skkn dạy giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

Hầu hết các bài toán có dữ kiện dàng buộc nhau, ẩn ý dưới dạng lời văn, buộchọc sinh phải có suy luận tốt mới tìm được sự liên quan giữa các đại lượng dẫn đếnviệc lập phương trình hoặc h

Hầu hết các bài toán có dữ kiện dàng buộc nhau, ẩn ý dưới dạng lời văn, buộchọc sinh phải có suy luận tốt mới tìm được sự liên quan giữa các đại lượng dẫn đếnviệc lập phương trình hoặc hệ phương trình mà thực chất các vấn đề khoa học giảitoán là giải phương trình.

Trong phân phối chương trình toán ở trường trung học cơ sở thì toán lớp 8 họcsinh mới được học về khái niệm phương trình và các phương trình Nhưng việcgiải phương trình đã có trong chương trình toán từ lớp 1 với mức độ và yêu cầu tùytheo từng đối tượng học sinh

Ở lớp 1, 2 phương trình được cho dưới dạng: Điền số thích hợp vào ô trống:

- 2 = 5

Ở lớp 3 được nâng dần dưới dạng: X + 3 – 2 = 10

Ở lớp 4, 5 cho dưới dạng phức tạp hơn, chẳng hạn:

có liên quan đến thực tế đó Do khi giải toán học sinh thường mắc sai lầm là thoát

li được thực tế, dẫn đến quên điều kiện của ẩn số Học sinh không khai thác hếtmối quan hệ giàng buộc của thực tế… từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm

dạng toán này Mặt khác, cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình

độ giáo viên mới chỉ dạy học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của Sách GiáoKhoa mà chưa biết phân loại toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạngtoán Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu trong quá trình đặt ẩn số,mối liên hệ giữa các số liệu trong bài toán, dẫn đến lúng túng trong việc giải toánnày

Vì thế, muốn giải toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình điềuquan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ trong bài toán thành những quan

hệ toán học Do vậy, nhiệm vụ của người thầy là phải dạy cho học sinh cách dẫngiải bài tập Do đó khi hướng yêu cầu về giải một bài toán này phải dựa trên một

số nguyên tắc chung: Yêu cầu về giải một bài toán, quy tắc giải toán về cách lậpphương trình, phân loại dạng toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lượng(tăng, giảm, thêm, bớt…) làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lậpđược phương trình dễ dàng Đây là bước quan trọng và khó khăn đối với học sinh.Với mong muốn được trao đổi với đồng nghiệp những kinh nghiệm trong quátrình giảng dạy về dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ

phương trình” Vì vậy tôi đã chọn đề tài “ Dạy giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình.”

Trong thời gian giảng dạy ở trường THCS tôi đã được học hỏi rất nhiều kinhnghiệm của các thầy cô giáo lớp trước và được đồng nghiệp trong nhóm giúp đỡ,đặc biệt là sự hướng dân tận tình của thầy Tống Trần Hoàn đã giúp tôi hoàn thành

đề tài này

Tôi xin chân thành cảm ơn !

NỘI DUNG

***

CHƯƠNG IPHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ YÊU CẦU GIẢI MỘT BÀI TOÁN

I PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

Dựa vào phân phối chương trình chung của Bộ giáo dục - Đào tạo ban hành

về chương trình toán THCS với nội dung: Phương trình và hệ phương trình

Phương pháp hướng dẫn học sinh giải bài toán trên là dựa vào nguyên tắcchung: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Nội dung quy tắc gồm các bước:

Bước 1: Lập phương trình (gồm các công việc).

- Chọn ẩn số (Chú ý ghi rõ đơn vị và điều kiện cho ẩn)

- Biểu thị các số liệu chưa biết qua ẩn và các số liệu đã biết

- Dựa vào mối quan hệ giữa các số liệu để lập phương trình (hệ phương trình)

Bước 2: Giải phương trình và hệ phương trình.

Tùy thuộc vào từng dạng phương trình và hệ phương trình mà chọn cách giảicho thích hợp

Bước 3: Nhận định kết quả và trả lời.

So sánh nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn xem có thích hợp không rồi trảlời kết quả (có kèm đơn vị)

Mặc dù đã có quy tắc trên song người giáo viên trong quá trình hướng dẫn giảibài toán này cần cho học sinh vận dụng theo sát các yêu cầu về giải bài toán nóichung

II YÊU CẦU VỀ GIẢI MỘT BÀI TOÁN.

1 Yêu cầu 1:

Lời giải không phạm phải sai lầm, không có sai sót dù nhỏ Muốn vậy giáoviên phải làm cho học sinh hiểu đề bài, trong quá trình giải không có sai sót vềkiến thức cơ bản, phương pháp suy luận, kỹ năng tính toán, cách kí hiệu ẩn phảichính xác, phải phù hợp với bài toán và trên thực tế

Tỷ số tuổi anh và tuổi em bằng 0,5 ( = 1/2) Từ đó ta có tuổi anh gấp đôi tuổi

em Sau 3 năm, tuổi anh và tuổi em đều tăng 3 đơn vị; khi đó, tỷ số tuổi của anh vàcủa em là: 0,5 + 0,1 = 0,6

- Giải:

Gọi tuổi em hiện nay là: x ( x > 0; x Є N)

Thì tuổi anh hiện nay là: 2x

Sau 3 năm nữa tuổi em là: x + 3

Sau 3 năm nữa tuổi anh sẽ là: 2x + 3

Theo đầu bài ra ta có phương trình :

x + 3 2x + 3

<=> x + 3 = 0,6 (2x + 3)

<=> x = 6 (T/m điều kiện)

Vậy tuổi em hin nay là: 6 (tuổi)

Tuổi anh hiện nay là : 6 x 2 = 12 (tuổi)

2 Yêu cầu 2:

Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác Trong quá trình thực hiệntừng bước phải có lôgíc chặt chẽ với nhau có cơ sở lý luận chặt chẽ, đặc biệt phảichú ý đến việc thỏa mãn điều kiện nêu trong giả thiết Xác định ẩn phải khéo léo,mối quanhệ giữa ẩn và các dữ kiện đã cho phải làm nổi bật được ý phải tìm Nhờmối tương quan giữa các đại lượng trong bài toán thiết lập được phương trình (hệphương trình), từ đó tìm được các giá trị của ẩn Muốn vậy giáo viên cần làm chohọc sinh xác định rõ ràng đâu là ẩn đâu là dữ kiện, đâu là điều kiện Điều kiện có

đủ để xác định được ẩn không? Từ đó mà xác được hướng đi, xây dựng được lờigiải

Ví dụ 2:

Hai cạnh của một khu đất hình chữ nhật hơn kém nhay 4m Tính chu vi củakhu đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1020 m2

Giải:

Gọi chiều rộng của khu đát hình chữ nhật đó là: x (m) (x > 0)

=> Chiều dài của khu đất là: x + 4 (m)

Ta có phương trình:

x (x + 4) = 1020

x2 + 4x - 1020 = 0

x1 = 30 (t/m)x2 = -34 (loại)

Vậy: Chiều rộng của khu đất là: 30m

Chiều dài của khu đất là: 30 + 4 = 34m

Ví dụ 3:

Một cạnh tam giác có chiều cao bằng 3/4 cạch đáy Nếu chiều cao tăng thêm3cm và cạch đáy giảm đi 5cm thì diện tích tam giác đó bằng 9/10 diện tích banđầu Tính chiều cao và cạch đáy của tam giác lúc đầu?

- Phân tích:

Dù chiều cao và cạch đáy của tam giác có thay đổi thì diện tích (S) của tamgiác luôn được tính theo công thức: S = 1/2 . (cạch đáy chiều cao)

- Giải:

Gọi cạnh đáy của tam giác lúc đầu là: x (cm) (x>5)

→ Chiều cao của tam giác là: 3

Khi giảm cạnh đáy đi 5cm thì cạnh đáy mới là: x - 5 (cm)

Diện tích tam giác khi đó là:

S2 = 1 3

.( 3) ( 5)

2 4 x + x −Theo bài ra ta có:

Vậy cạnh đáy của tam giác lúc ban đầu là 20cm

Chiều cao của tam giác là:3

4.20 = 15 (cm).

4 Yêu cầu 4:

Lời giải bài toán phải đơn giản và phù hợp với kiến thức trình độ học sinh; đại

đa số học sinh có thể hiểu và áp dụng được

Ví dụ 4:

Một xưởng may phải may xong 3000 áo trong một thời gian quy định Đểhoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 6 áo so với số

áo phải may trong một ngày theo kế hoạch Vì thế, 5 ngày trước khi hết thời hạnxưởng đã may được 2650 áo Hỏi theo kế hoạch xưởng phải may trong thời gianbao lâu và mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu áo?

- Giải:

Gọi số áo phải may trong 1 ngày theo kế hoạch là x (x Є N; x > 0)

Thời gian quy định may xong áo là 3000

x (ngày).

Số áo thực tế may được trong 1 ngày là: x + 6 (áo)

Thời gian may xong 2650 áo là: 2650

Vậy: Theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong 100 áo

Thời gian quy định may xong 3000 áo là: 3000

100 = 30 (ngày)

5 Yêu cầu 5: Lời giải phải được trình bày khoa học, mối liên hệ giữa các bước giải

trong bài toán phải lôgíc, chặt chẽ với nhau, các bước sau được suy luận từ cácbước trước nó đã được kiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc đã biết trước

Ví dụ 5: Chiều cao của một tam giác vuông là 9.6 m và chia cạnh huyền làm 2

đoạn hơn kém nhau 5,6 m Tính độ dài cạnh huyền của tam giác

- Phân tích: Xét tam giác vuông ABC Giả sử AC > AB ⇔CH > BH

Theo công thức hệ thức lượng trong tam giác, ta có phương trình:

x.(x + 5,6) = 9,62

x2 + 5,6 x - 92,16 = 0x1 = 7,2 (thỏa mãn điều kiện)

x2 = - 12,8(loại)

Vậy: BH = 7,2 m

CH = 7,2 + 5,6 = 12,8 m

Độ dài cạnh huyền là : BC = BH + CH = 7,2 + 12,8 = 20 (m)

6 Yêu cầu 6 : Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ Các bước cần lập luận không

chồng chéo, phủ định lẫn nhau Muốn vậy cần rèn cho học sinh có thói quen saukhi giải xong cần thử lại kết quả và tìm các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sótnghiệm nhất là đối với phương trình bậc hai, hệ phương trình

Ví dụ 6: Độ dài cạnh huyền của một tam giác là 25, tổng độ dài hai cạnh góc

vuông là 35 Tìm độ dài mỗi cạnh của tam giác đó

- Giải: Gọi độ dài các cạnh góc vuông của tam giác là x; y (x > 0; y > 0).

Ta có hệ phương trình:

x + y = 35

x2 +y2 = 252 = 625

x + y = 35 x + y = 35(x + y)2 – 2xy = 625 x y = 300 ⇔x, y là nghiệm của phương trình: a2 – 35 a + 300 = 0

a1 = 20; a2 = 15 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông là 20 và 15

Nhận xét: Ở bài toán này, khi tìm ra 2 kết quả là 20 và 15, học sinh sẽ phân

vân: 1 hay 2 đáp số? (x = 15; y = 20) ; (x = 20; y = 15)

Trên thực tế 2 tam giác vuông này là một Giáo viên cần xây dựng cho họcsinh có thói quen đối chiếu kết quả với điều kiện đầu bài, nếu đảm bảo thì cácnghiệm dều hợp lí (Một bài toán không nhất thiết chỉ có duy nhất 1 kết quả)

CHƯƠNG II : PHÂN LOẠI BÀI TOÁN

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

VÀ CÁC GIAI ĐOẠN GIẢI MỘT BÀI TOÁN

I – PHÂN LOẠI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

Trong bài tập ở lớp 9, giải bài tập bằng cách lập phương trình và hệ phươngtrình có thể phân loại như sau:

1 Loại toán về chuyển động

2 Loại toán liên quan đến số học

3 Loại toán về năng suất lao động (tỷ số phần trăm)

4 Loại toán công việc làm chung, làm riêng (toán quy về đơn vị)

5 Loại toán về tỉ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng, hiệu, tỉ số củachúng)

6 Loại toán có liên quan đến hình học

7 Loại toán có nội dung vật lí, hóa học

II CÁC GIAI ĐOẠN GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

ax + by = c

a,x + b,y = c, ( Trong đó a, b, a,, b, không đồng thời bằng 0 )

Để đảm bảo 6 yêu cầu về bài toán và 3 bước trong quy tắc giải bài toán bằngcách lập phương trình (hệ phương trình) như phần I đã trình bày thì giải bài toán này có thể chia làm 7 giai đoạn cụ thể hơn 3 bước quy tắc giải bài toán bằng lập phương trình (hệ phương trình)

* Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích hết giả thiết, kết luận của bài toán

giúp học sinh hiểu bài toán cho những dữ kiện gì? Cần tìm gì? (Nêú được có thể

mô tả bằng hình vẽ)

* Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề có liên quan đến lập phương trình Tức là

chọn ẩn số thế nào cho phù hợp, điều kiện cho thỏa mãn

* Giai đoạn 3: Lập phương trình, dựa vào quan hệ giữa ẩn số và các đại

lượng đã biết, dựa vào công thức, tính chất để xây dựng phương trình, biến đổi tương đương để đưa phương trình đã xây dựng về phương trình ở dạng đã biết, đã giải được

* Giai đoạn 4: Giải phương trình , vận dụng các kí thuật giải phương trình

đã biết để tìm nghiệm của phương trình

* Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phương trình, để xác định lời giải

của bài toán tức là xét nghiệm của phương trình với điều kiện đặt ra của bài toán, với hiện thực xem có phù hợp không?

* Giai đoạn 6: Trả lời bài toán kết luận xem có mấy nghiệm, sau khi thử lại.

* Giai đoạn 7: Phân tích, biện luận cách giải, phần này thường mở rộng cho

học sinh tương đối khá, giỏi Sau khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh biến đối bài toán thành bài toán khác, ta có thể:

- Giữ nguyên ẩn số, thay đổi các yếu tố khác (dữ kiện và giả thiết)

- Giữ nguyên dữ kiện, thay đổi các yếu tố khác (ẩn số hay giả thiết) nhằm phát triển tư duy cho học sinh

- Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất

CHƯƠNG III: NHỮNG LOẠI BÀI TOÁN

VÀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI PHÂN LOẠI BÀI TOÁN

I DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG:

Bài toán 1: Nhà Nam và Lan cùng nằm trên đường quốc lộ và cách nhau 7 m.

Nếu Lan và Nam đi xe đạp cùng lúc và ngược chiều nhau thì sau 25 phút họ gặpnhau

Tính vận tốc của mỗi người? Biết rằng vận tốc của Lan bằng 3

4 vận tốc củaNam

- Phân tích: Đây là bài toán chuyển động ngược chiều khi hai người gặp nhau

thì tổng quãng đường mà hai người đã đi đúng bằng khoảng cách ban đầu giữa haingười

Có thể minh họa bằng bẳng sau:

Bài toán 2 : Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120 km trong

một thời gian quy định Sau khi đi được 1 giờ, ô tô bị chắn bởi xe hỏa mất 10 phút

Do đó để đến B kịp giờ xe đã phải tăng vận tốc thêm 6 km/h Tính vận tốc ô tô lúcđầu

Phân tích : + Thời gian trên thực tế ô tô đã đi cố thể chia làm 3 giai đoạn :

- Giai đoạn 1 : Ô tô đi với vận tốc dự định

- Giai đoạn 2 : Ô tô dừng lại

- Giai đoạn 3 : Ô tô đi với vận tốc mới

+ Do ô tô đến B kịp giờ nên thời gian theo dự định = thời gian trên thực

tế

ô tô đã đi

- Giải : Gọi vận tốc theo dự định của ô tô là x ( km/h ) ( x> 0 )

⇒ Thời gian ô tô đi theo dự định là : 120( )h

x

Sau 1 giờ đầu ô tô đi được x ( km )

Quãng đường còn lại là : 120 – x ( km )

Vận tốc của ô tô khi trên đoạn đường còn lại đó là : x + 6 ( km/h )

⇒ Thời gian ô tô đi nốt đoạn còn lại là : 120

( )6

x h x

−+ ⇒ thơi gian ôtô di nốt đoạn còn lại là : 1

−+ +

Bài toán 3 : Trên một sông , một ca nô xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km

mất 7 h Một lần khác ca nô xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km cũng mất 7 h Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc riêng của ca nô

- Phân tích : Trong chuyển động trên dòng nước cần lưu ý :

Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng nước

Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực - vận tốc dòng nước

- Giải : Gọi vận tốc riêng của ca nô là x ( km/h )

Vận tốc dòng nước là y ( km/h ) ( x > y > 0 )

Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là : x + y ( km/h )

Vận tốc ca nô khi ngược dòng là : x – y ( km/h )

Lần đầu : Ca nô xuôi dòng 108 km mất : 108 ( )h

Tóm lại: Với các bài toán minh họa trên giáo viên phần nào đã hình thành cho

học sinh làm quen với việc giải các bài toán chuyển động bằng cách lập phươngtrình Ở đây mới chỉ nêu cách giải đại diện cho các dạng phương trình bậc nhất,phương trình bậc 2; hệ phương trình

Trong các bài toán chuyển động học sinh cần nhớ và nắm chắc mối liên hệgiữa các đại lượng: vận tốc, quãng đường, thời gian Thông thường một trong bađại lượng đó sẽ được chọn là ẩn số (với điều kiện tương ứng); Một đại lượng đãđược xác định; ta phải biểu thị đại lượng còn lại theo ẩn và dựa vào mối liên hệtrong bài toán để lập phương trình (hệ phương trình)

Cần lưu ý trong toán chuyển động cũng có thể chia làm nhiều dạng nhỏ

Nếu 2 chuyển động ngược chiều nhau thì sau một thời gian 2 chuyển độngcùng nhau, ta có: S1 + S2 = khoảng cách ban đầu

Nếu 2 chuyển động cùng chiều nhau thì sau một thời gian 2 chuyển động cùngnhau, ta có: S1 - S2 = khoảng cách ban đầu (S1 > S1)

Nếu chuyển động cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đạilượng tỉ lệ nghịch với nhau

Nếu chuyển động trên đoạn đường không đổi từ A đến B rồi từ B về A biếttổng thời gian thực tế của chuyển động thì:

Tổng thời gian = thời gian đi + thời gian về

Nếu là chuyển động trên dòng nước thì:

Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng

Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng

Vận tốc xuôi dòng – vận tốc ngược dòng = 2 vận tốc dòng

⇔

Vận tốc xuôi dòng – vận tốc ngược dòng = 2 vận tốc dòng.

Thời gian dự định đi ban đầu + thời gian đến chậm =Thời gian của chuyển động sau khi tăng tốc độ + thời gian đi với vận tốc ban đầu

+ thời gian nghỉ (nếu có)

II DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HỌC.

Bài toán 1: Tìm hai số biết tổng là 17 và tổng bình phương của hai số đó là 157.

- Phân tích: Bài toán có thể giải bằng cách lập phương trình hoặc lập hệ

phương trình theo bảng sau:

Số thứ nhất là 11 thì số thứ 2 là 17 – 11 = 6

Số thứ hai là 6 thì số thứ 2 là 17 – 6 = 11

Vậy 2 số phải tìm là 6 và 11

Bài toán 2 : Tìm một số có hai chữ số biết rằng tổng 2 chữ số của nó là 9 và

nếu viết thêm chữ số 9 vào giữa hai chữ số thì được số mới lớn hơn số ban đầu 360đơn vị

- Phân tích: Với số có hai chữ số: ab =10a b+

Với số có ba chữ số: abc = 100 a + 10 b c +

t/m

Khi viết thêm một chữ số vào giữa hai chữ số của số có hai chữ số thì số đótrở thành số có ba chữ số, chữ số hàng chục của số ban đầu là chữ số hàng trăm của

số mới, chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là chữ số hàng đơn vị của số mới

- Giải: Gọi chữ số hàng chục của số ban đầu là x ( x  N, 0<x≤9)

=> Chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là 9 – x

Bài toán 3 : Cho một số có hai chữ số Tìm số đó biết rằng tổng hai chữ số của

nó nhỏ hơn số đó 6 lần, nếu thêm 25 vào tích 2 chữ số đó sẽ được một chữ số viếttheo thứ tự ngược lại với số đã cho

- Phân tích: Chú ý sử dụng ab =10a b+

Ngoài ra cần chú ý khi viết số đó theo thứ tự ngược lại thì vai trò của chữ sốhàng chục và hàng đơn vị sẽ được hoán đổi cho nhau:

- Giải: Gọi chữ số hàng chục của số ban đầu là x ( x  N, 0<x≤9)

Gọi chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là y ( y  N, 0<y≤9)

Theo đầu bài ra ta có:

2 2 2 1 2

y y

Tóm lại: Với dạng toán liên quan đến số học cần cho học sinh hiểu mối quan hệ

giữa các số đặc biệt giữa các số giữa hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, biểu diễndưới dạng chính tắc của nó:

10

ab = a b+

100 10

abc = a + b c +

Khi đổi chỗ các vị trí các chữ số thay đổi thì giá trị của mỗi chữ số cũng có

sự thay đổi tương ứng với vị trí mới Ngoài ra cần chú ý điều kiện cho ẩn số phảiphù hợp

III DẠNG TOÁN VỀ NĂNG SUẤT LAO ĐỘNG

( Tỷ số phần trăm )

Bài toán 1 : Trong 2 tháng đầu hai tổ sản xuất được 400 chi tiết máy, trong tháng

sau tổ 1 đạt vượt mức 10%, tổ 2 đạt vượt mức 15% nên cả 2 tổ sản xuất được 448chi tiết máy Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiếtmáy