bồi dưỡng khả năng tự học trong giảng dạy nội dung giới hạn cho học sinh lớp 11 trường thpt minh đài

Qua điều tra bằng anket chúng tôi nhận thấy phương pháp học và cách học của học sinh chưa được qua tâm một cách đầy đủ ở Tiểu học và THCS.Nội dung “Giới hạn” trong chương trình THPT là l

Phần 1: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn SKKN

Nhân loại đang sống trong thế kỷ XXI, thế giới đang chịu sự chi phối của xu

thế toàn cầu hoá, kinh tế thị trường, kinh tế tri thức và chuyển dịch theo hướng “xã

hội thông tin”, “xã hội học tập” Trước bối cảnh đó đòi hỏi GD&ĐT phải tạo ra

những con người năng động, sáng tạo, có năng lực học tập thường xuyên và học tập suốt đời

Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ VIII Đảng CSVN đã chỉ rõ: “

“Đổi mới mạnh mẽ phương pháp Giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy cho người học Từng bước áp dung phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự đào tạo thường xuyên và rộng khắp trong toàn dân, nhất là trong Thanh niên” [7,tr.23]

Luật giáo dục nước CHXH CN Việt Nam quy định: “Phương pháp giáo dục

phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi

dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”.[7,tr.41]

Các kết quả nghiên cứu về giáo dục học cho thấy: “ Sẽ đem lại kết quả giáo

dục cao hơn nếu quá trình đào tạo biến thành quá trình tự đào tạo Quá trình giáo

dục biến thành quá trình tự giáo dục

Thực tế dạy học hiện nay tại trường THPT Minh Đài còn nhiều điểm tồn tại.Việc dạy học chủ yếu hướng vào khối lượng kiến thức cần ghi nhớ Chưa chú trong đến dạy cách học, phương pháp học

Xã hội tri thức nên kiến thức khoa học được tăng theo cấp số nhân Trong phạm vi và khuân khổ nhà trường phổ thông không thể cung cấp đủ vốn kiến thức cho học sinh học cả đời vì lượng kiến thức trong SGK có hạn lại bị nhanh chóng biến đổi về chất trong xã hội

Qua điều tra bằng anket chúng tôi nhận thấy phương pháp học và cách học của học sinh chưa được qua tâm một cách đầy đủ ở Tiểu học và THCS.

Nội dung “Giới hạn” trong chương trình THPT là lượng kiến thức mới được

dạy với lượng thời gian ít ( 8 tiết lý thuyết và 6 tiết luyện tập) Trong khi thói quen

và cách tính toán với số thực đã thành lối mòn Vận dụng kiến thức trong tính toán với nhiều lĩnh vực kiến thức: Toán học, Vật lý … Những kiến thức này còn phát triển khi học lên đại học Các dạng bài tập đa dạng phong phú

Với những lý do nêu trên, SKKN được chọn là: “Bồi dưỡng khả năng tự học trong giảng dạy nội dung giới hạn cho học sinh lớp 11 trường THPT Minh Đài”.

2 Mục đich nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu lý luận và tìm hiểu thực tiễn, đề xuất một số biệnpháp bồi dưỡng học sinh tự học thông qua giảng dạy phần Giới hạn cho học sinhkhối 11 trường THPT Minh Đài

3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Các biện pháp của giáo viên để bồi dưỡng khả năng tự học của học sinh

3.2 Khách thể nghiên cứu

- Hoạt động tự học của học sinh

- Hoạt động giảng dạy của giáo viên

- Thời gian và lối sinh hoạt của học sinh tại gia đình và các khu trọ

4 Giả thuyết khoa học

Trong quá trình dạy học phần Giới hạn, nếu đề ra được các biện pháp hợp lýBồi dưỡng học sinh tự học sẽ góp phần nâng cao hiệu quả học tập phần số phức nóiriêng và môn Toán nói chung

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận: Hệ thống những lý luận cơ bản có liên quan đến vấn đề

nghiên cứu: Tự học, các yếu tố ảnh hưởng đến quá trình tự học, các biện pháp đẩymạnh, kích thích hoạt động tự học của học sinh

6 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận

- Tìm hiểu thực tiễn

- Trao đổi kinh nghiệm

- Phương pháp quan sát

- Phương pháp Toán học

7 Phạm vi, giới hạn của SKKN

- Sáng kiến chỉ đề xuất các biện pháp hướng dẫn học sinh tự học trong mốiquan hệ thống nhất với hoạt động dạy học Trong quá trình dạy học giáo viênhướng dẫn học sinh tự học (trên lớp và ở nhà)

- Do điều kiện và thời gian nghiên cứu, Sáng kiến chỉ tập tìm hiểu một sốbiện pháp thông qua nội dung dạy học phần Giới hạn

Phần 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.1 Xây dựng kế hoạch bài học

Xây dựng kế hoạch bài học cụ thể, thể hiện mối quan hệ tương tác giữa giáoviên với học sinh, giữa học sinh với học sinh nhằm giúp học sinh đạt được mụctiêu bài học

a) Các bước xây dựng kế hoạch bài học chủ đề giới hạn

a1 Xác định mục tiêu của bài học chủ đề giới hạn, căn cứ vào chuẩn kiếnthức, kĩ năng và yêu cầu về thái độ trong chương trình ở trường THPT

a2 Nghiên cứu SGK và các tài liệu liên quan chủ đề giới hạn để :

- Hiểu chính xác, đầy đủ những nội dung bài học về chủ đề giới hạn

- Xác định những kiến thức, kĩ năng, thái độ cơ bản cần hình thành và pháttriển ở học sinh khi học chủ đề này

- Xác định trình tự lôgic của bài học chủ đề giới hạn

a3 Xác định những khả năng đáp ứng nhiệm vụ nhận thức của học sinh :

- Xác định những kiến thức kĩ năng mà học sinh đã có và cần có khi học chủ

a5 Xây dựng kế hoạch bài học chủ đề giới hạn : Xác định mục tiêu, thiết kếnội dung, nhiệm vụ, cách thức hoạt động, thời gian và yêu cầu cần đạt cho từnghoạt động dạy của giáo viên và hoạt động học tập của học sinh

b ) Cấu trúc của một kế hoạch bài học chủ đề giới hạn được thể hiện ở các nội dung sau

+ Thông hiểu : Giải thích được, chứng minh được

+ Vận dụng : Vận dụng nhận biết thông tin để giải quyết vấn đề đặt ra.

+ Phân tích : chia thông tin ra thành các phần thông tin nhỏ và thiết lập mối

liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa chúng

+ Tổng hợp : Thiết kế lại thông tin từ các nguồn tài liệu khác nhau và trên cơ

sở đó tạo lập nên một mẫu hình

+ Đánh giá : Thảo luận về giá trị của một tư tưởng, một phương pháp, một nội

dung kiến thức Đây là một bước mới trong việc lĩnh hội kiến thức được đặc trưngbởi việc đi sâu vào bản chất của đối tượng, hiện tượng

Mục tiêu kĩ năng: Gồm hai mức độ làm được và thông thạo về dạng toán chủ

đề giới hạn

Mục tiêu thái độ : Tạo sự hình thành thói quen, tính cách nhằm phát triển con

người toàn diện theo mục tiêu giáo dục

b2 Chuẩn bị của giáo viên và học sinh :

- Giáo viên chuẩn bị các thiết bị dạy học ( tranh ảnh, mô hình, hiện vật ), cácphương tiện và tài liệu dạy học cần thiết liên quan đến khái niệm giới hạn

- Giáo viên hướng dẫn học sinh chuẩn bị bài học, làm bài tập, chuẩn bị tàiliệu đồ dùng cần thiết phục vụ cho việc học chủ đề giới hạn

b3 Tổ chức các hoạt động dạy học :

Trình bày rõ cách thức triển khai các hoạt động dạy - học cụ thể từng bài về chủ

đề giới hạn

b4 Hướng dẫn các hoạt động nối tiếp :

Xác định những việc học sinh cần phải tiếp tục thực hiện sau giờ học để cũng cố,khắc sâu, mở rộng bài cũ hoặc để chuẩn bị cho việc học bài mới qua học kháiniệm giới hạn

2.1.1 Một số hình thức trình bày kế hoạch bài học của chủ đề giới hạn

a ) Viết thứ tự hệ thống các hoạt động, câu hỏi theo thứ tự trên xuống dưới.

b ) Viết hệ thống các hoạt động theo 2 cột :

+ Hoạt động của giáo viên; + Hoạt động của học sinh

c ) Viết hệ thống các hoạt động theo 3 cột :

+ Hoạt động của giáo viên; + Hoạt động của học sinh ;

+ Nội dung ghi bảng , hoặc tiêu đề nội dung chính và thời gian thực hiện.

d ) Viết hệ thống các hoạt động theo 4 cột :

+ Hoạt động của giáo viên; + Hoạt động của học sinh ;

+ Nội dung ghi bảng ; + Tiêu đề nội dung chính và thời gian thực hiện

2.1.2 Phân chia hệ thống các nhóm hoạt động theo trình tự kế hoạch bài học về chủ đề giới hạn

Nhóm 1: Kiểm tra, hệ thống, ôn lại bài cũ các kiến thức liên quan đến khái

niệm giới hạn và chuyển tiếp sang bài mới;

Nhóm 2: Hướng dẫn, diễn giải, khám phá, phát hiện tình huống, đặt và nêu

vấn đề liên quan đến khái niệm giới hạn ;

Nhóm 3 : Để học sinh tự tìm kiếm, khám phá, phát hiện thử nghiệm, qui nạp

suy diễn, để tìm ra kết quả, giải quyết vấn đề khái niệm giới hạn ;

Nhóm 4 : Rút ra kết luận, tổng kết, hệ thống kết quả, hệ thống hoạt động và

đưa ra kết luận giải quyết vấn đề về giới hạn;

Nhóm 5 : Tiếp tục cũng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kỹ năng để vận dụng

vào giải bài tập về giới hạn và áp dụng vào cuộc sống

2.1.3 Trình tự của lập kế hoạch bài học chủ đề giới hạn

- Đọc kĩ bài học trong SGK, sách giáo viên, sách tham khảo có liên quan đếnkhái niệm chủ đề Giới hạn;

- Trả lời các câu hỏi, giải bài tập về khái niệm chủ đề giới hạn ;

- Hình dung phương pháp dạy học, phương tiện dạy học, thiết bị dạy học hệthống các câu hỏi trắc nghiệm khách quan và phương pháp đáng giá khi dạy họcchủ đề giới hạn ;

- Chuẩn bị hệ thống các nhóm hoạt động theo trình tự trên để viết kế hoạch bàidạy cụ thể cho từng bài về chủ đề giới hạn ;

- Hình thành cách dạy bài học, cách tổ chức giờ học về chủ đề giới hạn( chú ý sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học , đánh giá kết quả trong dạyhọc)

- Viết kế hoạch bài dạy chủ đề giới hạn theo cấu trúc trên

2.1.4 Thực hiện kế hoạch bài học về chủ đề giới hạn

a ) Kiểm tra sự chuẩn bị ( có thể thực hiện đầu giờ học hoặc có thể đan xen trong

quá trình dạy học kiến thức giới hạn )

- Kiểm tra việc nắm vững bài học cũ có liên quan đến kiến thức giới hạn

- Kiểm tra tình hình chuẩn bị bài học (làm bài tập, chuẩn bị tài liệu và đồ dùnghọc tập cần thiết )

b ) Tổ chức dạy và học bài mới

- Giáo viên giới thiệu bài học mới : nêu nhiệm vụ học tập và cách thức thựchiện để đạt được mục tiêu bài học ; tạo động cơ học tập cho sinh ;

- Giáo viên tổ chức, hướng dẫn học sinh suy nghĩ, tìm hiểu khám phá và lĩnhhội nội dung bài học, nhằm đạt được mục tiêu bài học với sự vận dụng phưngpháp dạy học phù hợp

c ) Luyện tập cũng cố

Giáo viên hướng dẫn học sinh củng cố khắc sâu những kiến thức kĩ năng thái

độ đã có thông qua hoạt động thực hành luyện tập có tính tổng hợp nâng cao theonhững hình thức khác nhau về kiến thức giới hạn

d) Đánh giá

- Trên cơ sở đối chiếu với mục tiêu bài học, giáo viên dự kiến một số câu hỏibài tập khái niệm giới hạn và tổ chức cho học sinh tự đánh giá về kết quả học tậpcủa bản thân và của bạn

Giáo viên đánh giá tổng kết về kết quả giờ học

e) Hướng dẫn học sinh học bài và làm việc ở nhà

- Giáo viên hướng dẫn học sinh luyện tập, củng cố bài củ thông qua làm bàitập thực hành, tự ôn luyện, hệ thống lại các kiến thức giới hạn đã học

- Giáo viên hướng dẫn học sinh chuẩn bị bài học mới

2.2 Minh họa dạy học về khái niệm Giới hạn theo hướng phát huy

TTCNT của học sinh

Để phát huy TTCNT của học sinh cần xây dựng phương tiện trực quan tượngtrưng (mô hình, hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, biểu bảng,…) làm chổ dựa trực giác Xâydựng hệ thống ví dụ và phản ví dụ kết hợp với các phương tiện trực quan tổ chứccho học sinh hình dung được nội dung khái niệm, phát hiện dấu hiệu bản chất củakhái niệm và khái quát hình thành khái niệm

Theo như định hướng nhóm tác giả Đoàn Quỳnh chủ biên là không dùng địnhnghĩa khái niệm Giới hạn thông qua định nghĩa ngôn ngữ ''ε ,δ '', ''ε , N( )ε '' chủyếu do học sinh khó có thể lĩnh hội được các định nghĩa qua hình thức đó Nhưng ngay cả khi không còn sử dụng định nghĩa như vậy nữa và theo địnhnghĩa kiểu mô tả thì người ta thừa nhận rằng không thể đòi hỏi học sinh hiểu mộtcách sâu sắc bản chất sâu sắc về khái niệm Giới hạn, chính vì vậy chỉ yêu cầu họcsinh hiểu khái niệm một cách trực quan và bước đầu hình dung được thế nào làgiới hạn dãy số, hàm số từ đó biết lĩnh hội, vận dụng các định nghĩa, định lý,phương pháp giải bài toán về giới hạn Thực tế đâu đó trong cách dạy học giáoviên thường lướt qua đại khái các định nghĩa và chỉ tập trung luyện tập cho họcsinh các thủ thuật tính giới hạn, khử các dạng vô định hay xét tính liên tục Kếtquả cuối cùng không ít học sinh không những biết giải các bài tập liên quan màcòn giải thành thạo nhưng rốt cục lại không hiểu bản chất khái niệm về giới hạn

và liên tục

2.2.1 Ví dụ minh họa dạy học khái niệm Giới hạn dãy số

a) Mục tiêu

+) Về kiến thức: Hiểu được một cách trực quan, và nắm được bản chất khái niệm

giới hạn của dãy số có thể là: 0 ; L≠0; ± ∞ , thông qua xét các ví dụ

+) Về kĩ năng: Giúp học sinh biết vận dụng định nghĩa và các kết quả cơ bản đặc

biệt để nhận biết chứng minh dãy số có giới hạn và tính giới hạn dãy số.

+) Về tư duy: Bước đầu hình thành kiểu tư duy logíc, linh hoạt, phát triển suy

luận toán học gắn liền với sự vô hạn, liên tục, biến thiên

+) Về thái độ: Có thái độ học tập tích cực, độc lập, phát huy tính sánh tạo.

b) Chuẩn bị phương tiện trực quan dạy học

+) Thực tiễn: Học sinh biết biểu diễn sắp xếp thứ tự các số thực trên trục số.

+) Phương tiện: Chuẩn bị bảng biểu, để minh họa giới hạn dãy số trên trục số.

c) Gợi ý về phương pháp dạy học

Sử dụng các phương pháp dạy học cơ bản sau một cách linh hoạt nhằm phát huyTTCNT giúp học sinh tự tìm tòi, phát hiện chiếm lĩh tri thức chủ động:

+ Gợi mở, vấn đáp ;

+ Phát hiện và giải quyết vấn đề;

+ Tổ chức đan xen hoạt động học tập cá nhân và nhóm

d) Ví dụ minh họa dạy học khái niệm Giới hạn dãy số theo hướng phát huy TTCNT của học sinh

*) Xây dựng định nghĩa khái niệm Giới hạn dãy số:

Để gợi nhu cầu cho học sinh nhận thức, hình dung được nội dung khái niệm,phát hiện dấu hiệu bản chất và khái quát hình thành, củng cố, khắc sâu khái niệm

về Giới hạn của dãy số điều quan trọng là học sinh hiểu được bản chất khái niệmmệnh đề, không nên coi trọng lập luận chặt chẽ chính xác toán học, đưa ra xét ví

dụ giúp học sinh hình dung giới hạn của dãy số:

Bước 1 : Tổ chức cho học sinh phát hiện bản chất khái niệm giới hạn dãy số

1 , , 11

1 , 10

1 , , 4

1 , 3

1 , 2

trí tương đối của các điểm đó với điểm 0 ?

(!) : Khi n tăng điểm biểu diễn “chụm lại “ quanh điểm 0 (ở hình vẽ).

trở nên nhỏ bao nhiêu cũng

được (nhưng không thể bằng 0), khi n càng lớn

(?4) : Hãy minh họa rõ qua lập bảng ?

(!) : Cụ thể

n 1 2 … 10 11 … 76 77 …1000000 1000001 1000002 …→ +∞

bên ngoài khoảng đó chỉ chứa hữu hạn các số hạng thứ tự từ 1 đến 1000000 của dãy số đã cho

Như vậy mọi số hạng của dãy số đã cho đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số thực dương (ε) nhỏ tùy ý cho trước (nhưng không thể bằng 0), kể từ một số hạng nào đó trở

đi, ta nói rằng dãy số u n = ( )

n

n

1

− có giới hạn là 0.

Bước 2 : Khái quát hóa và nêu ra định nghĩa khái niệm giới hạn của dãy số

(?6): Đó là nội dung định nghĩa dãy số có giới hạn 0, hãy phát biểu định nghĩa ? cho ví dụ minh họa ?(!) : Định nghĩa1:" nlim→+∞u n = 0 ⇔ ∀ | u n | < m là một số thực dương nhỏ tùy ý cho

trước (nhưng không bằng 0), kể từ một số hạng nào đó trở đi".

(?7) : áp dụng tính nlim→+∞C = ? Từ đó hãy phát biểu định nghĩa dãy có giới hạn L

≠ 0 ( L ∈ R) qua định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ? cho ví dụ minh họa?

(!) : Định nghĩa 2: nlim→+∞u n = L ⇔ nlim→+∞(u n – L) = 0

(?*8) : Trong định nghĩa sử dụng cụm từ ''nhỏ tùy ý '' có ý nghĩa gì ?

(!*) : Thực ra, nếu không có lời giải thích đó học sinh sẽ ít chú trọng đến tính chất''vô cùng bé '' và tính “biến thiên’’, đây là đặc trưng của Giải tích mà học sinh chỉnghĩ đến giá trị cố định của số dương, thì tư duy lại theo kiểu ''tĩnh tại'', ''rời rạc’',

''hữu hạn'' của Đại số Lời giải thích này hướng vào kiểu tư duy ''biến thiên'', ''liêntục'', ''vô hạn'' của Giải tích.

(?9) : Trở lại định nghĩa 1: nếu + Thay dấu “ < “ , bởi dấu ” >”;

+ Thay ε bởi - M ( hoặc M );

+ Bỏ dấu giá trị tuyệt đối của Un miền giá trị của Un = ? ;

+ Thay cụm từ “nhỏ tùy ý “ , bởi cụm từ “lớn tùy ý “ ;

thì đó là nội dung hai định nghĩa về khái niệm giới hạn âm vô cực ( dương vô

cực), hãy phát biểu ?

(!) : Định nghĩa 3: " nlim→+∞u n = +∞ ⇔ ∀ u n > M , với M là một số thực dương lớn tùy

ý cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi".

(!): Định nghĩa 4: " nlim→+∞u n = -∞ ⇔ ∀ u n > - M, với M là một số thực dương lớn tùy

ý cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi ".

(? 10): Mối liên hệ giữa hai định nghĩa 3 và định nghĩa 4 ?

(!) : Xem định nghĩa dãy số un có giới hạn -∞ thông qua +∞ như sau: ''Dãy số un

được gọi là có giới hạn -∞ nếu nlim→+∞ (- un ) = +∞”.

Bước 3: Nhận dạng củng cố, khắc sâu khái niệm về Giới hạn của dãy số (?11): Phân biệt rõ ''giới hạn hữu hạn '' và ''giới hạn vô hạn”minh họa trục số ?

+ Khi n tăng các điểm biểu diễn các số hạng của dãy số un có giới hạn hữuhạn là L (với L∈R) thì chụm lại quanh điểm L

+Với n tăng các điểm biểu diễn các số hạng của dãy số un có giới hạn vôcực: +∞ (hoặc - ∞) là một ''quá trình biến thiên'' đi xa mãi theo chiều dương(hoặc chiều âm) của trục số vượt qua mọi điểm M ( hoặc - M ) cho trước dù sốthực dương M lớn tùy ý đến đâu thì điểm biểu diễn của dãy số un đều nằm bênphải điểm M ( hoặc đều nằm bên trái điểm M ) có thể kể từ một số hạng nào đótrở đi, được minh họa rõ ở hình vẽ :

a) Làm bài kiểm tra (15 phút) sau đây:

Câu 1 : Cho dãy số un = ( )

9 2

Các khoảng nào cho sau đây chứa tất cả các số

hạng của dãy (có thể trừ ra một số hữu hạn số hạng của dãy) ?

Các khoảng nào cho sau đây chứa tất cả các số

hạng của dãy (có thể trừ ra một số hữu hạn số hạng của dãy) ?

Câu 3 : Hãy cho biết dãy nào có giới hạn ?

* Dụng ý sư phạm của đề kiểm tra (15 phút) :

Câu 1: Nhằm kiểm tra xem học sinh có nắm được bản chất khái niệm dãy số

có giới hạn là 0 qua vận dụng định nghĩa, chỉ yêu cầu nhận biết;

Câu 2: Cũng nhằm kiểm tra học sinh có nắm được bản chất khái niệm dãy số

có giới hạn L≠0 qua vận dụng định nghĩa, chỉ yêu cầu nhận biết;

Câu 3: Kiểm tra học sinh nắm vững khái niệm định nghĩa dãy có giới hạn,

không phải mọi dãy số đều là hoặc có giới hạn hữu hạn ( L≠0 ) hoặc có giới hạn vô

cực (± ∞), chỉ yêu cầu nhận biết.

b) Cho các bài tập về nhà luyện tập sau đây:

Bài 1: Tìm các số hạng của dãy un =

Bài 3 : Hãy cho biết dãy nào có giới hạn ? Nếu dãy số có giới hạn chỉ ra giới

hạn của dãy số ? Kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì z n nhỏ hơn 0,00001 ?

Tóm lại khi học về Giới hạn của dãy số ta cần làm cho học sinh nắm vững

hiểu rõ bản chất qua xét các ví dụ và phân biệt được ''giới hạn hữu hạn '' với ''giới

hạn vô hạn” của dãy số bằng ” trực giác hình học'' trên trục số kết hợp với lập

luận ''trực giác số”

2.2.2 Sử dụng tư liệu kiến thức lịch sử Toán học dạy khái niệm giới hạn

Ngoài ra, nếu có điều kiện ta có thể sử dụng tư liệu lịch sử Toán về khái niệmgiới hạn để gợi động cơ, hình thành, củng cố, khắc sâu khái niệm qua đó khơi dậyphát huy TTCNT của học sinh trong các tiết dạy tự chọn, ôn luyện hay ngoạikhóa, tùy theo từng đối tượng học sinh mà giáo viên có thể khai thác thêm một sốnghịch lý thể hiện qua các ví dụ sau :

Ví dụ 22: Nghịch lí “ 0 = 1 “

Xét S = 1 – 1 + 1 – 1 +…+ 1 - 1 +…

Ta có, S = ( 1 – 1 ) + ( 1 – 1 ) +…+( 1 – 1) +…= 0 + 0 +…+ 0 + …= 0 (*)Mặt khác,

S =1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) +…+ (-1 + 1) +…= 1 + 0 + 0 + …+ 0 +…= 1 (**)