bài toán liên quan ñến tiếp tuyến của ñường cong Yêu cầu ñặt ra phải trang bị cho học sinh, ñặc biệt là ñối với học sinh khối 12 phương pháp giải các dạng bài toán về tiếp tuyến của ñường cong y = f(x) và bài toán liên quan
Trang 5- Trang 4 -
4 Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn ñề về Phương pháp giải các bài toán
tiếp tuyến và bài toán liên quan Những bài toán về tiếp tuyến và bài
toán liên quan nội dung rất hấp dẫn và khó giải quyết Một trong những nguyên nhân gây khó giải quyết của nó là vì thời gian ñược tiếp cận chúng không nhiều và thường ñược hỏi theo nhiều khía cạnh khác nhau, mổ xẻ vấn ñề không phải là các phương pháp thông thường hay ñược áp dụng trong ñại số Để giải quyết phần nào những khó khăn trên, qua nghiên cứu SGK(Đại số 11-12), SGV(Đại số 11-12), chuẩn kiến thức kĩ năng, các tài liệu tham khảo và qua nhiều năm giảng dạy của bản thân và các bài giảng của ñồng nghiệp, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này nhằm cung cấp những phương pháp học và giải bài tập về tiếp tuyến của ñường cong y = f(x) và bài toán liên quan giúp các bạn yêu thích toán học, các thầy, cô giáo, các em học sinh các trường THPT và các em học sinh ñang học lớp 12 ôn thi tốt nghiệp và Đại học làm tài liệu tham khảo và tiếp tục phát triển
5 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu Phương pháp giải các bài tập về tiếp tuyến của ñường cong y = f(x) và bài toán liên quan là một nội dung quan
trọng của ñại số 12 trong chương trình Toán THPT
Dưới ñây tôi xin ñược trao ñổi với quý ñồng nghiệp một số bài toán và phương pháp giải cho những bài toán về: ‘‘Tiếp tuyến của ñường cong y = f(x)” (thường là những bài toán thường gặp trong các
kỳ thi tốt nghiệp, thi Đại học) mà trong thời gian qua tôi ñã sử dụng
ñể hướng dẫn học sinh giải quyết dạng toán này
Trang 6
mà tôi ñã sử dụng ñể hướng dẫn học sinh thực hiện trong thời gian qua
Đề tài: KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY CHUYÊN ĐỀ
TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG Y = F(x) VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1 Viết phương trình tiếp tuyến của ñường cong y = f(x) tại ñiểm M 0 (x 0 ;y 0 )
Trang 7- Trang 6 -
a Lập phương trình tiếp tuyến của ñộ thị hàm số tại ñiểm M(1;-5)
b Lập phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số tại giao
ñiểm của ñồ thị với trục tung
c Lập phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số tại giao
ñiểm của ñồ thị với trục hoành
Giải
a Tiếp tuyến tại ñiểm M(1 ;-5) có dạng : y = y’(1)(x – 1) – 5
Ta có y’ = 3x2 – 2x + 1 ⇒ y’(1) = 2
Do ñó phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng : y = 2(x – 1) – 5
b Tọa ñộ giao ñiểm của ñồ thị hàm số với trục oy là nghiệm của
hệ :
(0; 6) 0
0
y
y x x x
M x
0
x
y x x x
M y
tiếp tuyến tại hai ñiểm ñó vuông góc với nhau
Trang 8Trang 7
-c Tìm k ñể trên ñồ thị có ít nhất một ñiểm mà tiếp tuyến tại
ñó vuông góc với ñường thẳng (d) : y = kx
Giải
a Ta có y’ = 3x2 + 6x + 3 ⇒y’’ = 6x + 6
⇒ y" = ⇔ = − 0 x 1 ⇒ y= 4 Vậy tọa ñộ ñiểm uốn I(-1;4)
Tiếp tuyến tại ñiểm I(-1;4) có dạng : y = y’(-1)(x + 1) + 4
Ta có y’ = 3x2 + 6x + 3 ⇒ y’(-1) = 0 Do ñó phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng : y = 4
Giả sử M0(x0 ;y0) là ñiểm nằm trên ñồ thị và phương trình tiếp tuyến tại ñiểm M0(x0 ;y0) có dạng : y = f’(x0)(x-x0)+y0
Tổng quát :
b Giả sử A, B là hai ñiểm ∈ (C) sao cho tiếp tuyến tại hai ñiểm ñó vuông góc với nhau và hoành ñộ tương ứng là x1; x2 ⇒
f’(x1).f’(x2)=-1⇔(3x12+6x1+3)(3x22+6x2+3)=-1⇔9(x1+1)2(x2+1)2=-1 (vô lí) ⇒ ñpcm
c Giả sử M0(x0 ;y0) là ñiểm nằm trên ñồ thị và phương trình tiếp tuyến tại ñiểm M0(x0 ;y0) có dạng y = f’(x0)(x-x0)+y0
Để tiếp tuyến tại ñiểm M0 vuông góc với ñường thẳng (d) : y = kx ⇔
Tổng quát:
Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a≠ 0)
*) Nếu a > 0 thì tiếp tuyến tại ñiểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất
*) Nếu a < 0 thì tiếp tuyến tại ñiểm uốn có hệ số góc lớn nhất
Phương trình tiếp tuyến ( )∆ của ñồ thị hàm số y = f(x) tại
ñiểm M0 (x 0 ;y 0 ) có dạng : y = f’(x 0 )(x-x 0 )+y 0
Trang 916 (m ; 1)
n m
m
vn m
Trang 10hai ñường tiệm cận một tam giác có diện tích không ñổi
d Tìm tất cả các ñiểm M nằm trên ñồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M tạo với hai ñường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất
b Gọi M(x0 ;3) là ñiểm thuộc ñồ thị hàm số ⇒x0 = 4 ⇒M(4 ;3)
Tiếp tuyến tại ñiểm M(4;3) có dạng : y = y’(4)(x – 4) + 3
Trang 12Trang 11
-Bài 5 Cho hàm số y =
2
2 2 1
b Xác ñinh a ñể tiếp tuyến ( )∆ ñi qua ñiểm (1;0) Chứng tỏ rằng
có hai giá trị của a thỏa mãn ñiều kiện của bài toán và hai tiếp tuyến tương ứng là vuông góc với nhau
c Gọi I là tâm ñối xứng của ñồ thị, M là một ñiểm nằm trên ñồ thị.Tiếp tuyến tại ñiểm M của ñồ thị cắt hai ñường tiệm cận
ñứng và xiên tại hai ñiểm A và B Chứng tỏ rằng M là trung ñiểm của AB, và tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc M
2a+2 1
a
a y
a
+
= + ; y’ =
2 2
2x (x+1)
x +
⇒ y’(a) =
2 2
2a (a+1)
a a
+
2 2
2a (a+1)
a +
x +
2 2
4a+2 ( 1)
a a
4a+2 ( 1)
a a
Trang 132a (a +1)
2a (a +1)
2a (a +1)
2a (a +1)
M(a;y(a)) và phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:
y = y’(a)(x-a)+y(a)
1
2 2 )
( ) 1 (
ư +
a a
ư +
2
; 1 ( 1 2 1 1
2 2 )
( )
2
a
A a
y x a
a a a x a
; 1 2 ( 2 2
1 2 1
2 2 )
( )
2
+ +
ư +
y
a x a
a a a x a
a
a
y
x y
Ta thấy xA+ xB=2a=2xM ⇔M là trung điểm của AB
Diện tích của tamg giác IAB được xác định bởi công thức:
1 2
1
a a x
x y
ủồ thị hàm số ủều:
a) Cắt hai ủường tiệm cận tại hai ủiểm A và B sao cho M là trung
ủiểm của ủoạn thẳng AB
Trang 14M(a;y(a)) ∈(C)với a>1, khi ñó phương trình tiếp tuyến của (C) tại M
có dạng: y=y’(a)(x-a)+y(a)
1 )
( ) 1 (
2
2
− +
a a
2
; 1 ( 1 2 1 1
) ( ) 1 ( 2
1
2 2
2
a
a A a
a y x a
a a x a
a a y
; 1 2 ( 2
1 2 1
) ( ) 1 ( 2
1
2 2
2
a a B a
y
a x a
a a x a
a a y
x y
x A I ;
BI=
4 cos 2 2
4 1
2
BI AI BI
AI AB BI
Trang 15; 2
1 1
4 4
Phương pháp chung: Ta có thể lựa chọn một trong hai cách:
*) Cách 1: Xác ñịnh hoành ñộ tiếp ñiểm qua phương trình
Lập phương trình tiếp tuyến của
ñường cong (C) khi biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
Giải
*) Cách 1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp ñiểm của tiếp tuyến ∆ với (C)
Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng y=f’(x0)(x-x0)+y0
x y y
y x
x
3 3
8 3 4
3 8 3
4 0
0
0 0
0
*) Cách 2: Gọi ( ∆ ) là ñường thẳng cần tìm, khi ñó phương trình
ñường thẳng có dạng: y = 3x+b Đường thẳng ( ∆ ) là tiếp tuyến của
ñồ thị hàm số lập với hai ñường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ
nhất khi và chỉ khi IA = IB (I là giao ñiểm của hai ñường tiệm cận, A và
B lần lượt là giao ñiểm của tiếp tuyến với hai ñường tiệm cận.)
Trang 16Bài 8 Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 + 2 Lập phương trình tiếp tuyến của
ñồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến ñó vuông góc với ñường thẳng
(d) : 3x – 5y – 4 = 0
Giải
*) Cách 1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp ñiểm của tiếp tuyến ∆ với (C)
Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng y=f’(x0)(x-x0)+y0
2
+
+ +
x
x x
a, Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến ñó vuông góc với ñường thẳng có phương trình x-3y-6=0
b, Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến ñó song song với ñường thẳng có phương trình y =-2x+6
Giải:
Ta có y=
2
3 3
2
+
+ +
x
x x
= x+1+ 1
x+2
a) *) Cách 1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp ñiểm của tiếp tuyến ∆ với (C) Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng y=f’(x0)(x-x0)+y0
Trang 176 3 (
3 6 ) 3
3 6 ( 2
−
+ +
+ +
tại hai ñiểm và hai tiếp tuyến tại hai ñiểm ñó vuông góc với nhau
Gi¶i
a, Ta có y = x – 3m +
m x
m m
Trang 18Trang 17
-) 1 ( 3 1
0 0
Khi ñó:
) (
2 2
) (
3 1 ) ( )
(
3
2 0
2 0 2
0 2 0
2 0
2 2
m x
m m mx x
m x
m m x
k m
x
m m
+
−
− +
= +
m x m
x
m x
m x
m m mx m mx k
+
−
= +
−
= +
−
− +
0
2 2 0 2
0
2 0
) (
2 2 )
(
2 2
= +
−
0 3
) 1 ( 0 2
2 2
m m
m mx x
có hai nghiệm phân
m m
m
gọi A(x1 ;y(x1)), B(x2 ;y(x2)) là hai giao ñiểm
1 ) ( ' ) ( ' ) (
2 ) ( '
; ) (
2 )
(
2
2 2
−
=
m x
m x x
y m x
m x x
y
0 5
) (
3 5
1 ) )(
(
) )(
(
2 1 2
1 2
1
2
+ +
−
−
m x m x
m x m x
⇔
5
0 (*)
2
2 1
2 1
m
m m
x x
m x x
so sánh với ñiều kiện m=5
3 Viết phương trình tiếp tuyến qua A(x A ;y A )
) (
x v
x u
cắt trục hoành tại ñiểm x =x 0 thì
hệ số góc của tiếp tuyến tại ñiểm x 0 là k =
) (
) ( '
0
0
x v x u
Trang 19k x f
x f y x x
) ( '
) ( )
(
cã nghiÖm
Bài 11(Đ61) Cho hàm số y = x 3 -3x 2 +2 Lập phương trình tiếp tuyến
biết rằng tiếp tuyến ñó qua A( ; 2 )
Với x0 = 3 ⇒f’(x0) = 9 ⇒Phương trình tiếp tuyến y = 9x-25
Với x0 = -2 ⇒f’(x0) = 0 ⇒Phương trình tiếp tuyến y = -2
Cách 2 Phương trình ñường thẳng (d) qua ñiểm A với hệ số góc k có
dạng y = k(x-xA)+yA. Để (d) là tiếp tuyến của ñường cong khi
−
27
61 3 5
25 9 2
3 5 9 0
3 1 3 2 6
3
2 ) 3
2 ( 2
x y y
k k k
x x x k
x x
x k x
x
2
≠ +
+ +
e dx
c bx ax
Trang 20a, Lập phương trình tiếp tuyến qua A(0;1- 3)
b, Chứng minh rằng qua A có thể kẻ ñược hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
x
+ +
−
+
= + + +
) 2 ( )
(
) 1 (
2 k e dx d
m kx e dx
x
γ α
γ β
2
1 1 )
( ) ( 1
γ
γ α γ
= +
+
d
e d
ke e
dx
m d
ke e
dx
d e
dx d e dx
x
Thay (4) vào (2) ta ñược f(k)=Ak 2 +Bk+C=0 (5)
Khi ñó theo yêu cầu cụ thể của bài ñưa về giải hoặc biện luận ñiều kiện cho của phương trình
Trang 21a, Phương trình ñường thẳng ñi qua M có dạng y=k(x-2)-1 (d) Để
ñường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi
−
k x
k kx x x
2
1 1
1 2
1 1
5 1
1 ) 2 ( 5 3
5 1
5 3
5 1
5 3
5 1
2
5 1
2
5 1
2
1
x y
x y
k
k x
1 ) 2 (
2
m
m k
x
m
x k x
x
x x
a, Lập phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến ñó ñi qua
2
3
b, Tìm trên ñường thẳng y = -1 những ñiểm mà từ ñó có thể kẻ
ñược hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
Giải
a, Phương trình ñường thẳng y = k(x-1)+
2 3 (d) Để ñường thẳng (∆) là
Trang 223 4
3 1
) 1
1
2
x y k
x
k x
x k
−
−
−
− +
= +
−
−
−
= +
+
+
⇔
) 2 ( )
1 (
1 1
) 1 ( 1 )
1 ( 1 1
) 1 (
1 1
1 ) ( 1
1
2 2
2
k x
ka k x
k x
x
k x
a x k x
1 1
) 1 ( 4
0 ) 1 ( 4 4 1
.
0
2 2
2
a a
a a
a k
k
Bài 15 Cho hàm số y = x 4 – x 2 + 1 Tìm trên trục tung những ñiểm
mà từ ñó có thể kẻ ñược ba tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số
Trang 24Trang 23
-Phần 3 KẾT LUẬN
Đề tài này ñã ñược bản thân tôi và các ñồng nghiệp cùng ñơn vị thí ñiểm trên các em có nhu cầu ôn thi tốt nghiệp và ôn thi Đại học – Cao ñẳng Kết quả thu ñược rất khả quan, các em học tập một cách say mê hứng thú Một số em ñã ñạt ñược những thành tích tốt qua những ñợt thi tốt nghiệp và các ñợt thi Đại học – Cao ñẳng
Tuy nhiên với phương pháp này người thầy phải biết vận dụng sáng tạo các phương pháp, luôn không ngừng tìm tòi, tham khảo các tài liệu, tham khảo ñồng nghiệp, xâu chuỗi chúng lại và cho học sinh các bài tập ñịnh hướng ñể các em học tập, tìm hiểu
Đối tượng học sinh ôn thi tốt nghiệp và ôn thi Đại học – Cao ñẳng, luôn tin tưởng ở thầy, có ñiều kiện học tập, nghiên cứu
Trong quá trình giảng dạy, nghiên cứu bản thân tôi cùng với sự giúp ñỡ của các ñồng nghiệp ñã ñúc rút ra ñược một số kinh nghiệm ; Thông qua ñề tài này mong hội ñồng khoa học và các ñồng nghiệp kiểm ñịnh và góp ý ñể ñề tài ngày hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh
Xin chân thành cảm ơn!
Lào Cai, ngày 04 tháng 05 năm 2011
Người viết
Lê Thị Hiền