phát triển tư duy sáng tạo, khả năng xử lí tình huống cho học sinh từ một số bài toán giải hệ phương trìnhc

Qua các kỳ thi ĐH- CĐ gần đây và trong thực tiễn giảng dạy tại trường THPT Nông Cống I, tôi thấy đa số học sinh khá lúng túng trong các bài toán giải hệ phương trình.. Chính vì vậy, tôi

MỤC LỤC

Trang

Mục lục ……… 1

A Đặt vấn đề ……… 2

I Lí do chọn đề tài……… 2

II Thực trạng của vấn đề………2

B Giải quyết vấn đề……… 3

I Giải pháp thực hiện……….3

1 Giải pháp chung….……… 3

2 Biện pháp cụ thể… ……… 3

II Kết quả ứng dụng đề tài … ……… 12

C Kết luận……… 13

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Tên đề tài :

“Phát triển tư duy sáng tạo, khả năng xử lí tình huống cho học sinh

từ một số bài toán giải hệ phương trình”

I Lí do chọn đề tài

Trong thời đại cạnh tranh khốc liệt hiện nay, con người muốn hội nhập và phát triển thì rất cần có khả năng tư duy sáng tạo Có thể nói rằng, dạy học sinh biết sáng tạo và khả năng xử lí tình huống là một nhiệm vụ hết sức quan trọng của người thầy

Qua các kỳ thi ĐH- CĐ gần đây và trong thực tiễn giảng dạy tại trường THPT Nông Cống I, tôi thấy đa số học sinh khá lúng túng trong các bài toán giải hệ phương trình

Bởi lẽ hệ phương trình rất đa dạng và biến hoá, đòi hỏi học sinh khả năng tư duy linh hoạt, óc phán đoán, nhận dạng cùng với một số kỹ năng biến đổi nhất định Chính vì vậy, tôi luôn trăn trở làm sao để các em học sinh biết cách tư duy để giải quyết được một bài hệ phương trình và tự tin với các bài toán giải hệ phương trình

tại các kỳ thi ĐH- CĐ Do đó tôi quyết định chọn đề tài SKKN: “Phát triển tư duy sáng tạo, khả năng xử lí tình huống cho học sinh từ một số bài toán giải hệ phương trình” nhằm giới thiệu với đồng nghiệp một số kinh nghiệm của bản thân

trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh giải quyết các bài toán hệ phương trình, từ đó góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán bậc THPT

II Thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu

Sau khi dạy xong phần hệ phương trình đại số trong chương trình toán 10 nâng cao, tôi cho học sinh thử làm một số bài hệ trong các đề thi đại học những năm gần đây thì thấy rằng có ít học sinh giải được, mặc dù đối tượng trong lớp có nhiều em

là học sinh khá, giỏi của nhà trường Phải chăng do đề ra khó quá, hay do tâm lí các

em chưa tự tin Tôi cho rằng đề thi không phải quá khó, bám sát dạng cơ bản Tuy nhiên có biến hoá một chút làm cho học sinh lúng túng không biết phương hướng giải Do đó nếu chỉ dựa vào kinh nghiệm là chưa đủ Điều quan trọng hàng đầu là phải rèn luyện được khả năng tư duy để giải quyết vấn đề Trong khuôn khổ của một SKKN, tôi chỉ đề cập đến việc rèn luyện khả năng tư duy và xử lí tình huống khi gặp một số hệ phương trình cho học sinh

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Giải pháp thực hiện

1 Giải pháp chung : Ôn tập một số dạng hệ phương trình cơ bản và các phương

pháp giải hệ phương trình :

a) Các dạng hệ phương trình cơ bản gồm:

- Hệ chứa một phương trình bậc nhất đối với một hoặc hai biến

- Hệ đôí xứng loại 1, 2

- Hệ đẳng cấp (bậc 2, bậc 3)

- Hệ đồng bậc

b) Một số phương pháp giải hệ cơ bản :

- Rút thế

- Đặt ẩn phụ

- Sử dụng các phép cộng, nhân đại số

- Đánh giá, bất đẳng thức

2 Giải pháp cụ thể : Giới thiệu một bài toán giải hệ phương trình ở mức độ đơn

giản với nhiều cách khác nhau để củng cố phương pháp :

a) Bài toán mở đầu :

Chúng ta đến với một bài giải hệ phương trình khá đơn giản sau

(I)

Mặc dù bài này hoàn toàn không khó song ta sẽ cố gắng tìm nhiều lời giải cho hệ này

Giải

Cách 1 Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2 nên cách thường dùng là trừ hai

phương trình cho nhau Khi đó ta có

- Với suy ra Từ đó ta có 2 nghiệm (0;0), (1/2;1/2)

- Với thế vào phương trình của hệ và rút gọn ta

có 1=0 (vô lí) Vậy hệ có hai nghiệm (0;0), (1/2;1/2)

Cách 2 Cộng hai phương trình ta được

- Với Thế vào ta được nghiệm (0;0)

- Với Thế vào hệ ta được nghiệm (1/2;1/2)

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm

Cách 3 Viết lại hệ :

Nhân hai phương trình ta được :

Từ đó ta giải được hai cặp (0;0) và (1/2;1/2) Thay vào từng phương trình ta thấy thoả mãn Vậy hệ đã cho có hai nghiệm

Cách 4 Nhận xét : đây là một hệ đẳng cấp bậc hai

Ta thấy (thoả mãn hệ) Vậy (0;0) là một nghiệm của hệ

Với Đặt Khi đó thế vào hệ rồi rút gọn cho ta được hệ

Chia phương trình sau cho phương trình đầu ta được

- Với Ta có suy ra (loại) hoặc

Vậy hệ có hai nghiệm (0;0), (1/2;1/2)

Cách 5 (rút thế)

Từ phương trình đầu ta có

Ta thấy không thoả mãn phương trình Với Ta có Thay

vào phương trình sau ta có : Giải pt này ta được

Vậy hệ có hai nghiệm (0;0), (1/2;1/2)

Bây giờ ta thay đổi hệ bằng cách sau : giữ nguyên phương trình 2, còn ở phương trình 1 ta thay y ở vế phải bởi 2y Ta sẽ xem cách nào trong 4 cách trên có thể giải quyết được

b) Sáng tạo những hệ phương trình mới từ hệ (I)

Từ hệ (I) bây giờ ta giữ nguyên các vế trái của hai phương trình và thay đổi vế phải để tạo ra các hệ mới khó hơn

Bài 1 Giải hệ phương trình

Giải

Ta thấy các cách 1, 2 và 4 sẽ không cho ra kết quả Ta sử dụng cách 3 như sau : Với (thoả mãn hệ) Vậy (0;0) là một nghiệm của hệ

Với Đặt Khi đó thế vào hệ rồi rút gọn cho ta được hệ

Chia phương trình sau cho phương trình đầu ta được Từ

đó thay vào hệ ta được các nghiệm của hệ là :

Bây giờ ta thay đổi phương trình đầu theo cách khác

Hãy tổng quát hoá hệ phương trình trên ?

Ta có kết quả : hệ đẳng cấp bậc hai tổng quát

Bây giờ thay đổi phương trình (1) nhưng hệ mới không phải là một hệ đẳng cấp thì cách giải thế nào ?

Bài 2 Giải hệ phương trình

Giải

Rõ ràng với hệ này thì các cách 1, 3,4 gặp khó khăn Ta có thể sử dụng cách 2 hoặc 5

Cách 1 : cộng hai vế ta được

Từ đó thế vào phương trình (1) : và rút theo ta được các nghiệm của hệ là (1; ;

Cách 2 Ta muốn rút từ phương trình (1) Ta có (1)

Vậy hệ có hai nghiệm (1; ;

Bây giờ nếu ta thay đổi phương trình đầu như sau thì cách giải sẽ thế nào?

Bài 3 Giải hệ phương trình

Giải

Cách 1 Cộng hai phương trình ta được Đặt Khi đó

Với thế vào (2) ta thấy phương trình vô nghiệm

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Cách 2 Rút y từ (1) : ( không thoả mãn)

Thế vào (2) và rút gọn ta được :

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Cách 3 Ta viết lại hệ như sau :

Rõ ràng không thoả mãn Với Rút từ (3) thế vào (4) và kết hợp với (4) ta được hệ mới

Do Đặt ta được Chia hai phương trình ta được

Hãy đưa ra một dạng tổng quát?

Kết quả : với các cách giải ta có thể giải được hệ tổng quát

(với là tham số bất kỳ)

Thay đổi hệ số của ta xét bài toán

Bài 4 Giải hệ phương trình

Rõ ràng với hệ này thì các cách cộng đại số, đặt ẩn phụ không phát huy tác dụng

Ta thử sử dụng cách rút thế Từ (1) rút y : và thế vào (2) ta được phương trình

Giải phương trình ta có các nghiệm

Từ đó hệ đã cho có 3 nghiệm là

Ta xét một hệ tương tự

Sử dụng cách rút thế ta có kết quả hệ có nghiệm duy nhất (2;-2)

Một cách tổng quát thì hệ phương trình

luôn giải được Thành phần của nghiệm của hệ là nghiệm của phương trình

Chính vì vậy nếu chọn các hệ số phù hợp sẽ cho ta nghiệm đẹp

Quay trở lại hệ phương trình (I) Bây giờ ta thay đổi ở phương trình đầu bởi

Khi đó ta có bài toán :

Bài 5 Giải hệ phương trình

Nếu ta sử dụng cách thế y từ (1) vào (2) ta sẽ phải giải một phương trình bậc ba không có nghiệm chẵn Đây là một vấn đề khó khăn đối với học sinh

Và rõ ràng ta không sử dụng được cách cộng đại số Vậy ta phải sử dụng cách nào?

Ta chú ý rằng hệ đã cho chính là một hệ đẳng cấp bậc hai

Do đó ta sử dụng cách đặt ẩn phụ

- Với

- Với Đặt thế vào hệ rồi chia hai phương trình ta được

Thế tìm được vào ta được hai nghiệm của hệ đã cho là

Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm

(0;0),

Bây giờ từ hệ (I) ta thay đổi bậc của y ở vế phải phương trình (1)

Nếu bậc của y là 3 ta có bài toán

Bài 6 Giải hệ phương trình

Đây là một hệ đồng bậc Ta sử dụng cách đặt ẩn phụ và thu được kết quả

Hệ có hai nghiệm (0;0) và (-4;2)

Thậm chí nếu bậc của y là 4 thì trong một số trường hợp ta vẫn áp dụng cách đặt ẩn phụ như trên để giải Chẳng hạn

Bài 7 Giải hệ phương trình

Ta được 4 nghiệm là (0;0),

Rõ ràng các cách cộng trừ, rút thế không thể áp dụng được trong các hệ có dạng này

Bây giờ ta thay đổi vế phải của (I) để có bài toán :

Bài 8 Giải hệ phương trình

Hãy thử sử dụng các phương pháp đã giải trên để giải hệ này?

Ta thấy với hệ này thì các cách đã trình bày trên đều không cho ta kết quả Do đó ta thử tập trung biến đổi phương trình (1) :

(1)

Thử các cặp ( vào phương trình (2) ta thấy chỉ có cặp (-3;2) thoả mãn

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (-3;2)

Ta xét bài toán sau

Bài 9 Giải hệ phương trình

Hãy biến đổi (1) để giải hệ phương trình này?

Giải

Ta biến đổi phương trình (1) như sau :

(1)

Thế vào (2) ta được phương trình

Vậy hệ có hai nghiệm là (1;1), (-1;-1)

Chú ý rằng ta có thể sử dụng BĐT Bunhiacopski để giải bài toán trên

Bây giờ ta thay đổi hệ (I) theo một cách khác

Bài 10 Giải hệ phương trình

Giải

Ta thấy đây không phải là một hệ quen thuộc và các cách giải đã nêu đều không khả thi Do vậy ta phải tìm một cách giải khác

Ta biến đổi hệ như sau :

Đặt Nhân hai phương trình theo vế ta được

Khi đó Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2;-1)

Trở lại hệ (I) Ta sẽ tạo ra một hệ đối xứng loại 2 phức tạp hơn

Bài 11 Giải hệ phương trình

Ta thấy đây là một hệ quen thuộc – hệ đối xứng loại 2 Vì vậy cách giải thường dùng là trừ hai phương trình cho nhau ta được

-Với hoặc Hệ có 3 nghiệm

có hệ mới

Suy ra các nghiệm của hệ trong trường hợp này là :

Vậy hệ đã cho có 5 nghiệm là

Ta cần tạo ra một hệ mà cách giải sử dụng ẩn phụ

Bài 12 Giải hệ phương trình

Giải

Ta thấy rằng hệ này không áp dụng được các phương pháp đã giải ở trên

Vậy ta phải tìm một phương án khác

Nhận thấy phương trình đầu biến đổi được về phương trình

Đặt Ta có ngay Giải được

Với Ta có hệ Đây là một hệ đẳng cấp bậc hai Sử dụng

pp đặt ta được nghiệm là

Với Ta có hệ Giải hệ đẳng cấp bậc hai này cho ta nghiệm là

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là

-II Kết quả ứng dụng đề tài

Qua nhiều lần sử dụng SKKN vào giảng dạy tôi nhận thấy ưu điểm và hiệu quả thể hiện thông qua kết quả kiểm tra kiến thức và thái độ của học sinh

Cụ thể : Kiểm tra lớp 10 C3 (lớp đối chứng), 10C5 (lớp thực nghiệm) Hai lớp có trình độ ngang nhau Năm học 2011 – 2012

Tốt (Giỏi)

bình

10C5

(lớp thực

nghiệm)

10C3

(lớp đối

chứng)

C.KẾT LUẬN

Sau khi sử dụng đề tài để dạy ôn tập hệ phương trình, tôi nhận thấy nhiều học sinh lớp ở các lớp dạy đã biết vận dụng để giải các dạng hệ phương trình tương

tự Đặc biệt một số học sinh đã biết tạo ra một số hệ phương trình khá hay Học sinh thấy được sự linh hoạt trong các tình huống xử lí hệ phương trình và tích luỹ được một số kinh nghiệm trong bài toán giải hệ phương trình sơ cấp

Có thể nói SKKN : “Phát triển tư duy sáng tạo, khả năng xử lí tình huống qua một số bài toán giải hệ phương trình” bước đầu đã thành công theo

đúng mục đích của tác giả

Hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu bổ ích để đồng nghiệp tham khảo trong giảng dạy và để học sinh vận dụng làm bài tập và tìm tòi khám phá vẻ đẹp muôn hình muôn vẻ của hệ phương trình

Hệ phương trình là một phần khá rộng lớn Vì vậy mặc dù đã rất cố gắng song đề tài chắc khó tránh khỏi sự bất hợp lí ở một vài điểm nào đó Rất mong nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp, học sinh và những ai yêu thích hệ phương trình để đề tài được hoàn thiện hơn

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày15 tháng 4 năm 2013

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của

người khác

Lê Văn Minh