Tổng hợp kiến thức toán lớp 12

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: a- Định nghĩa: Cho hàm số y = fx xác định trên tập D.. Nếu trên a; b, hàm số có duy nhất một cực đại thì đó là max, duy nhất một cực tiểu thì đó

GIẢI TÍCH

I ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM: (Derivative)

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là :

∆x

) f(x

∆x) f(x

lim

∆x

∆y lim ) (x f' )

(x

0

∆x 0

∆x 0 0

− +

=

=

=

→

→

Đạo hàm bên phải tại x0 :

x

y lim ) (x f'

0

∆

∆

+ = Đạo hàm bên phải tại x0 :

x

y lim ) (x f'

0

∆

∆

− = Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b) hàm số có đạo hàm tại mọi điểm x0

∈.(a ; b)

Hàm số y = f(x) đạo hàm trên đoạn [a ; b] nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm bên phải tại a và bên trái tại b

Cách tính đạo hàm :

Muốn tính đạo hàm hàm số y = f(x), ta cần thực hiện 3 bước sau :

1) Cho số gia x tại x0 và tính: ∆y=f(x0 +∆x)−f(x0)

2) Lập tỉ số : xy

∆

∆

3) Tìm

x

) f(x x) f(x

lim x

y

0 x 0

∆

∆

∆

∆

∆

− +

=

→

→

II CÁC CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM:

( )

2 2

2 2

,

2

, a

1

cos x 1

sin x

x

2 x

1

xlna (cosx)'=-sinx

 

 

 

Chú ý: Đối với hàm số hợp dạng trên, chỉ cần thay x bởi u và nhân thêm u’

Ví dụ: ( )x =, 1 ( )u =, u'

,

v

uv' v u' v

u uv'

v u' (uv)'

R) (k ku' (ku)' w'

v' u' w)' v

(u

−

=











 +

=

∈

= +

+

=

− +

Chú ý các giới hạn sau:

1

1 lim

* 1 ) 1 ln(

lim

*

1 lim

*

1 1 lim

* 1

sin

lim

*

0 0

1

0 0

=

−

= +

= +

=











 +

=

→

→

→ +∞

→

→

x

e x

x

e x e

x x

x

x

x x

x x

x

x x

III ĐẠO HÀM CẤP CAO – VI PHÂN: (Diferential)

[f(n)(x)]’= f(n + 1)(x)

df(x) = f’(x).dx

IV ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM:

1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

Định lý Lagrange: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], có đạo hàm trong (a; b) thì tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho:

a b

f(a) f(b) (c)

f'

−

−

Định lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong (a; b)

a f(x) đồng biến trong (a; b) ⇔ f’(x) ≥ 0, ∀ x ∈ (a; b)

b f(x) nghịch biến trong (a; b) ⇔ f’(x) ≤ 0, ∀ x ∈ (a; b)

( Dấu bằng “=” chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm x0 ∈ (a; b) )

Điểm tới hạn: Cho hàm số y = f(x) xác định trong (a; b) và x0 ∈ (a; b) Điểm x0 được gọi là điểm tới hạn của f(x) nếu f’(x) = 0 hoặc f(x) không có đạo hàm tại điểm x0

2 Cực trị của hàm số:

Định lý Fermat: (Điều kiện cần để hàm số có cực trị)

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 và đạt cực trị tại đó thì f’(x0) = 0

Lưu ý: Mọi điểm cực trị của hàm số đều là điểm tới hạn

Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:

 Định lý 1:( Dấu hiệu 1 )

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong lân cận của điểm x0

a Nếu khi x đi qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương (+) sang âm (–) thì hàm số đạt cực đại tại

x0

b Nếu khi x đi qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm (–) sang dương (+) thì hàm số đạt cực tiểu tại

x0

Lưu ý: Để hàm số đạt cực trị tại x0 thì f’(x) phải đổi dấu khi đi qua x0

 Định lý 2:( Dấu hiệu 2 )

a Hàm số f(x) đạt cực đại tại x0 khi







<

= 0 ) (x f"

0 ) (x f'

0 0

b Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0 khi







>

= 0 ) (x f"

0 ) (x f'

0 0

3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

a- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D

Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D nếu:

) (

0 0

max M

: hiệu Kí M

f(x : D

x

M f(x) thì

D

x

=







=

∈

∃

≤

∈

∀

Số thực m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D nếu:

) (

0 0

min m : hiệu Kí m

f(x : D

x

m f(x) thì

D

x

=







=

∈

∃

≥

∈

∀

b- Cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

Trên (a; b):

 Tính y’, lập BBT

 Nếu trên (a; b), hàm số có duy nhất một cực đại thì đó là max, duy nhất một cực tiểu thì đó là min; ngoài ra thì không có

Trên [a; b]:

 Tính y’, tìm các điểm tới hạn, giả sử đó là x1; x2; ; xn

 Tính f(a), f(b), f(xi) (i = 1; 2; ; n)

 Số lớn nhất trong các số vừa tìm được là max, số nhỏ nhất là min

4 Tính lồi lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số:

* Đồ thị hàm số y = f(x) lồi trong (a; b) ⇔ f”(x) < 0, ∀ x ∈ (a; b)

* Đồ thị hàm số y = f(x) lõm trong (a; b) ⇔ f”(x) > 0, ∀ x ∈ (a; b)

* Điểm M0(x0; f(x0)) là điểm uốn nếu f”(x) đổi dấu khi đi qua x0

5 Tiệm cận:

Hàm số: y = axcx++db(c ≠ 0)

ngang cận

tiệm là c

a y c

a y

lim

đứng cận tiệm là c

d y y

lim

=

⇒

=

−

=

⇒

∞

=

∞

→

−

→

x

c

d

x

Hàm số: y = dx e

c bx

ax2

+

+ +

(a, d ≠ 0)

xiên cận tiệm là n mx y 0 e dx

p(x)

lim

e dx

p(x) n

mx y được mẫu, cho tử chia phép hiện

Thực

đứng cận tiệm là d

e y y

lim

+

=

⇒

= +

+ + +

=

−

=

⇒

∞

=

∞

→

−

→

x

d

e

x

6 Các hàm số thường gặp:

A Hàm bậc ba: y = ax3 + bx2 + c + d (a ≠ 0)

 Tập xác định: D = R

 y’ = 3ax2 + 2bx + c: Hoặc có hai cực trị (y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt), hoặc không có cực trị

 Đồ thị luôn có một điểm uốn

 Đồ thị có một tâm đối xứng là điểm uốn

 y = f(x) = (mx + n).f’(x) + p(x) + q Do đó nếu hàm số có hai cực trị thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình: y = p(x) + q

 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và yCĐ.yCT < 0

 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng (Cắt trục hoành tại 3 điểm A, B, C sao cho AB = BC) khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và điểm uốn thuộc Ox

B Hàm trùng phương : y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)

 Tập xác định: D = R

 y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b): Hoặc có ba cực trị (y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt), hoặc có một cực trị

 Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng

 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng khi at2 + bt + c = 0 có hai nghiệm t1; t2 thỏa 0 < t1 < t2 và t2 = 9 t1, với t =

x2

C Hàm hữu tỷ: y =

d cx

b ax + + :

 Tập xác định: D = R\











−

c

d

 y’ = (cx d)2

bc ad +

− , hàm số luôn tăng hoặc giảm với x ∈ D nên không có cực trị

c

d y y

lim =∞⇒ =−

−

→ c

d x

c

a y c

a y

∞

→ x

 Đồ thị có một tâm đối xứng là giao điểm hai đường tiệm cận

 Đồ thị là một Hyperbol

D Hàm hữu tỷ: y =

e dx

c bx

ax2

+

+ +

 Tập xác định: D = R\











−

d

e

 Hàm số có hai cực trị (y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt), hoặc không có cực trị

d

e y y

lim =∞⇒ =−

−

→ d

e x

p(x) n

mx y được mẫu, cho tử chia phép hiện Thực

+ + +

=

0 y mx n làtiệmcậnxiên

e dx

p(x)

+

∞

→ x

 Đồ thị có một tâm đối xứng là giao điểm hai đường tiệm cận

 Đồ thị là một Hyperbol

 Nếu hàm số có hai cực trị thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình:

y =

d

b 2ax +

CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH KHẢO SÁT HÀM SỐ:

Tìm TXĐ

Tính y’, tìm các cực trị (Nếu có)

Tìm các tiệm cận (Hàm hữu tỷ) hoặc tính →±∞

xlim (Hàm đa thức)

Lập BBT

Tính y”, lập bảng xét dấu y” (Đối với hàm đa thức)

Cho các điểm đặc biệt (Thường là các điểm nguyên ở hai bên cực trị hoặc điểm uốn)

Vẽ đồ thị

V NGUYÊN HÀM: (Primitive)

1 Định nghĩa:

∫f(x)dx=F(x)+C⇔F'(x)=f(x) C:const

2 Tính chất:

(f(x) g(x))dx f(x)dx g(x)dx

*

R k f(x)dx

k k.f(x)dx

*

f(x) f(x)dx

∫

∫

∫

±

=

±

∈

=

=

Lưu ý:Nguyên hàm của một hàm số không phụ thuộc vào biến, nghĩa là:

; C F(t) f(t)dt

; C F(u) f(u)du

thì C F(x) f(x)dx

3 Bảng các nguyên hàm:

a Các nguyên hàm cơ bản:

) 1 0

( ln

*

* cos

sin

*

cot sin

1

* ln

cos

1

* )

1 ( 1

sin cos

*

2

2 1

≠

<

+

=

+

= +

−

=

+

−

= +

=

+

=

≠ +

=

+

= +

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+

a C

a

a dx

a

C e dx e C

x xdx

C gx dx

x C

x x

C tgx dx x

x dx

C x xdx

C x

x x

x x

dx

*

x

*

dx

*

α α

α α

b Các nguyên hàm mở rộng:

) 0 ( ln

) (

1 1

*

) 0 , 1 0

( ln

1

*

) 0 (

1

*

) 0 ( )

( cot 1 )

( sin

1

*

) 0 ( )

( 1 )

( cos

1

*

) 0 ( )

sin(

1 )

cos(

*

) 0 ( )

cos(

1 )

sin(

*

) 0 ( ln

1

) 1

; 0 ( 1

1

2 1 2

1 2

2 2

1

≠ +

−

−

−

= + +

≠

≠

<

+

=

≠ +

=

≠ +

+

−

= +

≠ +

+

= +

≠ +

+

= +

≠ +

+

−

= +

≠ +

+

= +

≠

≠ +

+

+

= +

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+ +

+ +

+

a C

x x

x x x x a

dx c x b ax

m a C

a

a m dx a

a C

e a dx e

a C

b ax g a

dx b ax

a C

b ax tg a

dx b ax

a C

b ax a

dx b ax

a C

b ax a

dx b ax

a C

a

a C

a

n mx n

mx

b ax b

ax

b ax b

ax

dx

*

b) (ax dx

b) (ax

α

α α

VI TÍCH PHÂN: (Integral)

Với x1; x2 là hai nghiệm của ax2 + bx + c = 0

1 Định nghĩa:

[F(x)] F(b) F(a) Với F(x)là một nguyên hàm của f(x)

a b

a

−

=

=

∫

Công thức trên gọi là công thức Newton-Laipnitz

2 Tính chất: Giả thiết rằng các hàm số f(x), g(x) liên tục trên [a; b]

const) : m (M;

a) M(b f(x)dx

a) m(b M

f(x) m

*

g(x)dx f(x)dx

b]

[a;

x g(x), f(x)

*

0 f(x)dx b]

[a;

x 0,

*f(x) g(x)dx

f(x)dx dx

g(x) f(x)

*

f(x)dx f(x)dx

f(x)dx

* R)

(k f(x)dx k

k.f(x)dx

*

f(x)dx f(x)dx

* 0

f(x)dx

*

b a

b a

b a

b a

b a

b a

b

a

b c

c a

b a

b a

b

a

a b

b a

a

a

−

≤

≤

−

⇒

≤

≤

≥

⇒

∈

∀

≥

≥

⇒

∈

∀

≥

±

=

±

+

=

∈

=

−

=

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Lưu ý:Tích phân của một hàm số phụ thuộc vào hàm số đó và các cận a; b mà không phụ thuộc vào biến, nghĩa là:

b

a

b a

b a

f(u)du f(t)dt

VII CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:

1 Phương pháp đổi biến số:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], x = ϕ(t) là hàm số có đạo hàm liên tục trên [α; β], trong đó a = ϕ(α); b = ϕ(β) Khi t biến thiên trên [α; β] thì x biến thiên trên [a; b] Ta có:

[ ](t) '(t)dt f

f(x)dx β

α

b

Chú ý: Đối với phương pháp này, nếu gặp tích phân có chứa:

 Aα thì đặt t = A

 α A thì đặt t = α A

 A

1 thì đặt t = A



















−

∈

=

−

2

π

t với a.sint x

đặt thì x a

1 hoặc

x a

2 2 2

2

 









 −

∈

= +

−

2 t

với a.tgt x đặt thì x a

dx hoặc

x a

dx hoặc

x

π π )

dx

2 Phương pháp tích phân từng phần:

Nếu u(x); v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [a; b] thì:

∫

b a

b

a

v.du

a

uv Chú ý: Đối với phương pháp này, ta tách biểu thức f(x)dx thành u.dv sao cho từ dv tìm v

đơn giản và ∫b

a

v.du đơn giản hơn ∫b

a

u.dv

Gặp: dx thì đặt u P(x)

a e

b) cos(ax

b) sin(ax P(x).

b

a

n mx

b





























+

+

∫

+ +

Gặp: bP(x) dx thì đặt dv P(x)

a

=











a

log

) ln(

VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:

1 Diện tích các hình phẳng:

* Cho hàm số y = (f) liên tục trên đoạn [a ; b] thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi

đồ thị y = f(x), x = a, x = b, y = 0 (Ox) là:

* Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f1(x), y = f2(x), đường thẳng x

= a, x = b là:

2 Thể tích vật thể tròn xoay:

* Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình

phẳng giới hạn giữa x = g(y), y = a, y = b, x = 0

khi khi quay quanh trục Oy :V bx dx

a

2

∫

= π

* Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình

phẳng giới hạn giữa y = f(x), x = a, x = b, y = 0

khi quay quanh trục Ox là:V by dx

a

2

∫

= π

IX ĐẠI SỐ TỔ HỢP: (Combinatorics)

1 Quy tắc cơ bản của phép đếm:

a Quy tắc cộng: Nếu một hành động (H) có các trường hợp: A; B; C;

Trường hợp A có m cách thực hiện

Trường hợp B có n cách thực hiện

Trường hợp C có p cách thực hiện Thì (H) có m + n + p + cách thực hiện

b Quy tắc nhân: Nếu một hành động (H) có các giai đoạn: A; B; C;

Giai đoạn A có m cách thực hiện

Giai đoạn B có n cách thực hiện

Giai đoạn C có p cách thực hiện Thì (H) có m.n.p cách thực hiện

2 Hoán vị: (Permutation)

Định nghĩa: Mỗi cách sắp xếp n phần tử của tập X theo một thứ tự nhất định được gọi là một hoán vị của n phần tử

Pn = n! = 1.2.3 n

Quy ước: 0! = 1

3 Chỉnh hợp: (Arrangement)

Định nghĩa: Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập X (0 ≤ k ≤ n) theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

k)!

(n

n!

Ak

Đặc biệt: An Pn n!

4 Tổ hợp: (Combination)

Định nghĩa: Mỗi tập con gồm k phần tử của tập X gồm n phần tử (0 ≤ k ≤ n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử

k)!

(n k!

n!

Ck

n

−

=

Tính chất:

C C

C

C C

k 1 -n 1 -k 1 -n

k

n

k -n n

k

n

+

=

=

5 Công thức nhị thức Newton:

b a C b

C ab

C

b a C

b a C b a C a C

b)

0 k

k k n k n n

n n 1 n 1 -n n k

k n k n 2

2 n 2 n 1 n 1 n n 0

n

n

∑

=

−

−

−

−

+

=

+

Đặc biệt:

n n n 1

-n n 1 n k

n k 2

n

1 n

0 n n

n n 1 -n n

k n

2 n

1 n

0 n n n

C 1) ( C 1) (

C 1) (

C C C 1) (1

0

C C

C

C C C 1) (1

2

− +

− + +

− +

− +

−

=

−

=

+ + + + + + +

= +

=

−

6 Tam giác Pascal:

Cho ta biết các hệ số của khai triển Newton với n không quá lớn

n = 0: 1

n = 1: 1 1

n = 2: 1 2 1

n = 3: 1 3 3 1

n = 5: 1 5 10 10 5 1

n = 6: 1 6 15 20 15 6 1

n = 7: 1 7 21 35 35 21 7 1

n = 8: 1 8 28 56 70 56 28 8 1

n = 9: 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

HÌNH HỌC

I PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG:

1 Các phép toán về vectơ:

Cho u = (x; y); v = (x'; y')

u ± v = (x ± x'; y ± y') k.u = (kx; ky)

u v = x.x'+ y.y'

u = x + y

u v cos(u;v) =

u v

Cho A(xA; yA); B(xB; yB):

AB = (xB – xA; yB – yA )

* Điểm M(xM; yM) chia đoạn AB theo tỷ số k (MA = k.MB) thì:

* Điểm M(xM; yM) trung điểm AB

2 Đường thẳng:

2.1 Phương trình đường thẳng:

Đường thẳng d qua M(x0; y0), chỉ phương a = (a1; a2) có:

PTTS: 



x = x + ta

y = y + ta ; PTCT:

=

Đường thẳng d qua M0(x0; y0), pháp vectơ n = (A; B) cóPTTQ:

d: A(x – x0) + B(y – y0) = 0

Chú ý:

 Nếu d có n = (A; B) thì a = (B; – A) hoặc a = (– B; A)

 d // d’: Ax + By + C = 0 thì d: Ax + By + C’ = 0

 d ⊥ d’: Ax + By + C = 0 thì d: Bx – Ay + C’ = 0

2.2 Góc, khoảng cách:

 Cho điểm M0(x0; y0) và d: Ax + By + C = 0 thì: 0 0 2 02

Ax + By + C d(M ,d) =

A + B

 Cho hai đường thẳng d có pháp vectơ n ; d’ có pháp vectơ n’ thì: 

n.n'
cos(d, d') =

n n' 2.3 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

Cho d: Ax + By + C = 0 và d’: A’x + B’y + C’ = 0

≠

A' B': d cắt d’

A' B' C': d // d’

A' B' C': d ≡ d’

3 Đường tròn: (Circle)

3.1 Cho I(a; b), R > 0

C(I; R): (x – a)2 + (y – b)2 = R2

⇔ x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (c = a + b2 2−R2 )

3.2 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn:

Cho M0((x0; y0) và đường tròn (C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

PM/(C) = 2 2

x + y −2ax −2by + c

4 Ba đường Cônic:

4.1 Elip:

Cho elip (E): x22 +y22 = 1

a b (a > b)

b2 = a2 – c2

Trục lớn: 2a; trục bé: 2b

Các đỉnh:

A1(– a; 0), A2(a; 0)

B1(0; – b), A2(0; b)

Tiêu điểm: F1(– c; 0), F2(c; 0)

Tâm sai: =e c

a; đường chuẩn: = ±

a x e

M

O

F1(– c; 0) F2(c; 0) x

y

Tiếp tuyến với (E):

x + y = 1

a b tại M0(x0; y0) là d: 20 20

x.x +y.y = 1

Đường thẳng d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc (E):

x + y = 1

a b ⇔ A2.a2 + B2.b2 = C2(C ≠ 0) 4.2 Hyperbol:

Cho Hyperbol (H): −

b2 = c2 – a2

Trục thực: 2a; trục ảo: 2b

Đỉnh thực:

A1(– a; 0), A2(a; 0)

Đỉnh ảo:

B1(0; – b), A2(0; b)

Tiêu điểm: F1(– c; 0), F2(c; 0)

Tâm sai: =e c

a; đường chuẩn: = ±

a x e

Tiệm cận: = ±y bx

a

Tiếp tuyến với (H): −

a b tại M0(x0; y0) là d: 20 − 20

x.x y.y = 1

Đường thẳng d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc (H): −

a b ⇔ A2.a2 – B2.b2 = C2(C ≠ 0) 4.3 Parabol:

Cho parabol (P): y2 = 2px

Tiêu điểm: F(p

2 ; 0)

Đường chuẩn: x =−p

2

Tiếp tuyến với (P): y2 = 2px tại M0(x0; y0) là:

d: y.y0 = p(x + x0)

Đường thẳng d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc (P): y2 = 2px

⇔ pB2 = 2A.C

II PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN:

1 Các phép toán về vectơ:

O

F1(– c; 0) F2(c; 0)

x

x

y

O

F(p2; 0) x

y