hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán về số phức trong các kỳ thi vào đại học - cao đẳng

Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục phổ thông là đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có đổi mới phương pháp dạy học Toán ởtrường phổ thông.. Việc đổi mới ph

A ĐẶT VẤN ĐỀ.

1 Với mục tiêu “ Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có tri thức và tay nghề, có năng lực thực hành, tự chủ, năng động, sáng tạo, có đạo đức cách mang, tinh thần yêu nước, yêu CNXH” (Trích văn

kiện Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ VII) những năm vừa qua giáo dục nước ta đã

và đang có những đổi mới mạnh mẽ cả về nội dung, phương pháp và đã thu đượcnhững kết quả khả quan

2 Việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm đào tạonhững con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt Đổi mới phương pháp dạy họckhông chỉ trong các bài giảng lí thuyết, mà ngay cả trong quá trình luyện tập Luyệntập ngoài việc rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng suy luận mà thông qua qua đócòn giúp học sinh biết tổng hợp, khái quát các kiến thức đã học, sắp xếp các kiếnthức một cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng các kiến thức đã học vào giải bàitập một cách năng động sáng tạo

3 Về mặt phương pháp, từ các phương pháp dạy truyền thống như phương phápdùng lời (thuyết trình, đàm thoại ), các phương pháp trực quan, các phương phápthực hành, luyện tập đến các xu hướng dạy học hiện đại như: dạy học giải quyếtvấn đề, lý thuyết tình huống, dạy học phân hóa, dạy học có sự hỗ trợ của công nghệthông tin, có sử dụng máy tính điện tử đã tạo ra một không khí học tập hoàn toànmới

4 Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục phổ thông

là đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có đổi mới phương pháp dạy học Toán ởtrường phổ thông Việc đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay nhằm phát huytính tích cực của học sinh, qua đó khai thác tính chủ động tiếp thu và khám phá trithức của các em, tạo hứng thú trong học tập

5.Trên cơ sở tinh thần đó, tôi cũng đã có những đổi mới về mặt phương pháp đểphù hợp với giáo dục trong giai đoạn hiện nay Trong quá trình giảng dạy ở trườngphổ thông, bản thân tôi cũng đã dự nhiều tiết dạy của đồng nghiệp, đã trực tiếp bồidưỡng học sinh ôn thi vào Đại hoc - Cao đẳng hay bồi dưỡng học sinh khá giỏi,

song chúng tôi nhận thấy rằng việc phát huy trí lực của học sinh còn nhiều hạn chế.Nhiều bài toán trong các kỳ thi vào Đại học, thi HSG mặc dù có thể áp dụng cáckiến thức cơ bản và thêm một chút sáng tạo là có thể giải được, thế nhưng đa số các

em gặp khó khăn Chúng tôi thấy rằng, việc dạy học theo hướng khuyến khích tưduy sáng tạo và tìm mối liên hệ linh hoạt giữa các phần kiến thúc cần được quan tâmhơn, đặc biệt là trong việc dạy học bồi dưỡng học sinh ôn thi vào Đại học trong cáctrường phổ thông là việc làm rất cần thiết hiện nay Với tinh thần đó, tôi xin giới

thiệu và trình bày một chuyên đề nhỏ là “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán về số phức trong các kỳ thi vào Đại học - Cao đẳng” trong những năm

gần đây Mặc dù đã cố gắng nhiều song không thể tránh khỏi sai sót, tôi rất mongđược sự góp ý chân thành của các thầy, cô đồng nghiệp!

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i

thoả mãn i 2 = -1 Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi

i được gọi là đơn vị ảo

a được gọi là phần thực Ký hiệu Re(z) = a

b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b

Tập hợp các số phức ký hiệu là C

*) Một số lưu ý:

- Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0.

- Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.

- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

3 Biểu diễn hình học của số phức.

Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy

Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi

4 Phép cộng và phép trừ các số phức.

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:

' ( ') ( ')' ( ') ( ')

(1): z z ; (2): z z '  z z'; (3): z z ' z z '; (4): z.z= a2 b2 (z = a + bi)

7 Môđun của số phức.

Cho số phức z = a + bi Ta ký hiệu z là môđun của số phư z, đó là số thực không

âm được xác định như sau:

- Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì z = OM

9 Cho số phức z  0 Gọi M là một điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức

z Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu là Ox, tia cuối OM được gọi là mộtacgumen của z

Như vậy nếu  là một acgumen của z, thì mọi acgumen đều có dạng:  + 2k, k  Z

10 Dạng lượng giác của số phức.

Xét số phức z = a + bi  0 (a, b  R) Gọi r là môđun của z và  là một acgumen

của z Ta có: a = rcos , b = rsin

z = r(cos +isin), trong đó r > 0, được gọi là dạng lượng giác của số phức z  0.

z = a + bi (a, b  R) gọi là dạng đại số của z.

11 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác.

Nếu z = r(cos +isin)

12 Công thức Moivre.

[z = r(cos +isin)]n = rn(cos n +isin n)

13 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác.

Cho số phức z = r(cos +isin) (r>0)

Khi đó z có hai căn bậc hai là: os isin

II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Chúng ta đã biết, Số phức có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh của khoa học,

kỹ thuật, suốt một thời gian dài chỉ được giảng dạy ở các trường Đại học, Cao đẳng

và Trung học chuyên nghiệp mà không giảng dạy ở phổ thông nên đã gây ra sự thiệtthòi cho nhiều học sinh không có điều kiện học tiếp Trước những đòi hỏi kháchquan của thời đại bùng nổ thông tin và khoa học kỹ thuật hiện đại ngày nay, Bộ GD– ĐT đã đưa phần Số phức về giảng dạy cho học sinh khối THPT (học sinh lớp 12),

và nó đã tạo ra sự hưởng ứng tích cực của đội ngũ thầy cô giáo và các em học sinh Đây không phải là nội dung khó, song là nội dung mới và có những kết quảkhác nhiều so với những gì mà các em học sinh đã biết trước đây trên tập số thực,bởi vậy phần nào cũng làm cho các em có phần bỡ ngỡ nhất định, do vậy khi dạyhọc sinh học, chúng ta cần làm rõ để học sinh thấy được sự ra đời của Số phức làmột thực tế khác quan, nó xuất hiện một cách tự nhiên, đồng thời ta cũng cho các

em thấy rõ từng phần trong kiến thức một cách cẩn thận, chắc chắn

III PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN

Dạng 1: Bài toán xác định một số phức z thỏa mãn một điều kiện cho trước.

1 Thuật toán :

Bước 1: Gọi số phức cần tìm có dạng z = a +b.i (với a, b thực)

Bước 2: Từ các điều kiện ban đầu ta lập hệ phương trình với ẩn là a, b.

Bước 3: Giải hệ phương trình để từ đó tìm a, b

2 Một số bài tập minh họa :

Bài 3: (A-2011) Tìm tất cả các số phức z, biết 2 2

(1)

z z z

Lời giải

Mức độ bài toán cũng có thể nâng cao khi yêu cầu học sinh phải xác định thêm cả

mô đun của nó Khi đó ta hướng dẫn các em tìm số phức thỏa mãn rồi từ đó xác định mô đun của nó:

Bài 4: (KD-2012) Cho số phức z thỏa mãn: (2 ) 2(1 2 ) 7 8 (1)

Vậy phần ảo của z bằng -10

Bài 8: Tìm môđun của z biết  

Bài 2 Tìm phần ảo của số phức z, biết: z = ( 2 + i) (1- 2 i) 2

Bài 3 Cho số phức z thỏa mãn: (2 3 )  i z  (4  i z )  (1 3 )  i 2

Dạng 2: Căn bậc hai và phương trình trên C.

1 Kiến thức liên quan:

Căn bậc hai của số phức:

Định nghĩa: Cho số phức   a bi

Căn bậc hai của số phức  là số phức z a 1 b i1 thỏa mãn z2 

Phương trình bậc hai trên tập số phức

2 Một số bài tập minh họa :

Bài 1: Tìm các căn bậc hai của số phức z  5 12i

Từ bài toán xác định các căn bậc hai của một số phức, ta có thể giải được các phương trình bậc hai trên C Ta hãy xét bài toán sau:

Bài 2: Giải phương trình: 2

Vậy nghiệm của phương trình là: z  2 3 ,i z  2 3i

Bài 3: Giải phương trình: z2  (3i 8)z 11 13 0i 

  n 1 vậy  có hai căn bậc hai là 2 + i và -2 - i

Do đó nghiệm của phương trình là

Từ các nghiệm của phương trình, ta có thể xác định các đại lượng liên quan, ta

có bài toán sau:

Bài 4: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình:

Bài 5: Giải phương trình: 3 2

3 2

Vậy (1) có 3 nghiệm là –i, -3, -1+i

Bài 6: Gọi z z z z1 , , , 2 3 4là bốn nghiệm của phương trình z4  z3  2z2  6z 4 0  trên tập

1 2 1 1

z z

Nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z 0

Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : ( 0

2

1 )

1 ( )

1

2 2

2 2

5 4

, z=

2

1 4

) 3 ( ) 3 1

Dạng 3: Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z.

1.Thuật toán:

Bước 1: Gọi M(x, y) là điểm xác định bởi số phức z = x + y.i thỏa mãn yêu cầu bài toán Bước 2: Từ điều kiện ban đầu, ta thiết lập một hệ thức cho x, y.

Bước 3: Từ hệ thức nhận được ta suy ra quỹ tích cần tìm.

2 Một số bài tập minh họa :

Bài 1 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn: 2 3 1(*)

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có PT 3x y  1 0 

Bài 2: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u z 2 3i

z i

 



 là một số thuần ảo

Vậy quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức là hình tròn (x 3)2 (y 3)2 16 (kể

cả những điểm nằm trên biên)

Nhận xét: Bên cạnh bài toán tìm quỹ tích điểm, chúng ta còn gặp bài toán liên quan

đến mô đun nhỏ nhất hoặc lớn nhất của số phức Ta xét bài toán sau:

Bài 4: Biết rằng số phức z thỏa mãn u (z  3 i z)(   1 3 )i là một số thực Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|

Dấu = xảy ra khi b 2  a 2 Vậy | |minz  z  2 2i

Bài 5: Cho số phức z thỏa mãn: z i   1 z 2i Tìm giá trị nhỏ nhất của z

Bài 3: Cho hai số phức z z1 , 2 thỏa mãn z1  i 5, z2  5 z2  7

Tìm giá trị nhỏ nhất của z1  z2

Dạng 4: Bài toán về dang lượng giác của số phức và ứng dụng

1 Kiến thức lien quan:

(*) Gọi là dạng lượng giác của số phức z, gọi là một acgumen của z

Nhận xét: Nếu là một acgumen của z thì k2 cũng một acgumen của z

+ Nhân và chia số phức dạng lượng giác

Cho z1 r c1 ( os +isin ); z = r ( os +isin )1 1 2 2 c 2 2 Khi đó

Từ đó S 2 1006

3 Bài luyện tập tự giải:

Bài 1: Cho z  2 2i Tìm dạng đại số của z2012

Bài 2: Viết số phức sau có dạng lượng giác: z = 2-2i

Bài 3:Tìm acgumen của z2 3 2 i KQ: acgumen của z là 2

Bài 4 Viết dạng lượng giác số z =1 3

2 2 i.Suy ra căn bậc hai số phức z:

Bài 5 Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau:

a

2 sin 2

IV KIỂM NGHIỆM VÀ ĐỐI CHỨNG

Trên cơ sở của chuyên đề này cùng với sự đồng ý của Ban giám hiệu nhà

trường, tổ chuyên môn, tôi đã tiến hành thực hiện bài giảng của mình trên hai lớp12A1 (sĩ số 44 ), 12A7(sĩ số 42) trong năm học vừa qua, qua việc thực hiện bàigiảng, tôi thu được kết quả rất khả quan, được thể hiện qua bảng số liệu sau:

Đạt điểm 9-10 Đạt điểm 7-8 Đạt điểm 5-6 Đạt điểm dưới 5Khi chưa

học Chuyên

đề

0 học sinhĐạt tỉ lệ 0%

5 học sinhĐạt tỉ lệ 5,5%

12 học sinhĐạt tỉ lệ 13,2%

64 học sinhĐạt tỉ lệ 81,3%

Khi đã học

Chuyên đề

13 học sinhĐạt tỉ lệ 14,3%

21 học sinhĐạt tỉ lệ23,1%

27 học sinhĐạt tỉ lệ 29,7%

30 học sinhĐạt tỉ lệ 32,9%

C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT

Khai thác những bài toán quen thuộc, ứng dụng những bài toán đơn giản vàoviệc giải các bài toán phức tạp hơn là cách dạy học tích cực nhằm phát huy tư duytoán học của học sinh, giúp học sinh có khả năng vận dụng linh hoạt kiến thức cơbản để giải các dạng toán nâng cao phù hợp với nhận thức của học sinh, từ đó làmcho học sinh yêu thích và hăng say học tập môn toán hơn

Bằng cách này trong thời gian qua được nhà trường phân công giảng dạy vàbồi dưỡng học sinh thi vào Đại học, Cao đẳng bước đầu đã thu được kết quả đángkhích lệ Quá trình vận dụng chuyên đề này cùng với những chuyên đề khác vớicách tư duy tương tự đã giúp tôi bồi dưỡng được một lượng học sinh khá, giỏi làmnòng cốt cho các kỳ thi học sinh giỏi đồng thời các em cũng đạt được điểm số môntoán rất cao trong kỳ thi tuyển sinh Đại học Cụ thể số lượng học sinh đạt 27 điểmtrở lên trong kỳ thi Đại học của trường TPHT Lê Lợi – Thọ Xuân ngày càng tăng,

năm học 2011-2012 được xếp trong top 5 trường có số lượng học sinh thi Đại họcđạt điểm cao trong các trường THPT toàn tỉnh Thanh Hóa.

Mặc dù tôi đã rất cố gắng hoàn thiện bài viết một cách cẩn thận nhất, song vẫnkhông tránh khỏi những sai sót, rất mong các cấp chuyên môn đóng góp ý kiến bổsung để chuyên đề ngày càng hoàn thiện và hữu ích hơn nữa Cũng rất mong được

sự góp ý của quý đồng nghiệp để chúng tôi có dịp được trau dồi và tích lũy kiếnthức nhằm hoàn thành tốt nhiệm vụ giáo dục được giao

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2013

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mìnhviết, không sao chép nội dung của ngườikhác

Lê Đức Trung

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách Giáo khoa Giải tích 12 - nâng cao Nhà xuất bản Giáo dục năm 2012

2 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đại số - Giải tích 12, Thạc sĩ Lê Hoành Phò, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2010

3 Phương pháp ôn luyện thi Đại học, cao đẳng chủ đề Số phức, Hoàng Văn Minh, Nguyễn Quốc Hùng, NXB Đại học Sư pham 2011

4 Báo toán học và tuổi trẻ từ năm 2009 đến nay

Dạng 2: Căn bậc hai và phương trình trên C 10

Dạng 3: Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z 14

Dạng 4: Bài toán về dang lượng giác của số phức và ứng dụng 16