skkn dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để giải một số bài tập đại số dạng khác

Đối với chơng trình Toán lớp 9, phần phơng trình bậc hai là một phần khá dễ tiếp thu với học sinh, song việc sử dụng kiến thức về phơng trình bậc hai để giải quyết một số bài tập nâng ca

A- Đặt vấn đề

I Cơ sở khoa học

Để nắm vững và vận dụng được cỏc kiến thức đó học vào thực tiễn đời sống thỡ bất cứ mụn học nào cũng đũi hỏi học sinh phải cú sự nỗ lực cố gắng trong học tập, chịu khú suy nghĩ tỡm tũi, cú tớnh kiờn trỡ, nhẫn lại, khụng nản lũng khi gặp khú khăn trong học tập cũng như trong cuộc sống sau này Cú như vậy thỡ cỏc em mới làm chủ được tri thức khoa học và cụng nghệ hiện đại, cú kỹ năng thực hành giỏi và cú tỏc phong cụng nghiệp, vận dụng được cỏc kiến thức

đó học vào thực tế một cỏch linh hoạt, sỏng tạo; là người cụng dõn tốt sống cú

kỷ luật, người lao động cú kỹ thuật nhỡn nhận được đõu là đỳng, đõu là sai; cú chõn lý rừ ràng

Trong trường phổ thụng mụn toỏn chiếm một vị trớ khỏ quan trọng vỡ nú giỳp cỏc em tớnh toỏn nhanh, tư duy giỏi, suy luận, lập luận hợp lý lụgic, khụng những thế nú cũn hỗ trợ cho cỏc em học tốt cỏc mụn học khỏc như: vật lý, húa học, sinh vật, kỹ thuật, địa lý … “Dự cỏc bạn cú phục vụ ngành nào, trong cụng tỏc nào thỡ kiến thức và phương phỏp toỏn học cũng cần cho cỏc bạn …” (Phạm Văn Đồng)

Mụn toỏn là mụn học giỳp cho học sinh phỏt triển tư duy do tớnh trừu tượng nhưng chặt chẽ logic, đũi hỏi học sinh phải biết phỏn đoỏn, lập luận, suy luận chặt chẽ, là mụn học “thể thao của trớ tuệ” Để nắm được kiến thức và vận dụng được cỏc kiến thức đó học đũi hỏi cỏc em phải biết phõn tớch, tỡm tũi, phỏn đoỏn … từ đú nú đó rốn luyện cho cỏc em trớ thụng minh sỏng tạo

Đổi mới phơng pháp dạy học Toán hiện nay là tích cực hoá hoạt động học của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nâng cao năng lực phát triển và giải quyết vấn đề, từ đó học sinh tự lực khám phá những điều mình cha biết chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã sắp đặt sẵn Trong tiết lên lớp giáo viên là ngời tổ chức và chỉ đạo học sinh tiến hành các hoạt động họctập, củng cố kiến thức cũ, tìm tòi phát hiện kiến thức mới, luyện tập vận dụng kiến thức vào các tình huống khác nhau

Trong chơng trình học phổ thông môn Toán là môn đợc hầu hết các em học sinh say mê và thích thú Với môn Toán các kiến thức cơ bản liên quan ràng buộc với nhau, kiến thức lớp trên đợc xây dựng từ cơ sở kiến thức lớp dới, kiến thức mới đợc phát triển từ kiến thức cũ, bài tập này giải đợc nhờ vào kết quả của bài tập khác Vì vậy để học tốt bộ môn này đòi hỏi ngời học phải có khả năng t duy tốt

Trong quá trình giảng dạy tôi đã luôn cố gắng làm thế nào để rèn và phát triển t duy cho học sinh với mục đích giúp các em có khả năng tiếp thu bộ môn Toán tốt hơn

Đối với chơng trình Toán lớp 9, phần phơng trình bậc hai là một phần khá dễ tiếp thu với học sinh, song việc sử dụng kiến thức về phơng trình bậc hai

để giải quyết một số bài tập nâng cao thì học sinh gặp khó khăn, mà những kiến thức này còn tiếp tục phát triển ở các lớp học trên nhất là chơng trình toán ở phổ thông trung học và rất cần thiết đối với ngời học toán

Phần lớn học sinh khi học phần này đều thấy khó hiểu và luôn ngại làmcác bài tập dạng này, nhng khi đã hiểu thì lại rất say mê

II Mục đích nghiên cứu

Chính vì những lý do trên mà tôi đã tìm tòi suy nghĩ nghiên cứu và đã

áp dụng vào thực tế giảng dạy việc sử dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai để giải các bài tập đại số dạng khác đồng thời nhằm phát triển t duy cho học sinh Bên cạnh đó tôi đã hệ thống sắp xếp các bài tập từ dễ đến khó, bài tập sau đợc phát triển từ bài tập trớc Mục đích của tôi là rèn t duy cho học sinh trong giải toán, hớng cho học sinh cách suy nghĩ, hớng làm khi đứng trớc một bài tập toán Bên cạnh còn giúp cho học sinh có khả năng chủ động tự ra đề toàn mới tơng tự hoặc phát triển từ một bài toán đã biết đồng thời hớng cho học sinh cách nghĩ, cách giải một bài toán từ những kiến thức không mấy liên quan trong

đề bài…

Tôi đã áp dụng kinh nghiệm “Dùng điều kiện có nghiệm của phơng

trình bậc hai để giải một số bài tập đại số dạng khác” và đã thấy đợc những kết

quả khả quan, có đạt đợc những mục đích mong muốn

III Đối tợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Trong kinh nghiệm của mình tôi xin trình bày kỹ năng sử dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai vào giải toán và cách làm xuất hiện ph-

ơng trình bậc hai trong bài toán tởng chừng không mấy liên quan

Trong mỗi một bài tập minh họa tôi đều có hớng dẫn gợi ý để học sinh tự phát hiện ra cách làm Sau mỗi dạng, mỗi loại tôi thờng chốt lại phơng pháp làm và có đa ra bài tập tơng tự tự luyện

Trong kinh ngiệm này bài tập chủ yếu tôi đề cập đến trong chơng trình lớp 9 hệ thống bài tập từ dễ đến khó tuỳ theo khả năng tiếp thu của học sinh

đến đâu thì ta áp dụng đến đó Kinh nghiệm này có thể áp dụng dạy chuyên đề,

có thể dạy ở các tiết luyện tập, ôn tập cuối năm cho học sinh

Kết hợp giữa kiến thức cơ bản và kiến thức mở rộng nâng cao, tôi đã tìm tòi nghiên cứu trong chơng phơng trình bậc hai của lớp 9 Sau khi chọn đợc bài toán điển hình, tôi bắt đầu đi xây dựng các bài tập áp dụng và sắp xép các bài tập

đó theo một trình tự hợp lý Sau khi học sinh đã đợc hết các kiến thức có liên quan ở trên lớp tôi bắt đầu áp dụng kinh nghiệm này trong giảng dạy Tôi chọn hai lớp học sinh cơ bản có trình độ đồng đều, một lớp tôi sẽ áp dụng kinh

nghiệm đã nghiên cứu, lớp còn lại làm đối chứng

V Phơng pháp nghiên cứu

Trên cơ sở rút kinh nghiệm từ quá trình dạy học trên lớp, kinh nghiệm bồi dỡng học sinh giỏi khi thực hiện nghiên cứu và áp dụng kinh nghiệm này trong thực tế giảng dạy tôi đã vận dụng các phơng pháp nghiên cứu sau: - Phơng pháp suy luận

- Phơng pháp phân tích tổng hợp

- Phơng pháp đặc biệt hóa- khái quát hóa

- Phơng pháp gợi mở

- Phơng pháp đại số …

Tôi đã nghiên cứu và áp dụng vào thực tế giảng dạy thấy có hiệu quả tốt Tôi hoàn thành kinh nghiệm này vào ngày 25 tháng 3 năm 2012

B- giải quyết vấn đề

+ Nếu   0 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm

c Cụng thức nghiệm thu gọn

e Tỡm hai số biết tổng và tớch của chỳng

Nếu hai số cú tổng bằng S và tớch bằng P thỡ hai số đú là nghiệm của phương trỡnh x2  Sx P  0điều kiện để cú hai số đú làS2  4P 0

2 Một số phương trình quy về phương trình bậc hai

3 Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

a Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx +c = 0 (a 0) có hai

4 Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm

a Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) có nghiệm khi  0hoặc

ac < 0

b Chú ý:

+ Nếu ac  0mà a 0thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm

+ Nếu chỉ có ac  0 thì chưa đủ để phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm

5 Định lý về dấu của đa thức bậc hai

Cho đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx +c = 0 (a 0)

a Nếu   0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị của x

b Nếu   0 thì f(x) cùng dấu với a với

2

b x a

+ f(x) trái dấu với a nếu x1 x x 2

+ f(x) cùng dấu với a nếux x 1 hoặc x x 2

II Bµi tËp thÓ hiÖn

Dạng 1: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm

Bài 1: Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm:

2

) 1 ( 7 3 4

2

x y x

Hướng dẫn: Vì đã biết cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế nên học

sinh đều biết rút x theo y từ phương trình (1) và thế vào phương trình (2) để xuấthiện phương trình một ẩn

Từ (1) ta có x = 3 y4 7 thế vào (2) ta được

2.(3 y4 7 )2 + 5y2 = m

Thu gọn được 49y2 + 42y + (49 - 8m) = 0 (3)

Để hệ phương trình có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm

a Tìm điều kiện của a để hệ phương trình đã cho có nghiệm

b Tìm giá trị của a để tích xy có giá trị lớn nhất

Hướng dẫn: Tương tự bài 1 hầu hết học sinh đều biết dùng phương pháp thế

đưa điều kiện có nghiệm của hệ về điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai

Đến đây thì học sinh hoàn toàn bị lúng túng vì khi tìm theo cực trị của tam thức bậc hai thì không có a thỏa mãn điều kiện để tồn tại x, y mà

xy = -21 (a - 1)2 + 2  2 nhưng dấu “=” xảy ra khi a = 1 không thỏa mãn (*)

Vì thế 2 không phải là giá trị lớn nhất của xy

Tôi cho các em nhận dạng đồ thị của hàm số xy = f(a) = -21 a2 + a + 23

Do đồ thị hàm số xy = f(a) = -21 a2 + a + 23 là một parabol quay xuống dưới Mặt khác f(-1) = 0, f( 35) =197

Do vậy giá trị lớn nhất của xy là 197 khi x = y = 53

Khi đó a = 53

Như vậy học sinh đều thấy rằng để tìm điều kiện có nghiệm của hệ

phương trình ta đều phải biến đổi và đưa về tìm điều kiện có nghiệm của

phương trình một ẩn

Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức

Bài 3: Cho x2 = 3.(xy + y – y2)

Chứng minh rằng: 0 y  4

Hướng dẫn: Với bài này học sinh chưa biết sẽ bắt đầu từ đâu, tôi đã gợi ý các

em hãy viết về dạng phương trình bậc hai của một biến Hầu hết các em đều quen phương trình ẩn x nên đã đưa về phương trình bậc hai với ẩn x như sau:

Vì x2 = 3.(xy + y – y2) suy ra x2 – 3xy – 3y + 3y2 = 0

Rõ ràng vì tồn tại x, y nên phương trình trên có nghiệm

Để phương trình bậc hai đối với ẩn x có nghiệm thì :

Bài4 : Cho a, b, c, thoả mãn hệ điều kiện: a b c 5

3

7

Hướng dẫn: Ở bài này thì không thể biến đổi như bài 3 mà ra ngay phương trình

bậc hai được, học sinh cần chú ý tới hai số có tổng và tích

Vì a + b + c = 5 nên b + c = 5 - a

ab + bc + ac = 8  bc = 8 - a.(b + c) = 8 - a.(5 - a) = a2 - 5a + 8 Suy ra b, c là nghiệm của phương trình

Bài 5: Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện:

a + b + c = - 2 (1), a2 + b2 + c2 = 2 (2)

Chứng minh rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn [- 34 ; 0] khi biểu diễn trên trục số

Hướng dẫn: Vì dạng của bài tập này giống bài 2 nên hầu hết học sinh đều biết

đưa về tổng và tích của hai số nào đó

Bình phương hai vế của (1)

 (a + 2)2 - 4(a2 + 2a + 1)  0

 a.(3a + 4)  0  - 34  a  0

Tương tự - 34  b  0, - 34  c  0

Dạng 3: Tìm cực trị của một biểu thức

Bài 6: Cho phương trình x4 + 2x2 + 2ax + (a + 1)2 = 0 (1)

Tìm giá trị của a để nghiệm của phương trình:

a Đạt giá trị nhỏ nhất

b Đạt giá trị lớn nhất

Hướng dẫn: Khi tôi đưa ra bài tập này thì học sinh đều thắc mắc đây là phương

trình bậc 4 và tìm cách đổi biến đưa về phương trình bậc hai

Tôi đã gợi ý các em cần đọc kỹ yêu cầu, tôi nhấn mạnh ở đây cần lưu ý là có a thì nghiệm cần điều kiện gì, lập tức có học sinh đã phát hiện ra ngay cần đưa về phương trình ẩn a

Gọi m là nghiệm của phương trình (1) đã cho thì:

a Nghiệm của phương trình đạt giá trị nhỏ nhất là 0 với a = -1

b Nghiệm của phương trình đạt giá trị lớn nhất là 1 khi a = -2

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:

A =

1

1

2 2

x x

Hướng dẫn: Tương tự bài tập trên học sinh đã biết để tìm cực trị của biểu thức A

thì cần đưa về phương trình bậc hai với ẩn là x song các em còn lúng túng chưa biết biến đổi thế nào, tôi đã hướng dẫn các em nư sau:

Gọi a là một giá trị nào đó của biểu thức A rồi đưa về phương trình bậc hai với ẩn x, đến đây học sinh đã biết cách làm như sau:

a =

1

1

2 2

x x

Do x2 + x + 1 0 nên phương trình tương đương với

ax2 + ax + a = x2 - x + 1

 (a - 1)x2 + (a + 1)x + (a - 1) = 0 (2)

* Nếu a = 1 thì Phương trình (2) có nghiệm x = 0

* Nếu a 1 để phương trình (2) có nghiệm thì   0

3

1

hoặc a = 3 thì nghiệm của phương trình (2) là x = 2.(a11a) Với a = 31 thì x = 1, a = 3 thì x = -1

Vậy biểu thức A có giá trị nhỏ nhất bằng 31 khi x = 1

Biểu thức A có giá trị lớn nhất bằng 3 khi x = -1

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

B = 2 2

2 2

y xy x

y xy x









Hướng dẫn: Bài tập này khác bài trên vì có hai ẩn x, y vì thế học sinh đã rất

lúng túng Tôi hướng dẫn các em chia tử và mẫu cho y khác 0 xem sao

Như vậy để chia được chúng ta cần xét 2 trường hợp:

Xét y = 0 thì B = 1 với x 0

Xét y 0 thì B =

1 )

(

1 )

(

2 2

x y

a a

Khi đó A có giá trị nhỏ nhất là 31 với a = 1 nên x = y

A có giá trị lớn nhất là 3 với a = -1 nên x = - y

Bài 9: Tìm các số m, n để biểu thức

2 2

Hướng dẫn: Bài này thì ngược lại so với các bài tập trên, hầu hết các em đều gặp

khó khăn và lúng túng không biết bắt đầu từ đâu Tôi hướng dẫn các em hãy cứ tìm xem để có x thì biểu thức A có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất như thế nào Do

đã được làm các bài tập trên nên học sinh biết cách tìm như sau:

Gọi a là giá trị tùy ý của A thì:

a =

1

2

2 2

vì x2 + 1 > 0 suy ra (a - 2)x2 – mx+ (a - n) = 0 (4)

Ta thấy a = 2 không là giá trị lớn nhất, không là giá trị nhỏ nhất của A  Xét a2 tìm điều kiện để (4) có nghiệm

 = m2 – 4(a - 2)(a - m)0

 4a2  4(n 2)a (8n m ) 0   2  (5)

Đến đây tôi hướng dẫn các em tiếp tục khai thác những điều kiện bài cho Nghiệm của bất phương trình (5) là a1 a a2trong đó a1, a2 là các nghiệmcủa phương trình 4a2  4(n 2)a (8n m ) 0   2  (6)

Theo bài ra ta có 1 a 6  Như vậy cần tìm m, n để (6) có 2 nghiệm là

4 ) 2 ( 4

2 2

1

2 1

m n a

a

n a

2 7

m n n





 4 5

m n

Với n = 5; m =  4 thỏa mãn điều kiện có nghiệm của (6)

Hướng dẫn: Ban đầu các em thấy biểu thức này có dạng hoàn toàn khác các biểu

thức ở trên nên lúng túng chưa biết làm thế nào, tôi đã gợi ý các em vẫn biến đổihoàn toàn tượng tự như các bài trên và bình phương đưa về phương trình bậc hai Biểu thức A nhận giá trị là m do đó phương trình ẩn x sau đây có nghiệm:

       (7) Với m  x > 0 (7)  2 2 2 1

x

 2mx2  m x 1 02   (8)

Ở (8) do m  0 nên (8) là phương trình bậc hai

Điều kiện để phương trình (8) có nghiệm là:

 0

 m4  8m 0

Do m > 0  m3

 8  m  2 * m = 2 1

2

x

  thỏa mãn điều kiện 0 < x  m

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 với x = 1

Hướng dẫn: Đến bài tập này thì các em đã quen với cách làm nên đã biết biến

đổi để làm xuất hiện phương trình bậc hai

Với mỗi giá trị của x ta thấy biểu thức có một giá trị a tương ứng

Với a 1 phương trình (9) có nghiệm   0

5

, y = 14

5



x 2x 2B

Bài 3: Gọi x1, x2 lànghiệm của các phương trình sau, tìm các giá trị của m để

x x

 với 0 < x < 1Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức

2





x x

B i 7: Bài 6 iết cặp số (x, y) là nghiệm của hệ phương trình

m y x m y x

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P = xy + 2(x + y)

Bài 8: Biết cặp số (x, y) là nghiệm của hệ phương trình

2 2

2 y a a x

a y x

Xác định giá trị của tham số a để hệ thỏa mãn tích xy nhỏ nhất

III Kết quả:

Sau khi áp dụng kinh ngiệm “Dùng điều kiện có nghiệm của phơng trình

bậc hai để giải một số bài tập đại số dạng khác” tôi thấy học sinh tích cực,

hăng say học tập môn toán hơn Các em đã có khả năng biết xâu chuỗi bài toán lại với nhau, khi gặp một bài toán mới đã có những phán đoán nh tơng tự, giống bài toán nào đó đã gặp, đã làm đồng thời biết liên hệ, sử dụng kiến thức đã đợc học vào giải quyết bài tập và cụ thể kĩ năng giải toán của học sinh tốt hơn rất nhiều Trên thực tế tôi đã cho học sinh làm một bài kiểm tra trên hai lớp 9A và 9B Lóp 9A đợc dạy áp dụng kinh nghiệm trên, lớp 9B tôi chỉ dạy đơn thuần là luyện tập và chữa bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập Kết quả bài kiểm tra cụ thể nh sau:

Bảng kết quả đã thể hiện kinh nghiệm “Dùng điều kiện có nghiệm của

ph-ơng trình bậc hai để giải một số bài tập đại số dạng khác” mang lại hiệu quả

đáng kể trong giảng dạy Không những kết quả bài kiểm tra lớp 9A cao hơn mà

ý thức học tập bộ môn của các em học sinh lớp 9A cũng tốt hơn, các em yêu thích bộ môn hơn…