Jacobian xấp xỉ và ứng dụng cho bài toán tối ưu không trơn

Môn học này đã giải quyết các bàitoán trên các lớp hàm không có đạo hàm theo nghĩa thông thường bằngcách đưa ra các khái niệm dưới vi phân khác nhau để thay thế khái niệmđạo hàm, tại một

PHẠM THỊ THU

JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2012

PHẠM THỊ THU

JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa họcGS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN

Thái Nguyên - Năm 2012

Mục lục

1.1 Hàm khả vi từ R →R 4

1.2 Hàm khả vi từ Rn → R 4

1.2.1 Các định nghĩa và tính chất 4

1.2.2 Các phép tính của đạo hàm 7

1.3 Hàm khả vi từ Rn đến Rm 9

1.4 Ứng dụng 10

1.4.1 Bài toán trơn không có ràng buộc 10

1.4.2 Bài toán trơn với ràng buộc bất đẳng thức 11

2 JACOBIAN XẤP XỈ 12 2.1 Jacobian xấp xỉ của hàm vô hướng 12

2.1.1 Định nghĩa và các tính chất 12

2.1.2 Các phép tính của Jacobian xấp xỉ 20

2.2 Jacobian xấp xỉ của hàm vectơ 28

2.3 Hessian xấp xỉ 39

2.3.1 Hessian xấp xỉ của hàm vô hướng 39

2.3.2 Hessian xấp xỉ của hàm vectơ 42

3 ỨNG DỤNG CỦA JACOBIAN XẤP XỈ 44 3.1 Bài toán tối ưu tổng quát 44

3.2 Các loại bài toán tối ưu 46

3.3 Bài toán tối ưu không ràng buộc 47

3.4 Bài toán tối ưu có ràng buộc 49

3.5 Điều kiện tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu vectơ 52

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Vào nửa sau thế kỉ XVII, nhà toán học người Đức là Leibniz và đồng thờinhà toán học người Anh là Newton đã phát minh ra phép tính vi phân,một công cụ đắc lực để giải quyết nhiều bài toán trong vật lý, cơ học, hóahọc, kỹ thuật, Nhưng phép tính vi phân mà Leibniz và Newton phátminh ra chỉ áp dụng được cho các lớp hàm có tính chất khá tốt

Một vấn đề đặt ra là đó là cách giải quyết đối với các hàm không khả vi.Đây là vấn đề nghiên cứu của nhiều nhà khoa học vào nửa cuối thế kỉ XX

Từ đó môn giải tích không trơn ra đời Môn học này đã giải quyết các bàitoán trên các lớp hàm không có đạo hàm theo nghĩa thông thường bằngcách đưa ra các khái niệm dưới vi phân khác nhau để thay thế khái niệmđạo hàm, tại một điểm cho trước hàm được xấp xỉ bằng một họ các hàmtuyến tính Nhờ đó mà giải tích không trơn đã đem lại nhiều kết quả sâusắc trong lý thuyết tối ưu, giải tích biến phân, phương trình vi phân, cơhọc và lý thuyết điều khiển

Trong những năm gần đây nhiều nhà nghiên cứu về giải tích không trơnbằng cách tập trung phát triển các dưới vi phân suy rộng đảm bảo nhữngtính chất tốt cũng như các điều kiện cần và đủ tối ưu đối với hàm khôngtrơn như: F.H Clarke, R.T Rockafellar, D.Ralph và V.F.Demyanov vàV.Jeyakumar, Rất gần đây, với hàm liên tục, V.Jeyakumar và D.T.Luc

đã đưa ra khái niệm mới về dưới vi phân và gọi là Jacobian xấp xỉ Cáckhái niệm này cho ta một công cụ hữu ích để nghiên cứu những bài toán vềhàm liên tục có Jacobian xấp xỉ và cũng có những phép tính khá tốt, tương

ứng với các phép tính của đạo hàm thông thường như phép lấy tích, tổng,hợp, định lý về giá trị trung bình, Đặc biệt, nhiều dưới vi phân cũng làJacobian xấp xỉ, ví như dưới vi phân của hàm lồi, hàm Lipschitz và nhiềudưới vi phân khác như của Morduchovich, Michel-Penot, Treiman, Việcnghiên cứu Jacobian xấp xỉ đã mở rộng, thống nhất và làm sâu sắc nhiềukết quả trong giải tích không trơn và tối ưu hóa Lý thuyết Jacobian xấp

xỉ đang là đề tài được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu

Với mong muốn được tìm hiểu kỹ hơn về lý thuyết Jacobian xấp xỉcùng với sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của GS TSKH Nguyễn XuânTấn, tôi xin giới thiệu đề tài:

" JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN

TỐI ƯU KHÔNG TRƠN "

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài này là tập trung trình bày có hệ thốngmột số kết quả về Jacobian xấp xỉ của một hàm liên tục trong không gianhữu hạn chiều, trước hết là hàm vô hướng, sau đó là hàm vectơ dựa trên

cơ sở các kết quả V.Jeyakumar, D.T.Luc và các cộng sự nghiên cứu Lýthuyết tối ưu vô hướng, vectơ đã được phát triển mạnh trong những thậpniên cuối thế kỉ 20 và đầu thế kỉ 21; đến nay lý thuyết này vẫn còn là đềtài nghiên cứu hấp dẫn đối với nhiều nhà toán học trong và ngoài nước

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết Jacobian xấp xỉ và ứng dụng

- Sử dụng các kết quả đã được công bố để hệ thống lại theo cách hiểu củamình và vận dụng vào các bài toán không trơn trong thực tế

- Luôn gắn những bài toán trên vào các ứng dụng trong lý thuyết tối ưu,điều khiển tối ưu tới các hàm không trơn để tìm ra các kết quả mới tronglĩnh vực này

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Trước hết tìm hiểu thật kỹ các kiến thức cơ bản thuộc lĩnh vực giải tíchhiện đại liên quan tới hàm vectơ và giải tích đa trị, đặc biệt là các tínhchất của các hàm có Jacobian xấp xỉ

- Sử dụng các tính chất khác nhau của Jacobian xấp xỉ để tìm các điều

kiện cần và đủ cho việc tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu liên quan tớihàm có Jacobian xấp xỉ và đưa ra các ứng dụng trong các bài toán thựctế.

- Phân tích đặc thù riêng của từng bài toán để tìm ra các phương phápkhác nhau cho việc áp dụng lý thuyết Jacobian xấp xỉ

5 Phương pháp nghiên cứu

- Dịch, đọc tài liệu, nghiên cứu toán học, các tài liệu chuyên khảo về lýthuyết tối ưu không trơn

- Phân tích, tổng hợp kiến thức để phục vụ cho mục đích nghiên cứu

Giới hạn f0(x) được gọi là đạo hàm của f tại x.

Định nghĩa 1.1.2 Nếu hàm f có đạo hàm tại mọi điểm x ∈ (a, b) thì tanói f khả vi trong (a, b)

Định lý 1.1.3 Nếu f khả vi tại x thì f liên tục tại x

1.2.1 Các định nghĩa và tính chất

Cho U là tập mở trong Rn, hàm f : U → R, x = (x1, x2, , xn) ∈ U Ta

kí hiệu L(Rn,R) là không gian các hàm tuyến tính liên tục từ Rn vào R

Định nghĩa 1.2.1 Hàm f được gọi là khả vi tại x nếu tồn tại một hàmtuyến tính liên tục L ∈ L(Rn,R) sao cho

f (x + h) − f (x) = L(h) + (h)||h||,

trong đó h = (h1, h2, , hn) ∈Rn, (h) → 0 khi h → 0.

Hàm tuyến tính L được gọi là đạo hàm của f tại x, kí hiệu là f0(x) hayDf(x)

Hàm f được gọi là khả vi trong U nếu nó khả vi tại mọi điểm x ∈ U

Từ định nghĩa ta có thể chứng minh được định lý sau

Định lý 1.2.2 Nếu f khả vi tại x thì đạo hàm tương ứng được xác địnhduy nhất

Định nghĩa 1.2.3 Ta nói f khả vi theo hướng u ∈ Rn tại x nếu tồn tạigiới hạn

Định nghĩa 1.2.4 Cho u là một vectơ trong cơ sở chính tắc{e1, e2, , en}

trong Rn Nếu f0(x, ei) tồn tại thì được gọi là đạo hàm riêng thứ i củahàm f tại x, hay đạo hàm riêng theo biến xi của hàm f tại x và kí hiệu là

và như vậy cũng có thể xem f0(x)

như một vectơ của không gian Rn gọi là vectơ gradient của f tại x, thường

tục tại x thì hàm f khả vi liên tục tại x và

f0(x)(h) =

nX

Dif : U → R, x 7→ Dif (x)

Định nghĩa 1.2.8 Nếu hàm Dif có đạo hàm riêng theo biến thứ j tại xthì đạo hàm này được gọi là đạo hàm riêng cấp hai của f tại x theo biếnthứ i và thứ j hay theo các biến xi và xj, kí hiệu là Dijf (x) hay ∂x∂2f

i ∂xj(x).Định lý 1.2.9 (Định lý Schwarz)

∂xα11 ∂xα22 ∂xαnn (x), với α = (α1, α2, , αn) là bộ n sốnguyên không âm, |α| = α1 + α2 + · · · + αn = p

Giả sử f khả vi trong U, khi đó ta có ánh xạ

f0 : U → L(Rn,R), x 7→ f0(x)

Định nghĩa 1.2.10

(i) Hàm f gọi là khả vi liên tục hay thuộc lớp C1 trên U nếu f’ liên tục,

kí hiệu là f ∈ C1(U )

(ii) Hàm f gọi là khả vi cấp hai tại x nếu f’ khả vi tại x, tức là tồn tại mộtánh xạ song tuyến tính đối xứng B : Rn → L(Rn,R) sao cho

Định lý 1.2.11 Giả sử f khả vi cấp hai tại x Khi đó f”(x) là ánh xạsong tuyến tính đối xứng từ Rn ×Rn

vào R

Từ đó ta cũng có thể định nghĩa hàm khả vi cấp p, đạo hàm cấp p của

f tại x, kí hiệu là f(p)(x) hay D(p)f (x)

Định lý 1.2.12 Giả sử f khả vi cấp hai tại x Khi đó f có tất cả các đạohàm riêng tại x và

f00(x)(h, k) =

nX

Ma trận này gọi là ma trận Hessian của f tại x

Định lý 1.2.13 Giả sử f khả vi cấp p tại x Khi đó f có tất cả các đạohàm riêng cấp p tại x và

Định lý 1.2.14 Giả sử f : U → R khả vi tại x, λ ∈ R Khi đó hàm λf

Định lý 1.2.17 Cho U là một tập mở trong Rn, hàm f : U → Rm với

f = (f1, f2, , fn) Giả sử với mỗi i = 1, 2, , m hàm fi khả vi tại

x ∈ U, V là một tập mở chứa f(x) trong Rm, hàm g : V → R khả vi tại

2f (x)(h2)+· · ·+ 1

k!D

kf (x)(hk)+okhkk

1.3 Hàm khả vi từ Rn đến Rm

Cho U là một tập mở trong Rn, hàm f : U → Rm là hàm vectơ, với

f = (f1, f2, , fm), x ∈ U Ta kí hiệu L(Rn,Rm) là không gian các ánh

xạ tuyến tính liên tục từ Rn vào Rm

Định nghĩa 1.3.1 Hàm f được gọi là khả vi tại điểm x nếu tồn tại mộtánh xạ tuyến tính liên tục L ∈ L(Rn,Rm) sao cho

Định lý 1.3.3 Nếu f khả vi tại x thì f liên tục tại x

Ta có điều kiện cần và đủ về tính khả vi của hàm f như sau

Định lý 1.3.4 Hàm f khả vi tại x khi và chỉ khi các hàm thành phần

Cũng như hàm vô hướng ở trên, đối với hàm vectơ ta cũng có các kháiniệm được định nghĩa tương tự như: hàm khả vi cấp p, đạo hàm cấp p,hàm khả vi liên tục cấp p và nếu f khả vi cấp p tại x thì f(p)(x) là ánh

xạ p-tuyến tính từ Rn ×Rn × · · · ×Rn

p

vào Rm.Bây giờ ta lấy v ∈ Rm bất kì và định nghĩa hàm vf : Rn → R như sau:

(vf )(x) = hv, f (x)i =

mX

Ta cũng có các phép tính về đạo hàm của hàm vectơ tương tự như đốivới hàm vô hướng.

Dưới đây ta sẽ đưa ra các điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toánkhông có ràng buộc và bài toán với ràng buộc bất đẳng thức

1.4.1 Bài toán trơn không có ràng buộc

1.4.2 Bài toán trơn với ràng buộc bất đẳng thức

Điều kiện cần: Giả sử x0 là cực tiểu địa phương của (1.3); hàm f

và mọi hàm φi(i = 1, m) khả vi liên tục trong một lân cận của x0

và Dφ1(x0), Dφ2(x0), , Dφm(x0) độc lập tuyến tính Khi đó, tồn tại

λ∗ = (λ∗1, λ∗1, , λ∗m) sao cho:

L0x(x0, λ∗) = 0 hay Df (x0) + λ∗1Dφ1(x0) + · · · + λ∗mDφm(x0) = 0

Điểm x0 ∈ D gọi là điểm dừng ứng với giá trị (λ0 = (λ01, λ02, , λ0m) nếu

L0x(x0, λ0) = 0

Khảo sát các điểm dừng ta thu được điều kiện đủ sau:

Điều kiện đủ: Giả sử trong một lân cận nào đó của điểm dừng x0 ứngvới giá trị λ0, hàm f và mọi hàm φi(i = 1, m) khả vi cấp hai và có tất

cả các đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại x0 Nếu L00x(x0, λ0)(h2) > 0,

∀h ∈ Rn, h 6= 0, thì x0 là điểm cực tiểu địa phương của (1.3)

tại x Nếu Φ0(x; u) tồn tại theo mọi hướng u, ta nói rằng Φ khả vi theomọi hướng tại x.

Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm số f : Rn → R Ta nói rằng tập đóng

∂xf (x) ⊂ Rn là Jacobian xấp xỉ của f tại x, nếu với mọi u ∈ Rn, ta có:

f+(x; u) ≤ sup

x ∗ ∈∂ x f (x)

Từ định nghĩa, ta thấy rằng Rn bao giờ cũng là Jacobian xấp xỉ củamọi hàm f : Rn → R Nhưng điều ta quan tâm ở đây là cho trước hàm

số f : Rn → R, ta cần tìm Jacobian xấp xỉ của f tại x nhỏ nhất có thể

được Theo định nghĩa, Jacobian xấp xỉ không nhất thiết là lồi và cũngkhông nhất thiết là tập compact

Ví dụ 1 Cho hàm f : R →R xác định bởi: f (x) = −|x| Ta dễ dàngtính được∂xf (0) = {1, −1} là Jacobian xấp xỉ của f tại 0 Tập này khônglồi

A ⊂Rn chứa ∂xf (x) đều là Jacobian xấp xỉ của f tại x

(iii) Nếu {∂x

i f (x)}∞i=1 ⊆ Rn là dãy giảm (theo bao hàm thức) của cácJacobian xấp xỉ, giới nội của f tại x, thì

∞T

Do đó cho ta sự tương đương giữa (2.1) và (2.2).

(ii) Suy ra trực tiếp từ định nghĩa

(iii) Mỗi tập ∂ixf (x) là đóng và giới nội, do đó là tập compact, suy ra

i=1

∂ixf (x) cũng là Jacobian xấp xỉ của f tại x

Sau đây ta xét một số trường hợp đặc biệt của Jacobian xấp xỉ

2 Dưới vi phân hàm lồi

Giả sử f là hàm lồi trên Rn

Ta nhắc lại định nghĩa Dưới vi phân của hàm lồi f tại x, kí hiệu là∂f (x)làtập:

∂f (x) = {x∗ ∈ Rn : f (y) − f (x) ≤ hx∗, y − xi, ∀y ∈ Rn

Nếu ∂f (x) 6= ∅ ta nói rằng f khả dưới vi phân tại x

Mệnh đề 2.1.4 Nếu f là hàm lồi chính thường trên Rn thì ∂f (x) 6= ∅,lồi, compact và

f0(x, u) = max{hx∗, ui : x∗ ∈ ∂f (x)}, ∀u ∈ Rn

Mệnh đề 2.1.5 Giả sử f là hàm lồi chính thường trên Rn Khi đó ∂f (x)

là Jacobian xấp xỉ lồi, compact của f tại x

Chứng minh: Từ mệnh đề 2.1.4, ta có ∂f (x) 6= ∅, lồi, compact

Đồng thời ∀u ∈ Rn : f0(x, u) = max{hx∗, ui : x∗ ∈ ∂f (x)}

3 Gradient suy rộng của hàm Lipschitz địa phương

Giả sử hàm f Lipschitz địa phương tại x

Định nghĩa 2.1.6 Đạo hàm suy rộng trên và dưới Clarke của f theohướng u ∈ Rn tại x tương ứng kí hiệu là f0(x, u) và f0(x, u) được địnhnghĩa như sau:

(i) ∂0f (x) 6= ∅, lồi, compact trong Rn và kξk ≤ K, ∀ξ ∈ ∂0f (x)

(ii) Với mọi u ∈ Rn ta có f0(x, u) = max{hξ, ui : ξ ∈ ∂0f (x)} và

f0(x, u) = max{hξ, ui : ξ ∈ ∂0f (x)}

Mệnh đề 2.1.9 Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x Khi đó,

∂0f (x) là một Jacobian xấp xỉ lồi, compact của f tại x

Chứng minh: Từ mệnh đề 2.1.8, ∂0f (x) 6= ∅, lồi, compact trong Rn

Vậy ∂0f (x) là một Jacobian xấp xỉ lồi, compact của f tại x

Nhận xét 2.1.10 Do hàm f xét trong không gian hữu hạn chiều nên cụthể hơn ta có:

cũng là một Jacobian xấp xỉ của f tại x

Như vậy, đối với hàm Lipschitz địa phương tại x chúng ta đã chỉ rarằng∂0f (x)là Jacobian xấp xỉ của f tại x Hơn nữa, các ví dụ dưới đây sẽcho ta thấy chúng còn có thể chứa thực sự bao lồi của một Jacobian xấp

xỉ và trong trường hợp tại x hàm không Lipschitz địa phương thì tại đó fkhông có Gradient suy rộng Clarke, tuy nhiên vẫn có thể tồn tại Jacobianxấp xỉ của f tại x Nhờ đó mà những điều kiện nhận được bằng sử dụngJacobian xấp xỉ sẽ sâu sắc hơn, ngay cả khi hàm là Lipschitz địa phương

Ví dụ 3: Cho hàm f :R2 →R xác định bởi f (x, y) = |x| − |y|

Khi đó tại 0 hàm f có một Jacobian xấp xỉ là tập∂xf (0) = {(1, −1), (−1, 1)}

Mặt khác f là hàm Lipschitz địa phương tại 0 và

∂0f (0) = co({(1, 1), (−1, 1), (1, −1), (−1, −1)})

Do đó co(∂xf (0)) ⊂ ∂0f (0).

Ví dụ 4: Cho hàmf : R →R xác định bởi f (x) = x13

Khi đó f không Lipschitz địa phương tại 0, vì vậy không tồn tại gradientsuy rộng Clarke của tại 0 Tuy nhiên tại điểm này ta có thể chỉ ra mộtJacobian xấp xỉ của f là ∂xf (0) = {α ∈R : α ≥ 1}

Tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh một số tính chất của Jacobian xấpxỉ

Định lý 2.1.11 Giả sử hàm f :Rn → R có một Jacobian xấp xỉ ∂xf (x)

tại x Nếu f đạt cực trị tại x thì 0 ∈ co(∂xf (x))

Chứng minh: Giả sử f đạt cực tiểu tại x Khi đó với mỗi u ∈ Rn tacó: f−(x, u) ≥ 0 Vì ∂xf (x) là Jacobian xấp xỉ của f tại x nên

hx∗, ui ≥ 0, ∀u ∈ Rn Từ đây suy ra 0 ∈ co(∂xf (x))

Trường hợp f đạt cực đại tại x thì với mỗi u ∈ Rn ta có:

Định nghĩa 2.1.12 Cho hàm số f : Rn → R Ta nói rằng tập đóng

∂xf (x) ⊂ Rn là Jacobian xấp xỉ chính quy của f tại x, nếu với mọi u ∈ Rn,

f :Rn →Rm được gọi là khả vi Gateaux tại x nếu tồn tạix∗ ∈ L(Rn,Rm)

sao cho với mỗi u ∈ Rn ta có:

f (x + tu) = f (x) + tx∗(u) + o(t)

Khi đó ta gọi x∗ là đạo hàm Gateaux của f tại x

Định lý 2.1.14 Hàm f : Rn → R khả vi Gateaux tại x khi và chỉ khi f

khả vi theo hướng tại x và f có một Jacobian xấp xỉ chính quy tại x

Chứng minh: Giả sử f khả vi Gateaux tại x với đạo hàm Gateaux

fG0 (x) = x∗

Điều này có nghĩa là

f (x + tu) = f (x) + thx∗, ui + o(t) ∀u ∈ Rn

Khi đó f khả vi theo hướng tại x và f0(x, u) = hx∗, ui, ∀u ∈ Rn Bằngcách lấy ∂xf (x) = {x∗} thì ∂xf (x) ⊂Rn là tập đóng, suy ra:

∀u ∈ Rn : f+(x, u) = f−(x, u) = sup

x ∗ ∈∂ x f (x)

hx∗, ui = inf

x ∗ ∈∂ x f (x)hx∗, ui

Vì vậy ∂xf (x) = {x∗} là một Jacobian xấp xỉ chính quy của f tại x

Ngược lại, giả sử f khả vi theo hướng tại x và∂xf (x)là một Jacobian xấp

xỉ chính quy của f tại x Khi đó: ∀u ∈ Rn

Bây giờ thông qua điểm cực biên chúng ta sẽ thấy được tính duy nhất

và tối thiểu của Jacobian xấp xỉ

Định nghĩa 2.1.15 Cho tập A ⊂Rn Điểm x ∈ A được gọi là điểm cựcbiên của A nếu A không chứa bất kỳ một đoạn thẳng nào nhận x là điểmtrong; tức là tồn tại hai điểm x1, x2 ∈ A, x1 6= x2, λ ∈ (0, 1) sao cho

x = λx1 + (1 − λ)x2 và đoạn [a, b] ⊂ A

Ta kí hiệu Ext (A) là tập các điểm cực biên của tập A

Định lý 2.1.16 Nếu hàm f : Rn → R có một Jacobian xấp xỉ compact

chính quy ∂xf (x) tại x, thì Ext((∂xf (x))) là Jacobian xấp xỉ chính quitối thiểu duy nhất của f tại x

Chứng minh: Giả sử ∂xf (x) là Jacobian xấp xỉ chính qui của f tại x.Lấy A là một Jacobian chính quy bất kỳ của tại x Khi đó, với mọiu ∈ Rn

Vì vậy A là tập compact trong Rn với co(∂xf (x)) = co(A)

Suy ra Ext(co(∂xf (x))) = Ext(co(A))

Ta có (Ext(co(A)) ∪ A) ⊂ Ext(A)

Vì Ext(co(A)) ⊂ A, suy ra Ext(co(A)) ⊂ Ext(A) Khi đó ta có:

Ext(co(∂xf (x))) = Ext(co(A)) ⊂ Ext(A) ⊂ A

Định lý 2.1.17 Nếu hàm f : Rn → R khả vi theo hướng tại x và có

một Jacobian xấp xỉ chính quy ∂xf (x) tại x thì Ext(co(∂xf (x))) là mộtJacobian xấp xỉ tối thiểu của f tại x

Chứng minh: Giả sử ∂xf (x) là Jacobian xấp xỉ compact chính quycủa f tại x Theo định lý 2.1.16 thì Ext(co(∂xf (x))) là một Jacobian xấp

xỉ của f tại x Lấy A ⊂ Ext(co(∂xf (x))) là một Jacobian xấp xỉ nào đó

của f tại x Khi đó A ⊂ ∂xf (x) và A là tập compact do A đóng, ∂xf (x)

là tập compact Ta có f−(x, u) ≤ max

x ∗ ∈Ahx∗, ui, ∀u ∈Rn

Vì f khả vi theo hướng tại x nên ∀u ∈ Rn ta có f−(x, u) = f+(x, u)

Ta lại có Ext(co(∂xf (x))) = Ext(co(A)) ⊂ Ext(A) ⊂ A

Lấy bao đóng hai vế ta được Ext(co(∂xf (x))) ⊂ A = A

Do đó Ext(co(∂xf (x))) là một Jacobian xấp xỉ tối thiểu của f tại x Định

Do đó λ∂xf (x) là Jacobian xấp xỉ của λf tại x

Nhận xét 2.1.19 Định lý 2.1.19 cũng thỏa mãn đối với Jacobian xấp xỉchính quy

2 Phép cộng.

Định lý 2.1.20 Nếu các hàm f, g : Rn → R có một Jacobian xấp xỉ

tương ứng là ∂xf (x), ∂xg(x) tại x và một trong hai Jacobian xấp xỉ trên

là chính qui, thì ∂xf (x) + ∂xg(x) là Jacobian xấp xỉ của hàm f + g tại x.Chứng minh:

Hiển nhiên tập ∂xf (x) + ∂xg(x) là tập đóng trong Rn Hơn nữa, với mọi

Vậy ∂xf (x) + ∂xg(x) là Jacobian xấp xỉ của f + g tại x

Chú ý: Định lý trên cũng đúng cho trường hợp tổng quát Nếu các hàm số

fi, i ∈ {1, , k}, có Jacobian xấp xỉ∂xfi(x) tại x và (k - 1) Jacobian xấp

xỉ trên là chính quy, thì

kP

Định lý 2.1.21 Nếu hàm f : Rn → R có một Jacobian xấp xỉ chính quy

∂xf (x) tại x và nếu hàm g : Rn → R khả vi Gateaux tại x với đạo hàm

g0(x) thì tập ∂xf (x) + {g0(x)} là một Jacobian xấp xỉ chính quy của f + g

là một Jacobian xấp xỉ của h tại x.

Chứng minh:

Ta chỉ cần chứng minh với k = 2 Giả sửf1(x) > f2(x) thì h(x) = f1(x),

I(x) = {1} và ∂xh(x) = ∂xf1(x) Khi đó, h(y) = f1(y), với mỗi y tronglân cận nào đó của x Do đó, với mọi v ∈ Rn,

Vì vậy,∂xh(x) là một Jacobian xấp xỉ của h tại x Tương tự, nếu f2(x) >

f1(x) thì ∂xh(x) = ∂xf2(x) cũng là Jacobian xấp xỉ của h tại x

Bây giờ giả sử f1(x) = f2(x) Khi đó, I(x) = I và ∂xh(x) = ∂xf1(x) ∪

∂xf2(x) là một tập đóng trong Rn Với mỗi v ∈ Rn, ta có

Vậy, ∂xh(x) = ∂xf1(x) ∪ ∂xf2(x) là một Jacobian xấp xỉ của h tại x

Một định lý hữu ích, có nhiều ứng dụng trong giải tích là định lý về giátrị trung bình Những mở rộng khác nhau từ định lý này đã được nhiềutác giả đưa ra bằng những cách tiếp cận khác nhau Trong định lý dướiđây ta sử dụng Jacobian xấp xỉ, không nhất thiết là tập compact Khi đó

ta sẽ được kết quả sâu sắc hơn, ngay trong trường hợp hàm Lipschitz địaphương

4 Định lý giá trị trung bình

Định lý 2.1.23 Cho a, b ∈ Rn và f : Rn → R là một hàm mà f |[a,b] làhữu hạn và liên tục Giả sử rằng, với mỗi x ∈ (a, b), ∂xf (x) là Jacobian

xấp xỉ của f tại x Khi đó, tồn tại c ∈ (a, b) và dãy {x∗

g(t) = f (a + t(b − a)) − f (a) + t(f (a) − f (b))

Hàm g liên tục trên [0,1] và g(0) = g(1) = 0, do đó tồn tại γ ∈ (0, 1) saocho g đạt cực trị tại γ

Lấy c = γb + (1 − γ)a, c ∈ (a, b) Giả sử g đạt cực tiểu tại γ Khi đó với

g(γ + dv) − g(γ) = f (a + (γ + dv)(b − a)) − f (a) + (γ + dv)(f (a) − f (b))

= −f (a + γ(b − a)) + f (a) − γ(f (a) − f (b))

= f (a + γ(b − a) + dv(b − a)) + dv(f (a) − f (b)) − f (a + γ(b − a))

Vì vậy ta suy ra: −fd−(c; b − a) ≤ f (a) − f (b) ≤ fd−(c; b − a)

Do ∂xf (c) là Jacobian xấp xỉ của f tại c, nên

Trường hợp f đạt cực đại tại γ, ta chứng minh tương tự và ta cũng cókhẳng định tồn tại dãy {x∗

k} ⊂ co(∂xf (c)) thỏa mãn:

f (b) − f (a) = lim

k→∞hx∗k, b − ai

Định lý được chứng minh

Các hệ quả dưới đây suy ra trực tiếp từ định lý trên

Hệ quả 2.1.24 Cho a, b ∈ Rn và f : Rn → R là một hàm mà f |[a,b] làhữu hạn và liên tục Giả sử rằng, với mỗi x ∈ (a, b), ∂xf (x) là Jacobianxấp xỉ của f tại x Khi đó, tồn tại c ∈ (a, b) sao cho

f (b) − f (a) ∈ co(∂xf (c), b − ai)

Hệ quả 2.1.25 Nếu với mỗi x ∈ (a, b), ∂xf (x) là Jacobian xấp xỉ của ftại x thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho

f (b) − f (a) ∈ co(∂xf (c), b − ai)

Hệ quả 2.1.26 Ta có

(i) Nếu f khả vi trên một tập mở chứa đoạn [a, b] thì tồn tại c ∈ (a, b)

sao cho:

f (b) − f (a) = hf0(c), b − ai,

đây chính là định lý về giá trị trung bình ở chương 1

(ii) Nếu f Lipschitz trên một tập mở chứa đoạn [a, b] thì với mọix ∈ (a, b),gradient suy rộng Clarke ∂0f (x) của f tại x là một Jacobian xấp xỉ lồi,compact của f tại x Do đó tồn tại c ∈ (a, b) sao cho:

f (b) − f (a) ∈ h∂0f (c), b − ai

Đây chính là định lý giá trị trung bình của G.Lebourg

Định lý về giá trị trung bình ở trên sẽ được ta sử dụng để chứng minhcác kết quả tiếp theo như: Định lý về điều kiện cần và đủ để một hàmliên tục trở thành Lipschitz địa phương, phép tính về Jacobian xấp xỉ củahàm hợp

Ta biết rằng nếu hàmf : f : Rn →R khả vi thì tính Lipschitz địa phương

của hàm f có thể được đặc trưng hóa bởi tính bị chặn địa phương của ánh

xạ đạo hàm f0 : x 7→ f0(x).

Sử dụng Jacobian xấp xỉ chúng ta có thể mở rộng kết quả trên đối vớimột hàm liên tục và sẽ thấy rằng tính Lipschitz địa phương của một hàmliên tục có thể được đặc trưng bởi tính bị chặn địa phương của ánh xạJacobian xấp xỉ

Ta nhắc lại một số định nghĩa về ánh xạ đa trị

Định nghĩa 2.1.27 Cho ánh xạ đa trị F : Rn → 2Rm Ánh xạ F đượcgọi là nửa liên tục trên (viết tắt là u.s.c) tại x ∈Rn, nếu với mọi  > 0,tồn tại δ > 0 sao cho F (x0) ⊂ F (x) + Bm, ∀x0 ∈ x + δBn, trong đó

Bm, Bn tương ứng là các hình cầu đơn vị mở trong Rm,Rn

Định nghĩa 2.1.28 Ánh xạ đa trị F : Rn → 2Rm được gọi là bị chặnđịa phương tại x ∈ Rn, nếu tồn tại một lân cận U của x và một hằng số

α > 0 sao cho kvk ≤ α với mỗi v ∈ F (y) và y ∈ U

Định lý 2.1.29 Cho hàm f : Rn → R liên tục Khi đó f có ánh xạ

Jacobian xấp xỉ ∂xf bị chặn địa phương tại x khi và chỉ khi f Lipschitzđịa phương tại x

Ta có thể giả thiết rằng U là tập lồi Lấy x1, x2 bất kỳ thuộc U thì

[x1, x2] ⊂ U Từ định lý giá trị trung bình ta suy ra tồn tại c ∈ (x1, x2)

sao cho

f (x1) − f (x2) ∈ co(h∂xf (c), x1 − x2i) ⊂ co(h∂xf (U ), x1 − x2i)

Do đó|f (x1) − f (x2)| ≤ kx1− x2kmax{kvk : v ∈ ∂xf (U )} ≤ αkx1− x2k

Vậy f Lipschitz địa phương tại x

Ngược lại giả sử f Lipschitz địa phương tại x Như vậy gradient suyrộng Clarke ∂0f của f là bị chặn địa phương tại x Khi đó ta có thể chọn

nó là ánh xạ Jacobian xấp xỉ của f Định lý được chứng minh

5 Jacobian xấp xỉ của hàm hợp

Định lý 2.1.30 Cho f = (f1, , fm) là hàm liên tục từ Rn tới Rm vàcho g là hàm liên tục từ Rm tới R Giả sử, với mỗi i = 1, , m, fi cóJacobian xấp xỉ bị chặn ∂xfi(x) tại x và g có Jacobian xấp xỉ bị chặn

∂xg(f (x)) tại f(x) Nếu, với mỗi i = 1, , m, ∂xfi là nửa liên tục trêntại f(x), thì tập hợp

∂x(g ◦ f ) = ∂xg(f (x))(∂xf1(x), ∂xf2(x), , ∂xfm(x)) (2.3)

là Jacobian xấp xỉ của g ◦ f tại x (vế phải của (2.3) là tập hợp có dạng:



mX

Với mỗi i = 1, , m, fi : Rn → R liên tục, theo định lý về giá trị trung

bình, tồn tại x0i ∈ (x, x + tu) sao cho

fi(x + tu) − fi(x) ∈ co(h∂xfi(x0i), tui)

Vì g : Rm → R liên tục, nên tồn tại c0 ∈ (f (x), f (x + tu)) sao cho

g(f (x + tu)) − g(f (x)) ∈ co(hg(c0), f (x + tu) − f (x)i)

Theo giả thiết, với mỗi i = 1, , m, ∂xfi là nửa liên tục trên tại x và

∂xg là nửa liên tục trên tại f(x), nên với mọi  > 0, tồn tại δ > 0 sao cho

[f (x), f (x + tu)] ⊂ f (x) + δBm,

với t ∈ [0, t0] Do đó, với t ∈ [0, t0], x0i ∈ x + δBn và c0 ∈ f (x) + δBm; nên

với mọi  > 0, tồn tại t0 > 0 sao cho

i=1

(ai+bi)(ξi+ηi)|a ∈ ∂xg(f (x)), b ∈ ∂xBm, ξi ∈ ∂xfi(x), ηi ∈ Bn



Vì ∂xfi(x) và ∂xg(f (x)) là các Jacobian xấp xỉ bị chặn, nên tồn tại

M > 0 không phụ thuộc  sao cho, với mỗi a ∈ ∂xg(f (x)), b ∈ ∂xBm,

theo định nghĩa thì ∂xg(f (x))(∂xf1(x), ∂xf2(x), , ∂xfm(x)) là một

Ja-cobian xấp xỉ của g ◦ f tại x

2.2 Jacobian xấp xỉ của hàm vectơ

Cũng như đối với đạo hàm của hàm vectơ khả vi trong mục này chúng ta

đề cập đến khái niệm Jacobian xấp xỉ của hàm vectơ Những kết quả đã

có về Jacobian của hàm thực mở rộng phần trước là cơ sở giúp ta trìnhbày các khái niệm, các kết quả tổng quát hơn Ở đây ta chỉ xét hàm vectơliên tục trong không gian hữu hạn chiều

Ta kí hiệu L(Rn,Rm) là không gian các hàm tuyến tính liên tục từ Rnvào Rm Đồng thời ta cũng thấy L(Rn,Rm) chính là tập hợp các ma trậncấpn × m kí hiệu Rm×n, tức ma trận gồm n hàng và m cột Hơn nữa, với

M ∈ L(Rn,Rm), ta định nghĩa chuẩn Ơclit được xác định như sau

i=1

vifi(x)

Định nghĩa 2.2.1 Cho hàm vectơ f :Rn → Rm

(i) Ta nói rằng tập đóng của các ma trận cấp m × n, ∂∗f (x) ⊂ L(Rn,Rm)

là Jacobian xấp xỉ của f tại x, nếu với mọi u ∈ Rn, v ∈ Rm ta có:

(vf )+(x, u) ≤ sup

M ∈∂ ∗ f (x)

hv, M (u)i,

với (vf )+ là Đạo hàm Dini trên theo hướng u tại x của (vf)

Mọi phần tử của ∂∗f (x) được gọi là ma trận Jacobian xấp xỉ (hay gọnhơn: Jacobian xấp xỉ) của f tại x

Nếu với mỗi x ∈ Rn, ∂∗f (x) là một Jacobian xấp xỉ của f tại thì ánh

xạ đa trị ∂∗f : x 7→ ∂∗f (x) được gọi là ánh xạ Jacobian xấp xỉ của f

(ii) Ta nói hàm f có một Jacobian xấp xỉ chính quy ∂∗f (x) tại x ∈ Rn

nếu ∂∗f (x) ⊂ L(Rn,Rm) là tập đóng và với mỗi v ∈ Rm ta có:

(vf )+(x, u) = sup

M ∈∂ ∗ f (x)

hv, M (u)i, ∀u ∈ Rn

∂i∗f (x) cũng là Jacobianxấp xỉ của f tại x

Nhận xét 2.2.3

(i) Nếu f khả vi tại x thì tập {Jf (x)} là một Jacobian xấp xỉ của f tại x

vì với mọi u ∈ Rn, v ∈ Rm có (vf )+(x, u) = hv, J f (x)(u)i Như vậy matrận Jacobi của f tại x là ma trận Jacobian xấp xỉ của f tại x

(ii) Giả sử f Lipschitz địa phương tại x Ta có kết quả: Jacobian suy rộngClarke ∂f (x) = co lim

n→∞J f (xn) : xn ∈ Ωf, x/ n → x ( Ωf là tập hợp cácđiểm mà tại đó hàm f không khả vi), là tập khác rỗng, lồi, compact trong

Rm×n Mặt khác, với mọi v ∈ Rm ta có ∂f (x)Tv = ∂0(vf )(x), trong đó

Khi đó, f có một Jacobian xấp xỉ tại (0, 0) là

cũng là một Jacobian xấp xỉ của f tại (0, 0) và chứa thực sự co(∂∗f (0, 0))

Sau đây ta sẽ chứng minh các tính chất cơ bản của Jacobian xấp xỉđối với hàm vectơ

Định lý 2.2.4 Hàm liên tục f : Rn → Rm là khả vi Gateaux tại x0 khi

và chỉ khi nó có một Jacobian xấp xỉ gồm một phần tử duy nhất tại x0

Chứng minh: Giả sử f khả vi Gateaux tại x0 với đạo hàm Gateaux

fG0 (x0) = M Khi đó: ∀v ∈ Rm, ∀u ∈ Rn ta có (vf )0(x0, u) = hM (u), vi.Vậy {M } là một Jacobian xấp xỉ gồm một phần tử duy nhất của f tại x0.Ngược lại, giả sử f có một Jacobian xấp xỉ tại x0 chỉ gồm một phần tửduy nhất là ∂∗(x0) = {A} Khi đó, với mỗi v ∈ Rm ta có:

(vf )+(x0, u) = hA(u), vi và (vf )−(x0, u) = hA(u), vi, ∀u ∈ Rn

Ta suy ra (vf )0(x0, u) = hA(u), vi, ∀u ∈ Rn Do đó vf khả vi Gateauxtại x0 với mọi v ∈ Rm

Vậy f khả vi Gateaux tại x0 và fG0 (x0) = A Định lý được chứng minh.Định lý 2.2.5 Nếu f khả vi Gateaux tại x0 thì với mọi Jacobian xấp xỉcủa f tại x0, bao lồi đóng của nó chứa đạo hàm Gateaux tại x0

Chứng minh: Gỉa sử f khả vi Gateaux tại x0 với đạo hàm Gateaux