phát triển tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 11 – thpt thông qua việc giải một số bài toán định lượng trong hình học không gian bằng phương pháp véc tơ

góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau,…mà tác giả gọi là “Các bài toán định lượng trong hình học không gian”.Sau nhiều năm giảng dạy ở các lớp mũi nhọn ôn thi HSG, ôn thi ĐH-

góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau,…mà tác giả gọi là “Các bài toán định lượng trong hình học không gian”.

Sau nhiều năm giảng dạy ở các lớp mũi nhọn ôn thi HSG, ôn thi ĐH-CĐ,tôi nhận thấy để có được kết quả tốt trong giảng dạy nội dung HHKG ở trường

THPT thì phải tạo ra tâm lý “thích học hình không gian” của học sinh, nhất là học sinh lớp 11; phải tìm cách tiếp cận HHKG đơn giản, dễ hiễu và có “thuật giải” rõ ràng để có thể áp dụng cho nhiều bài tập, tránh trường hợp mỗi bài vận

dụng mỗi cách khác nhau gây tâm lý hoang mang cho học sinh khi mới tiếp cậnHHKG; phương pháp giải phải gần gũi với các nội dung đại số, phương trình,

hệ phương trình – là các nội dung được học rất nhiều trong chương trình THPT

và có thể nói là nội dung “sở trường”, là điểm mạnh của đại đa số học sinh

Phương pháp véc tơ đáp ứng được các yêu cầu nói trên Tuy nhiên trongchương trình SGK Hình học lớp 11 NC, phương pháp véc tơ chỉ được đề cập ởhai bài đầu tiên của Chương III với thời lượng 4 tiết là quá ít so với nội dung đồ

sộ của phần HHKG Chính vì vậy Phương pháp véc tơ đôi khi bị xem nhẹ, trang

bị không đầy đủ, thiếu tính hệ thống làm cho học sinh không biết vận dụng vàogiải quyết các bài toán hình học

Vì những lí do trên, tôi đã chọn đề tài SKKN mang tên “Phát triển tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 11 – THPT thông qua việc giải một số bài toán định lượng trong hình học không gian bằng phương pháp

véc tơ ” với mục đích trang bị cho học sinh các kiến thức và kỹ năng vận dụng

phương pháp véc tơ vào giải toán HHKG, hình thành cho học sinh phương pháp

tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo, tạo tâm lý hứng thú khi học HHKG, góp phầnnâng cao chất lượng dạy và học HHKG ở trường THPT nói chung cũng nhưTrường THPT Triệu Sơn 3 nói riêng Đồng thời tác giả cũng mong muốn đượctrao đổi ý tưởng và cách làm tới các đồng nghiệp trong và ngoài đơn vị và hy

Thứ nhất: Phương pháp véc tơ đã được đề cập trong Chương III- SGK Hình

học lớp 11 NC với thời lượng là 4 tiết, tuy nhiên chỉ tập trung chủ yếu vào việcchứng minh các đẳng thức véc tơ và biễu diễn tuyến tính một véc tơ theo các véc

tơ không đồng phẳng Rất ít nội dung vận dụng phương pháp véc tơ vào “Các bài toán định lượng trong hình học không gian”.

Thứ hai: Rất nhiều bài toán về HHKG lớp 11 khi giải bằng phương pháp

hình học tổng hợp thì tương đối phức tạp và gây nhiều khó khăn cho học sinh,tuy nhiên khi vận dụng phương pháp véc tơ thì có lời giải rất gọn, đẹp, có tínhđại số và thuật giải, gây nhiều hứng thú cho học sinh

2 Mục tiêu của đề tài:

Trên cơ sở lý luận như trên, tôi nêu ra một số mục tiêu cần phải đạt như sau:

a) Đối với tác giả của đề tài

Thứ nhất: Xây dựng được hệ thống các thuật giải tổng quát cho các bài

toán cơ bản về định lượng trong HHKG lớp 11, cụ thể là các bài toán về sử dụngđiều kiện cùng phương của hai véc tơ, điều kiện đồng phẳng của ba véc tơ; tínhgóc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Thứ hai: Xây dựng được hệ thống các bài tập minh họa cùng lời giải phù

hợp và thể hiện tính điển hình, tối ưu của phương pháp véc tơ so với các phươngpháp khác Các bài tập nêu ra phải đảm bảo yêu cầu bám sát nội dung thi HSG

và thi ĐH-CĐ

Thứ ba: Xây dựng được hệ thống bài tập tương tự có chỉ dẫn hoặc đáp số

làm tư liệu phục vụ cho quá trình dạy và học HHKG Các bài tập nêu ra cũngphải đảm bảo yêu cầu bám sát nội dung thi HSG và thi ĐH-CĐ

b) Đối với học sinh khi được triển khai áp dụng:

Thứ nhất: Được trang bị đầy đủ, có tính hệ thống về phương pháp véc tơ và

thuật giải một số dạng toán cơ bản trong HHKG lớp 11

Thứ hai: Biết vận dụng thành thạo và có sáng tạo phương pháp véc tơ trong

quá trình học tập môn HHKG, có tâm lý tự tin và hứng thú khi giải các bài tập

về HHKG

Thứ ba: Hình thành và phát triển tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo.

3 Đối tượng nghiên cứu của đề tài:

Để có cơ sở đánh giá về hiệu quả của việc áp dụng đề tài vào thực tế dạyhọc, tôi chọn 2 lớp theo ban KHTN của Trường THPT Triệu Sơn 3 năm học2012-2013, cụ thể: lớp đối chứng: 11G2, lớp thực nghiệm:11G7

Các lớp được chọn tham gia nghiên cứu cho đề tài có nhiều điểm tươngđồng nhau về tỉ lệ giới tính, kết quả và ý thức học tập của học sinh, đặc biệt lànăng lực học tập và kết quả điểm kiểm tra môn Toán trước khi tác động

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

Thực trạng dạy và học HHKG ở trường THPT nói chung và trường THPTTriệu Sơn 3 nói riêng thể hiện ở một số điểm sau:

Thứ nhất: Đối với giáo viên, việc dạy HHKG thường mất nhiều thời gian

và công sức, đồng thời nội dung HHKG trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thiđại học, đề thi HSG thường là những nội dung khó, có tính chất phân loại cao và

chỉ chiếm tỉ lệ từ 10%-15% số điểm của toàn bài thi, do đó có tâm lý “xem nhẹ”

nội dung này trong quá trình dạy học, ôn tập

Thứ hai: Đối với học sinh, để học tốt môn HHKG thì cần phải nắm vững

kiến thức về hình học phẳng ở chương trình THCS, đồng thời phải có tư duytrừu tượng, khả năng đoán nhận tốt Thực tế điều này lại là điểm yếu của không

ít học sinh THPT nói chung và học sinh THPT Triệu Sơn 3 nói riêng, kể cả học

sinh khá giỏi, do đó dẫn đến tâm lý “sợ” học HHKG, “ngại” học HHKG.

Thứ ba: Các tài liệu trình bày về phương pháp véc tơ còn hạn chế, chưa có

tính hệ thống, chuyên sâu và hệ thống bài tập chưa đa dạng gây nhiều khó khăncho người dạy và người học

III GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

Tư tưởng chủ đạo để xác định các giải pháp là vận dụng quan điểm triết họctrong câu nói của Chủ tịch Hồ Chí Minh : “Dĩ bất biến, ứng vạn biến”

1 Giải pháp thứ nhất: Xây dựng các thuật giải – các đối tượng “bất biến”:

Thực chất là các quy trình, các bước thực hiện cố định để tìm ra đáp số của một

dựng thuật giải giúp cho học sinh phát triển tư duy thuật giải – một loại hình tưduy rất quan trọng không chỉ trong toán học mà cả trong nhiều lĩnh vực khoahọc khác Tạo tâm lý hứng thú, tự tin cho học sinh khi học môn HHKG.

2 Giải pháp thứ hai: Xây dựng các bài tập minh họa thuật giải – các đối tượng

“vạn biến”: Chính là lớp các bài toán cụ thể với giả thiết luôn thay đổi theo từngđặc trưng của mỗi bài Việc áp dụng các thuật giải – tức là cái “bất biến” vào đểgiải một lớp các bài toán với các giả thiết khác nhau – tức là cái “vạn biến” giúpcho học sinh hình thành tư duy sáng tạo, linh hoạt trong từng tình huống cụ thể;tập luyện cho học sinh khả năng ứng biến và vận dụng khéo léo các tính chất,các định lí cơ bản của véc tơ trong không gian vào để giải quyết các bài toánhình học

IV BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN

1 Thuật giải trong các bài toán liên quan đến điều kiện cùng phương của hai véc tơ, điều kiện đồng phẳng của ba véc tơ.

a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát như sau:

Bước 1: Chọn một hệ ba véc tơ a, b, c không đồng phẳng

Bước 2: Biểu diễn các véc tơ theo a, b, c

Bước 3: Sử dụng điều kiện cùng phương của hai véc tơ, điều kiện đồng phẳng

của ba véc tơ để lập một hệ phương trình đại số

b) Một số định lí cơ bản của véc tơ trong không gian:

Định lí 1.1 Cho hai véc tơ a và b(a 0) Khi đó hai véc tơ a và b cùngphương khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho b k.a 

Định lí 1.2 Trong không gian, cho a và b là hai véc tơ không cùng phương vàvéc tơ c Khi đó ba véc tơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại các số thực

m, n sao cho c ma nb   Hơn nữa các số m, n là duy nhất

Định lí 1.3 Trong không gian, cho ba véc tơ a, b, c không đồng phẳng Khi đóvới véc tơ d tùy ý, tồn tại các số thực m, n, p sao cho d ma nb pc    Hơnnữa các số m, n, p là duy nhất

c) Bài tập minh họa:

Bài 1.1 Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 Gọi M và N là các điểm lần lượt thuộc

các đường thẳng AB1 và A1C1 sao cho MN//BD1 Tính tỉ số

Bài 1.2 Cho hình tứ diện ABCD Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các

cạnh BC, BD, AC sao cho BC 4BM,BD 2BN,AC 3AP   Mặt phẳng (MNP)

+) Chọn hệ véc tơ a AB,b AC,c AD                               

Bài 1.3 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Gọi M, N lần lượt là trung

điểm của BD và AC Trên đường thẳng AB lấy điểm P, trên đường thẳng DNlấy điểm Q sao cho PQ//CM Tính độ dài PQ

Lời giải Bài 1.3.

c 

b 

a 

QP

NM

D

CB

A

+) Chọn hệ véc tơ a AB,b AC,c AD  

    Khi đó: a b c 1  và

xx

32

CA biết đường thẳng MK song song với mp (PDC1).

b) Gọi E và F lần lượt là các điểm thỏa mãn AE mAP  , CF nCI

PN

MD

BC

A

tại các số x, y sao cho:

2 2

d) Nhận xét: 1.1 Điểm mấu chốt của cả 4 bài toán trên là sử dụng định lí về sự

biểu diễn tuyến tính duy nhất của một véc tơ tùy ý trong không gian theo ba véc

tơ không đồng phẳng (Định lí 1.3), từ đó dẫn đến việc giải một hệ phương trình

3 ẩn Việc làm này được lặp lại ở 4 bài với giả thiết và yêu cầu khác nhau đã thểhiện rõ tính thuật giải, tính ưu điểm lớn của phương pháp véc tơ

1.2 Việc chọn hệ ba véc tơ không đồng phẳng (hệ cơ sở) một cách khéo léo để

có thể biễu diễn các véc tơ khác theo chúng một cách thuận lợi nhất đã thể hiệnđược tính sáng tạo trong quá trình vận dụng phương pháp véc tơ vào giải toánhình học

2 Thuật giải trong các bài toán tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 Giả sử d1 có véc tơ chỉ phương u1, điqua A; d2 có véc tơ chỉ phương u2, đi qua B

a) Thuật giải:

Bước 1: Chọn một hệ ba véc tơ a, b, c không đồng phẳng Cần chọn a, b, ckhéo léo để có thể tính các giá trị a , b , c  

, a.b , b.c , c.a 

Bước 2: Biểu diễn các véc tơ u1 và u2 theo a, b, c

* Để tính góc giữa d 1 và d 2 ta tiếp tục thực hiện theo hai bước sau:

Bước 3: Tính các giá trị u , u ,u u1 2  1 2

Bước 4: Sử dụng công thức tính góc:  1 2  1 2 1 2

1 2

u ucos d ,d cos u ,u

* Để tính khoảng giữa d 1 và d 2 ta thực hiện theo hai bước sau:

Bước 5: Gọi EF là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 (E d ,F d 1  2) Giả sử

AE x.u ,BF y.u 

Biểu diễn véc tơ EF

theo a, b, c (phụ thuộc vào x, y)

Bước 6: Giải hệ phương trình đại số 1

2

EF.u 0EF.u 0

b) Bài tập minh họa:

Bài 2.1 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi tâm O, có độ dài các đường

chéo AC 4a,BD 2a  , SO 2 2a và SO (ABCD) Gọi M là trung điểmcủa cạnh SC Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM

Lời giải Bài 2.1.

và a.b b.c c.a 0     +) Ta có SA 1a c

M

+) Tính khoảng cách d SA,BM : Gọi EF là đoạn vuông góc chung của SA và 

BM (E SA,F BM  ) Giả sử EA x.SA, 

Lời giải Bài 2.2.

+) Tính cos A F,DE :  1 

2 2

cạnh AB và CD sao cho AM 2MB, DN 2NC.  Tính côsin của góc giữa haiđường thẳng MN và AC và khoảng cách giữa chúng

Lời giải Bài 2.3.

   

2a 2b 1c

   +) Tính cos MN,AC : 

Lời giải Bài 2.4.

2

aa.b b.c c.a



a F

E

còn yếu tố trực giao Tuy nhiên khi trình bày lời giải theo phương pháp véc tơthì chúng ta thấy rõ “thuật giải” không có gì thay đổi so với hai bài trước đó Rõràng việc sử dụng phương pháp véc tơ để giải Bài 2.3 và Bài 2.4 là sự lựa chọntối ưu và sáng tạo nhất Trong dạy học, giáo viên có thể thay đổi giả thiết về số

đo góc tam diện đỉnh A và độ dài các cạnh của hình hộp, chẳng hạn đối với Bài2.4 ta có thể điều chỉnh giả thiết : BAD 60 0, 0 0

DAA 90 ,A AB 120 ,

2.2 Có thể kết luận: với thuật giải như trên thì có thể tính được góc và khoảngcách giữa hai đường thẳng chéo nhau tùy ý trong không gian (với điều kiện là cóthể chọn được một hệ véc tơ cơ sở a, b, c và có thể tính được các giá trị

a , b , c

  

, a.b , b.c , c.a ) Đây chính là một điểm mạnh nữa của phương pháp véc

tơ so với các phương pháp khác

3 Các bài tập tương tự

Bài 3.1 Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 Gọi I và J là các điểm lần lượt thuộc

các đường thẳng B1D và AC sao cho IJ//BC1 Tính tỉ số

Bài 3.2 Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cạnh bằng 1 Trên đường thẳng

BC1 lấy điểm M sao cho các véc tơ D M, DA , AB   1 1 1

Bài 3.3 Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cạnh bằng 1 Trên các cạnh BC

và DD1 lấy các điểm M và N sao cho BM DN x 0 x 1       Chứng minh rằng

MN vuông góc với AC1 Tìm x để độ dài MN ngắn nhất (Đáp số: x 1

2

 và

MNmin= 6

2 )

(ABC) và SC 2a  Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AB Tính góc và

Bài 3.5 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, cạnh

bên SA vuông góc với đáy và SA a 3,AB a,BC 2a   Biết góc giữa SD vàmặt phẳng (ABCD) bằng 300 Gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng cách

giữa SM và CD ( Đáp số: 30a

10 )

lượt là trung điểm của AB, BC Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng

SM và DN (Hướng dẫn:Kẻ đường cao SH của SAB thì SH(ABCD) và

Bài 3.7 Cho hình hộp đứng ABCDA1B1C1D1 có đáy là hình thoi cạnh bằng a,

góc BAD với cos 3

1 Phương pháp kiểm nghiệm:

Để đánh giá hiệu quả của đề tài, tôi tiến hành kiểm nghiệm theo các bướcsau:

Bước 1: Đánh giá và so sánh năng lực học tập của lớp đối chứng và lớp thực

nghiệm trước khi tác động

Bước 2: Thực hiện việc tác động đối với lớp đối chứng và lớp thực nghiệm Cụ

thể như sau:

* Với lớp đối chứng 11G2: Trong thời gian từ 01/3/2013 đến 15/4/2013, tổ chứcdạy 3 buổi (bằng 9 tiết) về các nội dung: tính tỉ số đoạn thẳng, độ dài đoạnthẳng, tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong khônggian theo phương pháp hình học tổng hợp Trong 3 buổi trên có 2 buổi dạy lýthuyết và ví dụ minh họa, 1 tiết thảo luận các bài tập (mỗi dạng 2 bài tập)

* Với lớp thực nghiệm 11G7: Cũng trong thời gian từ 01/3/2013 đến 15/4/2013tôi tiến hành dạy 2 buổi lý thuyết và các ví dụ minh họa bằng phương pháp véc

tơ, 1 buổi thảo luận bài tập với các nội dung: tính tỉ số đoạn thẳng, độ dài đoạnthẳng, tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong khônggian Các ví dụ minh họa là các bài có lời giải chi tiết nêu trong Phần III củaSKKN, còn bài tập thảo luận cũng là các bài tập được nêu trong SKKN

Bước 3: Đánh giá và so sánh kết quả giữa lớp đối chứng và lớp thực nghiệm sau

khi tác động

2 Kết quả kiểm nghiệm:

a) Trước tác động: Tôi lấy kết quả điểm kiểm tra viết môn Toán (90 phút) do tổ

chuyên môn ra đề dùng khảo sát chất lượng học kì I, được tổ chức kiểm tra tậptrung cho toàn khối, tổ chuyên môn chấm bài theo đáp án đã xây dựng:

Bảng 1: Bảng thống kê kết quả bài kiểm tra trước khi tác động

Bảng 2: Bảng so sánh kết quả bài kiểm tra trước khi tác động

Như thông tin trong các Bảng 1 và Bảng 2 đã chứng minh rằng, sự chênhlệch điểm trung bình của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng trước tác động làkhông đáng kể, hai lớp được coi là tương đương và không cần thực hiện phépkiểm chứng T-Test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung bình củacác nhóm trước khi tác động

và lớp thực nghiệm được kiểm tra vào cùng một thời gian, cùng một đề Để đảmbảo tính khách quan, việc coi và chấm bài kiểm tra hoàn toàn do giáo viên trong

tổ chuyên môn thực hiện

Bảng 3: Bảng thống kê kết quả bài kiểm tra sau khi tác động

Bảng 4: Bảng so sánh kết quả bài kiểm tra sau khi tác động

Theo bảng tiêu chí Cohen về tính chênh lệch giá trị trung bình chuẩn(SMD):

Trung bìnhthực nghiệm - Trung bình đối chứng

SMD =

Độ lệch chuẩn