một phương pháp hay để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

Nhưng trong các kì thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng và thi chọn học sinh giỏi thì có rất nhiều bài toán giải bằng phương pháp hàm số, cho nên việc trang bị cho học sinh giải bài toán bằn

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong thời đại thông tin bùng nổ, học sinh thời nay phải truy nhập vào “Kho tri thức nhân loại” vô tận trong thời gian ngắn nhất để đạt được hiệu quả cao nhât

Vì thế ngoài việc trau dồi các kiến thức trong nhà trường, cuộc sống mới buộc thế

hệ trẻ nếu không muốn tụt hậu, phải quan tâm đến nhiều mặt khác như: Ngoại ngữ,

Âm nhạc, Thể thao, Truyền hình, Mạng máy tính thông tin toàn cầu Do thời gian với mỗi người là hữu hạn cho nên sự lựa chọn kỹ lưỡng những gì cần học và phương pháp học đã trở thành then chốt có tính quyết định cho sự nghiệp của cả cuộc đời

Trên thực tế môn toán là môn học không thể thiếu đối với học sinh THPT Trong đó học sinh đã được học rất nhiều dạng toán về phương trình, hệ phương trình và bất phương trình, cụ thể là: Lớp 10 có phương trình, hệ phương trình và bất phương trình quy về bậc hai, chứa ẩn dưới dấu căn và chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối; lớp 11 có phương trình lượng giác; lớp 12 có phương trình, hệ phương trình và bất phương trình mũ và logarit Có rất nhiều phương pháp giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình, mỗi phương pháp đều có những nét độc đáo riêng Trong quá trình giảng dạy của mình, đặc biệt trong quá trình dạy HSG và dạy ôn thi đại học tôi nhận thấy phương pháp hàm số là một phương pháp rất hay, độc đáo và ngắn gọn Phương pháp này phát huy rất tốt tư duy sáng tạo, khả năng phân tích, phán đoán của học sinh, đồng thời nó đòi hỏi ở người vận dụng kĩ năng phân tích, lập luận, tính toán chính xác, khoa học Tuy nhiên, do sự giảm tải kiến thức toán ở bậc THPT, những bài tập ra trong SGK thông thường học sinh giải được bằng phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ, còn số lượng bài tập sử dụng phương pháp hàm số để giải rất ít, hạn chế và rất nghèo nàn Nhưng trong các kì thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng và thi chọn học sinh giỏi thì có rất nhiều bài toán giải bằng phương pháp hàm số, cho nên việc trang bị cho học sinh giải bài toán bằng phương pháp hàm số là rất cần thiết Qua 13 năm giảng dạy Toán, trong quá trình dạy ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi luôn tâm niệm muốn đưa phương pháp sử dụng hàm số vào để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và tôi đã áp dụng phương pháp này với kết cấu mỗi dạng đều có phần lí thuyết, bài tập mẫu, bài tập tự giải và thấy rất hiệu quả Vì vậy tôi

lựa chọn đề tài “ Một phương pháp hay để giải phương trình, hệ phương trình,

bất phương trình”

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I. CƠ SỞ LÝ LUẬN:

I.1 Hàm số đồng biến, nghịch biến:

- Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K

f: đồng biến trên K ⇔ ∀x1x2∈K,x1 <x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

f: nghịch biến trên K ⇔ ∀x1x2∈K,x1 <x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

- Tính chất: Cho f (x) xác định trên K

Với ∀x1x2 ∈K;f(x1 ) = f(x2 ) ⇔ x1 =x2

- Để chứng minh tính đơn điệu của hàm số y= f (x) trên K ta dựa vào 2 phương pháp sau:

* Phương pháp 1: Dùng định nghĩa

+ Lấy x1 ,x2 ∈K,x1 ≠ x2, lập tỉ số

1 2

1

2 ) ( ) (

x x

x f x f A

−

−

= + Dựa vào dấu của A để suy ra tính đơn điệu

A>0: f đồng biến

A<0: f nghịch biến

*Phương pháp 2: Dùng đạo hàm:

+ Tính chất 1: f: đồng biến trên







=

∈

∀

≥

⇔

0 ) ( '

, 0 ) (

'

x f

K x x

f K

+ Tính chất 2: f nghịch biến trên







=

∈

∀

≤

⇔

0 ) ('

, 0 ) ( '

x f

K x x

f K

Nếu học sinh đã được học đạo hàm thì việc chứng minh tính đơn điệu của hàm số khá đơn giản bằng phương pháp 2 Đối với học sinh chưa được học đạo hàm thì phải sử dụng định nghĩa, đối với các dạng hàm số phức tạp thì việc dùng định nghĩa để chứng minh là một điều khó

I 2 Một số định lý:

Định lí 1: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên D

thì số nghiệm của f(x)=k trên D không nhiều hơn một và f(x)=f(y) khi và chỉ khi x=y với mọi x,y thuộc D

Chứng minh:

tại hữu hạn điểm của K

tại hữu hạn điểm của K

Giả sử phương trình f(x)=k có nghiệm x=a, tức là f(a)=k và f đồng biến trên

D nên

* x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên phương trình f(x)=k vô nghiệm

* x < a suy ra f(x) < f(a) = k nên phương trình f(x)=k vô nghiệm

Vậy phương trình f(x)=k có nhiều nhất là một nghiệm

Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và hàm số y =

g(x) luôn nghịch biến (hoặc đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một

Chứng minh:

Giả sử x=a là một nghiệm của phương trình f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a).Ta giả sử f đồng biến còn g nghịch biến

*Nếu x>a suy ra f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn đến phương trình f(x)=g(x) vô nghiệm khi x>a

*Nếu x<a suy ra f(x)<f(a)=g(a)<g(x) dẫn đến phương trình f(x)=g(x) vô nghiệm khi x<a

Vậy phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm

Định lí 3: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục

trên D thì f (x) f (y)< ⇔ <x y f (x) f (y)( > ⇔ >x y)

II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:

Phương pháp hàm số để giải PT, HPT, BPT là một phương pháp mang tính

hiện đại, cách giải hay, nhanh gọn và độc đáo

Do sự giảm tải của kiến thức ở bậc THPT mà số lượng bài tập SGK dùng phương pháp này để giải còn rất ít, SGK chỉ giới thiệu các dạng bài tập này mang tính chất tham khảo, do đó phương pháp này không mang tính chất phổ biến và bắt buộc Chính lẽ đó mà đại đa số học sinh sử dụng phương pháp này một cách máy móc hoặc chưa biết sử dụng

Đối với học sinh khá giỏi việc tiếp cận phương pháp này để giải toán là một vấn

đề cần thiết giúp cho các em có kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải bài tập bằng phương pháp hàm số đồng thời chuẩn bị cho các em một kiến thức vững vàng và đạt kết quả cao trong các kì thi đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi

III CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

III.1 Phương pháp dạy học sinh giải toán bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Để dạy học sinh giải toán bằng phương pháp hàm số là một phương pháp khó, Phương pháp này thường dùng để giải các bài tập khó có dạng không mẫu mực Để giúp cho hoc sinh phân tích bài toán và tìm ra phương pháp giải, tôi dạy học sinh tiến hành theo các bước sau đây:

Bước 1: Nhận dạng, biến đổi PT, BPT, HPT về dạng thích hợp

Bước 2: Thiết lập hàm số

Bước 3: Chứng minh hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến)

Bước 4: Dựa vào tính chất đơn điệu của hàm số để kết luận

Bước1: Nhận dạng

Tôi xem đây là bước quan trọng nhất, bởi vì một bài toán nếu biết dùng tính chất đơn điệu của hàm số để giải thì bài toán xem như đã biết phương pháp giải Thông thường những bài toán dùng phương pháp này để giải ta nhận dạng như sau:

Đối với PT, BPT, HPT không thể sử dụng phép biến đổi tương đương hoặc

sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để tìm ra nghiệm bài toán

Không thuộc vào dạng bài tập đã được học phương pháp giải được trình bày trong SGK phổ thông

Mối liên hệ của hai vế của một PT, BPT khác biệt nhau mà chúng ta không thể dùng các phép biến đổi để đưa PT, BPT về dạng quen thuộc đã có phương pháp giải, chẳng hạn:

- Khi giải phương trình: 3x + 4x =5x .Việc biến đổi lũy thừa để đưa về cùng cơ

số hay đặt ẩn phụ sẽ không thực hiện được cho nên chúng ta phải nghĩ ngay đế việc nhẩm nghiệm và sử dụng phương pháp hàm số để chứng minh nghiệm duy nhất

- Khi giải phương trình: 2x = 1-x Ta thấy VT của PT chứa lũy thừa, VP của

PT chứa đa thức cho nên việc biến đổi thông thường để tìm ra nghiệm của bài toán

là không thực hiện được, chính lẽ đó ta phải nghĩ ngay đến tính đơn điệu của hàm

số để giải

f: đơn điệu f(xo)=0

Bước 2: Thiết lập hàm số:

Thực hiện bước này khá đơn giản, nhưng yêu cầu học sinh phải biết biến đổi PT, BPT, HPT về dạng thích hợp: f(x)=f(y); f(u(x))= f(v(y)),… thì quy tắc f chính là hàm số ta cần xác lập

Bước 3: Chứng minh tính chất đơn điệu của hàm số:

Để chứng minh tính đơn điệu của hàm số ta dùng hai phương pháp: Dùng định nghĩa và dùng đạo hàm

Nếu học sinh đã được học đạo hàm thì việc chứng minh tính đơn điệu của hàm số khá đơn giản bằng phương pháp 2 Đối với học sinh chưa được học đạo hàm thì phải sử dụng định nghĩa, đối với các dạng hàm số phức tạp thì việc dùng định nghĩa

để chứng minh là một điều khó

Bước 4: Kết luận:

- Nếu từ tính chất đơn điệu của hàm số ta suy ra được nghiệm của bài toán thì bài giải được kết thúc

- Nếu bài toán đã cho được biến đổi thành một bài toán đơn giản hơn thì chúng ta phải tiếp tục dùng các phương pháp khác để giải cho đến khi tìm được nghiệm của bài toán thì dừng lại

III.2 Các bài toán giải bằng phương pháp hàm số:

III.2.1 Các bài toán giải phương trình:

Bài toán: Giải PT : “h(x) = g(x)” (1)

• Để CM (1) có nghiệm duy nhất ta tiến hành như sau:

Bước 1: Biến đổi PT(1) về dạng f(x) = 0 (2), với f(x) = h(x) – g(x).

Bước2: CM: nếu







thì : x = xo là nghiệm duy nhất của PT

• Để biến đổi PT (1) có dạng phức tạp thành PT: U(x)=V(x) có dạng đơn giản, đã

có phương pháp giải, ta tiến hành như sau:

Bước 1: Biến đổi PT (1) về dạng: f u x ( )= f v x ( )

Bước 2: Chứng minh f là đơn điệu

Bước 3: Kết luận (1)⇔u(x) = v(x)

Chú ý: Khi gặp phương trình F(x) = 0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x) =

g(x), trong đó f và g khác tính đơn điệu Khi đó ta tìm một nghiệm của phương

trình và chứng minh đó là nghiệm duy nhất

Thí dụ 1: Giải các phương trình sau:

a.) 3x + 4x = 5x

b.) 2x = 3 −x

c.) log2 x= 3 −x

Hướng dẫn cách giải:

Cách 1: - Nhẩm nghiệm

- Chứng minh nghiệm duy nhất

Cách 2: - Thiết lập hàm số

- Dùng tính đơn điệu để suy ra nghiệm của phương trình

Bài giải:

a.) 3x + 4x = 5x (1)

Cách 1: Ta có x = 2 là nghiệm của phương trình 3x + 4x = 5x (1)

(1) ⇔ 3 4 1

   + =

 ÷  ÷

   

Vế trái: là hàm số nghịch biến

Vế phải là hàm hằng

Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình (1)

Cách 2: (1) ⇔ 3 4 1

   + =

 ÷  ÷

    Xét f(x) = 3 4

   +

 ÷  ÷

   

⇒ f’(x) = 3

5

x

 

 ÷

  ln

3

5 + 4 5

x

 

 ÷

  ln

4

5 < 0 ∀ ∈x R

⇒ f(x) nghịch biến trên R và f(2)= 1

⇒ x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)

Các ví dụ b, c giải tương tự

⇒ Nếu phương trình có nghiệm thì có nghiệm duy nhất

Thí dụ 2: Giải các phương trình sau :

2

2

+

Hướng dẫn cách giải:

1) Với bài toán này nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút các em sẽ thấy ngay VT

là một hàm đồng biến và x=1 là một nghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta

có được x=1 là nghiệm duy nhất

Bài giải : Tập xác định: D 7 57 ;

2

=  +∞ ÷÷

Xét hàm số

f (x) = 3x+1+ x + 7x+2 , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và

7 1

2 3x+1 2 x+ 7x+2

+

= + > nên hàm số f(x) luôn đồng biến trên D.

Mặt khác, ta thấy f(1)=4

*Nếu x > 1 suy ra f(x) > f(1) = 4 nên pt vô nghiệm

*Nếu x < 1 suy ra f(x) < f(1) = 4 nên pt vô nghiệm

Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Chú ý:

- Hàm số y = ax+b với a > 0 là một hàm đồng biến Nếu f(x) là hàm đồng biến thì hàm n f (x) ( với điều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồng biến nên ta dễ dàng nhận ra VT của phương trình là hàm đồng biến

- Khi dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương

2) Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ

sẽ gặp khó khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của phương trình

là một hàm đồng biến và phương trình có nghiệm x =1 Do đó phương trình này

có nghiệm duy nhất x =1 (Cách giải tương tự như bài 1)

3) Với đường lối như hai bài trên thì khá khó khăn để giải quyết được bài toán này Tuy nhiên nếu nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên hệ là x+2=(x+1)+1 và 2x2+1=(2x2)+1, do vậy nếu đặt 3 x 1 u; v+ = = 3 2x 2

thì phương trình đã cho trở thành:

3 u 3 + + =1 u 3 v 3 + + ⇔1 v f (u) f (v)=

trong đó f (t)= 3 t 3+ +1 tlà một hàm liên tục và có

2

3

t

(t 1)

+ nên f(t) luôn đồng biến Do đó

2

x 1

f (u) f (v) u v 2x x 1 1

x 2

=







Vậy phương trình có nghiệm x =1, x =-1/2

4) Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy:

(2x2 + 4x + 5) – (x2 + x + 3) = x2 +3x + 2, do vậy nếu đặt v = 2x2 + 4x + 5,

u = x2 + x + 3 khi đó v – u = x2 + 3x + 2 và u, v > 0 khi đó phương trình trở thành:

u

log ( ) v u log u u log v v f (u) f (v)

trong đó f(t) = log3t + t với t >0 Ta thấy f(t) là hàm liên tục và đồng biến, do

f (u) f (v) u v 2x 4x+5 x x 3

x 2

=−



Thí dụ 3 Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của m thì PT:

2

x +2x 8− = m(x 2)− luôn có hai nghiệm thực phân biệt

Hướng dẫn cách giải:

- Biến đổi PT về dạng (x-2)(x3 +6x2 – 32 – m) = 0

- Thiết lập hàm số f(x) = x3 +6x2 – 32

- CM f(x) có nghiệm duy nhất trên khoảng (2; +∞)

Bài giải:

Với m > 0, PT x 2+2x 8− = m(x 2)− 2 x 2 0 2

(x 2x 8) m(x 2)(*)

− ≥





Ta có (*) ⇔(x-2)(x3 +6x2 – 32 – m) = 0 ⇔ x= 2 hoặc x3 +6x2 – 32 – m = 0 (1) Phương trình (*) luôn có một nghiệm x = 2, ta chứng minh (1) luôn có một nghiệm với mọi m > 0 Thật vậy, xét hàm f(x) = x3 +6x2 – 32 trên (2; +∞), ta có f’(x) = 3x2+ 12x > 0 với mọi x > 2 ⇒f(x) đồng biến trên khoảng (2; +∞) Và f(2) = 0 Vậy với mọi m >0 pt (1) luôn có duy nhất một nghiệm

Vậy (*) luôn có hai nghiệm thực phân biệt

III.2.2 Các bài toán giải hệ phương trình:

Bài toán : Giải hệ

Nếu một trong hai phương trình của hệ đưa về dạng:

f(x) = f(y) (1) hoặc ( f u x ( )= f v y ( )

và f là một hàm đơn điệu thì:

Thí dụ 4: Giải hệ phương trình: 32 3 2 (1)

12 (2)

x y y x

x xy y

 − = −







Hướng dẫn cách giải:

Học sinh nhận thấy được phương trình (1) có nghiệp x = y

Biển đổi phương trình (1) về dạng 3x + x = 3y + y (3)

Thiết lập hàm số: f(t) = 3t + t

Chứng minh f(t) là hàm đồng biến, (3) ⇔f(x) = f(y) ⇔ x = y

Bài giải: (I) ⇔ 32 3 + y (3)2

12

x x y

x xy y

 + =







Xét hàm số: f(t) = 3t + t ⇒ f’(t) = 3tln3 + 1 >0 ∀t∈R

⇒ f(t) là hàm đồng biến, (3) ⇔f(x) = f(y) ⇔ x = y

Nên (I) ⇔ 2 2

12

x xy y

=



Vậy hệ có hai nghiệm: (2;2) ; (-2; 2)

Thí dụ 5: Giải hệ 2 3 4 4 (1)

2 3 + 4 = 4 (2)





Hướng dẫn cách giải:

F(x,y) = 0 G(x,y)= 0

(I)

x = y

G(x,y)= 0

G(x,y)= 0

(III) (I)

- Nhận dạng: Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2 nên có 1 nghiệm x = y

- Lấy (1) – (2) và đưa phương trình về dạng 2x+ − 3 4 − =x 2y+ − 3 4 −y

- Thiết lập hàm số: f(t)= 2t+ − 3 4 −t , t ∈[-3

2;4]

Cách giải: Điều kiện -3

2 ≤x y, ≤4 Lấy (1) – (2) và đưa phương trình về dạng 2x+ − 3 4 − =x 2y+ − 3 4 −y (3) Xét hàm số: f(t) = 2t+ − 3 4 −t , t ∈[-3

2;4]

0 4

2

1 3

2

1 )

(

−

+ +

=

⇒

t t

t

2;4]

⇒ f(t) đồng biến trên (-3

2;4) (3) ⇔ f( )x = f( )y ⇔ x= y

Suy ra: 2x+ 3 + 4 −x = 4 ( PT vô tỉ dạng cơ bản)

Giải PT được 2 nghiệm : x=3, x=

9

11 (thỏa điều kiện)

Vậy hệ có 2 nghiệm (3; 3), 











9

11

; 9 11

Thí dụ 6: Giải hệ PT:

sin x sin y 3x- 3y (1) x+y = (2)

5 x,y > 0 (3)











Hướng dẫn cách giải:

Từ phương trình (1) gợi cho ta sử dụng phương pháp hàm số

Từ (2) và (3) ta có 0 < x, y <

5

π

(vì hàm số f(t)=sint -3t là hàm liên tục và nghịch biến trên (0;

5

π )

Thay x =y vào (2) ta được nghiệm của hệ là: x = y =

10

π

Thí dụ 7:Giải hệ

3 2

x 3x -3+ln(x x 1) y

y 3y-3+ln(y y 1) z

z 3z-3+ln(z z 1) x





Hướng dẫn cách giải: Xét hàm số f(t) = t3 + 3t – 3 + ln(t2 – t + 1) trên R

Khi đó hệ có dạng :

=







21

41 ) 21

2 ( 4

21 ) 2 ( 3 1

1 )

( ' 1

1 2 3 3 )

(

2 2







+

−

=

⇔ +

−

− + +

t t t f t

t

t t

t

f

nên f(t) là hàm đồng biến Ta giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ và x = Max{x,y,z} khi

đó, ta suy ra y = f(x) ≥ f(y) = z => z = f(y) ≥ f(z) = x

Hay x ≥ y ≥ z ≥ x suy ra x = y = z, thay vào hệ ta được phương trình:

x3 + 3x – 3 + ln(x2 – x + 1) = x Ta dễ dàng chứng minh được phương trình này có nghiệm duy nhất x=1

Vậy x = y = z =1 là nghiệm của hệ đã cho

III.2.3 Các bài toán giải bất phương trình:

Bài toán: Giải BPT: “g(x)> h(x)”

- Biến đổi BĐT về dạng: g(x) – h(x) >0 (1)

- Đặt f(x) = g(x) – h(x)

Từ đó để giải BPT(1) ta CM :

f là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến)

f(a) = 0

(1)⇔f(x) > f(a) ⇔x >a ( hoặc f(x) > f(a) ⇔x <a)

Thí dụ 8: Giải bất phương trình: log (3 5 + x) log > 4 x (1)

Hướng dẫn cách giải:

- Đặt: t = log x4 ⇒ x = 4t

5

2 5

1









 +











 t t (2)

- Thiết lập hàm

t t

t









 +













=

5

2 5

1 3 ) (

- Chứng minh f(t) là hàm nghịch biến và f(1) = 1

Bài giải: Điều kiện: x > 0

Đặt t = log x4 ⇒ x = 4t