sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Chuyên đề về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phươngtrình PT, BPT, HPT, HBPT chiếm một lượng khá lớn trong chương trình phổ thông,một trong c

PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Chuyên đề về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phươngtrình (PT, BPT, HPT, HBPT) chiếm một lượng khá lớn trong chương trình phổ thông,một trong các phương pháp giải các bài tập đó là sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Về bản chất thì giữa PT, BPT, HPT, HBPT và hàm số có mối liên quan rất chặt chẽ.Khi định nghĩa PT, BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số, nếu ta biết sử dụng hàm

số để giải các bài tập đó thì bài toán sẽ đơn giản hơn Chính vì vậy tôi chọn đề tài

sáng kiến kinh nghiệm là: "Sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong giải phương

trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình"

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

- Trang bị cho học sinh về một phương pháp giải PT, BPT, HPT, HBPT mang lạihiệu quả rõ nét

- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó học sinh nângcao khả năng tư duy, sáng tạo

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

- Các dạng toán giải PT, BPT, HPT, HBPT nằm trong chương trình toán phổ thông

- Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Phương pháp chung của dạng bài tập này

- Với các PT, BPT, HPT, HBPT không chứa tham số, ta sử dụng các tính chất

về tính đơn điệu của hàm số để giải

- Với các PT, BPT, HPT, HBPT có chứa tham số, ta tìm cách cô lập tham số vềmột vế, đưa phương trình, bất phương trình về dạng:

f(x) = m hoặc f(x) > m ( hoặc f(x) < m; f(x)  m; hoặc f(x)  m ).

Sau đó sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải

Cho phương trình: f(x) = g(x) xác định trên D.

Nếu một trong hai hàm số f(x) hoặc g(x) là hàm số đơn điệu, hàm còn lại là hàm hằng hoặc đơn điệu ngược với hàm kia thì phương trình nếu có nghiệmthì

nghiệm đó là duy nhất

Tính chất 2:

Cho phương trình f(x) = m xác định trên D

Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm là m thuộc miền giá trị của hàm số f(x)

Tính chất 3:

Cho phương trình f(x) = m xác định trên D

Nếu f(x) là hàm số liên tục và đơn điệu trên D thì phương trình trên có không quá một nghiệm

Tính chất 4:

Cho bất phương trình: f(x) > m (hay f(x) < m )

i) Nếu f(x) là hàm đơn điệu tăng trên D và tồn tại x0  D sao có f(x0) = m thì tập nghiệm của bất PT là: T = D  (x0 ; + ) ( T = D  (-  ; x0 ))

ii) Nếu f(x) là hàm đơn điệu giảm trên D và tồn tại x0  D sao có f(x0) = m thì tập nghiệm của bất PT là: T = D  (- ; x0 ) (T = D  (x0 ; +) )

Tính chất 5:

Cho hàm số f(x) xác định trên D

1 f(x)  m , x  D  m  min f ( x )

D

y ,kết luận tính đơn điệu của hàm số y2 g x( ) trên D

* Kết luận hai hàm số y f x ( ); y g x ( ) đơn điệu ngược nhau, hoặc một trong hai hàm số là hàm số hằng

* Tìm x sao cho 0 f x( )0 g x( )0 (hoặc tìm u sao cho 0 f u( )0 g u( )0 )Bước 3: Kết luận:

* Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi x x 0(hoặcu u 0

rồi giải phương trình u u 0)

* Kết luận nghiệm của phương trình đã cho

Dạng 2: PT đã cho biến đổi được về dạng f u( )f v( ) trong đó u u x ( ),v v x ( )

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng f u( )f v( )

Bước 2: Xét hàm số y f x ( ) trên D

* Tính y', xét dấu y'

* Kết luận hàm số y f x ( ) là hàm số đơn điệu trên D

Bước 3: Kết luận:

* Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi u v , giải PT : u v

* Kết luận nghiệm của phương trình đã cho

2 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong giải bất phương trình

Phương pháp :

Dạng 1: BPT biến đổi về dạng f x( )g x( ) (hoặc ( )f u g u( )) trong đó u u x ( )

Bước 1: Biến đổi BPT đã cho về dạng f x( )g x( ) (hoặc ( )f u g u( ))

Bước 2: Xét hai hàm số y1 f x( ); y2 g x( ) trên D

y , kết luận tính đơn điệu của hàm số y2 g x( ) trên D

* Tìm x sao cho 0 f x( )0 g x( )0 (hoặc tìm u sao cho 0 f u( )0 g u( )0 )

* Nếu f(x) đơn điệu tăng, g(x) đơn điệu giảm (hoặc là hàm hằng) thì

f x( )g x( ) x x 0, x D (hoặc f u( )g u( ) u u 0, x D ) Nếu f(x) đơn điệu giảm, g(x) đơn điệu tăng (hoặc là hàm hằng) thì

f x( )g x( ) x x 0, x D (hoặc f u( )g u( ) u u 0, x D )

Bước 3: Kết luận nghiệm của bất phương trình đã cho

Dạng 2: BPT biến đổi được về dạng f u( )f v( ) trong đó u u x ( ),v v x ( )

Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng f u( )f v( )

Bước 2: Xét hàm số y f x ( ) trên D

* Tính y', xét dấu y' Kết luận hàm số y f x ( ) đơn điệu trên D

* Nếu f(x) đơn điệu tăng thì: ( )f u f v( ) u v x D , 

Nếu f(x) đơn điệu giảm thì: ( )f u f v( ) u v x D , 

Bước 3: Kết luận nghiệm của bất phương trình đã cho

III CÁC VÍ DỤ

1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải pt, bpt, hpt, hbpt

Bài 1: Giải các phương trình sau:

Từ đó, vế trái của phương trình (2) là hàm nghịch biến  t > e; vế phải là hằng số

Do đó phương trình (2) nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

Lại có: f(3) = 3; do đó, bất phương trình có nghiệm x thì x (3;) Vậy tập nghiệmlà: T = 2 ; 4  ( 3 ; + ) = 3 ; 4

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 0

Bài 3: Giải các hệ phương trình và hệ bất phương trình sau:

a

2 2

+ Đạo hàm 2 3 0 0

23

t

t t

Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của PT (2), Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x=y=1

Nhận xét: Đối với hệ phương trình, hệ bất phương trình nhiều ẩn số ta tìm cách biến

đổi làm xuất hiện các phương trình giải được bằng phương pháp hàm số để đưa vềmối quan hệ giữa các ẩn số đơn giản hơn rồi tuỳ từng trường hợp tìm ra cách giảitiếp

Vậy nghiệm của hệ là 1 < x < 4

Nhận xét: Đối với giải hệ phương trình, hệ bất phương trình có 1 ẩn số ta có thể dùng

phương pháp hàm số để giải từng phương trình hay bất phương trình của hệ rồi kếthợp các tập nghiệm tìm được để đưa ra kết luận về nghiệm cho hệ bất phương trình

2 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH

Bài 4: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau:

a m

2

x 3 x

x

x 2     (1)

Nhận xét: Bài tập này ta có thể giải bằng phương pháp thông thường Tuy nhiên,

nếu giải bằng phương pháp đó, ta phải kiểm tra điều kiện của ẩn số rất phức tạp Ta

sẽ giải bài này bằng cách sử dụng hàm số

Giải: TXĐ: D =   ; 13 ;  

2

x 3 x

2 x

2 x

2 x



+ Với m = 2, (3)  0.x = 0, nghiệm đúng với  x 

+ Với m = - 2, (3)  0.x=-9, phương trình vô nghiệm

- Nếu m2 4 0  m2

Phương trình (3) có nghiệm duy nhất 3

2

x m



Kết luận:

- Với m 2: phương trình có nghiệm duy nhất 3

2

x m





- Với m = 2: phương trình nghiệm đúng với  x R

- Với m = - 2: phương trình vô nghiệm.

3 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương trình thoả mãn điều kiện cho trước .

Bài 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

0 x 3 10 m 5 x ) 4 m

0 3 x

Phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm thoả mãn x 3

Ở bài này ta có thể sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để giải Tuy nhiên ta

sẽ sử dụng hàm số để giải bài này

Xét phương trình (2) : Đặt f(x) =

5 x 2

1 x 2

8 x 10 x 2

1 x

Ta có bảng biến thiên:

f’(x) - 0 + f(x)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình (2) có nghiệm x  3  m 

3

Vậy phương trình (1) có nghiệm  m  3.

Bài 6: Tìm m để hệ sau có nghiệm: 

) 1 ( 0

1 x 2 x 3

3 2

3

x

I x

1 3

x

II x

Khi đó: f’(x) = 2 3

x 3

x 2

1 

, f’(x) = 0  2 3

x 3

x 2 1

= 0  x = 3

2 1

Ta có bảng biến thiên:

x - -1 0 31 3

2

1 +

f’(x) + +

m m

Nhận xét: Trong một số bài tập giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ, ta phải tìm điều

kiện của ẩn phụ Tuy nhiên, việc tìm điều kiện đó gặp không ít khó khăn Nếu ta sửdụng hàm số thì việc tìm điều kiện sẽ đơn giản hơn Ta xét ví dụ sau:

Bài 7: Cho phương trình: 4 x x 2 2 x x 2 1 m 3 0

Giải:

Đặt t = 2 x  x 2ở đây, điều kiện cần là t > 0 nhưng nếu chỉ có điền kiện đó thì chưa

đủ và ta chưa giải được bài này Ta phải tìm điều kiện của t bằng cách xét hàm số

Xét hàm số y = 2x - x2 với x  

2

3

; 0

++

+

+0

+-

-5

1 3 x

1 3 x

Ta có bảng biến thiên:

x - 3 7 - 2 3 7 +f’(x) + 0 - -

f(x)

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

a Bất phương trình có nghiệm  m  max f ( x )

min

7 3;

0

Trước hết ta nhận thấy:  m , 1 + cosx  0

(vì nếu 1 + cosx = 0 thì: vế trái PT (1) = 2 vô lý)

Khi đó (1)  m = ( 1 cos x ) 2

x 2 sin 2 2

t t

 , cosx = 1 22

1

t t

Theo (1) ta được phương trình: 2m = (1+2t-t2)2 (2)

Khi đó PT (1) có nghiệm  PT (2) có nghiệm

2 1 t

1 t

Ta có bảng biến thiên:

t - 1 - 2 1 1 + 2 +

f’(t) - + 0 - + f(t)



Từ bảng biến thiên ta suy ra:

phương trình (2) có nghiệm  2m  0  m  0Vậy phương trình (1) có nghiệm  m  0

4 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đoán và tìm hết tất cả các nghiệm của phương trình:

0

2

0

Dạng này thường được sử dụng khi ta nhận thấy 2 vế của phương trình là cáchàm đồng biến hoặc nghịch biến, đồng thời ta đã nhẩm được 1 hay 2 nghiệm Dạngbài tập này cho phép chúng ta dự đoán và chứng minh phương trình chỉ chó cácnghiệm mà ta đã dự đoán Ta xét các ví dụ sau:

Bài 10: Giải các phương trình sau:

 f’(0).f’(1) < 0   x0  (0;1) sao cho f’(x0) = 0

 x    ; x0 thì f’(x) < 0

x   x ; 0  thì f’(x) > 0

Khi đó ta có bảng biến thiên:

x - x 0 +f’(x) - 0 +

Đặt log3(x+1) = t  x + 1 = 3t  2x + 1 = 2(3t - 1) + 1 = 2.3t - 1

Khi đó ta có phương trình:

log5(2.3t - 1) = t  2.3t - 1 = 5t

 2.3t - 5t - 1 = 0Xét hàm số: f(t) = 2.3t - 5t - 1 với t  

Ta có: f’(t) = 2.3t.ln3 - 5tln5

f’(t) = 0  2.3t.ln3 - 5tln5 = 0  t = log (log95)

5 3

f’(t) > 0  t < log (log9 5)

5

3 ; f’(t) < 0  t > log (log9 5)

5 3

Ta có bảng biến thiên:

t - log (log95)

5

3 +f’(t) + 0 -

f(x0)

Số nghiệm của PT là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(t) và trục hoành

Từ bảng biến thiên, ta thấy phương trình f(t) = 0 nếu có nghiệm thì có nhiềunhất là 2 nghiệm

Bài 11: Giải các phương trình sau:

a 2log5( x  3 )= x b 2log3(tgx) = log2(sinx)

c

x

1 2

1 2

2

x x 1 x

cos

x

3 m 3

1 x ) 3 x ( 4 ) 1 x )(

3 x

Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thoả mãn x 21

Bài 17: Cho phương trình: ( x  2 ) log 2 ( x8 )  2 m ( x  2 ) 3

a Giải phương trình với m = 2

b Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thoả mãn: x x 4

- Tuy vậy, do mục tiêu của đề tài mà tác giả chưa đưa ra được hệ thống các bài toánkhó có thể dùng hàm số để giải cũng như chưa thống kê được các bài toán có thể giảibằng phương pháp này trong đề ĐH qua các năm Rất mong nhận được sự góp ý và

bổ sung của Hội đồng khoa học trường THPT Ngọc Lặc, Hội đồng khoa học Sở GD

& ĐT Tỉnh Thanh Hóa

Xin chân thành cảm ơn !

II - KIẾN NGHỊ:

- Như trên đã trình bày thì PT, HPT, BPT, HBPT có mối liện hệ mật thiết với hàm số.Khi định nghĩa PT, BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số, nếu ta biết sử dụng hàm

số để giải các bài tập đó thì bài toán sẽ đơn giản hơn Đặc biệt, đạo hàm là một công

cụ hữu ích, sắc bén

- Chính vì lẽ đó, tôi hi vọng đề tài sẽ đóng góp một phần nhỏ bé vào việc giải cácdạng toán đã nêu trên; là tài liệu tham khảo cho các em học sinh trong quá trình họctoán cũng như ôn thi tốt nghiệp và thi vào các trường Đại học, Cao đẳng và Trunghọc chuyên nghiệp

Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinhnghiệm tôi viết, không sao chép của ngườikhác