áp dụng phương pháp tương đương trong việc tìm chu kì dao điều hòa của vật hoặc hệ vậtn

Phương pháp dùng một nhân tố nào đó thay thế lẫn nhau được gọi là phương pháp tương đương... Ta sẽ chứng minh con lắc này tương đương với con lắc đơn... Chứng tỏ hệ

Trang 1

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Giải bài tập là một khâu quan trọng không thể thiếu trong quá trình học tập môn Vật lí Tuy nhiên, đứng trước mỗi bài tập, điều khó khăn lớn nhất đối với học sinh là lựa chọn cách giải nào cho phù hợp để đi tới kết quả đúng, nhanh chóng và dựa trên cơ sở nào để lựa chọn phương pháp này Đó cũng là yêu cầu đối với mỗi giáo viên vật lí khi giảng dạy

Đối với những bài tập tính chu kì dao động của vật hoặc hệ vật thì việc áp dụng những phương pháp truyền thống thường rất phức tạp và dễ gây nhàm chán cho học sinh, bên cạnh đó không khơi dậy được niềm đam mê học tập, sáng tạo Mặt khác, mảng kiến thức về dao động điều rất phong phú đa dạng, là

cơ sở để nghiên cứu về dao động điện từ và sóng nên việc nắm vững kiến thức trong phần này là rất quan trọng

Để đáp ứng được những yêu cầu trên, tôi xin được đưa ra thêm một phương pháp khác để tiếp cận vấn đề đó là áp dụng phương pháp tương đương trong việc tìm chu kì dao điều hòa của vật hoặc hệ vật

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

1 Cơ sở lí thuyết.

Trong một số vấn đề vật lí, trạng thái của một quá trình thường được quyết định bởi nhiều nhân tố, trong đó có một nhân tố nào đó có cùng tác dụng với nhân tố khác Khi đó, tác dụng của nhân tố trước tương đương với tác dụng của nhân tố sau Chúng có thể thay thế cho nhau mà không ảnh hưởng tới kết quả cuối cùng Phương pháp dùng một nhân tố nào đó thay thế lẫn nhau được gọi là phương pháp tương đương

Thực chất của phương pháp này là bằng phương pháp thay thế sao cho các tác dụng đó có hiệu quả giống hệt nhau Khi đó, vấn đề phức tạp chuyển thành vấn đề quen thuộc đơn giản, dễ rút ra nhân tố chủ yếu Vì thế khi sử dụng phương pháp tương đương luôn luôn lấy nhân tố đơn giản thay thế nhân tố phức tạp để tìm lời giải

2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Với mục đích mang tới cho học sinh của mình khả năng tư duy, sáng tạo hơn trong việc giải quyết một số bài toán về dao động điều hòa của các con lắc, tôi đã áp dụng một phương pháp giải mà qua đó cho ta kết quả bài toán nhanh hơn, đơn giản hơn nhưng không kém phần hứng thú Thực tế khi áp dụng cho lớp 12A4 đã cho kết quả như mong muốn Đó là áp dụng phương pháp tương tương để giải quyết bài toán, phương pháp này các em cũng đã được làm quen ở lớp 10 và 11 nhưng chưa được sâu sắc và toàn diện đó là bài toán ghép lò xo hoặc ghép sát các dụng cụ quang học

Sau đây là những ví dụ minh họa áp dụng phương pháp để giải một số bài toán tìm chu kì dao động của vật và cơ hệ

1

Trang 2

3 Giải quyết vấn đề.

Bài toán 1

Một mặt cầu lõm, nhẵn bán kính R bên trong

có một vật nhỏ khối lượng m có thể trượt không

ma sát Đưa vật m ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn

nhỏ rồi thả cho vật tự do.Chứng tỏ vật dao động

điều hòa Tính chu kì dao động

Lời giải

- Khi vật lệch khỏi VTCB một góc α :

Hợp lực tác dụng lên vật

Vì α nhỏ nên sinα ≈ α = s/R nên ta có:

Theo định luật II Newton :

- Chọn chiều dương là chiều chuyển động:

Với Vậy vật dao động điều hòa với chu kì :

Nhận xét: Như vậy ta có thể xem dao động điều hòa của vật tương đương với dao động điều hòa của con lắc đơn chiều dài

Bài toán 2

Hai dây mảnh dài bằng nhau treo một

quả cầu nhỏ như hình vẽ Biết L và α

Khi quả cầu nhỏ dao động điều hòa

thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ

thì chu kì dao động của nó bằng bao nhiêu?

Lời giải

2

R

P 

L



o

A

2

T 

1

T 



Trang 3

Chúng ta đã biết chu kì

dao động điều hòa của

con lắc đơn Nếu cho độ dài

của con lắc hai dây tương đương

với chiều dài con lắc đơn thì ta có

thể tìm được chu kì dao động của

con lắc hai dây

Ta sẽ chứng minh con lắc này tương đương

với con lắc đơn

Tại vị trí cân bằng:

Ta có:

Nếu kéo vật trong mặt phẳng vuông góc với AB chứa HO và tạo với với HO một góc α rồi thả nhẹ thì vật sẽ dao động trong trường lực như con lắc đơn có

điểm treo H và chiều dài l = HO

Vậy chiều dài của con lắc hai dây tương đương với chiều dài của con lắc

đơn là l = Lsinα nên chu kì dao động của con lắc 2 dây.

Bài toán 3.

Có hai cột đu thẳng đứng cách nhau

một khoảng a, mỗi cột có điểm treo ở độ

cao khác nhau Điểm treo A ở cột thứ nhất

cao hơn điểm treo B ở cột thứ hai một

khoảng b Nối bệ đu C với hai điểm

treo A, B bằng hai đoạn dây l1 và l2

Nếu C dao động thì tần số

dao động của C là bao nhiêu?

Lời giải.

3 mg

O

x



C l2

l 1

b a

B A

mg

O

C

B

A

C

l 2

l 1

b a

B A

Trang 4

Hình 1 Hình 2 Khi cột đu dao động thì mặt phẳng hai dây l1 và l2 cùng với C dao động quanh trục AB Đây là một loại dao động nhỏ quanh trục cố định Thực tế cơ hệ này tương đương dao động của một con lắc đơn Như vậy bài toán này là xác định vị trí điểm treo và độ dài tương đương của con lắc Vì khi dao động độ dài con lắc đơn không thay đổi, đồng thời tam giác ABC được giữ nguyên kích thước và vecto trọng lực nằm trong mặt phẳng thẳng đứng đi qua C nên chọn O làm điểm treo và độ dài OC là độ dài tương đương của con lắc

Gọi góc α là góc lệch giữa hai độ cao của điểm treo A, B Từ điều kiện của bài toán ta có tam giác vuông và suy ra ( Xem hình 2)

Từ đây ta dễ dàng tính được chu kì dao động của C:

Bài toán 4.

Một thanh cứng, nhẹ AB = 15cm

4 I

A

Trang 5

ở hai đầu có gắn các hòn bi nhỏ khối

lượng mA = 3mB Hệ được treo bằng

một sợi dây mảnh, nhẹ không giãn

chiều dài l = 20cm vắt qua ròng rọc I

như hình vẽ Bỏ qua mọi ma sát và lực cản

Khi hệ đã cân bằng, góc hợp bởi AB và phương ngang là α, ta gắn cố định dây tại I Xác định chu kì dao động nhỏ của hệ trong mặt phẳng thẳng đứng chứa

AB Lấy g = 10m/s2

Lời giải

* Xác định giá trị α khi hệ cân bằng

- Áp dụng điều kiện cân bằng tổng quát ta có:

- Chiếu phương trình lên x’x:

- Do dây không giãn, không khối lượng nên ta có:

- Theo quy tắc momen:

- Mặt khác:

5

2



1



x’

1

T 

α

P 

g

2

I

B A

Trang 6

Giải ra ta được:

IB = 15cm = AB cân tại B

* Chu kì dao động bé của hệ

- Khi hệ cân bằng thì hợp lực của và sẽ đồng quy với lực

- Từ hình vẽ ta thấy đồng quy tại I

Vậy hệ tương đương với một con lắc đơn có chiều dài l = IG và khối lượng m =

mA + mB

* Bây giờ, ta đi tìm chiều dài của con lắc tương đương

- Khi dây cố định tại I:

GA = 3GB

GA + GB = AB

Vậy: GA = 3,75cm và GB = 11,25cm, suy ra : IG = l = 5,73cm

Chu kì dao động là:

Bài toán 5

Một toa xe bên trong có treo một con lắc đơn chuyển động với gia tốc trên một phẳng nghiêng có góc nghiêng α Hãy tìm vị trí cân bằng của con lắc và chu kì dao động bé của nó

Lời giải

Hình a

* Tìm vị trí cân bằng của con lắc

- Giả sử VTBC của con lắc được xác định bởi góc β như hình a lập bởi dây treo con lắc với trục Oy

6

O

Q 

g m

a

y

x

α

Trang 7

- Dễ dàng thấy rằng khi đó dây treo hợp với phương thẳng đứng 1 góc: α + β

- Phương trình định luật II Newton cho con lắc:

- Chiếu phương trình lên tục Ox và Oy, ta có:

- Trạng thái cân bằng cần tìm:

ax = a và ay = 0

- Khử Q từ hai phương trình, ta được:

* Tìm chu kì dao động bé của con lắc

- Vì lực căng không đóng góp gì vào lực kéo về, vì với những dịch chuyển nhỏ, vuông góc với dịch chyển đó Vậy ta chỉ cần xét lực

- Vậy ta phân tích làm hai thành phần:

Một: - Theo hướng của Hai: - Theo hướng - như hình b

Hình b

- Thành phần sẽ cân bằng với , còn thành phần hướng dọc theo mặt phẳng nghiêng sẽ tạo ra gia tốc cho quả nặng của con lắc

- Tại VTCB đó, lực đóng vai trò như lực

- Khi dịch con lắc khỏi VTCB một khoảng nhỏ, lực sẽ có một thành phần vuông góc với tạo ra lực kéo về

7

O

Q

F    

Q 

g m

a

90 0 -α

γ

α

 

n

t

Δγ

F 

Q 

γ

Trang 8

Hình c

- Dễ dàng thấy rằng khi con lắc ra khỏi VTCB một khoảng nhỏ Δγ (để cho gọn

ta kí hiệu γ = α + β), sẽ xuất hiện lực có độ lớn:

- Từ hình b, ta có:

- Từ đây ta tính được chu kì dao động:

- Sẽ bổ ích nếu ta xét kết quả trên với các giá trị khác nhau của a và α

Ví dụ:

+ + Xe trượt trên mặt phẳng nghiêng không ma sát Khi đó: a = gsinα thì

+ Khi + Khi xe rơi tự do, tức (hay a = g) về mặt hình thức ta có

* Bây giờ ta xẽ giải bài toán này bằng phương pháp tương tương:

- Trong trường hợp này, theo phương pháp tương đương chuyển động của toa

xe và quả nặng của con lắc với gia tốc tương đương với việc ngoài hai lực và ra, quả nặng của con lắc còn chịu tác dụng một lực quán tính

8

g m

a  m a

'

g m

Q 

90 0 -α

Trang 9

Hình d Khi đó lực :

Tương đương với trọng lực mới và chu kì dao động bây giờ được tính theo công thức:

Bài toán bây giờ quy về tìm g’ Từ hình b ta có:

Từ đó :

Đây chính là kết ta đã nhận được ở trên, nhưng tìm được bằng cách đơn giản hơn

Bài toán 6

Một thanh đồng chất AB = 2l, momen quán tính đối với trục vuông góc với thanh và đi qua trọng tâm C của thanh Thanh trượt không ma sát bên trong một nửa vòng tròn tâm O bán kính

Kính thích cho vật dao động thì vật dao động điều hòa Tìm chu kì dao động bé

Lời giải

* Dao động của thanh tương

đương với dao động của con

lắc vật lý

Trong đó:

9

B A

B

T 

A

T 

C

y

x

P 

O

Trang 10

Thay số ta được:

* Bây giờ ta sẽ chứng minh kết quả trên

- Chọn mốc thế năng tại O

- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:

- Mà:

- Suy ra

- Lấy đạo hàm hai vế và xét góc nhỏ, ta được:

- Đặt

Vậy chu kì dao động nhỏ của thanh AB là:

Bài toán 7 Một con lắc như hình vẽ.

Biết IB = l1 = 50cm; m1 = 1kg

IA = l2 = 150cm; m2 = 1kg Bỏ qua mọi ma sát và lực cản

Tính chu kì dao động nhỏ của con lắc

Lấy g = 10m/s2

Lời giải

* Để giải quyết bài toán này thông thường ta sẽ sử dụng phương pháp năng lượng Nhưng cách này tương đối dài và phức tạp

Bài toán sẽ đơn giản khi xem con lắc này tương đương với con lắc vật lý có khối lượng m = m1 + m2

10

I

l2

l1

B m 1

A m 2

Trang 11

Vậy bây giờ ta sẽ đi tìm con lắc tương đương này

* Trọng tâm của hệ

Áp dụng quy tắc hợp hai lực song song ta được

Trọng tâm của hệ tại G nằm trong khoảng AB và chia đoạn AB theo tỉ lệ:

Giải ra ta có:

* Momen quán tính của hệ đối với trục quay đi qua I:

* Khoảng cách từ trọng tâm G tới trục quay:

* Chu kì dao động bé của con lắc

Bài toán 8.

Một vòng tròn mảnh đồng chất, bán kính R được cắt thành hai nửa bằng nhau Người ta đặt một nửa vòng tròn đó lên một mặt phẳng nằm ngang lệch khỏi VTCB một chút như hình vẽ Giả sử rằng không xảy ra chuyển động trượt của vòng Tính chu kì dao động bé của nửa vòng tròn này?

Lời giải.

* Cơ hệ này tương đương với con lắc vật lý

Với d = GA – xG

* Trọng tâm G của nửa vòng tròn:

- Vì đồng chất, trọng lượng tỉ lệ thuận với chiều dài

11 0

R

Trang 12

- Do đối xứng, nên trọng tâm G nằm trên Ox

- Ta chia cung tròn ra làm vô số cung tròn nhỏ, vị trí được xác định bởi góc φ

- Cung nguyên tố được xác định bởi dφ có độ dài : dl = R.dφ và có hoành độ : x = Rcosφ

- Chiều dài nửa cung tròn: L = πR

Vậy: Hoành độ trọng tâm được xác định:

* Tính momen quán tính của nửa vòng tròn đối với trục quay qua A:

- Gọi I0 là momen quán tính của vành, IG là momen quán tính của nửa vành Khi đó ta có

IG = I0 – mx2

G

- Momen quán tính của nửa vành đối với trục đi qua A

I = IG + m(R - xG)2

Vậy :

I = m(2R2 - 2RxG) = 2mR2(1 – 2/π)

* Chu kì dao động bé của nửa vòng tròn là:

Bài toán 9.

Dùng một lò xo nhẹ nối với hai khúc gỗ khối lượng M và m rồi đặt thẳng

đứng trên mặt bàn nằm ngang như hình vẽ Hỏi phải tác dụng lên khúc gỗ m một lực F có độ lớn tối thiểu bằng bao nhiêu để sau khi ngừng tác dụng lực thì khúc gỗ m nhảy lên và khúc gỗ M bị nâng lên khỏi mặt phẳng ngang

Lời giải

12

x A

N

O R

M

dl



d

x



F m

Bài toán này có thể bằng phương pháp động lực học

hoặc phương pháp năng lượng nhưng quá trình giải

rất phức tạp

Nếu dùng phương pháp tương đương thì lời giải đơn

giản và rõ ràng hơn

Nếu dùng lực kéo F’ tác dụng lên m thì để M

bị nhấc lên khỏi mặt phẳng ngang thì lực kéo F’ tối

thiểu là :

F’ = (M+m).g Như vậy dựa vào tính tương đương thì lực nén

F tối thiểu để có hiệu quả như trên đúng bằng F’, tức

Trang 13

Bài toán 10.

Hệ dao động gồm 2 vật khối lượng m1 và m2 gắn vào một lò xo có độ cứng

k0 và chiều dài ban đầu l0 Nén lò xo bằng hai sợi dây mảnh nối hai vật Đốt dây nén lò xo Bỏ qua ma sát

Chúng tỏ mỗi vật dao động điều hòa Xác định chu kì dao động

Lời giải

* Bài toàn này, hoàn toàn có thể giải được bằng phương pháp động lực học nhưng quá phức tạp và dài

* Nếu sử dụng phương pháp tương đương thì ngắn gọn hơn, dễ hiểu hơn

* Lực đàn hồi của lò xo là nội lực đối với hệ hai vật nên vị trí khối tâm của hệ là cố định trong quá trình m1 và m2 dao động quanh VTCB O1 và O2 của chúng Như vậy ta có thể xem hệ dao động trên tương đương với hai con lắc lò xo dao động trên mặt phẳng ngang với đầu cố định của hai lò xo là vị trí khối tâm của hệ

Bài toán trở về đi tìm vị trí khối tâm và độ cứng của hai lò xo

* Vị trí khối tâm của hệ :

- Vị trí cân bằng của hai vật O1, O2 thỏa mãn hệ thức :

O1O2 = l0

- Vị trí O1 và O2 cách khối tâm G lần lượt là l1 và l2 thỏa màn điều kiện:

13

m 2

m 1 k 0 l 0

m 1 k1 l 1 G k 2 l 2

O 1

m 2

O 2

Trang 14

* Độ cứng các lò xo có chiều dài ban đầu l1 và l2;

Vậy khi đốt cháy dây nối thì m1 và m2 sẽ dao động điều hòa quanh O1 và O2 Việc chứng minh 2 vật dao động điều hòa hoàn toàn giống SGK

* Chu kì dao động của m1 và m2:

Hoàn toàn tương tự ta được:

4 Bài tập vận dụng

Bài 1.

Bài 2.

Một quả cầu nhỏ P được luồn vào một sợi dây rất mảnh như hình vẽ Biết AB =

a, dây APB = l; A, B cố định

a Chứng tỏ hệ APB tương đương như một con lắc đơn

b Dịch chuyển quả cầu để chiều dài L của con lắc tương đương thay đổi, người ta thấy con lắc cho chu kì dao động nhỏ cực đại và cực tiểu có giá trị :

TMax = 0,4π(s); TMin = 0,36π(s) Tính a và l Lấy g = 10m/s2

c Người ta nâng đầu B lên ( khi con lắc có chu kì TMin ) để cho AB quay được quanh A Quả cầu P bây giờ dao động trong mặt phẳng không thẳng đứng

14

Một vật có mặt trên là mặt cầu lõm trơn

nhẵn, tâm O, bán kính R = 10cm, đặt cố

định trên mặt đất như hình vẽ Trên mặt cầu

có một vật nhỏ ở điểm C cách điểm thấp

nhất P của mặt cầu 10mm, trượt không vận

tốc đầu xuống dưới Hỏi thời gian từ lúc vật

bắt đầu trượt đến khi qua điểm P lần thứ

hai là bao nhiêu? Xác định lại khoảng thời

gian này nếu toàn bộ được đặt vào một

thang máy chuyển động với gia tốc a không

đổi hướng lên

C

P

O

R

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	416 KB