giúp học sinh học tốt bài hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bảo đảm sự thốngnhất, kế thừa và phát triển của chương trình giáo dục” Với xu thế đó, chương trình Toán học trung học phổ thông được xây dựng và phát triển theo quan điểm: Kế thừa và phá

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT SẦM SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT BÀI HOÁN VỊ,

MỤC LỤC

A ĐẶT VẤN ĐỀ 1

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2

1 Cơ sở lý luận 2

2 Thực trạng 2

3 Giải pháp thực hiện 3

3.1 Giải pháp thứ nhất 3

3.2 Giải pháp thứ hai 5

3.3 Giải pháp thứ ba 8

3.3.1 Bài tập nhận dạng 9

3.3.2 Bài tập thông hiểu 10

3.3.3 Bài tập vận dụng 11

4 Kiểm nghiệm 15

C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 16

1 Kết luận 16

2 Đề xuất 16

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Một trong những mục tiêu của đổi mới chương trình giáo dục phổ thônglà: “tăng cường tính thực tiễn, kĩ năng thực hành, năng lực tự học; coi trọng kiếnthức khoa học xã hội và nhân văn; bổ sung những thành tựu khoa học và côngnghệ hiện đại phù hợp với khả năng tiếp thu của học sinh Bảo đảm sự thốngnhất, kế thừa và phát triển của chương trình giáo dục”

Với xu thế đó, chương trình Toán học trung học phổ thông được xây dựng

và phát triển theo quan điểm: Kế thừa và phát huy truyền thống dạy học mônToán ở Việt Nam, tiếp cận với trình độ giáo dục toán học phổ thông của cácnước phát triển trong khu vực và trên thế giới; Lựa chọn các kiến thức toán học

cơ bản, cập nhật, thiết thực và có hệ thống, phù hợp với trình độ nhận thức củahọc sinh, thể hiện tính liên môn, vai trò công cụ của toán học; Tăng cường thựchành và vận dụng, thực hiện dạy toán gắn với thực tiễn; Rèn luyện tính tích cực,chủ động, sáng tạo, khả năng tự học của học sinh

Vì vậy, so với chương trình cũ (năm 2000) chương trình mới (năm 2006)

đã có một số thay đổi quan trọng Một trong những thay đổi đó là vị trí và nộidung của các kiến thức về Tổ hợp và Xác suất Về vị trí Tổ hợp và Xác suấtđược chuyển xuống nghiên cứu ngay từ giữa năm lớp 11 (so với chương trình cũcuối lớp 12) Về nội dung lần đầu tiên vấn đề xác suất được đưa vào chươngtrình phổ thông (không kể chương trình thí điểm phân ban năm 1995) Mặc dùmục đích của chương mới là để học sinh làm quen với những vấn đề đơn giảnthường gặp trong đời sống và khoa học, tuy nhiên nó đã chứng tỏ được tầm quantrọng của Tổ hợp và Xác suất trong xã hội hiện đại

Tuy nhiên, Tổ hợp luôn được đánh giá là một nội dung khó trong chươngtrình Toán phổ thông Các bài toán Tổ hợp thường đòi hỏi học sinh hiểu chínhxác những mối quan hệ giữa các đối tượng được xét mà đôi khi bằng ngôn ngữcũng khó diễn đạt một cách đầy đủ Đặc điểm đó đòi hỏi giáo viên phải chuẩn bịbài giảng thật kỹ lưỡng và dành nhiều thời gian để đúc kết các phương phápgiảng dạy Tổ hợp Bên cạnh đó các bài toán về Xác suất ở đây có liên quan chặt

tốt thì có nhiều thuận lợi khi giải các bài toán Xác suất Đó là lý do vì sao tôi

chọn đề tài là “Giúp học sinh học tốt bài Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp” Đây

là bài học trọng tâm của phần Tổ hợp

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Cơ sở lý luận

- Căn cứ vào thực tiễn trong đời sống cũng như trong khoa học chúng tathường gặp bài toán xác định số lượng các đối tượng có một tính chất nào đó Tagọi đó là bài toán đếm Tổ hợp là một ngành toán học nghiên cứu nhiều vấn đềmang cấu trúc rời rạc trong đó có bài toán đếm Kỹ năng và kiến thức của toán

Tổ hợp là rất cần thiết cho nhiều môn khoa học từ kinh tế tới sinh học, tin học,hoá học, quản trị kinh doanh

- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của hệ thống giáo dục bậc THPT: “Giúphọc sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục THCS, hoàn thiệnhọc vấn phổ thông, có những hiểu biết thông thường về kỹ thuật và hướngnghiệp, có điều kiện lựa chọn hướng phát triển và phát huy năng lực cá nhân,tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vàocuộc sống lao động.”

- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của môn học: Cung cấp cho học sinhnhững kiến thức, kỹ năng, phương pháp toán học phổ thông cơ bản, thiết thực;Góp phần phát triển năng lực trí tuệ, khả năng suy luận cần thiết cho cuộc sống,hình thành và phát triển phẩm chất, phong cách lao động khoa học

- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của chương: Cung cấp cho học sinhnhững hiểu biết ban đầu, cơ bản về Tổ hợp và Xác suất

- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của bài: trang bị cho học sinh các kháiniệm cơ bản nhất của tổ hợp là hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp cùng các công thứctính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Nhờ đó chúng ta có thể xác định được sốlượng các phần tử của một tập hợp một cách nhanh chóng và chính xác màkhông cần liệt kê (nhiều khi cũng không thể liệt kê được vì số lượng các phần tửrất lớn)

- Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh

2 Thực trạng

Như đã trình bày trong phần lý do chọn đề tài, tổ hợp luôn được đánh giá

là một nội dung khó trong chương trình Toán phổ thông Các bài toán tổ hợp khátrừu tượng và mới nên học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc tiếp thu kiến

thức Đặc biệt “Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp” lại là những kiến thức cơ sở nên

nếu học sinh không nắm vững, hiểu rõ được nội dung của bài thì toàn bộ kiếnthức của chương Tổ hợp và Xác suất sẽ bị bỏ qua

Thực tế qua quá trình giảng dạy của bản thân, tôi nhận thấy rất nhiều họcsinh do không nắm tốt các kiến thức cơ bản của bài nên không tiếp thu được cáckiến thức khác trong chương, cảm thấy các kiến thức của chương là rất khó hiểu.Hậu quả là kết quả thu được trong bài kiểm tra chương tương đối thấp Đặc biệt,sau đó một thời gian thì các em có xu hướng “quên” Vì vậy trong bài thi học kỳ,hay xa hơn là bài thi đại học, cao đẳng có những bài Tổ hợp – Xác suất tương đốiđơn giản, không phải là khó nhưng nhiều học sinh không làm được

3 Giải pháp thực hiện

Để giải quyết thực trạng trên, giúp học sinh có được những kiến thức cơ

sở vững chắc cho chương mà cụ thể là giúp học sinh học tốt bài “Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp”, tôi xin đề ra ba giải pháp như sau:

3.1 Giải pháp thứ nhất

Giải pháp đầu tiên là chuẩn bị thật tốt các kiến thức cơ sở cho học sinh

trước khi vào bài Kiến thức cơ sở của bài “Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp” ở

đây là hai quy tắc đếm: quy tắc cộng và quy tắc nhân Học sinh cần được trang

bị vững vàng, hiểu và hiểu rõ, phân biệt được quy tắc cộng và quy tắc nhân

a) Quy tắc cộng

Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B Có n cách thực hiện theo phương án A và m cách thực hiện theo phương án B Khi đó công việc có thể được thực hiện theo n  m cách.

Quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án:

Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương án k

A

A

A1, 2, , Có n1 cách thực hiện theo phương án A1, n2 cách thực hiện theo phương án A2, , và n k cách thực hiện theo phương án A k Khi đó công việc có thể được thực hiện theo n1n2  n k cách.

b) Quy tắc nhân

Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A có thể làm theo n cách Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo nm cách.

Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn:

Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1,A2, , A k Công đoạn A1có thể làm theo n1 cách, Công đoạn A2 có thể làm theo n1 cách, , Công đoạn A k có thể làm theo n k cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo

Một công việc có nhiều phương án tức là nếu ta thực hiện theo phương ánnày thì không cần thực hiện theo phương án kia, khi đó để đếm số cách có thểthực hiện công việc này ta dùng quy tắc cộng

Một công việc được thực hiện bởi nhiều công đoạn tức là để hoàn thànhcông việc đó phải lần lượt thực hiện từng bước không được bỏ qua bước nào,khi đó để đếm số cách có thể thực hiện công việc này ta dùng quy tắc nhân

Sau đó củng cố bằng các ví dụ cụ thể

Ví dụ 1: Một cửa hàng có 15 đôi dép khác nhau, 8 cái mũ khác nhau và 7 quyển

sách khác nhau Bạn Nam muốn chọn một đồ vật (dép hoặc mũ hoặc sách) để làmquà sinh nhật tặng bạn Hỏi bạn Nam có bao nhiêu cách chọn mua quà sinh nhật

Giải

Ta nhận thấy công việc mua quà sinh nhật của Nam có thể thực hiện mộttrong ba phương án:

- Nếu chọn mua dép có 15 cách mua

- Nếu chọn mua mũ có 8 cách mua

- Nếu chọn mua sách có 7 cách mua

Do đó theo quy tắc cộng bạn Nam có 15  7  8  30 cách mua quà sinh nhật

Ví dụ 2: Một bé trai có thể mang họ cha là Nguyễn hoặc họ mẹ là Lê Chữ lót

có thể là: Văn, Hữu, Hồng, Hoàng Còn tên có thể là: Nhân, Nghĩa, Trí, Đứchoặc Dũng Hỏi có bao nhiêu cách có thể đặt họ tên cho bé? (gồm họ chữ lót vàtên)

Để nhận dạng khái niệm hoán vị, chúng ta có thể bắt đầu bằng ví dụ vềbài toán xếp chỗ ngồi cho học sinh:

Ví dụ 3: Xếp 4 học sinh A, B, C, D vào một bàn bốn chỗ Hỏi có bao nhiêu cách

Tiếp tục củng cố bằng cách cho học sinh tự lấy ví dụ về hoán vị Nhậnthấy khi học sinh đã hiểu các ví dụ cụ thể thì cho học sinh khái quát khái niệm

trong trường hợp tổng quát n phần tử

Định nghĩa 1: Cho tập hợp A có n n 1 phần tử Khi sắp xếp n này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A

Để tính số hoán vị từ ví dụ 3, cho học sinh áp dụng các quy tắc đếm tính

2 )(

1 (

Ví dụ 4: Có năm vận động viên A, B, C, D, E thi chạy Nếu không kể trường

hợp có hai vân động viên về đích cùng lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy rađối với các vị trí nhất, nhì, ba

Cũng bắt đầu bằng cách cho học sinh liệt kê một số kết quả có thể xảy ra

Từ đó đưa ra khái niệm chỉnh hợp chập ba của năm phần tử

Tiếp tục củng cố khái niệm cho học sinh bằng ví dụ về lập số:

Ví dụ 5: Cho tập A1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , lập số có bốn chữ số khác nhau từ các chữ sốtrong tập A.

Cho học sinh liệt kê một số số: 1234; 1243; 1256 Từ đó đưa ra kháiniệm chỉnh hợp chập bốn của sáu phần tử

Cho học sinh tự lấy ví dụ về chỉnh hợp Nhận thấy khi học sinh đã hiểucác ví dụ cụ thể thì cho học sinh khái quát khái niệm trong trường hợp tổng quát

Định nghĩa 2: Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với 1 k  n Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A ).

Để tính số chỉnh hợp, tương tự cho học sinh áp dụng các quy tắc đếm làm

ví dụ 4, ví dụ 5.

Giải ví dụ 4:

Ta có: Nếu giải nhất có 5 khả năng có thể xảy ra thì giải nhì chỉ còn 4 khảnăng và giải ba khi đó còn lại 3 khả năng nên có 5 4 3  60 kết quả có thể xảy ra(hay 60 chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử)

Giải ví dụ 5:

Ta có: Nếu chữ số hàng nghìn có 6 cách chọn thì chữ số hàng trăm có 5cách, chữ số hàng chục có 4 cách và chữ số hàng đơn vị còn 3 cách Vì vậy có

2 )(

1

A k n

Xây dựng khái niệm tổ hợp cũng như hai phần trước chúng ta bắt đầubằng các ví dụ đơn giản để học sinh nhận dạng khái niệm

Ví dụ 6: Cho tập A1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6, liệt kê tập con có 4 phần tử của A:

1 , 2 , 3 , 4 ; 1 , 2 , 4 , 5 ; 1 , 2 , 5 , 61 , 2 , 3 , 6 ; 1 , 2 , 3 , 5 ; 2 , 3 , 5 , 6

Từ đó đưa ra khái niệm về tổ hợp chập 4 của 6 phần tử

Ví dụ 7: Một lớp học có 45 học sinh, chọn ra 3 học sinh bất kỳ Mỗi cách chọn

là một chỉnh hợp chập ba của bốn lăm phần tử

Qua các ví dụ cụ thể, cho học sinh khái quát khái niệm trong trường hợptổng quát:

Định nghĩa 3: Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với 1 k  n Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của

A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A ).

Lưu ý học sinh sự khác nhau bản chất giữa tổ hợp và chỉnh hợp Nếuchỉnh hợp là sự xếp có thứ tự của k phần tử được lấy ra thì tổ hợp không có sựsắp xếp thứ tự của k phần tử này

Chúng ta giúp học sinh xây dựng công thức tính số tổ hợp từ công thứctính số chỉnh hợp tương ứng Cụ thể trong ví dụ 5 và ví dụ 6: so sánh giữa tổhợp chập 4 của A và chỉnh hợp chập 4 của A Từ đó đặt ra cho học sinh câuhỏi tương ứng mỗi tổ hợp chập 4 của 6 phần tử có bao nhiêu chỉnh hợp chập 4của 6 phần tử? Qua đó so sánh được số chỉnh hợp và số tổ hợp chập 4 của A

Từ đó tính được số tổ hợp chập 4 của A: 15

24

360

! 4

4 6 4

2 )(

1 (

k n n

n n k

A C

k n k n

Giải pháp thứ ba giúp học sinh nắm vững, hiểu rõ được các các kiến thức

đã học chính là sự rèn luyện củng cố qua các bài tập Để giúp học sinh chủ động,tích cực học tập, chúng ta cần xây dựng một hệ thống bài tập đa dạng, phù hợpvới mục đích nhân thức và các đối tượng học sinh Với mục tiêu như vậy tôi xâydựng một hệ thống bài tập với các mức độ nhận thức là: nhận dạng, thông hiểu

và vận dụng (vận dụng thấp, vận dụng cao) với ý nghĩa:

- Các bài toán nhận dạng giúp học sinh tiếp cận các khái niệm

- Các bài toán thông hiểu giúp củng cố lại kiến thức

- Các bài toán vận dụng giúp học đào sâu kiến thức

Bên cạnh đó tôi đưa ra các bài toán với nhiều cách khác nhau giúp họcsinh trở nên linh hoạt trong việc chọn lựa phương pháp giải Hay các bài toánđược đưa ra cùng những lời giải sai mà nhiều học sinh dễ mắc phải, để các em hiểumột cách thấu đáo hơn, cặn kẽ hơn, giúp các em tiếp nhận kiến thức một cách dễdàng hơn

3.3.1 Bài tập nhận dạng

Đây là những bài tập đơn giản, rõ ràng giúp học sinh nhận dạng và phânbiệt các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Bài tập 1 (BT5 – SGK trang 62) Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với

thứ tự giữa các đội trong một giải bóng đá có 5 đội? (Giả sử không có hai độinào cùng điểm)

Đây là một bài tập nhận dạng khái niệm hoán vị, học sinh dễ dàng nhậnthấy mỗi khả năng xảy ra đối với thứ tự 5 đội là một hoán vị của 5 phần tử nên

số khả năng có thể xảy ra là: P5  5 !  120(Khả năng)

Bài tập 2 (BT6 – SGK trang 62) Giả sử có 8 vận động viên tham gia thi chạy.

Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên về đích cùng lúc thì có baonhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì và thứ ba?

Đây là một bài tập nhận dạng khái niệm chỉnh hợp, học sinh dễ dàng nhậnthấy mỗi kết quả có thể xảy ra là một chỉnh hợp chập 3 của 8 phần tử nên số kết quả có thể xảy ra là: 3 8 7 6 252

Bài tập 3 (BT8 – SGK trang 62) Trong một ban chấp hành hành gồm 7 người ,

cần chọn 3 người vào ban thường vụ

a) Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụthì có bao nhiêu cách chọn?

b) Nếu cần chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ: Bí thư, Phó

bí thư, ủy viên thì có bao nhiêu cách chọn?

Đây là một bài tập nhận dạng và phân biệt giữa khái niệm chỉnh hợp và tổhợp Nếu như câu a không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người (tức là không

thư, Phó bí thư, ủy viên (tức là có sự sắp xếp về thứ tự), học sinh dễ dàng nhậnthấy mỗi cách chọn trong câu a là một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử còn mỗi cáchchọn trong câu b là một chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tư nên:

a) Số cách chọn là: 35

! 3

5 6 7

3.3.2 Bài tập thông hiểu

Đây là những bài tập đã có sự phức tạp hơn, cần sự hiểu biết rõ ràng hơncủa học sinh về các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp khi áp dụng

Bài tập 4 (BT7 – SGK trang 62) Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm n

điểm Hỏi:

a) Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P?

b) Có bao nhiêu véc-tơ mà hai đầu mút thuộc P?

Đây là một bài tập thông hiểu và phân biệt giữa khái niệm chỉnh hợp và tổhợp Nếu như câu a đoạn thẳng không có sự phân biệt về hai điểm mút (tức làkhông có sự sắp xếp về thứ tự) thì câu b véc-tơ có sự phân biệt về hai điểm mút(tức là có sự sắp xếp về thứ tự), học sinh sẽ nhận thấy mỗi đoạn thẳng là một tổ hợp

chập 2 của n phần tử còn mỗi véc-tơ là một chỉnh hợp chập 2 của n phần tử nên

a) Số đoạn thẳng là:

2

) 1 (

! 2

) 1 (

Bài tập 5 (BT58 – SGK trang 93) Trong không gian cho tập hợp gồm 9 điểm

trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng, hỏi có thể lập được bao nhiêu tứ diệnvới các đỉnh thuộc tập đã cho

Đây là một bài tập thông hiểu về tổ hợp Học sinh sẽ nhận thấy cứ 4 điểmkhông đồng phẳng thuộc tập hợp đã cho thì tạo được một tứ diện và ngược lại

Vì vậy mỗi một tứ diện có 4 đỉnh thuộc tập đã cho tương ứng với một tập congồm 4 phần tử của tập đã cho hay một tổ hợp chập 4 của 9 phần tử Do đó số tứdiện lập được với các đỉnh thuộc tập 9 đỉnh đã cho là: 4 126

9 

C (tứ diện)