một vài kinh nghiệm phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy bài tập khoảng cách trong không gian

1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT VÀI KINH NGHIỆM PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY BÀI TẬP KHOẢNG

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT VÀI KINH NGHIỆM PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY BÀI TẬP KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Nguyễn Thị Minh Hằng

SKKN thuộc môn: Toán học

THANH HOÁ NĂM 2013

A.ĐẶT VẤN ĐỀ

I.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Đổi mới phương pháp dạy học đang là yêu cầu cần thiết trong giai đoạnhiện nay của giáo dục Phương pháp dạy học phải phát huy tính tích cực, tự giác,chủ động, sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, tự say mê học tập

và ý chí vươn lên của người học

Trong giảng dạy môn toán thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên của họcsinh là hoạt động giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng kỹ xảo đồng thờiphát triển tư duy cho học sinh Khoảng cách trong không gian là một trongnhững phần trọng tâm của hình học không gian Nó được trình bày cụ thể trongnhiều tài liệu tham khảo, tuy nhiên bài tập về vấn đề này gây ra không ít khókhăn, vướng mắc cho người học toán

Trí tưởng tượng không gian, khả năng vẽ hình biểu diễn, biết liên hệ, xâuchuỗi kiến thức sẽ góp phần quyết định trong việc tìm ra lời giải của một bài tậphình học Nhưng một bài toán về khoảng cách còn đòi hỏi có sự nhạy cảm, linhhoạt để xác định và đi đến lời giải cụ thể Đó là tiềm năng lớn để phát triển trítuệ cho học sinh khi giải các bài toán về khoảng cách

Với học sinh việc giải bài tập về khoảng cách là khó thì với giáo viên dạy thếnào để cho các em thấy hứng thú học, giải được dạng bài toán này,thông qua đógiúp các em phát triển tư duy, sáng tạo vẫn đang là vấn đề mà nhiều giáo viêncòn đang trăn trở Chính những khó khăn đó đã cản trở đến quá trình truyền thụkiến thức và phát triển trí tuệ cho học sinh trong hoạt động giảng dạy

Thiết nghĩ, nếu sắp xếp các bài tập khoảng cách có tính hệ thống thì sẽ giúphọc sinh có nền tảng kiến thức vững hơn,tự tin hơn khi giải bài tập hình họckhông gian, đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy tính tích cực, tư duysáng tạo cho các em

Từ những lí do trên tôi chọn đề tài “Một vài kinh nghiệm phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy bài tập khoảng cách trong không gian”.

+ Phương pháp nghiên cứu lí luận

+ Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

I.CƠ SỞ LÍ LUẬN

Lâu nay các phương pháp dạy học dường như lấy giáo viên làm trung tâm,các phương pháp dạy học tích cực lấy học sinh làm trung tâm mang tính hìnhthức, thiếu đồng bộ ít hiệu quả.Vấn đề đổi mới phương pháp dạy học theohướng phát huy cao độ tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh ở trườngTHPT hiện nay rất có ý nghĩa cả về mặt lí luận lẫn thực tiễn

Tính tích cực của học sinh trong quá trình học tập là yếu tố cơ bản, có tínhquyết định đến chất lượng và hiệu quả học tập Mục tiêu của mọi sự đổi mớiphương pháp dạy học phải hướng tới việc phát huy tính tích cực nhận thức củahọc sinh Vấn đề cốt lõi là đặt học sinh vào vị trí trung tâm của quá trình dạyhọc Trong quá trình dạy học người thầy biết sử dụng phối hợp các phương phápdạy học một cách hiệu quả nhằm phát huy cao độ vai trò nội lực của học sinh Ngày nay trong quá trình dạy học, người ta nhấn mạnh vai trò của học sinhtrong nỗ lực tạo ra sự chuyển biến từ học tập thụ động sang học tập tích cực, chủđộng và sáng tạo Nếu học sinh chủ động học tập thì sẽ khơi dậy được tiềm năngvốn có của nó, làm cho kết quả học tập được nâng cao không ngừng, đồng thờigiúp học sinh sớm thích ứng với đời sống cộng đồng Theo hướng đó cần phảithiết kế hoạt động dạy có tính đến những quy luật của hoạt động học Hoạt độngdạy và học đan xen, thâm nhập vào nhau, quy định lẫn nhau Sự tác động qua lạigiữa hoạt động dạy và hoạt động học chính là hoạt động cùng nhau, hoạt độnghợp tác giữa người dạy và người học

Muốn đổi mới phương pháp dạy học để phát huy tính tích cực chủ động sángtạo của học sinh cần phải:

- Tạo ra môi trường tâm lí thuận lợi, thoải mái nhất cho học sinh trong quátrình học Sự căng thẳng, gò bó sẽ làm hạn chế khả năng tiếp nhận và chuyểnhoá thông tin Muốn vậy giờ học cần có một sự khởi đầu tốt, tạo tâm thế cho họcsinh trong việc lĩnh hội tri thức Sự phong phú về phương pháp, phương tiện vàhình thức dạy học sẽ tránh mệt mỏi, nhàm chán ở học sinh

- Giúp học sinh hiểu và có thủ thuật ghi nhớ chắc chắn những kiến thức, kháiniệm khoa học Trực quan hóa tài liệu học tập, sử dụng mô hình, biểubảng cùng với việc gắn nội dung dạy học với thực tiễn sinh động sẽ làm chohọc sinh dễ hiểu hơn, dễ nhớ và nhớ lâu hơn

- Giúp học sinh phát triển khả năng tư duy độc lập, chủ động tìm tòi và sángtạo Muốn vậy phải biết dẫn dắt học sinh vào các tình huống có vấn đề Tính có

3

vấn đề trong dạy học được thực hiện có hiệu quả bằng phương pháp dạy học nêuvấn đề.

Nghệ thuật khai thác hợp lí hệ thống câu hỏi phát vấn của giáo viên sẽ gópphần tạo nên những giờ giảng hấp dẫn, sinh động Hệ thống câu hỏi trong từngbài giảng phải luôn luôn thay đổi, biến hoá, tránh lặp lại, đơn điệu Những câuhỏi rập khuôn, sáo mòn sẽ kìm hãm sự phát triển trí tuệ, những câu hỏi gợi mởthông minh, sáng tạo sẽ kích thích được khả năng và độ sâu tư duy của học sinh.Vấn đề là phải biết dẫn dắt người học vào những tình huống có vấn đề trong dayhọc, biết đánh thức những tiềm năng sáng tạo, kích thích nhu cầu, hứng thú họctập của học sinh, là phải biết truyền đạt có kết quả cái mà học sinh cần lĩnh hội,vừa biết dạy học sinh cách học và cao hơn là tự học

Dạy bài tập “khoảng cách trong không gian” giúp học sinh:

+ Rèn luyện các thao tác vẽ hình biểu diễn, trí tưởng tượng không gian, mở đầucho các ý tưởng vẽ thêm các đường, chọn điểm - một yếu tố quyết định tạo ra lờigiải độc đáo cho bài toán

+ Có khả năng sáng tạo các bài toán tương tự và giải quyết các bài toán đónhanh chóng

+ Rèn luyện tư duy độc lâp, rèn luyện tính linh hoạt và phê phán trong tư duy.+ Có khả năng vẽ hình tốt hơn tạo nên hứng thú học không gian từ đó tích cựchoạt động giải bài tập Đó là tiền đề cho sự phát triển tư duy sáng tạo của họcsinh

+ Có khả năng phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa…các yếu tố trên hình vẽ, giảthiết bài toán

II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ.

Hình học không gian là sự nối tiếp của hình học phẳng, khoảng cách trongkhông gian cũng nằm trong cái chung đó Do vậy, trước khi học khoảng cáchtrong không gian học sinh phải nắm vững các khái niệm, định lí liên quan với nótrong hình học phẳng.Ngoài ra còn phải nắm vững các kiến thức về quan hệsong song,quan hệ vuông góc và mối quan hệ giữa chúng trong không gian.Một vấn đề hết sức quan trọng trong việc giải bài tập khoảng cách là học sinhphải biết vẽ các hình biểu diễn, xác định hình chiếu của một điểm lên một đườngthẳng, hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng…Đây là vấn đề gây ra nhiềukhó khăn cho hoc sinh

Khoảng cách trong không gian và trong hình học phẳng có mối liên hệkhăng khít nhau Ví dụ như khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng,khoảng cách giữa hai đường thẳng song song vẫn được giữ nguyên khi chuyểnsang hình học không gian Tuy nhiên có nhiều tính chất, khái niệm mở rộngtrong không gian như khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

4

với nó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo nhaulàm học sinh rất khó hình dung,hầu hết các em cảm thấy mơ hồ không xác địnhđược hướng làm cho bài toán,dẫn đến tâm lý chán nán khi làm bài tập về vấn đềnày.

Đối với giáo viên ,nếu dạy Khoảng cách mà đơn thuần chỉ truyền thụ cho họcsinh kiến thức trong sách giáo khoa thì sẽ gây ra nhiều khó khăn cho việc tiếpthu của các em không mang lại hiệu quả cần đạt được trong giáo dục Tuy nhiênnếu ta biết sắp xếp, xâu chuỗi các kiến thức để phát huy tính tích cực của họcsinh, tạo được hứng thú cho học sinh khi giải quyết các bài toán về khoảng cáchthì tình trạng trên sẽ được khắc phục một cách đáng kể

Chủ đề “khoảng cách không gian” chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trongviệc phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh tạo cơ hội cho họcsinh phát triển năng lực sáng tạo của mình Đề tài đưa ra một số bài tập về tínhkhoảng cách nhằm phát triển tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh

III GIẢI QUYẾT VẤN

Các bài toán tìm khoảng cách giữa các yếu tố trong không gian như : Khoảngcách giữa đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song,khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau hầu hết đều đưa về bài toán tìmkhoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Nếu muốn làm tốt các bài tập vềkhoảng cách khác thì trước tiên và trọng điểm là giúp học sinh giải quyết các bàitoán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Trên ý tưởng này đề tài

đi sâu vào xây dựng một phần hệ thống các bài toán tìm khoảng cách từ mộtđiểm đến một mặt phẳng, đồng thời thông qua việc giải các bài tập đó để pháthuy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh

1 Một số khái niệm về khoảng cách trong không gian.

+ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm O và mặt phẳng( ) 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O

lên mặt phẳng ( Khi đó độ dài đoạn

thẳng OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mp(

+ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

+ Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

Định nghĩa: Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song là khoảng cách từ một

điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Định nghĩa

Đường vuông góc chung : Đường thẳng ∆ cắt 2

đường thẳng chéo nhau a, b và vuông góc với mỗi

đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc

chung của 2 đường thẳng a và b

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

Nếu đường vuông góc chung ∆ cắt 2 đường thẳng

chéo nhau a và b lần lượt tại M và N thì độ dài

đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa 2 đường

thẳng chéo nhau a và b

Nhận xét.

+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo

nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai

đường thẳng đó và mặt phẳng song song

với nó chứa đường thẳng còn lại

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng

song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

2.Một số bài toán khoảng cách từ một điểm đến

một mặt phẳng.

6

a' b a

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, không phải bài toán nàocũng tính được trực tiếp từ chính điểm theo yêu cầu bài toán mà nó được tínhthông qua một điểm khác.Chính việc lựa chọn điểm thích hợp sẽ giúp giải bàitoán một cách đơn giản và sáng tạo Cơ sở của cách tính trên dựa vào kết quảbài toán sau:

ME = Khi đó khoảng cách từ điểm A đến mp( ) và khoảng cách từ điểm

E đến mp( có mối quan hệ như thế nào?

Lời giải

Trường hợp1: Xét các điểm A và E nằm cùng phía với mp(

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ( ) nên: 

EP

=

=

Khi đó EP = k AH hay d(E, ( )) = k h 

Trường hợp 2: Hai điểm E và A nằm khác phía nhau so với mp( ).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp( ), AH = h.

Gọi P là hình chiếu vuông góc của E lên mặt phẳng ( ).

)(

A

Q N

I

Lại có P, M, H thẳng hàng Theo định lí

Tallet ta có:

k MA

c Gọi I là trung điểm của AB Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC);

d G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC)

Nhận xét: Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc với nhau ta chứng minh mặt

phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt kia, áp dụng giả thiết bài toán

ta có được câu a Trên kết quả câu a và định lí:

)

(

) (

β α

⇒ (SBC) ⊥ (SAB)

b Ta có (SAB) ∩ (SBC) ≡ SB

Kẻ AH ⊥ SB (H thuộc SB)

Do ∆SAB vuông cân nên H là trung

điểm của SB,khi đó AH ⊥ ( SBC) nên d(A, (SBC)) = AH

Xét ∆SAB vuông cân tại A Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

2 2

2 2

2

11

11

1

a a

AB AS

1))(

,(2

1))(

Lúc đó

4

2 3

2 )) (

, ( 3

2 )) (

(,

Đối với ví dụ này ta cũng đưa ra lần lượt các câu hỏi từ a đến d theo mức độ khódần và nâng cao Hoạt động chia các bước nhỏ như trên sẽ giúp học sinh tiếp thukiến thức một cách nhẹ nhàng đồng thời việc nâng cao mức độ khó dần của câuhỏi là sự phát triển trong tư duy của học sinh Từ tư duy tích cực được phát triểncao dần đến sự độc lập trong suy nghĩ, tự mình phát hiện ra vấn đề, tự mình xácđịnh phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự bản thân kiểm tra và hoàn thànhkết quả

_S

_H

2 2

13

11

1

1

a a AB

3.3

2))(

a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC);

b Tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC)

Hoặc chỉ yêu cầu tính khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) (với G là trọng tâm

∆SDC) thì làm thế nào? điều này không phải là đơn giản mà đòi hỏi phải có sựhoạt động tối đa của trí óc Nếu ta đưa ra bài toán dưới dạng này sẽ gây ra khókhăn, vướng mắc đối với việc giải của học sinh làm ảnh hưởng đến tư duy tíchcực và dễ chán nản Vì vậy hệ thống các câu hỏi nhỏ như trên sẽ giúp các em lấy

10

được hứng thú ngay khi bắt tay vào bài, tích cực suy nghĩ và đó là cơ sở để pháthuy tư duy sáng tạo cho học sinh.

Ví dụ 3

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M là trung điểm của

cạnh BC O là tâm hình vuông ABCD

a Tính khoảng cách từ điểm M đến mp (ACC’A’);

b N là trung điểm của DC Tính khoảng cách từ điểm N đến mp(ACC’A’);

c Từ N kẻ đường thẳng song song với CC’ cắt D’C’ tại N’ Tính khoảng cách từđiểm N’ đến mp(ACC’A’);

d G1 là trọng tâm ∆AC’D’ Tính khoảng cách từ điểm G1 đến mp(ACC’A’);

e G2 là trọng tâm ∆AG1C Tính khoảng cách từ điểm G2 đến mp(ACC’A’)

Nhận xét:

Ví dụ này được tạo ra trên bài toán cơ sở nhằm để sử dụng kết quả đã cónhưng không phải dưới dạng tường minh mà đòi hỏi phải tư duy, hoạt động tíchcực trong suy nghĩ để đưa bài toán về dạng quen thuộc, nghĩa là tư duy của họcsinh phải linh hoạt và khả năng biết quy lạ về quen

Lời giải.

a Ta có BD ⊥ (ACC’A’)

Kẻ Mx // BD cắt AC tại H Lúc đó:

MH A

N'

N M

B'

C'

D'

C B

A

D

A'

1 =

A N

A G

Lúc đó

4

2.3

2))''(,'(3

2))''(,

1 )) ' ' ( , ( 3

1 ) ' ' ( ,

Các ví dụ trên đã trình bày bài toán tính khoảng cách của các điểm cùng phíavới A hoặc khác phía với A so với mặt phẳng ( ).Vậy đối với các bài toán yêucầu tính khoảng cách một số điểm cùng phía xen kẽ một số điểm khác phía A sovới mặt phẳng ( thì việc tính toán sẽ như thế nào? ta xét tiếp ví dụ:

Ví dụ 4

Cho hình chóp SABCD ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giácđều cạnh a và (SAB) vuông góc với mp(ABCD) Gọi I là trung điểm của cạnh

AB, E là trung điểm của cạnh BC

a Chứng minh mp(SIC) ⊥ mp(SED);

b Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SED);

c Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(SED);

d Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SED);

S

H

Nhận xét: Các cặp điểm I và C, C và A nằm

khác phía so với mp(SED)

Lời giải.

a ABCD là hình vuông nên ED ⊥ IC (1)

SI là đường trung tuyến của ∆ đều ABC

nên SI ⊥ AB mà

(SAB) ⊥ (ABCD) nên SI ⊥ (ABCD), suy ra SI ⊥ IC ( vì IC ⊂ mp(ABCD))(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra IC ⊥ (SED) do đó (SIC) ⊥ (SED);

b Gọi J là giao điểm của ED và IC, kẻ IH ⊥ SJ thì d(I, (SED)) = IH

Xét ∆SIJ vuông tại I Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

2 2

2

1 1

1

IJ SI

=

Vậy d I SED .a

8

2 3 )) (

4 )) ( , ( 3

4 )) (

,

2

2 )

(

,

(A SED =

Nhận xét: Ở ví dụ 4 này mức độ khó khăn và phức tạp của bài toán đã được

nâng cao, ở câu b nó không có sẵn tỉ số

JI

JC

, cũng không có điểm đặc biệt nhưtrọng tâm, trung điểm, nếu theo hướng suy nghĩ cũ sẽ khó tìm ra lời giải Lúcnày cần biến kiến thức kỹ năng sẵn có vào hoàn cảnh mới, biết nhìn nhận vấn đềmới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quenbiết Cụ thể trong bài này ta có thể tính được độ dài đoạn JC, JI thay vào ta có tỉ

số

JI

JC

, từ đó đưa về bài toán quen thuộc đã biết

Ví dụ 5 (Đề thi Đại học khối D năm 2007)

Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang.ABC = BAD = 90 0, BA = BC = a,

AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a 2 Gọi H là hình chiếuvuông góc của A lên SB Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính khoảngcách từ H đến mp(SCD)

Gợi ý giải:

Lấy I là trung điểm của AD, khi đó IA = ID = IC = a, suy ra CD ⊥ AC mà CD

⊥ SA nên CD ⊥ SC hay tam giác SCD vuông tại C

SH

3

2 )) (

, (H SCD d B SCD

14