LUẬN ÁN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGHIÊN CỨU DIDACTIC VIỆC DẪN NHẬP CHỨNG MINH HÌNH HỌC Ở LỚP 7 TRONG MÔI TRƯỜNG TÍCH HỢP CABRI II PLUS

phần mềm hỗ trợ cho việc dạy và học Toán ngày càng phong phú, thânthiện và hiệu quả, trong đó phải kể đến phần mềm hình học động Cabri IIPlus với rất nhiều tiện ích: Cabri II Plus tạo r

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN CHÍ THÀNH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

Lời đầu luận văn, tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến:

 TS Nguyễn Chí Thành, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi vềmặt nghiên cứu khoa học cũng như mang lại niềm tin trong quá trìnhthực hiện luận văn này

 PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Đoàn HữuHải, TS Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung vàcác quý thầy cô trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đãnhiệt tình giảng dạy những tri thức đồng thời truyền niềm hứng thú vàniềm say mê đối với chuyên ngành Didactic Toán cho chúng tôi trongsuốt quá trình học tập tại trường

 PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS Annie Bessot đã có những chỉ dẫn

và định hướng cho luận văn cũng như những giải đáp giúp chúng tôihiểu rõ hơn về Didactic Toán

Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:

 Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Thủ Thiêm, Quận 2,

Tp Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôitrong suốt thời gian học cao học tại trường ĐHSP, đặc biệt là giaiđoạn thực hiện luận văn

 Các bạn cùng lớp cao học Didactic Toán khóa 19 đã luôn chia sẻ vàgiúp đỡ cũng như động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thựchiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin dành những lời biết ơn sâu sắc nhất gửi đến gia đình thânyêu của tôi đã luôn động viên, hỗ trợ về mọi mặt để tôi có thể hoàn thànhluận văn này

Nguyễn Thị Hằng Nga

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

MỤC LỤC ii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT iii

MỞ ĐẦU 1

1 Ghi nhận ban đầu 1

2 Câu hỏi xuất phát 2

3 Phạm vi lý thuyết tham chiếu 2

3.1 Quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức 3

3.2 Quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức 3

3.3 Tổ chức toán học 4

3.4 Đồ án didactic 4

3.5 Hợp đồng Didactic 4

4 Câu hỏi nghiên cứu 5

5 Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu 6

6 Tổ chức luận văn 6

Chương 1: PHÂN TÍCH KHÁI NIỆM SUY LUẬN, CHỨNG MINH 8

Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC BÁC HỌC 8

1.1 Khái niệm dẫn nhập trong luận văn 8

1.2 Khái niệm suy luận và chứng minh trong việc dạy học Toán ở cấp THCS 8

1.3 Đặc trưng suy luận và chứng minh ở THCS: 9

1.4 Kết luận 10

Chương 2: QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG “DẪN NHẬP CHỨNG MINH HÌNH HỌC” 12

2.1 Các kiểu suy luận và chứng minh trong hình học 7 12

2.2 Quy trình hợp thức tính chất hình học ở lớp 7 13

2.3 Hình vẽ trong HHGN và HHSD 21

2.4 Phân tích tổ chức toán học liên quan đến “dẫn nhập chứng minh hình học lớp 7” 29

Chương 3: THỰC NGHIỆM 1 85

3.1 Mục đích thực nghiệm 85

3.2 Đối tượng thực nghiệm 86

3.3 Chuẩn bị kiến thức cho thực nghiệm 86

3.4 Nội dung thực nghiệm 86

3.5 Phân tích tiên nghiệm 89

3.6 Phân tích hậu nghiệm 96

Chương 4: THỰC NGHIỆM 2 104

4.1 Mục đích thực nghiệm 104

4.2 Đối tượng và thời gian thực nghiệm 105

4.3 Chuẩn bị cho thực nghiệm 105

4.4 Nội dung thực nghiệm 105

4.5 Phân tích tiên nghiệm 111

4.6 Phân tích hậu nghiệm 117

Kết luận 126

TÀI LIỆU THAM KHẢO 127

PHỤ LỤC 129

SGK Sách giáo khoaSBT Sách bài tập

SGV Sách GV

THCS Trung học cơ sởGV Giáo viên

HS HS

HHGN Hình học ghi nhậnHHSD Hình học suy diễnTHCS Trung học cơ sở

MỞ ĐẦU

1 Ghi nhận ban đầu

 Ở bậc tiểu học và lớp 6, HS chỉ tiếp cận với hình học mang tính trực quan:

 Tập dùng các dụng cụ như thước kẻ, êke, thước đo độ, compa,…

 Làm việc trên “hình vẽ”: dựa trên hình vẽ và các thao tác đo đạc, tínhtoán,… để phát hiện và kiểm chứng lại các tính chất của một hình cũngnhư nhận dạng một hình hình học dạng tổng thể

 Ở lớp 7, hình học mang tính suy diễn bắt đầu được đưa vào:

 Phải thông qua suy luận và chứng minh mới đưa ra các nhận xét vềtính chất của hình

 Tiếp cận “hình”: hình chỉ mang tính đại diện cho một lớp các hình,đồng thời là phương tiện trực giác giúp tạo hướng đi trong quá trìnhchứng minh hình học

Vậy đã có sự thay đổi cơ bản khi chuyển từ hình học bậc tiểu học và lớp 6sang hình học lớp 7 Liệu HS có nhận thấy nhu cầu và vai trò của HHSDkhông?

 Nhận thức được khó khăn của HS, SGK và sách bài tập Toán lớp 7 (2001) đãxây dựng các hoạt động thể hiện sự quan tâm đến bước chuyển tiếp trên.Cụ thể có khá nhiều hoạt động được SGK đưa vào theo tiến trình: Đo đạc,quan sát ® Dự đoán ® Chứng minh Tuy nhiên pha dự đoán với vai tròkết nối còn các hạn chế sau:

phần mềm hỗ trợ cho việc dạy và học Toán ngày càng phong phú, thânthiện và hiệu quả, trong đó phải kể đến phần mềm hình học động Cabri IIPlus với rất nhiều tiện ích:

 Cabri II Plus tạo ra các hình vẽ, các hình một cách chính xác

 Sự tương tác được với hình cho phép HS đưa ra các dự đoán và tìmhướng chứng minh, cũng như mở rộng bài toán gốc

Với tính ưu việt về sự tương tác, phần mềm Cabri II Plus được dùng ra sao

để hạn chế phần nào các khó khăn của HS khi bắt đầu làm quen HHSD?

2 Câu hỏi xuất phát

Từ những ghi nhận ban đầu trên, chúng tôi nhận thấy cần thiết phải trả lời cáccâu hỏi sau:

Q’1: Sự chuyển tiếp từ HHGN đến HHSD được trình bày như thế nào trong chương

trình Toán hình học lớp 7 hiện hành (SGK, SGV Toán 7)? Cách trình bày này tácđộng như thế nào đến HS khi bắt đầu làm quen với HHSD?

Q’2: Những hoạt động nối khớp “thực nghiệm và lý thuyết” trong Hình học lớp 7

(2001) có tạo được hiệu quả thực sự trong việc chuyển tiếp không?

Q’3: Tính tương tác của phần mềm Cabri II Plus có lợi ích gì? Đặc tính đó có tác

động như thế nào trong việc dẫn nhập chứng minh hình học ở lớp 7?

Q’4: So với môi trường truyền thống, việc dẫn dắt HS vào bài toán suy luận sẽ có

những thay đổi như thế nào khi có sự kết hợp với môi trường Cabri II Plus?

Q’5: Một tình huống dạy học “dẫn nhập chứng minh hình học”, đảm bảo được sự

nối khớp giữa HHGN và HHSD đòi hỏi những yêu cầu nào? Với sự hỗ trợ củaCabri II Plus, có thể xây dựng được tình huống nào như vậy không?

3 Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi lý thuyết của Didactic Toán,cụ thể:

 Lý thuyết nhân chủng học

 Đồ án didactic

 Hợp đồng didactic

Chúng tôi chọn Lý thuyết nhân chủng học làm cơ sở để tiến hành nghiên cứu

mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân với đối tượng được chọn Đồng thời tìmhiểu các tổ chức toán học nào có thể được khai thác thêm bằng phần mềm Cabri IIPlus

Chúng tôi quan tâm đến:

Đối tượng: liên quan đến sự chuyển tiếp “HHGN – HHSD”

Thể chế: dạy học Toán hình học lớp 7 hiện hành

Chúng tôi trình bày tóm tắt những khái niệm đó và cố gắng làm rõ tính thỏa đángcủa sự lựa chọn phạm vi lý thuyết của mình

3.1 Quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức

Một đối tượng là một cái gì đó tồn tại, ít nhất đối với một cá nhân Quan hệ cánhân của một cá nhân X đối với một đối tượng tri thức O, kí hiệu là R(X,O), là tậphợp những tác động qua lại mà X có đối với O R(X,O) cho biết X nghĩ gì về O, Xhiểu O như thế nào, thao tác O ra sao

Đối tượng O trong nghiên cứu của chúng tôi là “dẫn nhập chứng minh hình học”

3.2 Quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức

Một cá nhân không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn phải ở trong ít nhấttrong một thể chế Vì vậy, việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X,O) phải được đặttrong thể chế I nào đó mà có sự tồn tại của X

Kí hiệu R(I,O) để chỉ tập hợp các ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O.Trong một thể chế I, quan hệ R(X,O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng

buộc của R(I,O) Thể chế mà chúng tôi quan tâm ở đây là: Thể chế dạy học theo

chương trình hiện hành (áp dụng trong năm học 2011-2012).

Để làm rõ mối quan hệ R(I,O) và R(X,O) ta phải nghiên cứu các tổ chức toánhọc gắn liền với O Hơn nữa, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với Ocòn cho phép ta hình dung một số yếu tố của quan hệ cá nhân của chủ thể X tồn tạitrong O, tức là quan hệ các nhân HS duy trì với O trong thể chế I

Vậy thế nào là “tổ chức toán học”?

Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội Do đó cũng cần thiếtxây dựng mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó Chevallard (1998) đãđưa ra khái niệm praxeologie Mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần

, trong đó là một kiểu nhiệm vụ, là kĩ thuật cho phép giải quyết ,

là công nghệ giải thích cho kỹ thuật , là lý thuyết giải thích cho , còn gọi

là công nghệ của công nghệ

3.4 Đồ án didactic

Theo Artigue M (1988) và Chevallard Y (1982), đồ án didactic là một tìnhhuống dạy học được xây dựng bởi nhà nghiên cứu, là một hình thức công việcdidactic tựa như công việc của người kỹ sư: nó dựa trên kiến thức khoa học thuộclĩnh vực của mình để làm việc trên các đối tượng phức tạp hơn nhiều so với các đốitượng được sàng lọc của khoa học

Đồ án didactic cho phép thực hiện:

- Một hoạt động trên hệ thống giảng dạy, dựa trên nghiên cứu didactictrước đó

- Một kiểm chứng về những xây dựng lý thuyết được thực hiện bằng việcnghiên cứu, bằng việc thực hiện chúng trong một hệ thống giảng dạy

Đồ án didactic cho phép chúng tôi xây dựng một tiểu đồ án didactic, nhằmmục đích trả lời câu hỏi Q’5 và giúp HS tiếp cận đối tượng mới trong môi trường có

sự hỗ trợ của Cabri II Plus

Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta “giải mã” các ứng xử của GV và

HS, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích mộtcách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học

Theo A.Bessot và C.Comiti (2000), để thấy được hiệu ứng của các hợp độngdidactic, người ta có thể tiến hành như sau:

- Tạo ra một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặtnhững thành viên chủ chốt (GV, HS) trong một tình huống khác lạ -được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng

- Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại, bằng cách:

o Nghiên cứu câu trả lời của HS trong khi học

o Phân tích các đánh giá của HS trong việc sử dụng tri thức

o Phân tích những bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong các sách giáo khoa

Đặc biệt, ta có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactic đặc thù cho trithức bằng cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hóa việc sử dụng tri thức, bởi vìviệc sử dụng đó không chỉ được quy định bởi các văn bản hay bởi định nghĩa của trithức, bởi vì việc sử dụng đó không chỉ được quy định bởi các văn bản hay bởi địnhnghĩa của tri thức mà còn phụ thuộc vào tình huống vận dụng tri thức, vào nhữngước định được hình thành (trên cơ sở mục tiêu didactic) trong quá trình giảng dạy.Việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng didactic là cần thiết để chuẩn bị chotương lai, GV phải xem xét đến quá khứ mà hợp đồng hiện hành là dạng thể hiệnthực tế của nó Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ đạo để có sự tiến triển mong đợi

4 Câu hỏi nghiên cứu

Trong khung lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại các câuhỏi xuất phát thành các câu hỏi định hướng nghiên cứu như sau:

Q1: Quan hệ thể chế với đối tượng liên quan đến sự chuyển tiếp từ hình học trực

quan đến hình học suy diễn có đặc điểm gì? Các tổ chức Toán học nào được trình bày trong chương trình lớp 7 hiện hành?

Plus đối với việc dạy học dẫn nhập chứng minh hình học là gì? Những kiểu nhiệm

vụ nào sẽ được khai thác thêm trong môi trường Cabri II Plus, khi đó sẽ thêm những kỹ thuật và công nghệ mới nào?

Q3: Một tình huống dạy học “dẫn nhập chứng minh hình học” cần đạt những yêu

cầu gì? Có thể xây dựng được tình huống như vậy trong môi trường tích hợp Cabri hay không?

5 Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu: tìm câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu:

 Phân tích chương trình, phân tích SGK, SBT, SGV Toán lớp 7 (2001): phântích quan hệ thể chế, tìm các tổ chức Toán học liên quan đến HHGN–HHSD và sự chuyển tiếp Từ đó hình thành các giả thuyết và hợp đồng(nếu có)

 Tìm hiểu Cabri II Plus: cách thao tác thực hiện, đặc điểm nổi bật của Cabri,tìm và phân tích các kiểu nhiệm vụ có thể khai thác khi dùng kết hợp Cabri.Từ đó thiết kế một tình huống dẫn nhập chứng minh hình học

 Thực nghiệm:

 Thực nghiệm 1: kiểm chứng giả thuyết và các hợp đồng được đưa ra

 Thực nghiệm 2: dùng chức năng tương tác của Cabri để điều chỉnhmối quan hệ cá nhân của HS và một tính chất

6 Tổ chức luận văn

Cấu trúc của luận văn gồm phần mở đầu và 3 chương:

Phần mở đầu, gồm: những ghi nhận ban đầu, các câu hỏi xuất phát, phạm vi lýthuyết tham chiếu, câu hỏi nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, phương pháp nghiêncứu và cấu trúc của luận văn

Chương 1 nhằm tìm hiểu các khái niệm, các con đường suy luận, chứng minh;đồng thời tìm hiểu về hình hình vẽ và hình hình học Từ đó, để nhận thấy chươngtrình dạy học lớp 7 tiếp cận chứng minh như thế nào

Chương 2 nhằm trả lời cho Q1, Q2 Qua đó, chúng tôi xây dựng các quy tắchợp đồng và giả thuyết nghiên cứu

Chương 3 nhằm trả lời cho Q3

Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC BÁC HỌC

1.1 Khái niệm “dẫn nhập” trong luận văn

1.1.1 Dẫn nhập chứng minh hình học là gì?

Trong luận văn của chúng tôi, dẫn nhập được hiểu là hoạt động hìnhthành cho HS các kỹ năng: tự khám phá, tự dự đoán, tự tìm hướng chứng minhmột tính chất và tự đánh giá kết quả

1.1.2 Những yêu cầu của một tình huống dẫn nhập

Một tình huống có vai trò dẫn nhập cần đạt được những yêu cầu sau:

 Xây dựng được pha dự đoán một cách hiệu quả: HS dựa trên nhữngghi nhận thực nghiệm để đưa ra một phát biểu mang tính phỏng đoán; nhữngphát biểu này phải tạo ra sự nghi ngờ khiến HS đứng trước một tình huốnglưỡng lự

 Tạo ra các gợi ý định hướng cho việc “phê phán” dự đoán cũng nhưcho việc hợp thức hóa dự đoán đúng bằng chứng minh

 Nảy sinh hoạt động suy luận như một nhu cầu thiết yếu trong chứngminh hình học

1.2 Khái niệm suy luận và chứng minh trong việc dạy học Toán ở cấp THCS 1.2.1 Suy luận

Theo nghiên cứu của tác giả Hoàng Chúng trong [21] thì:

 Suy luận là rút ra mệnh đề mới từ một hoặc nhiều mệnh đề đã có

 Ở cấp THCS, có hai kiểu suy luận sau:

o Suy luận diễn dịch (suy diễn): là suy luận theo những quy tắc tổng

quát, xác định rằng nếu tiền đề đúng thì kết luận rút ra cũng phải đúng.Những quy tắc suy luận thường xuất hiện: quy tắc kết luận ;

Suy luận

quy tắc kết luận ngược ; quy tắc bắc cầu ;phép quy nạp hoàn toàn

o Suy luận nghe có lý: là suy luận không theo một quy tắc tổng quát

nào Các tiền đề dù đúng thì kết luận được rút ra cũng không chắc đúng.Kết luận của kiểu suy luận này chỉ mang tính dự đoán Suy luận nghe có

lý xuất hiện ở phép quy nạp không hoàn toàn và phép tương tự

1.2.2 Chứng minh:

Ở cấp độ khoa học Toán học: Chứng minh là một phép suy luận để thiết

lập sự đúng hay sai của một khẳng định (phán đoán, mệnh đề, định lý) [22,

trang ] Còn theo tác giả Hoàng Chúng [21, trang 100], chứng minh mệnh đề B

là nêu rõ rằng: B là kết luận logic của những tiền đề và những tiền đề đó đều

đúng Như vậy ở cấp THCS, việc chứng minh là nhằm có được một kết luận

đúng Cũng theo ông, đó là cách chứng minh trực tiếp, ngoài ra còn có các cáchchứng minh gián tiếp sau: bác bỏ (nghĩa là xác định mệnh đề đó là sai), chứngminh phản chứng (nghĩa là bác bỏ mệnh đề phủ định của mệnh đề cần chứngminh)

1.3 Đặc trưng suy luận và chứng minh ở THCS:

 Quan điểm tiên đề đã bị loại bỏ Mục tiêu chủ yếu của dạy học Toán Hìnhhọc ở trường THCS vẫn là rèn luyện khả năng suy luận và chứng minh, tuy nhiên vịtrí của suy luận và chứng minh bị thu hẹp ở lớp 6, 7 và mở rộng dần ra từ lớp 7 đếnlớp 9 Cụ thể là phần bài tập lớp 6 bắt đầu có những suy luận đơn giản (1 đến 3bước) và gắn liền với số đo Từ lớp 7 trở đi, các suy luận dài hơn được trình bày (tối

đa là 9 bước) và hầu hết các định lý đều được chứng minh, các thuật ngữ “tínhchất”, “định lý”, “chứng minh” xuất hiện một cách chính thức và xuyên suốt, mức

độ phức tạp của chứng minh tăng dần theo cấp lớp

 Quan điểm thực nghiệm-suy luận bắt đầu được đưa vào chính thức, bắt đầu

ở bài “Hai góc đối đỉnh” trong hình học lớp 7, tuy nhiên việc vận dụng quan điểmnày trong chương trình còn chưa triệt để Pha dự đoán xuất hiện đóng vai trò quan

bấp bênh nên chưa làm cho HS thấy được vai trò thực sự của suy luận Hơn nữanhiều tính chất được SGK khẳng định ngay sau hoạt động dự đoán và trước hoạt

động suy luận, “điều này thể hiện các tính chất này đã được hợp thức bởi kết quả

thực nghiệm” [16, trang 74] Như vậy HS càng chưa thấy được nhu cầu nảy sinh

suy luận để hợp thức các phỏng đoán

 Các hoạt động tiếp cận Suy luận và chứng minh cũng được chương trìnhđặc biệt quan tâm, nhất là giai đoạn lớp 7:

o Hoạt động thực nghiệm

o Hoạt động tập suy luận

o Hoạt động ngôn ngữ

o Hoạt động liên quan trực tiếp đến định lý và chứng minh định lý

o Hoạt động điền vào chỗ trống

1.4 Kết luận

Qua phần phân tích trên, chúng tôi rút ra được các nhận xét sau:

 Suy luận diễn dịch và chứng minh nhằm hợp thức các kết luận đúng, trongkhi suy luận nghe có lý lại gắn với một kết luận mang tính phỏng đoán Vậy haikiểu suy luận trên tồn tại và có mối quan hệ như thế nào trong hình học 7? Để phùhợp với sự phát triển của HS lớp 7 thì những hình thức chứng minh nào (hoặcnhững hình thức tập dượt chứng minh nào) được lựa chọn vào giảng dạy? Việc bácbỏ một mệnh đề sai hay nói cách khác là tìm cách phủ định một mệnh đề có đượcthể chế quan tâm hay không?

 Ở cấp THCS, việc xây dựng hình học thể hiện mối quan hệ biện chứng giữahoạt động thực nghiệm và hoạt động suy luận, trong đó pha dự đoán đóng vai trò làcầu nối giữa hai hoạt động trên Việc xuất hiện pha dự đoán sau khi tiến hành đođạc rồi sau đó là pha suy luận muốn chứng tỏ một thỏa thuận: kết quả đạt được từthực nghiệm chỉ mang tính phỏng đoán, có thể đúng có thể sai, phải dùng suy luận

để hợp thức dự đoán, từ đó hình thành nên các tính chất

Như vậy, trong chương trình lớp 7 hiện hành, quan điểm thực nghiệm – suy luậnhiện diện như thế nào trong việc xây dựng các tính chất, nói cách khác là các tínhchất được ra đời theo những kiểu tiến trình nào, trong đó pha dự đoán có tác dụnggì?

CHỨNG MINH HÌNH HỌC”

2.1 Các kiểu suy luận và chứng minh trong hình học 7

 Suy luận diễn dịch: là kiểu suy luận chính được trình bày trong chương trìnhlớp 7 Do sự chuyển đổi sư phạm nên trong phạm vi giảng dạy, khái niệm

“Định lý” được hiểu là những mệnh đề đã được chứng minh là đúng Vì vậy,kiểu suy luận hợp logic này chiếm vị trí quan trọng trong việc học định lý vàrèn luyện kỹ năng chứng minh cho HS

Suy luận này theo quy tắc

 Suy luận nghe có lý: xuất hiện chủ yếu trong quá trình xây dựng một tínhchất, nhằm mục đích tạo ra các dự đoán Trong đó, hiện diện hình thức củaphép quy nạp không hoàn toàn, tức là tính chất rút ra từ một hình, một suyluận trên số đo cụ thể mà khái quát thành dự đoán cho một lớp các hình

 Chứng minh: là hoạt động quan trọng và phổ biến trong chương trình

 Bác bỏ: có xuất hiện nhưng chỉ đúng 2 lần trong phần bài tập: bài 8 [9, trang83] và bài 12 [9, trang 86] Kiểu suy luận này theo chúng tôi là nhẳm mụcđích giới thiệu một số mệnh đề sai, qua đó dạy cho HS cách bác bỏ mộtmệnh đề sai

Sự thiên lệch về số lượng xuất hiện của hai kiểu chứng minh trên đã tác động lênthói quen suy luận của HS ở chỗ: HS không được làm quen với mệnh đề phủ định

mà chỉ tìm cách để khẳng định mệnh đề, HS chưa có kỹ năng bác bỏ mệnh đề sai

2.2 Quy trình hợp thức tính chất hình học ở lớp 7

SGK 7 hiện hành tuy không phải xây dựng hoàn toàn theo quan điểm thực

nghiệm nhưng rõ ràng yếu tố thực nghiệm đã được tính đến Đặc biệt “các kiến

thức hình học được trình bày theo con đường kết hợp trực quan và suy diễn” [11, trang 8] Cụ thể chúng tôi ghi nhận được việc dạy học các tính chất ở lớp 7 diễn ra

theo các kiểu như sau:

Kiểu 1: HS tiếp cận với tính chất thông qua hoạt động gồm các pha

thực nghiệm – dự đoán – suy luận – khẳng định tính chất

Ví dụ: Tính chất của hai góc đối đỉnh (SGK toán 7 tập 1 trang 81)

?3 Xem hình 1:

a) Hãy đo góc O 1 , góc O 3 So sánh số đo hai góc đó.

b) Hãy đo góc O 2 , góc O 4 So sánh số đo hai góc đó.

c) Dự đoán kết quả rút ra từ câu a), b).

Tập suy luận: Xem hình 1 Không đo, có thể suy ra được: hay

 Việc dạy học tính chất theo các pha trên thuộc về tiến trình Thực

nghiệm/Suy luận, trong đó nghiên cứu thực nghiệm và nghiên cứu lý thuyết có mối quan hệ biện chứng [22] Tiến trình này thể hiện một quá trình hình thành và phát

thực nghiệm hoạt động suy luận

Yếu tố dẫn nhập được khai thác rất hiệu quả nếu việc dạy học định lý được thựchiện theo tiến trình này: HS tiến hành quan sát, thực nghiệm; tự khám phá và đưa

ra các dự đoán; tự mò mẫm tính đúng sai của dự đoán; tự tìm tòi phương hướngchứng minh; thể chế hóa, khái quát hóa định lý

 Việc đưa vào tiến trình này có tác động khá tích cực:

o Đặt HS vào một quy trình đúng của nghiên cứu khoa học Một tính chấtxuất hiện một cách hệ thống và chặt chẽ (không phải do chủ quan của một ai tựnghĩ ra)

o Thực nghiệm chỉ khẳng định được dự đoán trong một hoặc một số hình

vẽ cụ thể nào đó nhưng không thể kiểm nghiệm được dự đoán có đúng cho tất cảcác hình không Thực nghiệm là khâu đầu tiên và đóng vai trò hỗ trợ cho HSđưa ra các phỏng đoán

o Các dự đoán muốn được hợp thức hóa thì bắt buộc phải qua suy luậnbằng các công cụ lý thuyết

được như mong đợi, ý nghĩa pha dự đoán của hai định lý chưa thực sự được bộc lộ:

o Chưa gây nghi ngờ, do dó nhu cầu “hợp thức hóa kết quả bằng suy luận”vẫn chưa cần thiết

o Lý do cho sự xuất hiện của suy luận ở đây là “theo yêu cầu đề toán” hoặc

nhằm mục đích “Suy luận để có khẳng định đúng và tổng quát”

o Kết quả dự đoán dễ dàng, từ đó tạo thói quen đưa ra dự đoán chỉ căn cứvào một hình

Kiểu 2: HS tiếp cận với tính chất thông qua hoạt động gồm các pha

thực nghiệm – dự đoán – khẳng định tính chất – suy luận

(khác với kiểu 1 ở thứ tự các pha)

Ví dụ: Tổng ba góc của một tam giác (SGK toán 7 tập 1 trang 106)

?1 Vẽ hai tam giác bất kì, dùng thước đo góc đo ba góc của mỗi tam giác rồi tính tổng số đo ba góc của mỗi tam giác.

Có nhận xét gì về các kết quả trên?

?2 Thực hành: Cắt một tấm bìa hình tam giác ABC Cắt rời góc B ra rồi đặt

nó kề với góc A, cắt rời góc C ra rồi đặt nó kề với góc A như hình 43 Hãy nêu dự đoán về tổng các góc A, B, C của tam giác ABC.

Qua A kẻ đường thẳng xy song song với BIếN Cố (hình bên)

xy // BC  (1) (hai góc so le trong)

xy // BC  (2) (hai góc so le trong)

Từ (1) và (2) suy ra:

Theo chúng tôi, tiến trình này không tạo ra tình huống gây nghi ngờ cho HS, HS

dự đoán nhưng tính đúng sai của dự đoán lại được khẳng định ngay sau đó, HS chỉ

có nhiệm vụ là suy luận Như vậy pha dự đoán ở đây chỉ mang tính hình thức, phasuy luận chưa thực sự là nhu cầu của HS Điều này càng rõ hơn khi đa số các pha

dự đoán trong SGK đều xuất hiện chỉ sau khi thực nghiệm trên một hình (chủ yếu làhình được SGK cung cấp) Nhưng dù vậy, kiểu 1, kiểu 2 cũng đã vẽ ra bước chuyểntiếp từ HHGN sang HHSD

Kiểu 3: HS tiếp cận với tính chất thông qua hoạt động gồm các pha

thực nghiệm – dự đoán – khẳng định tính chất Ví dụ: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

(SGK toán 7 tập 2 trang 65)

a) Thực hành:

Thực hành 1: Cắt một tam giác bằng giấy Gấp lại để xác định trung điểm một cạnh của nó Kẻ đoạn thẳng nối trung điểm này với đỉnh đối diện Bằng cách tương tự, hãy vẽ tiếp hai đường trung tuyến còn lại.

?2 Quan sát tam giác vừa cắt (trên đó đã vẽ ba đường trung tuyến) Cho biết: Ba đường trung tuyến của tam giác này có cùng đi qua một điểm hay không?

Thực hành 2:

 Trên mảnh giấy kẻ ô vuông mỗi chiều 10 ô, em hãy đếm dòng, đánh dấu

các đỉnh A, B, C rồi vẽ tam giác ABC như hình 22.

 Vẽ hai đường trung tuyến BE và CF Hai trung tuyến này cắt nhau tại G Tia AG cắt cạnh BC tại D

?3 Dựa vào hình, hãy cho biết:

 AD có là đường trung tuyến của tam giác ABC hay không?

 Các tỉ số bằng bao nhiêu?

b) Tính chất:

Người ta đã chứng minh được định lí sau về tính chất ba đường trung tuyến của một tam giác.

Định lí:

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm

đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Kiểu 4: HS tiếp cận với tính chất thông qua hoạt động gồm các pha

suy luận – khẳng định tính chất (hoặc khẳng định tính chất – suy luận)

?2 Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, ta có thể kẻ được bao nhiêu đường vuông góc và bao nhiêu đường xiên đến đường thẳng d?

So sánh đường vuông góc và các đường xiên, ta có định lí sau:

Phiên ban thu nghiem - Không duoc dùng trong lop hoc.

GT AH là đường vuông góc

Tiến trình này có thể được khắc phục nếu có sự kết hợp của các phần mềmhình học động Nhờ vào đặc tính của phần mềm là đảm bảo được các yếu tố bấtbiến của hình nên khi hình được di chuyển, các tính chất sẽ được nhận ra thông qua

việc quan sát HS sẽ tránh được sự gượng ép khi phải thừa nhận tính chất mà SGKđưa ra và yêu cầu HS suy luận bằng việc quan sát 1 hình cố định Như vậy bướcchuyển tiếp đã ngầm xuất hiện Tuy nhiên, cần phải nhấn mạnh cho HS thấy phầnmềm mang tính hỗ trợ, các tính chất được rút ra cũng chỉ mang cơ chế phỏng đoán

và chỉ được khẳng định khi công việc “suy luận” thành công

Kiểu 5: Tính chất được SGK công nhận

Ví dụ: Tiên đề Ơ-clit (SGK toán 7 tập 1, trang 92)

Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng a Ta đã biết cách vẽ đường thẳng b đi qua M sao cho b//a.

Vấn đề đặt ra là có bao nhiêu đường thẳng b đi qua M và b//a?

Chúng ta thừa nhận tính chất sau mang tên “Tiên đề Ơ-clit”:

Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song

với đường thẳng đó.

a

bM

Phiên ban thu nghiem - Không duoc dùng trong lop hoc.

Hình: Điểm M nằm ngoài đường thẳng a,

đường thẳng b đi qua M và song song với a là duy nhất.

Thống kê các kiểu tiến trình dạy học định lý trong SGK Toán 7

Nhận xét chung:

dự đoán, 46% còn lại là các định lý được công nhận hoặc có được như là kết quảcủa một quá trình suy luận rõ ràng, thể chế đã có sự quan tâm đến tiến trình dạyhọc theo quan điểm kết hợp thực nghiệm và suy luận

o 100% dự đoán được hình thành bằng việc trả lời các câu hỏi có định

hướng chẳng hạn: “dự đoán xem a và b có song song với nhau không?” hoặc

“quan sát và dự đoán xem ta có trường hợp nào sau đây:

?” hoặc “cho biết ba đường trung tuyến của tam giác có cùng đi qua một điểm không?”

o Các câu hỏi định hướng thường xuất hiện ở dạng “có hay không” (53%)

và tất cả câu trả lời là “có” Hơn nữa những tính chất và các kết luận cần chứngminh đều là các mệnh đề khẳng định Điều này khiến HS có thói quen tìm cáchkhẳng định mệnh đề, mà không có cơ hội làm việc với các phát biểu mang tínhphủ định kiểu “a và b không song song”

o Có 59% dự đoán được hình thành dựa trên một hình vẽ in chính xác hoặcgấp hình theo một hình in có sẵn (dĩ nhiên là theo các câu hỏi gợi ý và hướngvào điều mà SGK mong muốn) Các dự đoán được tạo ra luôn khớp với hình vẽ

đã được cung cấp và tất cả dự đoán đều được khái quát thành tính chất sau đó.Với HS những hình vẽ được cho sẵn luôn là những hình vẽ đúng, là cơ sở đểhình thành nên các dự đoán Như vậy, pha dự đoán không mang tính bấp bênh;mặt khác HS sẽ gặp khó khăn khi phải tự đưa ra các dự đoán Ngoài ra theochúng tôi nếu gặp một hình vẽ tay (có thể đúng có thể sai) thì HS sẽ vẫn hànhđộng như đối với một hình vẽ in

o 10% định lý có dùng suy luận sau pha dự đoán, tuy nhiên các dự đoántrong quá trình xây dựng các định lý này không tạo ra bất kỳ một nghi ngờ nào ở

HS (vd: vẽ và hai góc đối đỉnh thì kết quả hai góc đó bằng nhau là điều HS dễdàng nhận ra, không một chút đắn đo nào) Vì vậy, pha suy luận ở đây khôngnhằm mục đích phê phán dự đoán (kiểm chứng xem dự đoán đúng hay sai) màchỉ có tác dụng là hợp thức tính đúng đắn của dự đoán trước khi khái quát thànhtính chất

o 40% định lý được xây dựng theo trình tự: dự đoán – khẳng định –suyluận, như vậy suy luận lại một lần nữa được đưa vào nhằm mục đích hợp thứckhẳng định đã có bằng công cụ lý thuyết.

o 50% định lý không dùng đến suy luận mà đa phần là do yêu cầu giảm tảinhững chứng minh phức tạp của chương trình

Tóm lại, hoạt động dự đoán đã bắt đầu được xây dựng nhưng còn chưa hiệu quả,đồng thời vai trò của suy luận cũng chưa được bộc lộ rõ ràng trong chương trìnhlớp 7

2.3 Hình vẽ trong HHGN và HHSD

2.3.1 Khái niệm hình hình học và hình vẽ

 Hình hình học:

Tập hợp khác rỗng những điểm của không gian “Đối tượng nghiên

cứu của hình học là các hình hình học Chúng được mô tả qua những tiên đề, định nghĩa, tính chất” [4, trang 88]

 Hình vẽ:

 Là hình biểu diễn phẳng của các hình hình học, theo hai cơ chế:

Cơ chế 1: khi nghiên cứu hình học bằng quan điểm thực nghiệm,hình vẽ được xem “là hình biểu diễn của một đối tượng có thểdựng được của thực tế”.[4, trang 189]

Cơ chế 2: khi nghiên cứu hình học bằng quan điểm tiên đề thì hình

vẽ được xem “là hình biểu diễn của các khái niệm trừu tượng” [4,trang 189]

 Hình vẽ là một mô hình của đối tượng hình học

 Hình vẽ là bản vẽ vật chất của các hình hình học, đối với các hình

vẽ này thì số đo giữ vai trò trung tâm

 Hình vẽ được vẽ cụ thể trên giấy, không thể phản ánh đúng tínhchất vốn có đối với bài toán, vị trí của hình vẽ chỉ là một vị trí cụthể của một đối tượng hình học

2.3.2 Vai trò của hình vẽ

 Hình vẽ là đối tượng nghiên cứu

 Người học phải làm việc trên hình vẽ (đo đạc, tô, vẽ, cắt ghép,quan sát, ), thông qua các hoạt động này mà nhận biết được cácđối tượng và tiếp thu các kiến thức hình học Do đó “hình vẽ làcông cụ thích hợp để truyền đạt tri thức tại tiểu học” [18]

 Theo [18], hình vẽ:

o “Là công cụ thích hợp giúp hình thành khái niệm

o Có tác dụng minh họa, làm rõ khái niệm

o Cho phép nhận biết tính chất của hình và kiểm tra tính chất

trực tiếp trên hình

o Những ghi nhân của HS dựa trên hình vẽ là kết quả được thừa nhận”

 Hình vẽ trong HHSD – một mô hình:

Ở bậc THCS, HHSD bắt đầu được đưa vào, khi đó xuất hiện vaitrò mô hình của hình vẽ cụ thể:

Hình vẽ là một mô hình của đối tượng hình học Hình vẽ “gắn liềnvới các tính chất của một đối tượng hình học và biểu diễn cho mộtđối tượng trừu tượng, tổng quát”, theo [18]

Hình vẽ là một mô hình của đối tượng vật chất Hình vẽ đượcdùng như “là một mô hình của một đối tượng vật chất để hình

thành cho HS các tính chất của đối tượng hình học” [18].

Theo [18], hình vẽ:

“Thể hiện giả thiết bài toán Minh họa đề toán để HS tìm ra cách chứng minh Minh họa cho cách trình bày bài giải

Hình vẽ chỉ là công cụ hỗ trợ cho chứng minh”

2.3.3 Sự chuyển biến vai trò hình vẽ tương ứng với sự chuyển đổi HHGN sang HHSD

Ở bậc tiểu học, hình vẽ được xem là một đối tượng vật chất, HS thực nghiệm ngaytrên hình vẽ và rút ra các kết luận về tính chất của một đối tượng hình học dựa trêncác hình ảnh quan sát trực tiếp và các hoạt động thực nghiệm trên Đến giai đoạnđầu THCS (lớp 6, 7), Có thể do thể chế mong muốn không tạo ra một khoảng cáchquá lớn trong việc học hình học khi chuyển từ tiểu học sang THCS nên giai đoạnđầu THCS (lớp 6, 7) mang tính kế thừa của hình học tiểu học, đảm bảo sự nối tiếpnày thì hình vẽ vẫn được xem là đối tượng vật chất, sau đó trong một số tình huốngchuẩn bị cho suy luận và chứng minh thì hình vẽ được xem như mô hình của một

đối tượng hình học “Sự thay đổi vai trò của hình vẽ tương ứng với giai đoạn HS sẽ

thay đổi quan hệ bản thân với hình học thông qua việc chứng minh” [18] “HS dựa vào hình vẽ để suy luận, để chứng minh chứ không còn dựa vào những ghi nhận từ hình vẽ để kết luận” [18]

Bậc 1 (phân tích): HS nhận ra các đặc điểm của hình thông qua việc quan sát

và thực nghiệm Khi đó, hình vẽ giúp HS tìm tòi các tính chất của hình, giúp pháttriển kỹ năng quan sát, mô tả, từ đó phát triển trí tưởng tượng không gian Ví dụ:phát hiện tính chất bằng nhau của hai góc đối đỉnh, nhận xét được hình chữ nhật cóhai đường chéo bằng nhau

Bậc 2 (suy diễn không hình thức): HS thiết lập quan hệ giữa các tính chấtcủa một hình hoặc giữa các hình; phân loại và định nghĩa các hình; có dùng lý lẽ

Do đó, vai trò hình vẽ càng rõ ràng, đó là chỗ dựa trực giác cho việc dạy học kháiniệm và suy luận

Hình thành cách vẽ một số hình phổ biến và quan trọng, chẳnghạn: vẽ tia phân giác của một góc Theo đó bài toán vẽ hình bằngcompa và thước thẳng được đưa vào ngầm ẩn trong sách lớp 7, baogồm hai bước là nêu cách vẽ và chứng minh bước vẽ, cụ thể SGK nêucách vẽ còn HS tìm lập luận để chứng minh bước vẽ (20tr115)

Vẽ hình thỏa tính chất đã cho (46tr127, 37tr72)

Hình thành các suy luận bước đầuPhân tích mối quan hệ giữa các tính chất

Vẽ hình thể hiện giả thiết, kết luận của bài toán (52tr128):

Tạo điểm tựa cho suy luậnThao tác trên hình là kiểu nhiệm vụ giúp hình HS động, gần gũi và dễ tiếpthu với HS, góp phần hỗ trợ trực giác cho suy luận

2.3.4.2 Đặc trưn g hình vẽ trong HHGN và HHSD

Khái niệm hình không được định nghĩa

mà gán với một cái tên kèm theo các đặc

Khái niệm hình được định nghĩa tườngminh, được hiểu theo nghĩa khái quát và

điểm và hình vẽ minh họa

Các kỹ thuật dùng để giải quyết kiểu

nhiệm vụ “Nhận dạng hình” và “Tạo

hình hình học” dựa hoàn toàn trên thực

nghiệm

Hình vẽ sẵn có

Tạo ra một hình theo biểu tượng đã có

Quan hệ giữa các hình hình học không

Hình vẽ do người học tự vẽTạo ra hình theo sự chỉ dẫn cụ thể, qua

đó dần đưa vào bài toán dựng hình 4bước

Hình được tạo ra từ các bộ phận có quan

hệ Bản thân các hình cũng có quan hệvới nhau

Hình vẽ gợi mở các dự đoán và tạo cơ sởtrực giác để chứng minh kiến thức

2.3.5 Môi trường truyền thống và môi trường có hỗ trợ Cabri

2.3.5.1 Môi trường truyền thống

 Hình vẽ tĩnh

 Cần nhiều thời gian khi muốn chỉnh sửa lại hình vẽ, vì khi một yếu tốtrong hình thay đổi thì các yếu tố khác có liên quan sẽ không tự độngthay đổi theo

 Tốn nhiều công sức đối với khâu dự đoán trong các bài toán quỹ tích,tìm điểm cố định… Nói riêng và các bài toán mà khâu phỏng đoánphụ thuộc khá nhiều vào hình vẽ nói chung Do đó nhìn chung không

quan sát thì khi thực hiện thao tác kéo dài đoạn AB thì điểm M sẽ tự độngthay đổi theo để vẫn giữ được tính chất là trung điểm của đoạn AB mới.

 Bảo toàn tính bất biến của hình Do các yếu tố hình đều có sự thay đổi tươngứng với nhau nên những yếu tố bất biến sẽ thể hiện rõ trên hình khi người vẽthao tác Tính chất này hỗ trợ rất hiệu quả cho khâu dự đoán trong các bàitoán quỹ tích, tìm điểm cố định

 Cabri là môi trường rèn luyện suy luận một cách ngầm ẩn Trong Cabri, các

bộ phận của hình vẽ có mối quan hệ mật thiết với nhau nên đòi hỏi tính chínhxác cao Hơn nữa, ngoài các hình đặc biệt đã được thiết lập sẵn trong Cabrithì các hình khác được dựng dựa trên các tính chất của hình bằng các công cụsẵn có Ví dụ, dựng tam giác cân: nếu dựng bằng giấy bút thì canh theo ô lygiấy hoặc dùng thước để đo và dựng hai cạnh bằng nhau  hình vẽ dựngtrên tính chất tam giác cân và có kết hợp việc đo đạc; nếu dựng trong Cabri:

vì không có công cụ đo hai đoạn bằng nhau (hình theo nghĩa hình hình họcchứ không phải hình vẽ cố định gắn với một số đo cụ thể) cho nên tam giáccân được dựng dựa trên tính chất hai cạnh bằng nhau và hai cạnh bằng nhaudựng dựa trên tính chất của một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng

Vì vậy thao tác dựng hình trong Cabri gắn chặt với việc suy luận, góp phần

hỗ trợ thêm kỹ năng suy luận hình học của người học và hình thành mối quan

hệ giữa các khái niệm, tính chất của các hình, phát triển khả năng phân tích

và tổng hợp

Tuy nhiên, trong Cabri pha dự đoán không thể hiện được đúng vai trò tạo sự bấpbênh và nghi ngờ dẫn đến việc phải dùng đến suy luận, bởi vì hình vẽ trongCabri dựng được mang tính chính xác cao

Việc thao tác dịch chuyển hình nhìn chung vẫn là hoạt động thực nghiệm trên hình,cho nên dù có hiệu quả thì vẫn không thể khẳng định là đã thực hiện được trên tất cảcác khả năng có thể có của hình, các pha dự đoán về cơ bản vẫn chỉ là “đoán”,những khả năng quan sát được vẫn chỉ là hữu hạn, do đó vẫn phải cần đến suy luận

để hợp thức hóa kết quả Như vậy, việc kết hợp Cabri trong dạy học góp phần củng

cố thêm việc bác bỏ một ràng buộc “Kết luận dựa vào thực nghiệm” vốn đã hìnhthành ở HS từ giai đoạn đầu học hình học; từ đó càng nâng cao vai trò của suy luậntrong chứng minh hình học

Tuy pha dự đoán không tạo được bấp bênh nhưng hiệu quả lại thể hiện rất rõ trongpha tìm tòi và phát hiện tính chất; đó cũng là một trong các hoạt động cần thiết vàquan trọng trong quá trình nghiên cứu (phân biệt “dự đoán” và “tìm tòi, phát hiện”

ở cấp độ dạy học)

Dự đoán một tính chất đang nghi vấn Vd: Cho biết và Dự đoán xem a

và b có song song với nhau không? (?1 trang 96)

Dự đoán một tính chất theo hướng có gợi mở trước Vd: quan sát tam giác vừa cắt(trên đó có vẽ ba đường trung tuyến), cho biết ba đường trung tuyến của tam giácnày có cùng đi qua một điểm không? (?2 trang 65)

Tìm tòi và phát hiện một tính chất được thực hiện dựa trên thực nghiệm và quan sátcác bất biến từ đó đưa ra một dự đoán về một tính chất (không có gợi mở trước nhưpha dự đoán trên) Hơn nữa việc kết hợp Cabri sẽ giúp rút ngắn thời gian vì tính bấpbênh ít

2.3.6 Hình và hình vẽ trong HHGN và HHSD

Hình vẽ vừa cụ thể vừa tổng quát, vừa trực quan vừa trừu tượng Đặc điểm nàykhiến HS rất dễ bị cái cụ thể cản trở cái tổng quát, gây khó khăn khi suy luận Hình

vẽ không bao quát hết tất cả các trường hợp dẫn đến bài giải không đầy đủ Nếuthực hiện trên giấy thì HS rất dễ mắc sai lầm Còn nếu trong Cabri thì các sai lầmtrên sẽ được hạn chế vì nhờ có thao tác di chuyển hình dễ dàng và nhanh chóng nên

- Nếu nhiều giả thiết thì hình vẽ dễ gây khó khăn trực quan, hình vẽ rối

(chẳng hạn có các đường vẽ trùng lên nhau) Khi đó hình vẽ gây cản trởviệc suy luận của HS

- Vì hình vẽ mang tính cố định, cục bộ nên khi muốn chỉnh sửa lại hình vẽ

thì mất nhiều thời gian và công sức, trong khi nếu dùng lại hình vẽ cũ thìlại gặp khó khăn về trực giác

b) Môi trường Cabri

- Khắc phục hai khó khăn trên của môi trường truyến thống.

- Có một số hình thông dụng được vẽ sẵn bằng các macro, hình vẽ minh

họa một cách chính xác các tính chất hình

- Gắn liền hoạt động lập luận với hoạt động vẽ hình.

- Dễ dàng phát hiện hình vẽ đúng hay sai, vì nếu hình vẽ sai thì khi dịch

chuyển hình vẽ sẽ biến dạng, các bộ phận của hình không thay đổi tươngứng

2.3.7.2 Giải toán

Hình vẽ giữ vai trò dự đoán kết quả đối với các bài toán mở Theo [18, trang5], hình vẽ mang nghĩa “thí dụ ngược”, là một phương tiện thăm dò tìnhhuống và cho phép đặt ra các giả thuyết Trong quá trình giải toán, hình vẽcòn giúp tìm ra đường lối và cách giải Theo đó, hình vẽ có chức năng thựcnghiệm, được dùng như một công cụ khám phá

Nhìn chung, hình vẽ dù trong môi trường nào cũng mang các chức năng đặcthù nêu trên trong giai đoạn tìm tòi và phát hiện của hoạt động giải toán Tuynhiên, môi trường có tích hợp Cabri có ưu điểm hơn nhờ hình vẽ động vàthao tác được trên hình Cabri cho phép thu hẹp phạm vi thăm dò các tìnhhuống, cho phép đặt ra các giả thuyết khả thi và hợp lý hơn Vd: 51 trang

128, 30 trang 67

2.3.7.3 Trình bày lời giải của HS

Hình vẽ minh họa các giai đoạn làm bài của HS (gọi thêm điểm, kẻthêm đường phụ,…)

Đối với bài toán dựng hình thì hình vẽ là kết quả cần đạt được sau cácbước lập luận cần thiết

2.4 Phân tích tổ chức toán học liên quan đến “dẫn nhập chứng minh hình học lớp 7”

T1: Tính giá trị đại lượng

T2: So sánh hai đai lượng

T3: Xác định tính chất của một tam giác

T4: Tạo ra một hình

T5: Khẳng định tính đúng sai của mệnh đề

T6: Chứng minh tính chất của hình

T1: Tính giá trị đại lượng

T1.1: Tính số đo góc

1.1.1:

 Vẽ hình theo đúng kích thước của các đối tượng trong bài toán

 Dùng thước đo độ để trả lời số đo góc

Bài 4 [9, trang 82]

Vẽ góc xBy có số đo bằng Vẽ góc đối đỉnh với góc xBy Hỏi góc này có số đo bằng bao nhiêu độ

Lời giải [11, trang 85]

Góc đối đỉnh với là và

Lời giải trên không giải thích rõ căn cứ nào để có góc HS được yêucầu vẽ một góc, vẽ góc đối đỉnh và hỏi số đo của góc đối đỉnh HS có thể dùng kỹthuật đo đạc (thực nghiệm) để trả lời câu hỏi trên, do ảnh hưởng của HHGN trước

đó và do thể chế không ghi rõ mong muốn Tuy nhiên lời giải kiểu này chỉ xuất hiệnmột lần Còn từ đó về sau thể chế đều bộc lộ rõ mong muốn phải dùng lập luận đểgiải quyết bài toán

o Tổng 3 góc trong một tam giác bằng 1800 (Bài 2 [9, trang 108])

o Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với góc đó

(Bài 2 [9, trang 108], cách 2)

o Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau

o Tam giác đều có ba góc đều bằng 600

1.1.2: Tính chất 2 góc đối đỉnh; 2 góc kề bù; tính chất 2 đường thẳng song song;…

tính chất tổng 3 góc trong 1 ; tính chất về 2 góc đáy của tam giác cân

3 1 3

1

Ta có: (hai góc kề bù)

Xét tam giác ABC:

Ở tiết 1, chưa học góc ngoài của tam giác, do đó tính sđ góc ADC như sau:

Cách 2:

Sau khi học góc ngoài của tam giác, tính sđ góc ADC như sau:

(góc ngoài của )

Đa số lời giải dùng kỹ thuật tính dựa trên công thức, tính chất với sự xuất hiện suyluận, giải thích rõ các luận cứ Các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ tính số đo góc xuấthiện ở lớp 7 với mức độ khá đơn giản, chỉ cần 1 đến 2 bước suy luận là đã tìm được

kết quả Theo chúng tôi, có 2 mức độ yêu cầu về suy luận được đặt ra: “Mức đơn

giản: Suy luận trên con số cụ thể” và “Mức tổng quát: Suy luận trên số đại diện”.

liền với các số đo cụ thể, việc làm này tạo cầu nối để HS khỏi bỡ ngỡ khi thoát rakhỏi HHGN đã hình thành từ bậc tiểu học và lớp 6 Tuy nhiên, khi phân tích SGK

và SGV, có thể thấy thể chế mong đợi nhiều hơn thế bằng việc đưa vào các bài tậpvới mong muốn các giả thiết về số đo chỉ mang tính đại diện, không chi phối đếnquá trình giải toán mà chỉ xuất hiện khi cho ra kết quả cần tìm, tức là các bước suyluận không gắn với một số đo cụ thể nào mà là suy luận thuần túy dựa trên tínhchất

Bài 6 [9, trang 109]

Tìm số đo x ở hình 55 [….]

Lời giải [11, trang 117]

(đối đỉnh) Suy ra: Vậy

Số đo 400 là một số đo mang tính đại diện, 3 bước lập luận trên không hề đề cậpđến giả thiết về số đo 400 này, cho đến khi trả lời kết quả thì mới có Bài toán trên

có thể được nhiều HS giải theo mức độ 1 (gắn với số đo cụ thể) như sau:

Ưu điểm đầu tiên của lời giải theo SGV là thời gian, nếu như thay đổi dữ kiện

thì HS dễ dàng có câu trả lời ngay lập tức, trong khi nếu theo cách tính mà

nhiều HS có thể chọn thì việc tính toán phải bắt đầu lại từ đầu Ưu điểm thứ hai làcách giải của SGV giúp HS tiếp cận với suy luận ở mức độ tổng quan hơn, đó cũngchính là yêu cầu được đặt ra đối với HHSD Như vậy, việc SGK đưa vào bài tậptrên cùng lời giải mong đợi là có chủ ý, mong muốn nâng dần kỹ năng suy luận của

HS, từ đó thoát hoàn toàn khỏi các ràng buộc của HHGN, vì vậy càng khẳng địnhvai trò và tầm quan trọng của suy luận trong giải toán

T1.2: Tính độ dài đoạn thẳng

1.2:

 Tìm tam giác vuông mà đoạn thẳng cần tìm là 1 cạnh của tam giác đó

o Nếu đoạn thẳng cần tìm là cạnh huyền thì bình phương đoạn thẳng đóbằng tổng bình phương 2 cạnh góc vuông

o Nếu đoạn thẳng cần tìm là cạnh góc vuông thì bình phương đoạnthẳng đó bằng bình phương cạnh huyền trừ đi bình phương cạnh gócvuông còn lại

 Kết quả: nếu bình phương đoạn thẳng là thì độ dài của đoạn thẳng là

Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH vuông góc với BC (H  BC) Cho biết AB

= 13cm, AH = 12cm, HC = 16cm Tính các độ dài AC, BC

Lời giải [11, trang 139]