rèn luyện cho học sinh khả năng dự đoán, suy luận có lý và giải quyết vấn đề phương pháp giải phương trình bất phương trình vô tỷ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KHẢ NĂNG DỰ ĐOÁN, SUY LUẬN CÓ LÝ VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Người thực

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KHẢ NĂNG DỰ ĐOÁN, SUY LUẬN CÓ LÝ VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG CÁC

PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Người thực hiện: Nguyễn Văn Trung Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán

I Đặt vấn đề

Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ: “Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước” (dẫn theo Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên)

Sự phát triển của xã hội và công cuộc đổi mới đất nước đòi hỏi một cách cấp bách phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo Nền kinh tế nước ta

đang chuyển từ cơ chế bao cấp sang cơ chế thị trường có sự quản lý của Nhà nước Công cuộc đổi mới này đòi hỏi phải có sự đổi mới về hệ thống giáo dục, bên cạnh sự thay đổi về nội dung vẫn cần có những đổi mới căn bản về PPDH Tuy nhiên, cũng phải thừa nhận rằng, thực tiễn dạy học hiện nay vẫn đang còn nhiều tồn tại phổ biến, đó là:

- Thầy thuyết trình tràn lan;

- Tri thức được truyền thụ dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi phát hiện;

- Thầy áp đặt, trò thụ động;

- Thiên về dạy, yếu về học, thiếu hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo của người học;

- Không kiểm soát được việc học

Vì vậy, trong dạy học Toán, phải chú ý tới cả hai phương diện, suy luận chứng minh và suy luận có lý thì mới khai thác được đầy đủ các tiềm năng môn Toán để thực hiện mục tiêu giáo dục toàn diện – như G Polia phát biểu: „Nếu việc dạy Toán phản ánh mức độ nào đó việc hình thành Toán học như thế nào, thì trong việc giảng dạy đó phải dành chỗ cho dự đoán, suy luận có lý“

Dự đoán, suy luận có lý có vai trò quan trọng trong quá trình phát triển tư duy học sinh Nhưng trong thực tế, nó chưa được ưu tiên thích đáng xứng với vị trí của nó Nguyên nhân dẫn đến tình trạng này phải chăng do giáo viên chưa ý thức được tầm quan trọng của nó hoặc chưa xây dựng được các biện pháp sư phạm thích hợp nhằm phát triển năng lực dự đoán, suy luận có lý cho học sinh? Một trong những công trình nổi tiếng nghiên cứu về dự đoán, suy luận có lý

là tác phẩm Toán học và những suy luận có lý của G Polia Tuy nhiên, các ví

dụ trong tác phẩm của ông chủ yếu thiên về lịch sử Toán (hầu hết các ví dụ mô tả lại con đường dẫn đến phát minh của các nhà khoa học), còn thiếu các ví dụ phù hợp với học sinh phổ thông

Vì những lý do trên đây, tôi chọn đề tài của SKKN là:

“ Rèn luyện cho học sinh khả năng dự đoán, suy luận có lý và giải quyết vấn đề trong các phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ “

II Giải quyết vấn đề

1 Cơ sở lý luận của vấn đề

"Phải đổi mới phương pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học"

Như vậy, chức năng, vai trò của giáo dục ngày nay đã được "chuyển sang vai trò nhà tổ chức giáo dục", PPDH mới đã chú trọng đến việc phát huy tối đa tính tích cực, độc lập của học sinh, đề cao phương pháp tự học, "chuyển quá trình giáo dục sang quá trình tự giáo dục", chuyển đổi chức năng từ thông báo, tái hiện sang tìm tòi "Để phát huy tối đa tính tích cực học tập của học sinh, tốt nhất là tổ chức tốt những tình huống có vấn đề, đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngược" (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005, tr 4)

* Vai trò của trực giác trong quá trình nhận thức và sáng tạo Toán học

Trực giác đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu khoa học "Nếu ta ngẫm nghĩ các câu trả lời của các nhà bác học về câu hỏi: phát minh được thực hiện như thế nào, những kiến thức khoa học mới về mặt nguyên tắc được hình thành như thế nào, ta thấy sợi chỉ đỏ xuyên qua tất cả các câu trả lời trên là quan niệm về vai trò quyết định của tưởng tượng và trực giác, rồi thành quả của

họ sau này mới được sự xác nhận của cách chứng minh bằng lôgic và trở thành

đối tượng của sự phát triển thêm nữa"

Trong giảng dạy Toán học, ở mức độ cao, trực giác toán học cho định hướng nghiên cứu trong các tình huống toán học mới không quen biết, dự đoán

được kết quả nghiên cứu về đường lối tìm ra kết quả đó, phát hiện những sai lầm rõ ràng Trực giác toán học là một nhân tố quan trọng trong quá trình nhận thức lôgic các yếu tố toán học

Trong giảng dạy và học tập môn Toán hiện nay, do chỉ chú trọng đến việc truyền thụ kiến thức nên SGK và bài giảng do giáo viên thiết kế đều trình bày cho học sinh những kiến thức toán học ở dạng có sẵn, thường không rõ ai phát minh vào lúc nào và bằng cách nào; nhiệm vụ của giáo viên thường là giảng để học sinh hiểu rõ nội dung các kiến thức đó, rồi dùng suy diễn lôgic để chứng minh chúng, vừa để cho học sinh tin kiến thức đó là đúng, đồng thời cũng cho

họ tập làm quen với chứng minh toán học

Do đó SKKN có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi sau đây:

* Thế nào là dự đoán, suy luận và giải quyết vấn đề trong các phương pháp

giải phương trình và bất phương trình vô tỷ ?

* Vai trò của dự đoán và suy luận và giải quyết vấn đề trong các phương pháp

giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

* Những con đường thông dụng để tiến hành hoạt động dự đoán và suy luận

và giải quyết vấn đề trong các phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ là gì?

* Thực trạng của việc rèn luyện khả năng dự đoán, suy luận và giải quyết vấn đề trong các phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

* Dạy dự đoán và suy luận và giải quyết vấn đề trong các phương pháp giải

phương trình và bất phương trình vô tỷ cho học sinh nên tuân theo những quan

điểm nào?

* Phân tích vai trò của dự đoán và suy luận và giải quyết vấn đề trong các

phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

2 Thực trạng của vấn đề

Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người xây dựng xã hội công nghiệp hóa - hiện đại hóa với thực trạng lạc hậu của PPDH đã làm nảy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp học Định hướng đổi mới PPDH hiện nay là tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt

động tự giác, tích cực và sáng tạo Định hướng này còn được gọi tắt là "Hoạt

động hóa người học"

Cụ thể hóa Định hướng trên, ta thấy rõ những hàm ý sau đặc trưng cho PPDH hiện đại:

- Xác lập vị trí chủ thể của người học, đảm bảo tính tự giác, tích cực, chủ

động, sáng tạo của hoạt động học tập được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

- Tri thức được cài đặt trong những tình huống có dụng ý sư phạm

- Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học

- Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản thân người học

Để góp phần đổi mới PPDH, chúng ta không chỉ dừng lại ở việc nêu Định hướng "hoạt động hóa người học", mà cần phải đi sâu vào những PPDH cụ thể như những biện pháp để thực hiện Định hướng này, chẳng hạn như:

- Dạy học dựa vào Lý thuyết tình huống;

- Dạy học dựa vào Lý thuyết kiến tạo;

- Dạy học Giải quyết vấn đề;

Trong đó, phù hợp hơn cả với tình hình nước ta hiện nay là xu hướng Dạy học phát hiện và GQVĐ "Giải quyết vấn đề" không còn chỉ thuộc phạm trù

phương pháp, mà đã trở thành mục đích của dạy học, được cụ thể hóa thành một thành tố của mục tiêu trên là "năng lực giải quyết vấn đề" - năng lực có vị trí quan trọng hàng đầu để con người thích ứng được với sự phát triển của xã hội tương lai

3 Giải phỏp và tổ chức thực hiện

Qua phân tích điều kiện, năng lực học tập của học sinh, có thể nói rằng,

HS chưa thể áp dụng ngay một cách đầy đủ phương pháp làm việc của các nhà khoa học, mà giáo viên chỉ có thể làm cho họ bắt đầu làm quen với phương

pháp đó và tạo điều kiện cho học sinh thực hiện một số khâu trong quá trình tìm tòi ở những mức độ khác nhau Trên cơ sở đó, chúng ta đưa ra hai mức độ thích hợp trong việc dạy cho học sinh dự đoán, suy luận có lý: Thuyết trình phát hiện

và GQVĐ; Đàm thoại phát hiện và GQVĐ

3.1 Thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề

ở cấp độ thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề, thầy giáo tạo ra tình huống gợi vấn đề, sau đó chính bản thân thầy đặt vấn đề và trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết (chứ không phải chỉ đơn thuần nêu lời giải) Thầy thuyết trình lại cả quá trình tìm kiếm, dự đoán có lúc thành công, có lúc thất bại, phải

điều chỉnh phương hướng một hoặc nhiều lần mới đi đến kết quả

Ví dụ : Giải phương trình : x  x2   1 x  x2  1 2

Thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh Bài toán trên: Giáo viên đưa ra nhận định trong phương trình có 2 biểu thức 2

1

x x  và

2 1

x x  là các biểu thức liên hợp của nhau Do x x2  1. x x2   1 1

sẽ có rất nhiều phương án suy luận có lý và giải quyết vấn đề

+ ) Vậy một liên tưởng gần nhất là có thể sử dụng phép biến đổi tương

đương để giải:

TXĐ :  x 1(*)

Phương trình tương đương với

x x   x x  x x   x x  

x x  x x   2x2 x1

Đối chiếu TXĐ (*) x =1 là nghiệm

+) Mặt khác do x x21 x x2  nên sẽ có thêm một suy 1 1 luật có lý nữa là đặt ẩn phụ

1( 0)

t x x  t suy ra 2 1

1

t

Phương trình : 1

t

    thoả mãn t > 0

Khi đó lụa chọn cách sau :

2 2

1 1

1 1





1

x

Mà vẫn có thể giải bằng cách đưa về phương trình cơ bản

Trong Ví dụ trên, thầy giáo đã thuyết trình lại quá trình mò mẫm, tìm kiếm lời giải Bài toán Biết xoay chuyển hướng suy nghĩ khi gặp khó khăn, chứ

không phải đột nhiên đưa ra ngay một lời giải đúng Đó cũng là yếu tố làm nên

ưu điểm của phương pháp thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề, nhờ nó học sinh học được phương pháp kiến tạo tri thức chứ không phải chỉ tiếp nhận tri thức mà thôi

3.2 Suy luận có lý nhằm phát triển tư duy tìm phương án mới

Dạy học theo phương pháp mới - Vận dụng Lý thuyết tình huống - rất phù hợp cho việc rèn luyện kỹ năng dự đoán, suy luận có lý Bởi, với những bài toán có chứa yếu tố tìm tòi, dự đoán, thường đưa hoạt động của học sinh về gần với hoạt động nghiên cứu của các nhà khoa học Theo đó, giáo viên không nên trao ngay cho học sinh những tri thức cần thiết quy định trong chương trình, mà cần công phu chế biến nó thành tri thức dạy học sao cho có thể phát huy cao nhất tính độc lập, tích cực, tự giác của học sinh

Cụ thể trong đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng năm 2008 -2009 có bài như sau

Ví dụ: Giải phương trình : 2 3 3x 2  3 6  5x  8  0

( đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009)

Gặp bài toán như vậy cách làm thông dụng nhất là học sinh hướng đến phương pháp đặt hai ẩn phụ cụ thể như sau

điều kiện để phương trình có nghĩa là (*)

5

6 0

5

6  x x

đặt u 3 3x 2 ,v 6  5x,v 0 và ta đi đến hệ phương trình















8 3 5

8 3 2

2 3

v u

v u

Thế

3

2

v  vào phương trình dưới ta có : 15u3  4u2  32u 40  0 Nghiệm duy nhất u = 2

Suy ra nghiệm phương trình x = -2

đối chiếu điều kiện (*) kết luận phương trình có nghiệm x = - 2

Bởi vậy khi nhìn vào phương trình thầy giáo có thể định hướng cho học sinh các tình huống để suy luận , để có thể giải quyết vấn đề nhanh gọn

+) Nếu sử dung phương pháp đặt ẩn phụ thì phải làm gì ? chon 1 ẩn hay

2 ẩn phụ

Có chăng phương trình trên có thể giải bằng phương pháp đặt một ẩn phụ hoàn toàn hay không ?

ví dụ như đặt

1 , 2 2 5 6

3 1 2 3 3

















t t x

t x

khi đó

(**) ) 2 2 ( 3 ) 5 6 ( 3

(*) ) 3 1 ( 5 ) 2 3 ( 5

2 3

t x

t x













Lấy (*) +(**) ta được : 12t3 12t2t 1  0 t 1

Khi đó nghiệm x= -2

Câu hỏi đặt ra cho học sinh là : Thuật toán nào đã giúp ta nhìn thấy được cách đặt

1 , 2 2 5 6

3 1 2 3 3

















t t x

t x

???? Nó được xuất phát từ đâu ???

Đó chính là việc cần phải Suy luận có lý nhằm phát triển tư duy tìm phương án mới từ phương án cũ , là phép dùng 2 ẩn phụ kết hợp với phương

trình đường thẳng trong mặt phẳng oxy

Nếu đặt X  3 3x 2 ,Y  6  5x,v 0 thì ta có ngay phương trình

2X + 3Y - 8 = 0 đây chính là dạng tổng quát của phương trình đường thẳng trong mặt phẳng OXY, thầy giáo cần hướng dẫn học sinh suy luận bằng các chuyển về phương trình dạng tham số Khi đó cho ta phép đặt đã nêu ra Bằng các suy luận có lý, thầy cô còn phải hướng cho học sinh đến những tìm tòi cách làm mới từ những biểu thức quen thuộc cụ thể như

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: u x y1; 1, vx y2; 2

u v  u v   u v 

, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

cos  1 u v

0

k

    , chú ý tỉ số phải dương

Đó là những ứng dụng hay được “ ẩn” trong các biểu thức mà ai cũng có thể biết ,

ví dụ như úng dụng của tích vô hướng để giải phương trình vô tỷ

Ví dụ: Giải phương trình x x 1  3 x  2 x2 1

Điều kiện :  1  x 3

Đặt a (x; 1 ),b x 1 ; 3 x

Khi đó a.bx x 1  3 x

2

3 1

.

x

b

Do đó a.b a.b a.b cùng hướng

x

x x









3

1

1 (đk: 0 < x < 3)

x

x x









3

1 2

 x2  3x2x 1  0

 x 1 x2 2x 1=0























2 1

2 1 1

3

2

1

x

x

x

)

(loai

Tuy nhiên nếu tiếp tục dẫn dắt học sinh đến với khái niên “ quen thuộc” của hình học tọa độ trong mặt phẳng Đôi khi sẽ cho ta kết quả thật bất ngờ khi áp dụng thành thạo dạng toán của phương trình vô tỉ ta có thể dung các bất đẳng thức về tọa

độ để giải Ta thường dùng 2 bất đẳng thức sau:

v u v

u

v u v u









2

1

Dấu đẳng thức xảy ra trong hai bất đằng thức là: u,v là hai vectơ cùng hướng

(u  kv) 1 1

0

k

    , chú ý tỉ số phải dương

Ví dụ: Giải phương trình: x2 4x5 x2 10x50 5

Trong hệ trục tọa độ Oxy xét các điểm A(2; 1); B(5; 5) và M(x; 0) Khi đó:

(1)  MAMB AB

Mặt khác: với mọi ba điểm A, B, M ta luôn có MAMB  AB

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M, A, B thẳng hàng

Theo Talet ta có:

4

5 4

3 5

1 3 5

1

















' MA

' MA '

BB

' AA '

MB

' MA Vậy tọa độ điểm M(5/4; 0) suy ra phương trình có nghiệm x = 5/4

Không phải ngẫu nhiên mà thầy giáo lại đặt vấn đề tọa độ và đường thẳng , một vấn đề của hình học tưởng chừng như chẳng liên quan đến đại số Từ đây học sinh có thể nhận ra được “đường thẳng ”, “ véc tơ” là một “ tuyệt chiêu ”

để giải phương trình vô tỷ

3.3 Đàm thoại phát hiện , giải quyết vấn đề - “ Nút thắt” của bài toán

ở cấp độ này, học trò làm việc không hoàn toàn độc lập mà có sự gợi ý, dẫn dắt của thầy khi cần thiết Phương tiện để thực hiện hình thức này là những câu hỏi của thầy và những câu trả lời hoặc hành động đáp lại của trò Như vậy

có sự đan kết, thay đổi sự hoạt động của thầy và trò dưới hình thức vấn đáp

Ví dụ: Giải phương trình 2x2x x2 3  2x x2 3  9

Giáo viên đưa ra nhận định trong phương trình có biểu thức nào đặc biệt, hướng học sinh đến với biểu thức đó Ta tạm gọi đó là “nút thắt” của bài toán ? Vấn đề cần giải quyết là : biểu thức 2x x2 3 nó có dạng “quen quen” là 2.a.b của hằng đẳng thức đáng nhớ Tiếp theo cần phải tìm đâu để có “a” và “b” trong phương trình đã cho Đó chính là phần còn lại của phương trình , khi đó giáo viên sẽ tháo “ nút thắt “ bằng biểu thức 2x x2  3 hướng tới phương pháp

đặt ẩn phụ quen thuộc

Cụ thể

12 ) 3 (

) 3 2

3 ( 9 3 2

3 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

















































x x x

x

x x x x

x x

x x x

x x

PT

Đặt tx x2  3 ta có phương trình hệ quả t2 t 12  0 t 3 ,t 4

6 9 3

3 3

2



























x x x

x x

x

Với t = - 4 ta có













































8 13 4 8

16 3

4 4

2

x

x

x x x

x x

Kết luận: Phương trình có nghiệm là x=1

Tóm lại, dạy người học chiếm lĩnh một kiến thức trong quá trình nảy sinh, hình thành và phát triển không chỉ có nghĩa là để cho họ tự mình khám phá ra kiến thức đó, mà còn bao hàm cả hình thức thầy giáo thuyết trình, phát hiện và GQVĐ Tuy nhiên, chắc chắn ta không thể thỏa mãn nếu trong toàn bộ quá trình dạy học, người giáo viên chỉ sử dụng một cấp độ thuyết trình Tỉ trọng phần người học phát hiện và GQVĐ trong toàn bộ quá trình dạy học tùy thuộc vào đặc điểm của môn học, vào trình độ học sinh và nhiều điều kiện khác

3.4 Những quan điểm chủ đạo trong việc tập luyện cho học sinh dự

đoán, suy luận có lý

3.4.1 Quan điểm 1: Cần chú trọng tập luyện cho học sinh dự đoán suy

luận có lý trong những tình huống thích hợp

Rèn luyện khả năng dự đoán, suy luận có lý là một trong những nhiệm vụ quan trọng, góp phần phát triển tư duy học sinh Tuy nhiên, với cách dạy như hiện nay thì "tư duy và tính cách bị chìm đi trong kiến thức" (Nguyễn Cảnh Toàn) "Do chỉ chú ý truyền thụ kiến thức mà không chú ý dạy cho học sinh tìm tòi kiến thức nên các phương pháp thực nghiệm, quy nạp rất bị coi nhẹ" (Nguyễn Cảnh Toàn)

Ví dụ : “ Giải phương trình : 3x 6 x (3x)(6x)3 ”

( Đề 59 – bộ đề tuyển sinh môn toán )

Khi nhìn vào phương trình thầy giáo có thể định hướng cho học sinh các tình huống để suy luận , để có thể giải quyết vấn đề nhanh gọn

+)Nếu sử dung phương pháp biến đổi tương đương thì phải làm gì ?

+) Nếu sử dung phương pháp đặt ẩn phụ thì phải làm gì ? chon 1 ẩn hay

2 ẩn phụ

Cụ thể :

*) Phương pháp biến đổi tương đương : TXĐ  6 x3

PT :

3x 6 x (3x)(6x) 3  3x 6x  3 (3x)(6x)





































6

3 0

) 6 )(

3 (

4 ) 6 )(

3 (

x

x x

x

x x

Kết luận : Phương trình có hai nghiệm x=3 , x=6

*)Dùng ẩn phụ chuyển phương trình về phương trình với một ẩn phụ

TXĐ :  6 x3

đặt : t 3x 6x ( t > 0 )

Khi đó :

2

9

2

t





























3

5 0

15 2 3

2

2

t

t t

t t

t

t =-5 loại Với t = 3 ta có ( 3 x)( 6 x)  0 x 3 ,x 6

đối chiếu TXĐ kết luận phương trình có 2 nghiệm x=3 và x=6

*) Dùng ẩn phụ chuyển phương trình về hệ phương trình với hai ẩn phụ

TXĐ  6 x3





 suy ra u2v2 9

Kết hợp với phương trình ta có hệ

4

uv

uv



 

6

x x









Đối chiếu TXĐ kết luận phương trình có 2 nghiệm x=3 và x=6

Đương nhiên các lời giải mà giáo viên đưa ra là hoàn toàn đúng, nhưng không phải là tốt về phương diện phương pháp dạy học Liệu học sinh sẽ học

được gì từ các Lời giải trên, khi mà bản thân họ không hiểu tại sao giáo viên lại nhanh chóng sử dụng được