hướng dẫn học sinh biết cách khai thác và mở rộng nhiều cách giải cho một bài toán giải hệ phương trình khá đơn giản trong sgk toán 10

Để làm tốt bài toán này đòi hỏihọc sinh phải nắm vững kiến thức giải hệ phương trình đơn giản như: hệphương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai, hệphương trìn

A.ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài :

Trong chương trình Đại Số 10, việc giải các bài hệ phương trình cụ thể là

hệ phương trình bậc hai thường không quá khó Để làm tốt bài toán này đòi hỏihọc sinh phải nắm vững kiến thức giải hệ phương trình đơn giản như: hệphương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai, hệphương trình đối xứng kiểu 1, hệ phương trình đối xứng kiểu 2, hệ đẳng cấp

Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong các đề thi Cao đẳng, Đại học nên yêu cầuhọc sinh phải làm tốt được dạng toán này là hết sức cần thiết

Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi phải đổi mới phương pháp dạy họcmôn toán theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh

Vì vậy người giáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cáchtinh giản kiến thức, thiết kế bài giảng lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứngdụng, liên hệ thực tế Các kiến thức phải dễ nhớ, dễ hiểu và phải phù hợp vớiviệc nhận thức của các em Thông qua kiến thức mà người giáo viên đã tinh lọc,qua ứng dụng, thực hành các em sẽ lĩnh hội những tri thức toán học một cách dễdàng, củng cố, khắc sâu kiến thức một cách vững chắc, tạo cho các em niềm say

mê, hứng thú trong học tập, trong việc làm Khi chúng ta đã tinh lọc kiến thứcmột cách gọn gàng, ứng dụng thực tế một cách thường xuyên, khoa học thì chắcchắn chất lượng dạy học môn toán sẽ ngày một nâng cao

Năm học 2012-2013, tôi được ban chuyên môn phân công giảng dạy mônToán tại lớp 10C1; 10C2; 10C3 Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy rằngkhả năng vận dụng, tư duy cuả học sinh con rất hạn chế, đặc biệt là việc khaithác, áp dụng linh họat các kiến thức Các em mới chỉ có thể làm được các bàitập tương tự ví dụ trong sách giáo khoa, hoặc các bài tương tự mà giáo viên đãchữa theo cách nhớ lời giải mà không tự tìm được lời giải

Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy các em chỉ biết cách giải những bàitoán thuần túy Nếu tôi đưa ra bài toán khác đi một chút thì các em lúng túngtrong quá trình tìm lời giải

Chính vì những lý do nêu trên mà tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh

nghiệm “Hướng dẫn học sinh biết cách khai thác và mở rộng nhiều cách giải cho một bài toán giải hệ phương trình khá đơn giản trong SGK toán 10”

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài.

- Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán nói chung và mônĐại Số 10 nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tíchcực, chủ động và sáng tạo của học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp họcsinh có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng hiện nay

- Góp phần gây hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, một môn họcđược coi là khô khan, hóc búa, không những chỉ giúp, giáo viên lên lớp tự tin,

nhẹ nhàng, học sinh lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học mà còngiúp các em củng cố và khắc sâu các tri thức

3 Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu :

3.1 Nhiệm vụ :

- Tìm hiểu các cách giải hệ phương trình

- Tìm hiểu về thực trạng học sinh lớp 10

3.2 Phạm vi nghiên cứu :

- Đối tượng : Hệ phương trình

- Tài liệu : Sách giáo khoa Đại Số lớp 10, sách hướng dẫn giáo viên

4 Phương pháp nghiên cứu :

Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :

1 Nghiên cứu tài liệu :

- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài

- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo

2 Nghiên cứu thực tế :

- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung bài toán trong SGK toán 10 mà tôi cần khai thác

- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học

- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông quacác tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Cơ sở lý luận

1 Vị trí của môn Toán trong nhà trường :

Môn toán cũng như những môn học khác cung cấp những tri thức khoahọc, những nhận thức về thế giới xung quanh nhằm phát triển năng lực nhậnthức, hoạt động tư duy và bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp của con người

Môn toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời giantrong chương trình học của học sinh

Môn toán có tầm quan trọng to lớn Nó là bộ môn khoa học nghiên cứu

có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên của con người

Môn toán có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện phương phápsuy nghĩ, phương pháp suy luận lôgíc, thao tác tư duy cần thiết để con ngườiphát triển toàn diện, hình thành nhân cách tốt đẹp cho con người lao động trongthời đại mới

2 Đặc điểm tâm sinh lý của học sinh THPT.

- Ở lứa tuổi THPT cơ thể của các em đang trong thời kỳ phát triển haynói cụ thể là các hệ cơ quan gần như hoàn thiện, vì thế sức dẻo dai của cơ thểrất cao nên các em rất hiếu động, thích hoạt động để chứng tỏ mình

- Học sinh THPT nghe giảng rất dễ hiểu nhưng cũng sẽ quên ngay khichúng không tập trung cao độ Vì vậy người giáo viên phải tạo ra hứng thútrong học tập và phải thường xuyên được luyện tập

- Học sinh THPT rất dễ xúc động và thích tiếp xúc với một sự vật, hiệntượng xung quanh nhất là những việc mà các em có thể trực tiếp thực hiện

- Hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình tìm tòi, sáng tạo nêntrong dạy học giáo viên phải chắc lọc từng đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâucho học sinh

3 Nhu cầu về đổi mới phương pháp dạy học :

Học sinh THPT có trí thông minh khá nhạy bén sắc sảo, có óc tưởngtượng phong phú Đó là tiền đề tốt cho việc phát triển tư duy toán học nhưng rất

dễ bị phân tán, rối trí nếu bị áp đặt, căng thẳng, quá tải Chính vì thế nội dungchương trình, phương pháp giảng dạy, hình thức chuyển tải, nghệ thuật truyềnđạt của người giáo viên phải phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi là điều không thểxem nhẹ Đặc biệt đối với học sinh lớp 10, lớp mà các em vừa mới vượt quanhững mới mẻ ban đầu để trở thành người lớn, chuyển từ hoạt động vui chơi làchủ đạo sang hoạt động học tập là chủ đạo Lên đến lớp 10 thì yêu cầu đó đặt ra

là thường xuyên đối với các em ở tất cả các môn học Do vậy giờ học sẽ trở nênnặng nề, không duy trì được khả năng chú ý của các em nếu người giáo viên chỉcho các em nghe và làm theo những gì đã có trong sách giáo khoa

Muốn giờ học có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên phải đổi mới

phương pháp dạy học tức là kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm” hướng

tập trung vào học sinh, trên cơ sở hoạt động của các em Kiểu dạy này người

giáo viên phải thật sự là một người “đạo diễn” đầy nghệ thuật, đó là người địnhhướng, tổ chức ra những tình huống học tập nó kích thích óc tò mò và tư duyđộc lập, phải biết thiết kế bài giảng sao cho hợp lý, gọn nhẹ Muốn các em họcđược thì trước hết giáo viên phải nắm chắc nội dung của mỗi bài và lựa chọn, vậndụng các phương pháp sao cho phù hợp.

Hiển nhiên, một người giáo viên muốn dạy giỏi phải trải qua quá trình tựrèn luyện, phấn đấu không ngừng mới có được Tuy nhiên, việc đúc kết kinhnghiệm của bản thân mỗi người qua từng tiết dạy, những ngày tháng miệt màicũng không kém quan trọng, nó vừa giúp cho mình càng có kinh nghiệm vữngvàng hơn, vừa giúp cho những thế hệ giáo viên sau này có cơ sở để học tập, họctập nâng cao tay nghề, góp phần vào sự nghiệp giáo dục của nước nhà

II Cơ sở thực tiển:

Bên cạnh những học sinh hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mìnhtìm tòi, khám phá, sáng tạo thì lại có một bộ phận không nhỏ học sinh lại họcyếu, lười suy nghĩ nên đòi hỏi người giáo viên phải tâm huyết, có năng lực thật

sự, đa dạng trong phương pháp, biết tổ chức, thiết kế và trân trọng qua từng tiếtdạy

Theo chúng tôi, khi dạy đối tượng học sinh đại trà như hiện nay, ngườigiáo viên phải thật cô đọng lý thuyết, sắp xếp lại bố cục bài dạy, định hướngphương pháp, tăng cường các ví dụ và bài tập từ đơn giản đến nâng cao theodạng chuyên đề và phù hợp với từng đối tượng học sinh

PHẦN I: NHẮC LẠI KIẾN THỨC CƠ BẢN CÓ LIÊN QUAN

I.2 Cách giải Ngoài các phương pháp giải đã học ở lớp 9 ta có thêm phương

- Nếu D 0 và D2x D2y 0 thì hệ vô nghiệm

- Nếu D D x Dy 0 thì hệ  ax by c  (vô số nghiệm)

II Hệ phương trình đối xứng loại I

II.1 Định nghĩa Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ pt có dạng ( ; ) 0

f x y f y x g x y g y x x y R

II.2 Cách giải phổ biến

- Bước 1 Biểu diễn từng pt theo tổng x y và tích xy

- Bước 3 Giải hệ mới theo S và P

- Bước 4 x và y là hai nghiệm của pt X2  SX P0

III Hệ phương trình đối xứng loại II

III.1 Định nghĩa Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ phương trình có dạng

III.2 Cách giải.

- Bước 1 Trừ vế hai pt ta được ( ; )f x y  f y x( ; ) 0 (*)

- Bước 2 Đưa phương trình (*) về dạng tích (x y g x y ) ( ; ) 0

- Bước 3 Xét hai trường hợp.

TH 1 x = y thế vào một trong hai phương trình của hệ và giải tiếp

TH 2 g x y ( ; ) 0 kết hợp với ( ; )f x y  f y x( ; ) 0 ta được hệ đối xứng loại I

* Chú ý Nếu g x y ( ; ) 0 phức tạp ta sẽ tìm cách chứng minh nó vô nghiệm.

IV Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai

IV.1 Định nghĩa Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai là hệ có dạng

- Bước 2 Trừ vế hai phương trình ta được Ax2 Bxy Cy 2 0 (*)

- Bước 3 Giải phương trình (*) ta sẽ biểu diễn được x theo y

- Bước 4 Thế vào một trong hai phương trình của hệ và giải tiếp

* Chú ý

- Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn

- Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng cách đặt y tx x , 0 hoặc đặt x ty y , 0

- Ta cũng có thể cân bằng số hạng chứa x2 (hoặc chứa y ) rồi trừ vế và 2dùng phép thế

PHẦN II: BÀI TOÁNI.Bài toán:

Vây hệ có nghiệm duy nhất : 3

1

x y

GV:còn cách giải nào khác để giải hệ trên không?

GV:Yêu cầu học sinh nhận xét về các số hạng tương ứng ở hai phương trình(1)

nhưng khi đó : x 3y 6 nên hệ VN

GV:Từ PT(*) ở cách 1và(**) ở cách 2 ta thấy chúng đều có nghiệm kép hay hai

PT đó đều là “danh giới của sự vô ngiệm”.

Vì vây ta phán đoán thêm một cách giải nữa của hệ, đó là phương pháp đánh giá.

Vấn đề bây giờ là phải đánh giá như thế nào ?

Ta để ý : Hạng tử thứ nhất của PT thứ nhất là x2

Hạng tử thứ nhất của PT thứ hai là x

Hạng tử thứ hai của PT thứ nhất là 2 2

9y  (3 )y

Hạng tử thứ hai của PT thứ hai là 3y

Ta nghĩ ngay đến bất đẳng thức liên hệ giữa các số a,b và a2, b2

(bất đẳng thức này chính là bất đẳng thức bunhiacôxki cho 4 số)

   , thay vào (2) ta được : y=1 ; x=3

GV: Vẫn với phân tích để tìm ra cách 3 , ta còn thấy một phép toán hình học

có liên quan đến mối liên hệ giữa 2 cặp số (a,b) và a2,b2 .Đó là :

1 Từ đó gợi cho ta cách giải 4.

Cách 4:

Đặt u x y v,3 ;   1,1

2 2

  uv uv

GV:lưu ý cho hoc sinh: ở bên trái là trị tuyệt đối của một số

ở bên phải là độ lớn của một véc tơ.

Vì vậy mà gợi cho ta nghĩ đến việc đặt vấn đề ngược lại, tìm cách chứng minh bất đẳng thức bunhia bằng cách sử dụng tích vô hướng của hai véc tơ

Nếu bắt trước cách làm 4 của bài toán trên ta có cách chứng minh như sau:

Xét u  a,b ;v  c,d





2 2 2

a hay b b d a d

b d k c

b k a v

v k u

GV:Cũng với việc phân tích để dẫn đến cách 3 gợi cho ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức quen thuộc khác:

6 18

( )

x x

y y

thay vào phương trình (2) ta được : sin   cos   2

GV: Ta đã có bài tập: Với 0o    180o thì sin   cos   2 cos   45o

(Bài tập này có thể ra cho hoc sinh làm ở phần tích vô hướng của hai véc tơ).

45 0

45 1

Ta đã biết BĐT Bunhiacoxki có một cách chứng minh dựa vào viêc xét phương trình bậc hai rất đặc biệt

Ta thử bắt trước cách đó để giải phương trình (1)

Cách 8:

Đường thẳng x+t=6 cắt Ox tại điểm A và Ot tại điểm B , khi đó ∆OAB là tamgiác vuông cân, suy ra khoảng cách từ O đến đường thẳng có phương trình : x+t =6 là độ dài đường cao OH = 26 2 6 3 2

2

1  1   và bằng bán kính củađường tròn có phương trình 2 2

18

x t  , vậy đường thẳng tiếp xúc với đườngtròn tại điểm H, hay nghiệm của hệ

2 2 18 6

2

A B H

A B H

GV: Từ đó ta sẽ có cách giải tiếp theo.

thế vào hệ (1.2) thấy thoả mãn, vậy hệ có nghiệm duy nhất x=3 ,y=1

II.Mở rộng và khai thác sẽ cho ta những bài toán mới.

GV: Nếu ta tham số hoá hệ phương trình ta sẽ có những bài toán mới

Chẳng hạn: ta thay 18 bởi m ( tham số)

và ta có thể đưa ra một số bài toán.

Bài toán 1: Tìm m để hệ (6.7) có nghiệm

Bài làm:

Cách 1:

Dựa vào cách 1 của bài toán ban đầu ta có cách sau:

Rút từ phương trình (7) : x= 6 – 3y (6’) thế vào phương trình (6) ta được :

(6 – 3y)2 + 9y2 = m  18y2- 36y+ 36- m = 0

GV: ta nên chia hai vế cho 18 để được phương trình với hệ số gọn hơn:

Với việc phân tích bài toán 1 ta thấy để hệ có nghiệm duy nhất cần và đủ là ’=0  m 18

GV:để rèn luyện thói quen kiểm tra kết quả sau khi giải toán và khả năng tư duy cho hoc sinh, ở đây giáo viên có thể đặt câu hỏi cho học sinh như :

GV:Ta thấy đáp số là đáng tin cậy Vì sao?

TL: vì m= 18 ta trở lại bài toán gải hệ phương trình ban đầu

GV: còn nếu học sinh làm ra đáp số không phải là 18 GV khẳng định ngay kết quả là sai mặc dù chưa cần kiểm tra các bước tính toán

GV:yêu cầu học sinh phân tích cách 2 và cách 8 của bài toán ban đầu để tìm cách 2 và 3 của bài này (về nhà làm)

GV: với phép đặt :3y = t ta đã đưa hệ về dạng hệ đối xứng

3

o

o

m x

m x

Bài toán tương tự:( yêu cầu học sinh về nhà làm)

1.Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất :

x

a y x y x a

3

4 ) (

2 2

2 2

2.Tìm a để các hệ sau có nghiệm duy nhất :

2005

2 2

2

2006

2006

a a xy y

x

a y x y

82 23 23

2 2 ) (

.

a a y

x xy

a y x y x

Bài toán 3: Tìm m đê hệ (6.7) có hai nghiệm (x 1 , y 1 ) và (x 2 , y 2 ) sao cho

Nếu sử dụng cách 2 trong bài toán ban đầu thì: đặt 3y = t đưa về hệ

Bài toán 4: Tìm m để hệ (6.7) có hai nghiệm (x 1 ,y 1 ) và (x 2 ,y 2 ) sao cho

2 2

0  y y,

Vẫn sử dụng được cả 3 cách ở bài toán 3 Đáp số: 18 m 36

GV: Ta lại thay đổi yêu cầu bài toán từ ràng buộc của y thay bằng ràng buộc của x tức là:

Bài toán 5 : Tìm m để hệ phương trình (6.7) có 2 nghiệm (x 1 ,y 1 ) và (x 2 ,y 2 ) sao cho : 0 < x 1 , x 2

GV : Đây là vấn đề đặt lên cho học sinh vướng mắc.

Vấn đề ở đây là ta đưa về phương trình ẩn y trong đó yêu cầu là ràng buộc của x.

Vì vậy ta có hai hướng giải quyết :

- Chuyển ràng buộc của x thành ràng buộc của y.

- Chuyển thành phương trình của x.

Ta thấy cách 2 khả thi hơn.

Vậy yêu cầu bài toán  phương trình (8) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn điềukiện:

Tiếp tục ta mở rộng cho sự ràng buộc của x và y.

Bài toán 6 : Tìm m để hệ phương trình (6.7) có 2 nghiệm (x 1 ,y 1 )và( x 2 ,y 2 ) thoả mãn điều kiện: 





 0 ,

0 ,

2 1 2 1

y y x x

GV : Ta phân tích bài toán 6 như sau :

Bài toán trên tương đương với bài toán: tìm m để hệ phương trình có 2 nghiệm (x 1 ,y 1 ) và (x 2 ,y 2 ) thoả mãn điều kiện x 1 ,x 2 > 0 và y 1 ,y 2 > 0.

Vậy những giá trị của m thoả mãn cả hai bài toán 4 và 5 thì thoả mãn bài toán

6, đồng thời thoả mãn bài toán 6 thì thoả mãn cả hai bài toán 4 và 5.

Vậy giá trị cần tìm của m là giao hai tập giá trị của m ở hai bài toán 4 và 5 Tức là : 18;3618;36 18;36

GV: Từ bài tập 6 với nhận xét: y = 6-3x nếu x> 0  y< 2 ta tiếp tục đưa ra bài toán sau:

Bài toán 7: Tìm m để hệ phương trình (6.7) có 2 nghiệm (x 1 ,y 1 ) và (x 2 ,y 2 ) thoã mãn điều kiện : 0 < y 1 ,y 2 <2.

(GV: Ta lưu ý khi học bài: Hệ phương trình bậc 2 thì chưa học định lý so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 Vì vậy học sinh chưa thể áp dụng định lý này vào để giải bài toán).

Để ý vào phương trình (7) của hệ : x+ 3y = 6  x= 6- 3y, ta thấy y<2  x>0Vậy bài toán 7 đưa về bài toán sau: Tìm m để hệ phương trình có 2 nghiệm(x1,y1) và (x2,y2) thoả mãn điều kiện sau:

2 1

, 0

, 0

y y

x x

Đây chính là bài toán 6 vậy ta suy ra kết quả m 18,36)

GV: Ta lại phân tích bài toán 7

Ta thấy bài toán 7 tương đương với bài toán : Tìm m để phương trình bậc 2 :

Ta thử phân tích xem mấu chốt ở đâu mà ta đã chuyển sang được bài toán (*)

Để từ đó tổng quát hoá bài toán thành bài toán so sánh nghiệm với một số bất

kì (chứ không chỉ là với số 0 nữa )

Xem xét bài toán 8: Thấy từ ràng buộc của x với 0 ta chuyển sang ràng buộc của y, được điều kiện (*) và phép chuyển chính là phương trình (7).

Vì vậy nếu xem phương trình (7) là một phép đặt ( đổi biến ) thì ta sẽ có cách giải quyết bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kì thể hiện ở các bài toán sau:

Bài toán 8: Cho f(x) =ax 2 + bx +c (I)

Tìm điều kiện để phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x 1 ,x 2 thoã mãn điều kiện : x 1 < <x 2

Đặt y= x-  , Khi đó : x1 < <x2 khi và chỉ khi : y1 < 0 < y2 và khi thay y= x- 

ta được:

g(y) = a(y+)2 + b(y+) + c

= ay2 + (b+2a) y+a2 +b +c

Vậy bài toán 9 tương đương với bài toán sau:

Tìm điều kiện để phương trình g(y) = 0 có 2 nghiệm y1 < 0 < y2

 a(a2 +b +c) <0  a.f() <0