Ôn tập thi tốt nghiệp Đại học Toán rời rạc và Phân tích thiết kế hệ thống

Ôn tập thi tốt nghiệp Đại học Toán rời rạc và Phân tích thiết kế hệ thống. Của Viện Đại Học mở Hà Nội ngành Tin học ứng dụng. Bài tập có lời giải chi tiết từng phần, dễ hiểu. Giúp Sinh viên tự ôn thi đạt kết quả cao.

Trang 1

1 Discrete Mathematics & System Analysis and Design – Nguyen Thanh Liem

Bài 1: Cho A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Hỏi có thể lập được bao nhiêu con số hàng trăm trong

các trường hợp sau đây:

1) Các chữ số tạo thành 1 dãy tăng; tạo thành 1 dãy giảm?

!( )!= !

! != .

. = =120 con số 2) Số các con số hàng trăm có các chữ số không lặp là:

S1= - =10.9.8-9.8=720-72=648 con số

Số các con số hàng trăm có các chữ số có thể lặp là :

S2= - =10 -10 =1000-100=900 con số

Bài 2: Có bao nhiêu cách chia bộ bài 52 quân cho 4 người:

a) Mọi người đều có số quân bằng nhau?

b) Một người 10 quân, một người 12 quân , một người 14 quân và một người 16 quân?

Giải:

a) Chia bộ bài 52 quân thành 4 phần, mỗi phần 13 quân, ta có:

C52(13,13,13,13)= !

!( !) = cách Sau đó chia 4 phần cho 4 người, ta có:

S1=C52(13,13,13,13) 4!= !

( !) =cách b) Chia bộ bài thành 4 phần tương ứng với các số quân 10, 12, 14, 16

C52(10,12,14,16)= !

! ! ! ! cách Sau đó chia 4 phần cho 4 người có:

Trang 2

Sau đó giao cho mỗi sinh viên trả lời 1 nhóm câu hỏi, ta có:

t1 + t2 +t3 + t4 =3 ; ti ≥0 và nguyên , (i=1, 2, 3, 4) suy ra số nghiệm là :

= = .

. =20

Bài 5 Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 4 gia đình, mỗi gia đình có 3 người sao cho những

người trong mỗi gia đình thì ngồi gần nhau trong các trường hợp dưới đây:

a) Các ghế có ghi số và xếp thành một dãy ngang?

Bài 6: Nhóm A có 7 sinh viên, nhóm B có 6 SV, nhóm C có 5 SV

1) Có bao nhiêu cách chọn ra 4 SV thuộc 2 nhóm A và B; B và C ; C và A?

2) Có bao nhiêu cách chọn ra 4 SV thuộc cả 3 nhóm?

Bài 7: Có bao nhiêu cách xếp 10 nam và 10 nữ nếu:

1) Xếp thành 2 hàng dọc, mỗi hàng 10 người và trên mỗi hàng ngang đều có 1 nam và

1 nữ?

2) Xếp thành 4 hàng dọc mỗi hàng có 5 người, trên mỗi hàng ngang đều có 2 nam và 2 nữ?

Giải:

1) Xếp thành 2 hàng dọc, một hàng 10 nam, một hàng 10 nữ Hoán vị dọc mỗi hàng, sau

đó hoán vị ngang mỗi hàng thì sẽ có:

Trang 3

S1= (10!)2.(2!)10 cách

2) Xếp thành 4 hàng dọc, 2 hàng 5 nam, 2 hàng 5 nữ, sau đó hoán vị dọc và hoán vị ngang thì sẽ có: S2=(5!)4.(4!)5 cách

Bài 8: Có 5 bộ quần áo TDTT đánh số từ 1 đến 5 Huấn luyện viên phát cho 5 cầu thủ

mỗi người 1 quần và 1 áo Hỏi có bao nhiêu cách phát khác nhau trong các trường hợp sau: 1) Cả 5 cầu thủ đều nhận được quần và áo có số khác nhau?

2) Có đúng 2 cầu thủ nhận được quần và áo có số như nhau?

Giải:

Ký hiệu Dn là số sách bỏ n thư vào n phong bì sao cho không có thư nào đúng địa chỉ,

ta có phương trình truy hồi sau:

Bài 9: Cho 20 đường thẳng trên cùng một mặt phẳng Có bao nhiêu mặt phẳng được tạo

thành trong các trường hợp sau đây:

1) Có 5 đường thẳng song song với nhau?

2) Có 5 đường thẳng đồng quy tại 1 điểm?

Giải:

Nếu 20 đường thẳng có vị trí tổng quát thì số phần mặt phẳng do chúng tạo nên:

S20= 1+ ( )=211 phần mặt phẳng

1) 5 đường thẳng có vị trí tổng quát tạo ra : S5 = 1+ ( )= 16 phần mặt phẳng

Trong khi đó 5 đường thẳng song song chỉ tạo ra 6 phần mặt phẳng , nghĩa là số mặt phẳng phải bớt đi là 16-6=10 Vậy số mặt phẳng cần tìm là :

Trang 4

1) Xếp chỗ cho 7 nam, 3 nữ sao cho 3 nữ ngồi gần nhau Coi 3 nữ như một đối tượng, cùng với 7 nam vậy có 8! hoán vị Sau đó 3 nữ hoán vị chỗ với nhau Vậy số cách xếp chỗ là:

Bài 11: Có 4 đề thi khác nhau được phát cho 10 sinh viên dự thi, mỗi sinh viên một đề sao

cho 2 sinh viên ngồi gần nhau thì nhận được 2 đề khác nhau

1) Có bao nhiêu cách phát đề nếu 10 sinh viên ngồi thành 1 dãy ngang?

2) Các sinh viên ngồi thành 2 dãy ngang cách biệt, mỗi dãy 5 người?

3) Giải bài toán trên nếu 10 sinh viên ngồi quanh 1 bàn tròn?

Bài 12: Có 5 câu hỏi thi khác nhau, mỗi câu hỏi thi được in thành 2 phiếu Giáo viên phát cho

5 sinh viên dự thi mỗi sinh viên 2 phiếu Hỏi có bao nhiêu trường hợp mà:

Trang 5

1) Tất cả 5 sinh viên đều được 2 câu hỏi khác nhau?

2) Có đúng 3 sinh viên nhận được 2 câu hỏi khác nhau?

Giải

Bài toán này liên quan đến số mất thứ tự Nếu ký hiệu (i,j) (với i≠j) là số bức thư

i bỏ vào phòng bì j thì (i,j) và (j,i) là 2 đối tượng khác nhau Còn trong bài này nếu coi (i,j) là cặp phiếu thi đề i ghép với phiếu thi của đề j thì (i,j)≡ (j,i) nghĩa là 2 đối tượng này hoàn toàn giống nhau

1) 5 sinh viên nhận được 2 phiếu thi khác nhau Số mất thứ tự : D5=44 được chia làm 2 loại như sau:

Loại 1: Có 2 cặp phiếu thi như nhau và 3 cặp phiếu thi khác nhau Ví dụ (1,2) , (2,1) , (3,4) , (4,5) , (5,3) ((1,2)≡ (2,1))

44- D2.D3= 44-10.1.2= 24 cách ghép

Nhưng do (i,j) ≡(j,i) nên thực chất chỉ có 24/2= 12 cách ghép khác nhau:

Số cách phát loại này cho sinh viên là:

Bài 13: Cho hình cầu tâm O bán kính R Vẽ n đường tròn lớn (có tâm O và bán kính R như

hình cầu) ; trong đó không có 3 đường tròn nào cùng đi qua 1 điểm Ký hiệu Tn là số phần mặt cầu tạo nên bởi n đường tròn đó

1 Lập và giải phương trình truy hồi để tìm công thức Tn Tính T10?

Trang 6

2 Tính T10 trong trường hợp có 3 đường tròn cùng đi qua 1 điểm?

3 Tính T10 trong trường hợp có 4 đường tròn cùng đi qua 1 điểm?

Giải:

1 Tn+1= Tn+2n T1 =2 giải được Tn=2+n(n-1)

Nếu không có 3 đường tròn đi qua 1 điểm thì T10= 2+10.9=92

2 Vì 3 đường tròn đi qua 1 điểm chỉ tạo ra 6 phần mặt cầu, trong khi đó :

T3= 2+3.2=8 nghĩa là bớt đi 2 phần mặt cầu

Bài 14: Cho n đường tròn trên cùng một mặt phẳng sao cho mọi cặp 2 đường tròn đều

cắt nhau và không có 3 đường tròn nào cắt nhau tại 1 điểm Ký hiệu Tn là số phần mặt phẳng được tạo thành bởi n đường tròn đó

1) Lập và giải phương trình truy hồi để tìm công thức của Tn?

2) Tìm T10 trong đó có 1 bộ 3 đường tròn cắt nhau tại 1 điểm?

Giải:

1) Vẽ thêm đường tròn thứ nhất (n+1), nó cắt đường tròn đã có tại 2n giao điểm Các giao điểm này chia đường tròn vẽ thêm thành 2n cung, mỗi cung nằm trong một phần mặt phẳng đã có và tạo thêm được một phần mặt phẳng, do đó ta có:

Tn+1=Tn+2nvới T1 = 2;

Giải được : Tn= 2+ n(n-1)

Thay n=10 ta có: Tn= 2+10.9= 92 phần mặt cầu

2) Ba đường tròn đi qua 1 điểm tạo ra 7 phần mặt phẳng trong khi đó

T3= 2+3.2=8 nên số phần mặt phẳng phải bớt đi là 1 đơn vị Vậy S2= 92-1=91 phần mặt phẳng

Bài 15: Một người vượt cầu thang có n bậc bằng cách lúc thì bước mỗi bước 1 bậc, lúc thì

bước mỗi bước 2 bậc Ký hiệu Tn là số cách vượt n bậc cầu thang như thế

1) Lập và gỉai phương trình truy hồi để tìm công thức Tn?

2) Bằng phương pháp quy nạp chứng minh công thức :

Trang 7

Bài 16: Một người phải trả một món tiền n nghìn đồng bằng cách trả lần lượt từng tờ một

trong 2 loại giấy bạc có mệnh giá 1 nghìn đồng và 2 nghìn đồng Ký hiệu Tn là số cách trả tiền như thế:

1) Lập và giải phương trình truy hồi đối với Tn?

VP= (T2)2-2=22-2=2

Trang 8

 VT=VP Vậy công thức đúng với n=1

Bài 17: Cho G(x,v) là đồ thị vô hướng , đủ và có 9 đỉnh

1) Có bao nhiêu đồ thị con và đồ thị bộ phận?

2) Có bao nhiêu đồ thị con là đồ thị Euler?

Bài 18: Cho G(x,v) là đồ thị vô hướng, đủ và có 7 đỉnh

1) Có bao nhiêu cây bao trùm đi qua 2 đỉnh cố định cho trước?

2) Có bao nhiêu cây bao trùm có 1 đỉnh bậc 4 và 1 đỉnh bậc 3?

Giải

1) Số cây bao trùm chứa cạnh [a,b] cho trước chia thành các trường hợp sau:

- Có 5 đỉnh liên thuộc a; không có đỉnh nào liên thuộc b; tạo ra T6=64 =1296 cây

- Có 4 đỉnh liên thuộc a; và có 1 đỉnh liên thuộc b; tạo ra :

- Không có đỉnh liên thuộc a; có 5 liên thuộc b; tạo ra:

T6=64= 1296 cây Vậy số cây cần tìm là: S1= 2(1296+625+480)=4802

2) Chọn 1 đỉnh trong 9 đỉnh để làm đỉnh bậc 6: =7 cách

Chọn 4 đỉnh trong 6 đỉnh còn lại để nối với đỉnh bậc 4: = 15 cách

Bây giờ chỉ còn lại 2 đỉnh Muốn có 1 đỉnh bậc 3 theo yêu cầu của đề bài thì đỉnh bậc 3 đó phải là 1 trong 4 đỉnh ở bước 2, và cả 2 đỉnh còn lại này đều phải được nối với đỉnh bậc 3 đó Do đó có: =4 cách

Vậy số cây bao trùm có 1 đỉnh bậc 4 và 1 đỉnh bậc 3:

Trang 9

S2=7*15*4=420 cây

Bài 1 : (Phần Bài toán tồn tại) Cho một hình tam giác đều có cạnh bằng 1, lấy 5 điểm bất kỳ

trong tam giác đó Chứng minh rằng có ít nhất 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1/2?

Giải:

Nối trung điểm của các cạnh ta được 4 tam giác đều , cạnh = 1/2

Lấy 5 điểm trong tam giác lớn.Mỗi điểm phải phụ thuộc vào 1 tam

giác con nào đó Áp dụng định lý Đirichlet giản đơn (nhốt 5 con chim

vào 4 chiếc lồng) sẽ có ít nhất 2 điểm thuộc vào một tam giác con nào đó, khi đó khoảng cách giữa chúng < ½ (ĐPCM)

Bài 2: Cho 5 điểm có tọa độ nguyên trên một mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng

hàng

1) CMR từ các điểm trên có thể tìm được ít nhất 2 điểm mà trung điểm của chúng cũng

là điểm có tọa độ nguyên?

2) CMR có ít nhất 3 tam giác có các đỉnh là các điểm trên có diện tích một số nguyên?

Giải:

Ký hiệu (x,y) là tọa độ của 1 điểm nào đó trên mặt phẳng Một điểm có tọa độ nguyên

có nghĩa là (x nguyên , y nguyên ) Số nguyên có thể là lẻ hoặc là chẵn.Vậy chúng có thể chia

(Đó là điều phải chứng minh)

2) Ta chứng mính các tam giác ABC, ABD, ABE là các tam gíac có diện tích là số

nguyên Ta cần chứng minh S(ABC) là số nguyên , các tam giác khác chứng minh

tương tự

Trang 10

Từ hình vẽ trên ta có: S(ABC)= S(AMBC)= S(AMB)

Trong đó S(AMB)= MA.MB = (y A - y B )( x B – x A ) là số nguyên vì (y A - y B), )( x B – x A)

Vậy S(AMBC) là số nguyên.(ĐPCM)

Bài 3: Lấy một cách tùy ý 7 điểm trong một hình lục giác đều có cạnh bằng 1

CMR có ít nhất 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1

Giải:

Nối các đỉnh của hình lục giác với tâm ta được 6 tam gíac đều có cạnh bằng 1 Theo định lý Đirichlet giản đơn: n=6 Lấy 7 điểm từ 6 tam giác thì có ít nhất 2 điểm thuộc 1 tam giác suy

ra khoảng cách giữa chúng < 1 (ĐPCM)

Bài 4: lấy 6 số bất kỳ trong các số nguyên dương nhỏ hơn 121

CMR trong các số đó luôn tìm được ít nhất 2 số x và y thỏa mãn điều kiện

Hai số bất kỳ thuộc 1 nhóm nào đó đều thỏa mãn điều kiện |√ − √ | <2

Lấy 6 số từ 5 nhóm, theo định lý Đirichlet giản đơn (n=5) thì có ít nhất 2 số thuộc 1 nhóm (ĐPCM)

Trang 11

Bài 5: Lấy 30 số nguyên dương nhỏ hơn 60 CMR:

1) Có ít nhất 8 cặp số mà hiệu của chúng bằng nhau?

Bài 6: Cho tập A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

1) Có bao nhiêu tập con gồm 4 phần tử của A ?

2) CMR có ít nhất 8 tập con mà tổng các chữ số của chúng bằng nhau?

Áp dụng định lý Dirichlet sẽ có ít nhất =8 tập thỏa mãn điều kiện đề bài đặt ra (ĐPCM)

Bài 7: Có 11 sinh viên nữ và 9 sinh viên nam xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang CMR có

ít nhất 2 nữ SV mà giữa họ có 4 người khác đứng xen vào

Chú ý rằng 2 số trong cùng nhóm là có 4 người khác đứng xen vào giữa Thí dụ như số 1 và

số 6; giữa họ có 4 người mang số 2, 3, 4, 5 đứng xen vào giữa Có 11 nữ SV mỗi người thuộc

Trang 12

1 nhóm nào đó Áp dụng định lý Dirichlet (n=11, k=5) có ít nhất =3 nữ thuộc một nhóm nào đó.Giả sử đó là nhóm 1 có đúng 3 nữ SV

Nếu số 1 không phải là nữ thì có (6, 11) và (11, 16) thỏa mãn điều kiện đề bài

Nếu số 6 không phải là nữ thì có 1 cặp (11, 16) thỏa mãn điều kiện bài toán

Nếu số 11 không phải là nữ thì cặp (1, 6) thỏa mãn điều kiện bài toán

Nếu số 16 không phải là nữ thì có 2 cặp (1, 6) và (6, 11) thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy luôn có ít nhất 2 nữ thỏa mãn yêu cầu đề toán đặt ra (ĐPCM)

Bài 8: Xếp 12 quân cờ một cách tùy ý lên một bàn cờ vua có 8x8=64 ô vuông CMR luôn tìm

được 4 hàng và 4 cột chứa tất cả 12 quân cờ nói trên

Khi số quân còn lại chỉ là ≤ 4 thì chỉ cần 4 cột là đủ chứa chúng (ĐPCM)

Bài 9: Cho A={1,2,3, ,21} Hỏi có thể chia A thành các nhóm rời nhau và trong mỗi nhóm

số lớn nhất bằng tổng các số còn lại của nhóm được hay không?

Trong khi đó: S= 1+2+ +21 = 21(1+21) /2=231 là một số lẻ, mâu thuẫn

Bài 10: Có 11 cầu thủ đeo số áo từ 1 đến 16 đứng ngẫu nhiên thành một vòng tròn CMR

luôn tìm được một nhóm gồm 4 người đứng gần nhau có tổng các số ghi trên áo > 34

Giải:

Dùng phương pháp phản chứng Nếu điều này không xảy ra thì tổng các số ghi trên áo của mỗi nhóm bất kỳ gồm 4 người đứng gần nhau phải ≤ 34 Có tất cả 16 nhóm Vậy tổng các số ghi trên áo của tất cả 16 nhóm là: S≤ 34*16=544

Mỗi người thuộc vào 4 nhóm khác nhau nên ta có:

S= 4(1+2+…+16)=4* ( )=544

Nghĩa là tổng các số ghi trên áo của bất kỳ nhóm nào cũng bằng 34 Đó là mâu thuẫn

(ĐPCM)

Trang 13

Bài 1: (Phần Đồ thị và ứng dụng) Áp dụng thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất từ S

Có 1 đường đi ngắn nhất T* = (S,2,3,7,Z) với độ dài là : l(T*)= 60

Bài 2: Áp dụng thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất từ S đến Z trên đồ thị sau:

Trang 14

Trang 15

Bài 3 : Áp dụng thuật toán Ford-Fulkerson tìm luồng vận tải cực đại từ S đến Z trên đồ thị

cho dưới đây:

Giải:

Bước 1: T1={S,1,4,7,Z} ; f(T1)=30; cung bão hòa ={1,4}

T2={S,3,6,9,Z} ; f(T2)=40; cung bão hòa={3,6}

T3={S,2,5,8,Z} ; f(T3)=40; cung bão hòa ={2,5}

Tìm được đồ thị G1(X,U1) như sau:

Bước 2:

T4={S,1,3,4,6,7,Z} ; f(T4)=25; cung bão hòa ={(1,3),(4,6)}

T5={S,3,5,8,Z} ; f(T5)=30; cung bão hòa ={(S,3),(5,8)}

đồ thị G2(X,U2) như sau:

Trang 16

Bước 3:

T6={S,2,3,5,6,8,9,Z} ; f(T6)=15; cung bão hòa ={(2,3),(6,8)}

đồ thị G3(X,U3) như sau:

S và Z mất liên thông, thuật toán kết thúc

f( )= ∑ ( ) = 30+40+40+25+30+15=180

Bài 1: (Phần Đại số Logic) Cho hàm đại số logic F(x,y,z) =(x | y) →(y↓z)

a) Lập bảng giá trị của hàm F(x,y,z)

b) Tìm dạng tuyển chuẩn tắc và biến đổi nó về dạng chỉ có dấu tuyển và phủ định c) Thiết kế mạch logic thực hiện hàm F(x,y,z) với các cổng NOT, AND và OR

Trang 17

= ( ˄ ˄ )˅ ( x ˄ ˄ ) ˅ (x ˄ ˄ ) ˅ ( x ˄ ˄ ) Biến đổi về dạng chỉ có dấu tuyển và phủ định Chú ý ̿=A và ˄ ˄ = ˅ ˅ (Công thức De Morgan)

F(x,y,z) = ( ˄ ˄ ) ˅ ( x ˄ ˄ ) ˅ (x ˄ ˄ ) ˅ ( x ˄ ˄ )

= ( x ˅ ˅ ) ˅ ( ˅ ˅ ) ˅ ( ˅ ˅ ) ˅ ( ˅ ˅ ) c) Vẽ mạch logic :

Bài 2: Cho hàm đại số logic F(x,y,z) =(x | y) → (y ⨁ z)

b) Tìm dạng hội chuẩn tắc và biến đổi nó về dạng chỉ có dấu hội và phủ định

c) Thiết kế mạch logic thực hiện hàm F(x,y,z) với các cổng NOT, AND và OR

Trang 18

b) Dạng hội chuẩn tắc :

F(x,y,z) = T1 ˄ T2 ˄ T3

= (x ˅ y ˅ z) ˄ ( ˅ ˅ ) ˄ ( ˅ ˅ )Biến đổi về dạng chỉ có dấu hội và phủ định Áp dụng định lý De Morgan và công thức phủ định, ta có:

F(x,y,z) =(x ˅ y ˅ z) ˄ ( ˅ ˅ ) ) ˄ ( ˅ ˅ )

= (x ˄ y ˄ z ) ˄ (x ˄ y ˄ z) ˄ (x ˄ y ˄ z) c) Vẽ mạch logic:

Bài 3: Cho hàm đại số logic F(x,y,z) lấy giá trị 1 khi và chỉ khi có ít nhất 2 biến lấy giá trị 1

b) Tìm dạng hội chuẩn tắc và biến đổi nó về dạng chỉ có dấu hội và phủ định

c) Thiết kế mạch logic thực hiện hàm F(x,y,z) với các cổng NOT, AND và OR

Trang 19

= ( ˅ ˅ ) ˄ ( ˅ ˅ ) ˄ ( ˅ ˅ ) ˄ ( ˅ ˅ )

= (x ˄ y ˄ z) ˄ (x ˄ y ˄ ) ˄ (x ˄ y ˄ z) ˄ (x ˄ y ˄ z) c) Thiết kế mạch logic:

Bài 4: Cho hàm đại số logic F(x,y,z) =(x ˄ z) ˅ (y ⨁ z)

1) Lập bảng giá trị của hàm F(x,y,z)

2) Tìm dạng tuyển chuẩn tắc và biến đổi nó về dạng chỉ có dấu tuyển và phủ định 3) Thiết kế mạch logic thực hiện hàm F(x,y,z) với các cổng NOT, AND và OR

Trang 20

F(x,y,z) = (x ˄ y ˄ z) ˅ (x ˄ y ˄ z) ˅ (x ˄ y ˄ z) ˅ (x ˄ y ˄ z) ˅ (x ˄ y ˄ z)

= ( ˄ ˄ ) ˅ (x ˄ y ˄ z) ˅ ( ˄ ˄ ) ˅ (x ˄ y ˄ z) ˅ ( ˄ ˄ )

= (x ˅ y ˅ z) ˅ (x ˅ y ˅ z) ˅ (x ˅ y ˅ z) ˅ (x ˅ y ˅ z) ˅ (x ˅ y ˅ z) 3) Thiết kế mạch logic:

Định dạng
Số trang	41
Dung lượng	1,87 MB