Cách khác: Một công việc được thực hiện qua nhiều trường hợp độc lập nhau.. ., bước n có mn cách, thì phép chọn đó được thực hiện theo m1.. … .mn cách khác nhau.. Cách khác: Một công việ
Trang 1ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I HOÁN VỊ
− CHỈNH HỢP − TỔ HỢP:
1.Qui tắc cộng và qui tắc nhân:
a) Qui tắc cộng :
Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1, m2 cách chọn đối tượng x2,… , mn cách chọn đối
tượng xn, và nếu cách chọn đối tượng xi không trùng bất kỳ cách chọn đối tượng xj
nào (i≠j; i,j=1,2,…,n) thì có m1+m2+…+mn cách chọn một trong các đối tượng đã cho
Cách khác: Một công việc được thực hiện qua nhiều trường hợp độc lập nhau
Trường hợp 1 có m1 cách thực hiện, trường hợp 2 có m2 cách thực hiện, …trường hợp
n có mn cách thực hiện thì số cách thực hiện cả công việc là m1+m2+…+mn
b) Qui tắc nhân :
Nếu 1 phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp nhau, bước 1 có m1 cách, bước
2 có m2 cách, , bước n có mn cách, thì phép chọn đó được thực hiện theo m1 m2
… mn cách khác nhau
Cách khác: Một công việc được thực hiện qua nhiều giai đoạn:Giai đoạn 1 có m1
cách thực hiện, giai đoạn 2 có m2 cách thực hiện, …giai đoạn n có mn cách thực hiện
thì số cách thực hiện cả công việc là m1 m2 … mn
2.Hoán vị:
A Hoán vị thẳng:
a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử (n≥1)
của tập hợp A được gọi là 1 hoán vị của n phần tử đó.
b) Định lý: Nếu ký hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn, thì:
n 1 2 3 )
2 n )(
1 n ( n
Qui ước: 0!=1
B Hoán vị có lặp lại:
a) Định nghĩa: Có n vật, sắp vào n vị trí Trong đó:
n1 vật giống nhau n2 vật giống nhau
…
nk vật giống nhau ( Hẳn nhiên là n= n1+n2+…+nk)
b) Định lý: Số hoán vị có lặp lại của n vật trên là:
! n
!
n
! n
! n
C Hoán vị tròn :
a) Định nghĩa: Có n vật, sắp vào n vị trí chung quanh một đường tròn.
b) Định lý: Số hoán vị tròn của n vật trên là: Pn− 1= (n−1)!
3.Chỉnh hợp:
a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi bộ gồm k (1≤ ≤k n) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của của n phần tử
b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử la ø :
)!
k n (
! n ) 1 k n ) (
2 n )(
1 n ( n
Ak
Đặc biệt: Khi n
k= ⇒n A = P
4.Tổ hợp:
a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi tập con gồm k (0≤ k ≤ n) phần
tử của A được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
b) Số tổ hợp chập k của n phần tử la ø : Ck k(nn! k)!
n
−
=
c) Tính chất:
n
k
C = −
n
k n
k
C − + − =
1 1
3) Ank = k ! Ckn
II.CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:
1.Công thức nhị thức Newton: Với hai số thực a và b và n∈N ta có công thức:
n n n k
k n k n 1
n 1 n n 0 n
n C a C a b C a b C b )
b a
2.Các tính chất:
a) Vế phải có n+1 số hạng.
b) Trong mỗi số hạng tổng số mũ của a và b là n.
c) Số hạng thứ k+1 của công thức khai triển có dạng :
k k k
+ = ( k = 0 , 1 , 2 , 3 , , n )
d) Các hệ số cách đều số hạng đầu và cuối là bằng nhau.
n n n
2 n
1 n
0
C )
0 C ) 1 (
C C C
n n 2
n 1 n 0
Trang 2Đại số tổ hợp
- Trang 3 - Người soạn: Phạm Văn Luật
BÀI TẬP:
I VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
1) Cho 7 chữ số :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
a) Từ 7 chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5
7
b) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số chẵn? Kết quả:6.5.4.3.3=1080
c) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số trong đó nhất thiết phải có mặt
1800
A4
6 =
2) Cho 6 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6
a) Từ các chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
6 =
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số lẻ? Kết quả: A4.3 360
5 =
c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số trong đó có mặt 2 chữ số 1 và 2?
Hướng dẫn và kết quả: Liệt kê 4 tập con có chứa 1 và 2, có thể tạo 4.5!= 480 số.
3) Cho 5 chữ số 0,1, 3, 6, 9
a) Từ 5 chữ số ấy, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau?
4=
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chẵn?
3
3
c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chia hết cho 3?
Hướng dẫn và kết quả: Chọn trong tập chứa các phần tử chia hết cho 3 là A={
0,3,6,9} Vậy có 3.A3 3.3! 18
3= = số chia hết cho 3.
4) Cho 6 chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5
a) Tư ø các chữ số trên có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
5 = b) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số chẵn ?
4 (lẻ)=312 c) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số có mặt chữ số 0?
Hướng dẫn và kết quả: Hoán vị các phần tử trong tập A={1,2,3,4,5} ta có
5!=120 số không có mặt chữ số 0 Phần bù: 600−120=480 số có mặt chữ số 0.
Đại số tổ hợp
- Trang 4 - Người soạn: Phạm Văn Luật
5) Xét các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3 và 4, Hỏi có bao nhiêu số :
b) Bắt đầu bởi chữ số 1? Kết quả: 1.3!=6
c) Không bắt đầu bằng chữ số 2? Kết quả: P 4− 1.P 3 =18.
6) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1,2, 3, 4,
5 và 6 và lớn hơn 300.000 Kết quả: 4.5!=480
7) Có bao nhiêu sốtự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 9 Kết quả: Có 3 tập X 1 ={1;2;6} , X 2 ={1;3;5}
và X 3 ={2;3;4} có tổng các phần tử bằng 9 Vậy có 3.3!=18 số.
8) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt một lần?
Hướng dẫn và kết quả:
Cách 1: Xếp chữ số 0 trước: 7 cách (bỏ ô đầu).Xếp chữ số 2: còn 7 Xếp chữ số 3: còn 6 Xếp chữ số 4: còn 5 Xếp chữ số 5: còn 4 Xếp chữ số 1 vào 3 ô còn lại: 1 cách (Không thứ tự) Vậy có: 7.7.6.5.4.1=5880 số.
Muốn có một số cần tìm ta xếp các chữ số 0, 2, 3, 4 và 5 vào 5 trong 8 ô vuông, sau đó xếp chữ số 1 vào 3 ô còn lại (không thứ tự ) Vậy có
6720 1
A5
8 = số, kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu ( có 1.A4 840
7 = số) Vậy có 6720−840=5880 số.
9) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 2 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?
Kết quả: 360
! 2
!
6 =
số.
Muốn có một số cần tìm ta xếp các chữ số 2, 3, 4 và 5 vào 4 trong 6 ô vuông, sau đó xếp chữ số 1 vào 2 ô còn lại (không có thứ tự ) Vậy có
360 1
A4
10) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau Biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 12?
Kết quả: Có 7 tập hợp chứa 3 phần tử khác 0 có tổng 12 và có 3 tập hợp chứa
3 phần tử có phần tử 0 có tổng 12.Vậy có 7.3!+3.(2.2.1)=54 số.
Trang 311) Với 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 8 có bao nhiêu cách lập những số gồm 4 chữ số khác
nhau, biết:
a) Các số này < 5000? Kết quả: 2. 3
A =120 số.
b) Các số này chẵn < 7000? Kết quả: x= abcd : d=8 có 4.4.3.1= 48 số
; d≠8 có 3.4.3.2=72 số Vậy có 48+72=120 số
12) Từ tập hợp A={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} có thể lập được bao nhiêu số mà mỗi số có
5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5?
Kết quả: x=abcde: a=5 có 1.6.5.4.3= 360 số ; a≠5 có 4(5.5.4.3)=1200 số
Vậy có 360+1200=1560 số Hoặc: 6. 4
5
4
6 5.A
A − (không có chữ số 5)=1560
13) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ta lập thành bao nhiêu số có 4 chữ số khác
nhau?
Kết quả : A4 3024
9 = 14) Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và
không chia hết cho 5 Kết quả: 54 số.
15) Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau được lập nên từ
các chữ số 1,2,3,4,5,6,7? Chứng minh rằng tổng của tất cả các số này chia hết cho 9
Kết quả: 7!=5040 số S=2520.8888888 M9 16) Có bao nhiêu số có các chữ số khác nhau có thể lập thành từ các chữ số 2, 4, 6
4
3 4
2 4
1
17) Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ
số khác nhau, trong đó phải có mặt cả 2 chữ số 0 và 1?
Hướng dẫn và kết quả:
Cách 1: Tư ø A={ 2,3,4,5,6,7,8,9 } có thể lấy ra 7
8
C = 8 tập con có 7 phần tử không có 0 và 1 Hợp mỗi tập con này với { 0,1 } ta có 8 tập con có 9 phần tử trong đó có 0 và 1 Từ mỗi tập hợp này có thể tạo
8.8!=322560 Vậy có 8.322560=2580480 số.
Cách 2: Cho 0 xuất hiện trước: Có 8 cách ( vì 0 không được đứng đầu) Cho 1 xuất hiện kế tiếp: Có 8
cách Tiếp theo ta xếp 8 chữ số còn lại vào 7 vị trí còn lại: Có 7
8
A = 40320cách Vậy có:
8.8.40320=2580480 số.
Cách 3: Có 3 loại số trong 8
9
9.A = 3265920số tạo được có 9 chữ số khác nhau: Có số chỉ xuất hiện 0 (không có 1), chỉ xuất hiện 1 (không có 0), có số xuất hiện cả 0 và 1
Có 9!=362880 số chỉ xuất hiện 1 (không có 0) và có 9! − 8!=322560 số chỉ xuất hiện 0 (không có 1)
Vậy có:3265920 − (362880+322560)=2580480 số có cả 0 và 1.
18) Từ 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác
nhau, trong đó:
a) 2 chữ số 1và 2 đứng cạnh nhau?
b) 2 chữ số 1và 2 không đứng cạnh nhau?
Hướng dẫn và kết quả:
a) Giai đoạn 1: Cho 2 chữ số 1 và 2 vào 2 ô liền nhau, 3 chữ số 3, 4, 5 vào 3 ô còn lại: Có 4!=24 cách xếp
Giai đoạn 2: Vì 1 và 2 nằm trong 2 ô liền nhau nên có 2!=2 cách xếp.
Theo quy tắc nhân, có 24.2=48 số
b) Có 5!=120 số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập nên từ 5 chữ số đã cho trong đó có thể có 1 và 2 đứng cạnh nhau; hoặc 1 và 2 không đứng cạnh nhau Vậy có 120−48=72 số trong đó 1 và 2 không đứng cạnh nhau
19) Từ 4 chữ số 0,1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số , trong đó chữ số 3 xuất hiện 4 lần, các chữ số 0, 1, 2 chỉ xuất hiện 1 lần
Hướng dẫn và kết quả: Tương tự bài 8b): Có 3 2
A 1 A− =180số Ta có thể giải bằng cách khác: Với 7 ô :
Giai đoạn 1: Ta lắp chữ số 0 vào trước: Có 6 cách (bỏ ô đầu tiên)
Giai đoạn 2: Ta lắp chữ số 1 vào 6 ô còn lại: Có 6 cách
Giai đoạn 3: Ta lắp chữ số 2 vào 5 ô còn lại: Có 5 cách
Giai đoạn 4: Ta lắp chữ số 3 vào 4 ô còn lại: Có 1 cách (không thứ tự)
Theo quy tắc nhân có : 6.6.5.1=180 số.
20) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, sao cho 2 chữ số kề nhau phải khác nhau?
Kết quaû: 9.9.9.9.9=59049. 21) Từ 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau sao cho luôn có mặt chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là chữ số 1?
Kết quaû: 1.3 2
5
A =60 số (1 cách xếp chữ số 1, 3 cách xếp chữ số 7 và 2
5
A cách xếp 2,3,4,5,6 vào 2 vị trí còn lại)
22) a) Có bao nhiêu số tự nhiên (được viết trong hệ đếm thập phân) gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau?
b) Hãy tính tổng tất cả các số tự nhiên nói trên?
Kết quả: a) 4
5
A =120 b)60X155554 = 9333240 23) Cho 5 chữ số:1, 2, 3, 4, 5 Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ số
khác nhau từ 5 chữ số trên? Kết quả: 4.3.2.3=72
24) Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ 5 chữ số:
25) Với 10 chữ số từ 0 đến 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số, mà các chữ số đó đều khác nhau? Kết quả: 9.8.7.1+8.8.7.4=2296
Trang 4Đại số tổ hợp
- Trang 7 - Người soạn: Phạm Văn Luật
26) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết tổng ba chữ số
này bằng 8 Kết quả: Có 2 tập có tổng 3 phần tư ûbằng 8 Vậy có 2.3!=12 số
27) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số tự
nhiên :
a) Gồm 4 chữ số khác nhau và là số chẵn Kết quả: 5.4.3.1+4.4.3.2=156
b) Gồm 4 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 3000 Kết quả: 2.5.4.3=120
c) Gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 4
Kết quả:a a a a 41 2 3 4M ⇔ a a 43 4M
Có 72 số
d) Gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 Kết quả: 108
e) Gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 Kết quả: 216
28) Cho 5 quả cầu trắng bán kính khác nhau và 5 quả cầu xanh bán kính khác nhau
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 quả cầu đó thành 1 dãy từ trái sang phải, sao cho
không có 2 quả cầu cùng màu đứng cạnh nhau? Kết quả:28800
29) Hội đồng quản trị của 1 xí nghiệp gồm 11 người, trong đó có 7 nam và 4 nữ Từ
hội đồng quản trị đó người ta muốn lập ra1 ban thường trực, trong đó ít nhất 1 người
nam Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban thương trực có 3 người?
Kết quả: 161
30) Nhân ngày sinh nhật, các bạn tặng Hồng Nhung 1 bó hoa gồm 10 bông hồng trắng
và 1 bó hoa gồm 10 bông hồng nhung Hồng Nhung muốn chọn ra 5 bông để cắm
bình Hỏi Hồng Nhung có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 bông ấy phải có ít nhất :
a) 2 bông trắng và 2 bông nhung
b) 1 bông trắng và 1 bông nhung
Kết quả: a)10800 b)15000
31) Lúc khai mạc 1 hội nghị có 5 đại biểu Các đại biểu đều lần lượt bắt tay nhau
Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay?
Kết quả: 10
32) Có bao nhiêu cách xếp đặt 3 người đàn ông, 2 người đàn bà ngối trên 1 ghế dài
sao cho những người cùng phái ngồi cạnh nhau?
Kết quả: 24
33) Gieo 3 hột xúc xắc vào trong 1 cái chén, hỏi có bao nhiêu kết quả khác nhau cả
Đại số tổ hợp
- Trang 8 - Người soạn: Phạm Văn Luật 34) Có 5 con đường nối 2 thành phố X và Y, có 4 con đường nối 2 thành phố Y và Z Muốn đi từ X đến Z phải qua Y
a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi từ X đến Z?
b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi và về từ X đến Z rồi về lại X bằng
những con đường khác nhau?
Kết quả: a) 20 b) (5X4)X(3X4)=240
35) Có bao nhiêu đường chéo trong hình thập giác lồi?
Kết quả: 35
36) Vẽ 5 đường thẳng song song trên một tờ giấy Sau đó vẽ tiếp 6 đường thẳng song song khác cắt cả 5 đường thẳng vẽ lúc đầu Có bao nhiêu hình bình hành tạo được?
Kết quả: C C2 150
6
2
37) Cho tập P gồm 10 điểm phân biệt trong mặt phẳng : a) Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh lấy trong P nếu không có 3 điểm nào lấy trong P thẳng hàng?
Kết quả: 3
10
C = 120 b) Cũng câu hỏi như câu a) nếu trong P có đúng 4 điểm thẳng hàng
Kết quả: 3 3
38) Một nhóm gồm 10 học sinh ( 7 nam và 3 nữ ) Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đứng liền nhau
Kết quả: 4!.7!=120960
39) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ
ở địa điểm A; 2 người ở địa điểm B và 4 người trực nhật tại đồn Có bao nhiêu cách phân công? Kết quả: 3 2
9 6
C C 1 1260= 40) Có 10 câu hỏi ( 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập ) Một đề thi gồm có 3 câu có
cả lý thuyết và bài tập Có bao nhiêu cách tạo đề thi? Kết quả: 96(có 2 t.h)
41) Lớp học có 40 học sinh ( 25 nam và 15 nữ) Cần chọn một nhóm gồm 3 học sinh Hỏi có bao nhiêu cách :
a) Chọn 3 học sinh bất kỳ Kết quả: 3
40
C =9880
b) Chọn 3 học sinh gồm 1 nam và hai nữ Kết quả: 2625 c) Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam Kết quả: 9425
42) Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau Chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy Kết quả: 3 3 3 3
C C 3! C A = =1200
Trang 543) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số
khác nhau, trong đó phải có mặt đồng thời 2 chữ số 1 và 2?Kết quả:720−240=480 số
44) Tìm n sao cho:
a) 2 n− 1 = 48
n
n C
b) A AC 4 2423
n 3
1
4
− −
6 n
5
n
1 C
1
C
1 − =
d) PPAn 4 210
1
3
2− =
−
+
e) P P P 61
1
1
+
Kết quả: a) n = 4, b)n = 5, c)n = 2, d)n = 5, e) n = 2 V n = 3
45) Giải các phương trình:
a) P x P 3 x 8
2
b) 2 A 50 A 2 , x N
x 2
2
7 C C
x 2 x 1
x + + =
Kết quả: a)x = −1 V x = 4, b) x = 5, c)x = 4
46) Giải các phương trình:
2 2
1 3
3
2 C
4 2
1 1
7 C
1 C
1
+ +
=
−
Kết quả: a) x=9, b) x = 3 V x = 8
47) Giải phương trình 2
n 3
48) Giải phương trình 4
n 3
n 2C
n
49) Giải hệ phương trình:
=
=
12 A
6 C
y x
y x
Kết quả:x=4 và y=2
50) Tìm n biết:A C1 8
n 2
n− <
Kết quả: n = 2 V n = 3
51) Giải hệ phương trình:
=
=
−
−
−
1 x y x
1 x 2 x
C C
C 3 C 5
Kết quả: x = 7 và y = 4
52) Tính hệ số của số hạng chứa x3trong khai triển của:
7 4
3 ( x 1) (x 1) )
1 x ( ) x (
Kết quả:−65 53) Khai triển của
n
x
1
− có tổng các hệ số của 3 số hạng đầu là 28 Tìm số hạng
thứ 5 của khai triển đó
Kết quả:126x
54) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của:
10
x
1
Kết quả: −8064 55) Khai triển: (x+2)4 Kết quả: x4+8x3+24x2+32x+16 56) Tìm hệ số a5b3 trong khai triển (a + b)8 Kết quả:56.
57) Tìm hai số hạng chính giữa trong khai triển:(x3 – xy)15
Kết quả: T8= − 6435.x31 y7 ; T9= 6435 x29 y8 58) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:
12
x
1 x
+ Kết quả:T9=495
59) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển:
)
3 n ( 7 C C : biết x
x
3 n 1 n 4 n
n 5
+
+
+
60) Đa thức P(x) = ( 1+x) 9 + (1+x) 10 + … + (1+x) 14 có dạng khai triển là P(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + a14x14 Tính hệ số a9 Kết quả:3003
61) Xét khai triển của:(x3+ xy)15.Tính hệ số của hạng tử chứa x21y12.Kết quả: 455
62) Tìm n biết trong khai triển ( x +
2
1 ) n thành đa thức đối với biến x, hệ số của
x6 bằng bốn lần hệ số của x4 Kết quả: n=10
63) Tìm số hạng không chứa ẩn x trong khai triển nhị thức 1 12
x +
Kết quả: 495
Trang 6Đại số tổ hợp
- Trang 11 - Người soạn: Phạm Văn Luật
64) Tìm số hạng không chứa ẩn x trong khai triển : (x2+ x3
1 )10
Kết quả: k=4 ⇒C4
10= 210 65) Tìm hệ số của x101y99 trong khai triển (2x−3y)200
Kết quả: 99 101 99
200.2 3
C
66) Chứng minh rằng:
a) C0
n+C2
n+… +Cn
n = C1
n+C3
n+…+C2 1
n
−
Hướng dẫn: Khai triển (a+b)2n với a = 1 , b = −1
b) C1
n+2C2
n+3C3
n+…+nCn
n= n2n − 1
Hướng dẫn: Lấy đạo hàm y= (1+x)n rồi thay x=1
n
3 n
2 n
1 n
0
68) Chứng minh rằng:
1 n
1 2 C 1 n
1
C 3
1 C
2
1
C
)
b
x) (1 f(x) với (1) '' f' (1) ' f' Lấy : dẫn Hướng
2 ) n n ( C n
C 3 C 2
C
1
)
a
1 n n n
2 n
1 n
0
n
n
2 n 2
n n 2 3
n 2 2 n 2 1
n
2
+
−
= + + + +
+
+
= +
+
= +
+ +
+
+
−
Hướng dẫn: Xét (x+1)6 và thay x=1.Kết quả: 64
Hướng dẫn: xét với (1+x)5 với x=2 Kết quả: 243
71) Viết khai triển của biểu thức ( 3x –1 ) 16 Từ đó chứng minh rằng
3 C − 3 C + 3 C − + C = 2
Hướng dẫn: Thay x=1
72) Tìm các số âm trong dãy số:
n 2 n
4 4 n
143 P
A
+
Kết quả:x1= − 634 , x2 = − 238
73) Tìm k∈N để k
14
14
C + , k 2 14
C + lập thành một cấp số cộng
Kết quả: k=4 V k=8
74) Tìm số tự nhiên x sao cho: 8
x
9 x
10
A + = Kết quả: x=11