skkn giải quyết mọi bài toán có liên quan đến phương trình bậc hai- định lí vi-ét

Qua tìm hiểu tình hình thực tế và kinh nghiệm của bản thân tôi thấy đa số họcsinh lớp 9 gặp khó khăn khi giải các bài toán có liên quan đến “ Phương trình bậchai : ax2+bx+c= 0 có chứa th

Là một giáo viên dạy toán THCS trong những năm qua tôi đã đặt cho mìnhnhững câu hỏi, những trăn trở để từ đó tìm hiểu nghiên cứu tìm ra những phươngpháp dạy phù hợp.

Môn toán là một môn học khó nhưng nó rất hấp dẫn và bổ ích với những emyêu thích Toán học Nó giúp các em từng bước phát triển năng lực tư duy Hìnhthành kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn cũng như vào việc học tập cácmôn học khác

Qua tìm hiểu tình hình thực tế và kinh nghiệm của bản thân tôi thấy đa số họcsinh lớp 9 gặp khó khăn khi giải các bài toán có liên quan đến “ Phương trình bậchai : ax2+bx+c= 0 có chứa tham số” nói chung và ứng dụng của định lí Vi-ét trongphương trình bậc hai ax2+bx+c =0 (a 0) nói riêng

Trong chương trình lớp 9 kiến thức này đề cập rất ít trong sách giáo khoa Tuynhiên các bài tập liên quan đến nó lại rất nhiều và rất đa dạng

Là một giáo viên dạy Toán trước thực trạng như vậy tôi không khỏi băn khoăntrăn trở làm như thế nào để giúp đỡ các em bớt đi những khó khăn, lúng túng trongviệc giải các bài toán có liên quan đến hệ thức Vi-ét trong phương trình bậc hai

ax2+bx+c=0 (a 0)

Từ thực tiễn giảng dạy tôi xin được trình bày một ý kiến nhỏ, một kinh nghiệm

mà qua thử nghiệm tôi thấy đã làm giảm bớt khó khăn cho các em khi giải các bàitoán có liên quan đến hệ thức Vi-ét trong phương trình bậc hai

2 Cơ sở tâm lí

Theo tâm lý, con người chỉ tư duy tích cực khi có nhu cầu, hoạt động nhận thứcchỉ có kết quả cao khi chủ thể ham thích một cách tự giác Đối với học sinh cũngvậy nếu các em chỉ học một cách thụ động, tức là tiếp thu kiến thức theo lối “nhồinhét’, không có thói quen suy nghĩ một cách sâu sắc thì kiến thức nhanh chóng bịlãng quên Vì vậy để phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh không còncách nào khác là phải tạo niềm tin và hứng thú học tập cho các em Có nghĩa làchúng ta phải có những phương pháp phù hợp giúp học sinh tiếp thu kiến thức mộtcách chủ động có hệ thống Giúp các em nhận dạng bài toán và nắm được hướnggiải quyết tốt nhất

3 Cơ sở giáo dục học

Những kết quả nghiên cứu của giáo dục học cho thấy kết quả giáo dục sẽ caohơn nếu quá trình đào tạo được biến thành quá trình tự đào tạo, quá trình giáo dụcđược biến thành quá trình tự giáo dục

II MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

1 Mục đích nghiên cứu

- Chuyên đề giúp giáo viên có cái nhìn tổng thể về các vấn đề có liên quan đến

hệ thức Vi-ét, rút ra những kinh nghiệm trong giảng dạy và học tập, đào sâu vàhoàn thiện hiểu biết Từ đó có phương pháp dạy- học có hiệu quả, giúp học sinhgiảm bớt những khó khăn lúng túng khi học nội dung này

- Thực hiện chuyên đề này thấy được những thuận lợi và khó khăn khi dạy họcnội dung hệ thức Vi-ét Qua đó có định hướng năng cao chất lượng dạy học mônToán

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Thấy được vai trò của hệ thức Vi-ét trong chương trình Toán THCS đặc biệt lànhững dạng toán có liên quan

- Giảm bớt những khó khăn, lúng túng của các em khi nghiên cứu nội dung cóliên quan đến hệ thức Vi-ét Học sinh xác định được cách giải của một số dạngtoán cơ bản

III ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

1 Nghiên cứu phần “ Phương trình bậc hai : ax2+bx+c=0 có chứa tham số” nóichung và ứng dụng của định lí Vi-ét trong phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 (a 0)

2 Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến hệ thức Vi-ét và ứng dụng

3 Giáo viên giảng dạy cấp THCS và học sinh THCS đặc biệt là học sinh khốilớp 9

IV CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

Đọc các tài liệu có liên quan để phân dạng bài tập và phương pháp giải

Tiến hành dạy thực nghiệm để kiểm tra kết quả áp dụng chuyên đề

3.Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

Rút ra những bài học cho bản thân và đồng nghiệp để giảng dạy tốt hơn

PHẦN II: NỘI DUNG

I HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn.

Phương trình bậc hai một ẩn ( gọi là phương trình bậc hai) là phương trình códạng ax2+bx+c=0.Trong đó x là ẩn, a,b,c là các hệ số cho trước a 0

2 Cách giải phương trình bậc hai

a) Phương trình khuyết b (b=0)

ax2+c=0

+ Nếu <0 => Phương trình vô nghiệm

+ Nếu >0 => Phương trình có hai nghiệm

c)Nếu a, b, c 0 phương trình bậc hai có dạng ax2+bx+c=0

+ Nếu >0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

+ Nếu =0 thì phương trình có nghiệm kép

+ Nếu <0 thì phương trình vô nghiệm.

d) Công thức nghiệm thu gọn

Phương trình ax2+bx+c=0 có b=2b’

+ Nếu >0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

+ Nếu =0 thì phương trình có nghiệm kép

+ Nếu <0 thì phương trình vô nghiệm.

3 Hệ thức Vi-ét

+Nếu phương trình ax2+bx+c=0 có hai nghiệm , ( 0) thì ta có:

+ Nếu có hai số a, b sao cho a+b=S, a.b=P thì a,b là hai nghiệm của phươngtrình X2-SX+P=0

4 Hệ quả của định lí Vi-ét

*Phương trình bậc hai ax2+bx+c=0

+ Nếu có a+b+c=0 thì phương trình có hai nghiệm:

+ Nếu có a-b+c=0 thì phương trình có hai nghiệm:

*Phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 có hai nghiệm , thì ta có:

Dạng I: Không giải phương trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm , của phương trình bậc hai nếu có:

Ví dụ 1: Kiểm tra một số có phải là nghiệm của phương trình bậc hai

x2- x- 6 = 0 không? Nếu phải hãy tính nghiệm còn lại

Ví dụ 2: Kiểm tra một số x=1 có phải là nghiệm của phương trình bậc hai

không? Nếu phải hãy tính nghiệm còn lại

Giải:

Thay x=1 vào vế trái của phương trình ta có: nên x=1

là một nghiệm của phương trình

Kiểm tra một số có phải là nghiệm của phương trình bậc hai không? Nếu

phải hãy tính nghiệm còn lại

Cho ax2+bx+c=0 ( a 0) phương trình tham số m

+ Thay vào phương trình ta được phương trình ẩn m

+ Dùng hệ thức Vi-ét tính nghiệm còn lại

Vậy với m=2 thì phương trình có một nghiệm x=1, nghiệm còn lại x=2

Ví dụ 2: Cho phương trình x2+4x+m2-2m+1=0 Tìm m để phương trình có mộtnghiệm là -2 Tìm nghiệm còn lại

m2-2m+1

Với x1=-2, m1=-1 thì

Với x1=-2, m2=3 thì

Vậy với m=-1, m=3 thì phương trình có 1 nghiệm x=-2, nghiệm còn lại x=-2

Ví dụ 3: Cho phương trình x2-mx+m2-7=0 Tìm m để phương trình có mộtnghiệm là -1 Tìm nghiệm còn lại

Vậy với m=2, nghiệm còn lại của phương trình x=3

với m=-3, nghiệm còn lại của phương trình x=-2

+ Chứng tỏ phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 ( >0)

+ Biến đổi biểu thức bài cho về dạng tổng và tích hai nghiệm

+ Viết hệ thức Vi-ét thay vào biểu thức tính giá trị

2 Bài tập ứng dụng

Ví dụ 1: Cho phương trình x2- 10x+15 = 0 không giải phương trình Hãy tínhgiá trị của các biểu thức sau( Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x1<x2)

Dạng V: Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có hai nghiệm x 1 , x 2

thoả mãn một hệ thức cho trước.

1 Cách giải

+ Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2

+ Viết hệ thức Vi-ét

(1) (2)

+ Kết hợp (1) và (2) với hệ thức đầu bài cho ta tìm được m( ở mỗi dạng hệthức có cách giải riêng)

2 Bài tập áp dụng

2.1 Hệ thức chứa tổng và tích hai nghiệm (3)

Thay (1), (2) vào (3) ta được phương trình ẩn m Giải phương trình ẩn m và sovới điều kiện => trả lời

Ví dụ 1: Cho phương trình x2+mx-m2-8=0 Tìm m để phương trình có hainghiệm thoả mãn: x2

1+x2

2=25

Giải:

Xét phương trình x2+mx-m2-8=0

Phương trình có hai nghiệm = m2+4(m2+8)= 5m2+32>0 với mọi m

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2

+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:

(1) (2)

Theo đề bài ta có: x2

1+x2

2-6 x1x2=8 (x1+x2)2-8x1x2=8 (3)Thay (1), (2) vào (3) ta có:

Ví dụ 3: Cho phương trình x2-2x+m+2=0 Tìm m để phương trình có hainghiệm thoả mãn:

a)x2

1+x2

2+4 x1x2=0b)

Giải:

Xét phương trình x2-2x+m+2=0

Phương trình có hai nghiệm ’=(-1)2-(m+2)= -m-1 0 m -1 (*)

Vậy phương trình có hai nghiệm x1, x2

+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:

(1) (2)

a)Theo đề bài ta có: x2

1+x2

2+4 x1x2=0 (x1+x2)2+2x1x2=0 (3)Thay (1), (2) vào (3) ta có:

+Giải hệ phương trình ẩn x1, x2 theo m

+ Thay x1, x2 vào (2) ta được phương trình ẩn m

+ Giải phương trình ẩn m ta tìm được m

+So sánh với điều kiện có nghiệm.Trả lời

Ví dụ 1: Cho phương trình x2-mx+m-1=0 Tìm m để phương trình có hainghiệm x1, x2 thoả mãn: x1-2x2=1 (3)

Theo đề bài ta có: x1-2x2=1 (3)

Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình:

Thay x1, x2 vào (2) ta có:

Vậy m=1, m=4 là các giá tri cần tìm

Ví dụ 2: Cho phương trình x2+2x+m+1=0 Tìm m để phương trình có hainghiệm x1, x2 thoả mãn: x1-x2=8 (3)

Theo đề bài ta có: x1-x2=8 (3)

Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình:

Thay x1, x2 vào (2) ta có:

m=-16 (thoả mãn *)

Vậy m=-16 là giá tri cần tìm

2.3 Tìm GTLN và GTNN, bất đẳng thức của biểu thức giữa các nghiệm.

+ Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2

+ Viết hệ thức Vi-ét

(1) (2)

+ Thay (1) và (2) vào biểu thức bài cho rồi tính GTLN và GTNN của biểu thứcgiữa các nghiệm

Ví dụ 1: Cho phương trình x2-(2m+1)x+m2+m-1=0 Tìm m để phương trình cóhai nghiệm x1, x2 và biểu thức A=(2x1-x2) (2x2-x1) đạt GTNN

Giải:

Xét phương trình x2-(2m+1)x+m2+m-1=0

Phương trình có 2 nghiệm =(2m+1)2-4(m2+m-1)=5 >0 với mọi m

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2

+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:

(1) (2)

Phương trình có 2 nghiệm ’=(m-1)2+2m+5=m2+6 >0 với mọi m

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m

+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:

(1) (2)

Xét phương trình x2-2(m-1)x-(2m+5)=0

Phương trình có 2 nghiệm ’=(m-1)2+2m+5=m2+6 >0 với mọi m

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m

+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:

(1) (2)

Bài 1: Cho phương trình x2-3x+m-1=0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm

x1, x2 thoả mãn một trong các điều kiện sau:

a) x12-x22=6

b) x12+x22=5

c) x1, x2 là nghịch đảo của nhau

d) x1, x2 là số đối của nhau

e) Nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

+ Từ (1) và (2) tìm cách khử m

2 Bài tập áp dụng

Ví dụ 1: Cho phương trình x2+(2m+1)x+m-1=0 Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,

x2 không phụ thuộc vào m

+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:

(1) (2)

4>0 với mọi m

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m

+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:

(1) (2)

Giả sử các phương trình sau có hai nghiệm x1, x2 tìm hệ thức liên hệ giữa x1,

x2 không phụ thuộc vào m

Vậy ; là hai nghiệm của phương trình X2- 4X -1=0

Ví dụ 2: Chứng minh rằng tồn tại phương trình bậc hai có hệ số nguyên và có

Ví dụ 3: Cho phương trình x2-5x+4=0 có hai nghiệm x1, x2 Hãy tìm mộtphương trình bậc hai có hai nghiệm lần lượt là: X1=x1+1; X2=x2+1

* Phương trình bậc 2 có hai nghiệm trái dấu P = x1x2= <0

* Phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu:

* Phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dương:

* Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm cùng âm:

Nếu bài toán yêu cầu tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc 2 thoảmãn với điều kiện về dấu của các nghiệm ta giải các bất phương trình trên ứng vớimỗi trường hợp Kết hợp trên trục số và so sánh điều kiện a 0

Vậy m< thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

b, Phương trình bậc hai có 2 nghiệm cùng dấu P>0

2m-5>0

m>

Vậy m< thì phương trình có 2 nghiệm cùng dấu

c, Phương trình bậc hai có 2 nghiệm dương phân biệt P>0

S>0

Vậy thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

d, Phương trình bậc hai có 2 nghiệm âm phân biệt P<0

Bài 2 Cho phương trình: mx2-2(m-1)+2m-5=0

a) Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt cùngdấu

c) Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm dương phânbiệt

d) Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm âm phân biệt

III KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM:

Sau khi dạy xong cho học sinh phần kiến thức này và kết hợp với việc rènluyện giải một số bài tập tôi nhận thấy:

- Học sinh nắm chắc các vấn đề liên quan đến phương trình bậc hai và hệ thứcVi-ét

- Học sinh biết phân biệt và nhận dạng từng loại bài tập và vận dụng linh hoạtđược kiến thức đã học để giải toán

- Học sinh làm bài và trình bày bài khoa học, lập luận chặt chẽ

- Kết quả kiểm tra 20 em học sinh

Trước khi áp dụng chuyên đề Sau khi áp dụng chuyên đề

PHẦN III: BÀI HỌC KINH NGHIỆM

* Đối với giáo viên: Cần xác định rõ từng dạng toán đồng thời phài thấy đượcmối quan hệ của những bài tập mà mình cần chuẩn bi cho học sinh với trình tự hợp

lí và lôgíc

- Phải dẫn dắt học sinh đi từ bài dễ đến bài khó, từ bài cơ bản đến bài nângcao, cùng một bài toán ta có thể cho nhiều câu hỏi khác nhau đòi hỏi học sinh phảisuy nghĩ đưa về dạng đã biết

- Phải hướng dẫn học sinh phương pháp giải hợp lí, nhanh gọn dễ hiểu

* Đối vơi học sinh:

- Rèn luyện ý thức tự giác suy nghĩ

- Phải say sưa tìm hiểu nghiên cứu và sáng tạo ttrong giải toán

* Đối với nhà trường

- Cần phân loại học sinh để giáo viên chọn kiến thức phù hợp và có phươngpháp dạy hợp lí

- Tổ chức các buổi thảo luận chuyên môn để trao đổi và xây dựng chuyên đề,sáng kiến kinh nghiệm

- Tổ chức dạy thực nghiệm chuyên đề, kinh nghiệm ở các lớp để tìm ra phươngpháp dạy hợp lí

PHẦN IV: KẾT LUẬN

Trên đây là một số vấn đề về phương trình bậc hai hay gặp ở Đại số lớp 9 Tuyrằng chưa phải là đầy đủ nhất song đó là những vấn đề cơ bản, là nền tảng cho việcsuy nghĩ và giải quyết mọi bài toán có liên quan đến phương trình bậc hai- Định líVi-ét

Trong thực tế dạng toán này rất đa dạng vì điều kiện thời gian và sự tiếp nhậnkiến thức của học sinh và năng lực của bản thân còn nhiều hạn chế nên nội dungchuyên đề chưa được phong phú Rất mong các cấp lãnh đạo, ban giám khảo và cácbạn đồng nghiệp đóng góp, xây dựng ý kiến để chuyên đề được hoàn thiện hơn, cótính khả thi hơn

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

PHẦN V: HẠN CHẾ- KIẾN NGHỊ - ĐỀ XUẤT

1 Hạn chế

- Học sinh: Tỉ lệ học sinh khá giỏi chưa cao, nên khả năng biến đổi các biểuthức và vận dụng tính chất về bắt đẳng thức chưa nhanh do đó việc giải phươngtrình chứa tham số vận dụng hệ thức Vi-ét còn chậm dù các em đã biết phươngpháp và cách giải

- Giáo viên: Chưa có nhiều thời gian và trình độ còn có hạn nên chưa đưa racác bài tập phong phú và khai thác triệt để các cách giải của cùng một bài toán.Do

đó chuyên đề còn chưa được hoàn thiện, mong sự giúp đỡ của các đồng nghiệp

Tôi rất mong được sự góp ý của các đồng nghiệp

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Dạng III.Tìm giá trị của tham số m để phương trình bậc hai có

một nghiệm cho trước Tính nghiệm còn lại

6

Dạng IV Không giải phương trình hãy tính giá trị của một biểu

thức giữa các nghiệm của phương trình bậc hai

8

Dạng V Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm thoả

mãn hệ thức cho trước

10

Dạng VI.Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình

bậc hai không phụ thuộc vào tham số m

15

Dạng VII Lập phương trình bậc hai cho trước hai nghiệm 17Dạng VIII Xác định đấu các nghiệm của phương trình bậc hai 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa, sách bài tập toán 9 - Nhà xuất bản giáo dục

2 Sách ôn tập đại số 9

3 Bài tập nâng cao Toán lớp 9

4 Tự luyện phương trình đại số theo chủ đề- Nguyễn Đức Tấn