Bài toán sắp xếp mờ dùng trong đánh giá theo hướng tiếp cận đại số gia tử

Đã có nhiều nghiên cứu được tiến hành để giải quyết bài toán sắp xếp, tựu trung có thể phân làm 2 hướng chính: hướng nghiên cứu dựa vào lý thuyết tập mờ và hướng nghiên cứu dựa trên chỉ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

NGUYỄN THỊ HUỆ

BÀI TOÁN SẮP XẾP MỜ DÙNG

TRONG ĐÁNH GIÁ THEO HƯỚNG

TIẾP CẬN ĐẠI SỐ GIA TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Thái Nguyên - 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

NGUYỄN THỊ HUỆ

BÀI TOÁN SẮP XẾP MỜ DÙNG

TRONG ĐÁNH GIÁ THEO HƯỚNG

TIẾP CẬN ĐẠI SỐ GIA TỬ

Chuyên ngành: Khoa học máy tính

Mã số: 60.48.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS.Trần Thái Sơn

Thái Nguyên - 2012

Tên tôi là : Nguyễn Thị Huệ

Sinh ngày 12 tháng 12 năm 1983

Học viên cao học lớp: K9B- trường Đại học CNTT&TT Thái Nguyên

Xin cam đoan : Đề tài luận văn“Bài toán sắp xếp mờ dùng trong đánh giá theo hướng tiếp cận đại số gia tử” do TS.Trần Thái Sơn hướng

dẫn là công trình nghiên cứu của riêng tôi Tất cả tài liệu tham khảo đều có nguồn gốc, xuất xứ rõ ràng

Tôi xin cam đoan tất cả những nội dung trong luận văn đúng như nội dung trong đề cương và yêu cầu của thầy giáo hướng dẫn Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước Hội đồng khoa học và trước pháp luật

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 9 năm 2012

Người cam đoan

Nguyễn Thị Huệ

Trong quá trình làm luận văn vừa qua, dưới sự giúp đỡ và chỉ bảo nhiệt tình của TS Trần Thái Sơn – Viện Công nghệ thông tin – Viện khoa học Việt Nam, luận văn của tôi đã được hoàn thành Mặc dù đã cố gắng không ngừng cùng với sự tận tâm của thầy hướng dẫn nhưng do thời gian và khả năng vẫn còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót

Để hoàn thành luận văn này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Thái Sơn – Người thầy đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình làm luận văn

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến ban lãnh đạo và các thầy giáo, cô giáo trong Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin & Truyền Thông Đại Học Thái Nguyên đã giúp đỡ, tạo điều kiện tốt nhất cho em học tập và thực hiện luận văn này

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 9 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Huệ

Trang

Mục lục i

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt iii

Danh mục hình ảnh……… iv

PHẦN MỞ ĐẦU……….1

CHƯƠNG 1 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT TẬP MỜ 1.1 Kiến thức cơ sở về tập mờ……… 3

1.2 Lôgic mờ ………8

1.3 Biến ngôn ngữ……… 13

1.4 Bài toán sắp xếp mờ ……….14

1.4.1 Bài toán kết nhập………14

1.4.2 Các phương pháp giải bài toán sắp xếp mờ………15

1.4.2.1 Phương pháp tính toán ngôn ngữ dựa trên nguyên lý mở rộng

của tập mờ ……… 15

1.4.2.2 Phương pháp tính toán trên các ký hiệu ngôn ngữ ……… 16

1.3.2.3 Phương pháp tính toán ngôn ngữ dựa trên biểu diễn dữ liệu bộ 2

……… 17

1.4.2.4 Phương pháp tính toán ngôn ngữ dựa trên biểu diễn dữ liệu bộ 3

18

CHƯƠNG 2 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ GIA TỬ 2.1 Đại số gia tử ………19

2.3 Các định lý ……… 23

2.4 Các đại lương đo trên đại số gia tử ……… 25

2.5 Một số tính chất của quan hệ thứ tự trong đại số gia tử ……… 27

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN SẮP XẾP MỜ THEO CÁCH TIẾP CẬN CỦA ĐẠI SỐ GIA TỬ 3.1 Thuật toán giải bài toán sắp xếp mờ dùng trong đánh giá theo hướng tiếp cận của đại số gia tử……….33

3.1.1.Bài toán……… 33

3.1.2 Xác định bài toán… ……… 34

3.1.3 Thuật giải……… ……….37

3.2 Thuật toán sắp xếp mờ sử dụng quan hệ thứ tự của các phần tử của đại số gia tử ……… 37

3.3 Chương trình thử nghiệm ……….38

3.3.1 Cài đặt chương trình ……… 38

3.3.2 Giao diện chương trình……… 39

KẾT LUẬN……….40

TÀI LIỆU THAM KHẢO ………41

PHẦN PHỤ LỤC ……… 43

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Các kí hiệu,

ĐSGT Đại số gia tử

α Tổng độ đo tính mờ của các gia tử âm

β Tổng độ đó tính mờ của các gia tử dương

AX, AT Đại số gia tử

AX Đại số gia tử tuyến tính đầy đủ

W Phần tử trung hòa trong đại số gia tử

DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH

Hình 1 Đồ thị biểu diễn hàm thuộc của tập mờ già (old) Hình 2 Biểu diễn bộ 2

Hình 3 Độ đo tính mờ của biến TRUTH

Hình 4 Giao diện của chương trình

Hình 5 Kết quả thực hiện chương trình thử nghiệm

PHẦN MỞ ĐẦU

Trong đời sống hàng ngày hay trong công việc giảng dạy, chúng ta thường xuyên gặp phải yêu cầu phải lựa chọn, đánh giá Chẳng hạn, đánh giá học sinh trong trường học hay lựa chọn phương án tối ưu trong các phương án được đưa ra Nếu việc lựa chọn có thể dựa trên các đánh giá bằng điểm số thì thông thường người ta lấy trung bình (có thể có trọng số) của các đánh giá rồi dựa trên kết quả tổng hợp này mà sắp xếp các đối tượng và trên cơ sở đó đưa

ra quyết định còn nếu ta chỉ có các đánh giá bằng những từ ngữ của ngôn ngữ

tự nhiên (như “giỏi”, “rất khá” ) thì việc tìm ra kết quả tổng hợp cho đánh giá

là khó khăn hơn nhiều vì nhiều khi không hiểu, (“khá” +”giỏi”)/2 sẽ là cái gì Nội dung chính của bài toán sắp xếp là phần tổng hợp các ý kiến đánh giá (bằng số hoặc từ ngữ) thành một đánh giá kết quả và thông thường được gọi là bài toán kết nhập Đã có nhiều nghiên cứu được tiến hành để giải quyết bài toán sắp xếp, tựu trung có thể phân làm 2 hướng chính: hướng nghiên cứu dựa vào lý thuyết tập mờ và hướng nghiên cứu dựa trên chỉ số thứ tự của các từ đánh giá trong quan hệ thứ tự tự nhiên Hướng nghiên cứu dựa trên lý thuyết tập mờ chủ yếu tập trung vào việc chuyển các từ đánh giá vào trường số thực, trên cơ sở đó tiến hành các phép kết nhập trên các số thực Hướng nghiên cứu dựa trên chỉ số thứ tự của các từ đánh giá dựa trên quan sát là các từ dùng được đánh giá thông thường có thể sắp xếp theo thứ tự (thí dụ như “giỏi” >

“tương đối giỏi”>”khá”> “trung bình”> “kém” ) và trong tập thứ tự đó, mỗi

từ được ứng với một chỉ số Các phép kết nhập cần thiết sẽ được tiến hành trên tập các chỉ số thay vì trên tập các từ đánh giá Mỗi hướng nghiên cứu nêu trên đều có những ưu khuyết điểm riêng liên quan đến sai số có thể gặp phải, đến độ phức tạp tính toán Trong luận văn này, tôi đi theo hướng nghiên cứu sau, tức là dựa cơ bản trên chỉ số thứ tự của các từ đánh giá để thực hiên các

phép kết nhập, tuy nhiên luận văn sẽ sử dụng cách tiếp cận Đại số gia tử (ĐSGT) để giải quyết bài toán sắp xếp Các kết quả nghiên cứu cho thấy cách tiếp cận ĐSGT cho những đánh giá phù hợp trên cơ sở thuật toán khá đơn

giản về mặt thực thi Nên tôi quyết định lựa chọn đề tài luận văn “Bài toán

sắp xếp mờ dùng trong đánh giá theo hướng tiếp cận đại số gia tử”

Luận văn có bố cục như sau:

Chương 1: Những kiến thức cơ bản về lý thuyết tập mờ

Trong chương này trình bày những kiến thức cơ bản về lý thuyết tập

mờ, bài toán sắp xếp mờ và một số phương pháp giải bài toán sắp xếp mờ

Chương 2: Những kiến thức cơ bản về đại số gia tử

Trong chương này trình bày khái niệm về đại số gia tử, các định lý, các đại lương đo trên đại số gia tử, một số tính chất của quan hệ thứ tự trong đại

Chương 1 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT TẬP MỜ

1.1 Kiến thức cơ sở về tập mờ

Là người khởi xướng cho lý thuyết tập mờ, L A Zadeh đã có rất nhiều nghiên cứu mở đường cho sự phát triển và ứng dụng [14] Ý tưởng nổi bật của Zadeh là từ những khái niệm trừu tượng về ngữ nghĩa của thông tin mờ,

không chắc chắn như trẻ-già, nhanh-chậm, cao-thấp,… Ông đã tìm cách biểu

diễn chúng bằng một khái niệm toán học, được gọi là tập mờ và được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1 [14] Cho một tập vũ trụ U với các phần tử ký hiệu bởi x, U={x} Một tập mờ A trên U là tập được đặc trưng bởi một hàm A (x) mà nó

liên kết mỗi phần tử xU với một số thực trong đoạn [0,1] Giá trị hàm A (x)

biểu diễn mức độ thuộc của x trong A A (x) là một ánh xạ từ U vào [0,1] và

được gọi là hàm thuộc của tập mờ A

Như vậy, giá trị hàm A (x) càng gần tới 1 thì mức độ thuộc của x trong A

càng cao Khi A là một tập hợp kinh điển, hàm thuộc của nó, A (x), chỉ nhận 2

giá trị 1 hoặc 0, tương ứng với x có nằm trong A hay không Rõ ràng, tập mờ

là sự mở rộng của khái niệm tập hợp kinh điển Các khái niệm, phép toán trong lý thuyết tập kinh điển cũng được mở rộng cho các tập mờ

Họ tất cả các tập mờ trên miền cơ sở U là không gian các hàm từ U vào

đoạn [0,1], tức là F ( ,[0,1]) U = {A : U[0,1]}, một không gian tương đối giàu về cấu trúc tính toán mà nhiều nhà nghiên cứu đã sử dụng cho việc mô phỏng các phương pháp suy luận của con người

Chúng ta có thể biểu diễn tập mờ bằng các cách sau, tùy theo tập U là

hữu hạn, đếm được hay vô hạn liên tục:

- Trường hợp U hữu hạn, U={u i : 1 i  n}, ta có thể viết

A = A (u 1 )/u 1 + A (u 2 )/u 2 + … + A (u n )/u n = 1  i  nA (u i )/u i

- Trường hợp U vô hạn đếm được, U={u i : i=1,2,… }, ta viết

A = 1  i <A (u i )/u i

- Trường hợp U vô hạn liên tục, U=[a,b], ta viết

A =

Sau đây ta định nghĩa một số khái niệm đặc trưng liên quan đến tập mờ

Định nghĩa 2 [1] Cho một tập mờ A trên tập vũ trụ U và [0,1] Tập lát cắt  của A là một tập kinh điển, ký hiệu A, được xác định như sau :

A = {u  U : A (u)}

Tập A còn gọi là tập mức  của A

Định nghĩa 3 [1] Cho một tập mờ A trên tập vũ trụ U,

i) Giá của tập mờ A, ký hiệu support(A), là tập con của U trên đó

A (u)0, tức là support(A) = {u  U : A (u)0}

ii) Độ cao của tập mờ A, ký hiệu high(A), là cận trên đúng của hàm

thuộc A (u) trên U, tức là high(A) = sup{A (u) : uU}

iii) A được gọi là tập mờ chuẩn nếu high(A)=1 Ngược lại gọi là tập

mờ dưới chuẩn

iv) Lõi của tập mờ A, ký hiệu core(A), là một tập con của U được

xác định như sau:

core(A) = {uU : A (u) = high(A)}

Định nghĩa 4 [1] Cho một tập mờ A trên tập vũ trụ U,

i) Lực lượng vô hướng hay bản số của tập mờ A, ký hiệu count(A),

được xác định là:

count(A) = uUA (u), nếu U là hữu hạn hay đếm được,

= UA (u)du, nếu U là vô hạn liên tục

( ) /

b

A a

u u





ii) Lực lượng mờ hay bản số mờ của tập mờ A, ký hiệu card(A), là

một tập mờ trên tập các số nguyên không âm N, được xác định như sau:

card(A) = Ncard(A) (n)dn , trong đó, card(A) (n) được xác

định theo công thức sau, với |A| là lực lượng tập mức A,

card(A) (n) = sup{t[0,1] : |A| = n}

Ví dụ 1 Cho tập vũ trụ chỉ tuổi tính chẵn năm U={u : 0 u 120}, A là

một tập mờ chỉ tuổi già (old) được xác định bởi hàm thuộc sau (hình 1):

Khi đó tập mức =0.5 của A là A 0.5 = {u : 66 u 120} ;

support(A) = {u : 61 u 120} ; high(A) = 1.01-1; core(A) = {120}

Hình 1 Đồ thị biểu diễn hàm thuộc của tập mờ già (old)

Tiếp theo chúng ta định nghĩa một số phép toán cơ bản trên tập mờ, các phép này làm cơ sở cho việc phát triển lôgíc mờ sau này

Định nghĩa 5 [1,14] Cho hai tập mờ A và B trên tập nền U có hàm thuộc

tương ứng là A và B, ba phép toán cơ bản là hợp, giao của hai tập mờ và lấy

phần bù của tập mờ A là một tập mờ C, được viết là

C = A  B, hoặc C = A  B, hoặc C = A ~ với hàm thuộc được xác định như sau:

AB (u) = max(A (u), B (u)), u  U,

AB (u) = min(A (u), B (u)), u  U,

A~ (u) = 1- A (u), u  U

2 1 60 6

( ) (1 ( ) ) [61,120]

u u

u

      



Hay viết ở dạng thu gọn là

AB (u) = A (u) B (u)),

AB (u) = A (u) B (u))

Ví dụ 2 [1] Xét tập nền U = {1,2,3,4,5,6,8,9,10,11} là tập các giá trị

trong thang điểm 10 đánh giá kết quả học tập của học sinh Hai tập mờ G và K

tương ứng là hai khái niệm mờ về năng lực học giỏi và học kém, với hàm thuộc được cho dưới dạng bảng như sau:

ta định nghĩa quan hệ mờ như sau

Định nghĩa 6 [1] Cho U là tích Đề-Các của n miền cơ sở U i , i=1, ,…, n

Khi đó mỗi một tập mờ trên U được gọi là một quan hệ mờ n-ngôi và được kí

hiệu là R, gọi là tên của quan hệ đó, và nó được biểu thị bằng công thức sau:

Trong đó (u 1 ,…,u n ) là hàm thuộc của tập mờ R Dấu  biểu diễn hình thức của hàm thuộc, có thể một trong ba trường hợp là hữu hạn hoặc đếm được hoặc liên tục

Quan hệ mờ cũng có các phép tính cơ bản như trên tập mờ vì bản thân nó cũng là tập mờ Ngoài ra, quan hệ mờ có những phép tính đặc thù riêng mà trên tập mờ không có, đó là phép hợp thành dưới đây

Định nghĩa 7 [1] Cho R là một quan hệ mờ trên UV và S là quan hệ

mờ trên VW Khi đó, phép hợp thành của hai quan hệ này là một quan hệ trên UW, được ký hiệu là RS và được định nghĩa như sau:

RS = vV [R (u,v)S (v,w)]/(u,w)

Trong đó  là một phép tính 2 ngôi trong [0,1] có tính giao hoán, kết hợp

và phân phối đối với phép max  Nếu  là phép min , thì ta có phép hợp

thành max-min, nếu  là phép nhân số học thì ta có phép hợp thành

max-product

Ví dụ 3 Cho U = {u 1 , u 2 , u 3 }, V = {v 1 , v 2 } và W = {w 1 , w 2}, với quan hệ

mờ R trên UV và S trên VW được cho hàm thuộc dưới dạng ma trận

0.4 1

1 0.3 0.7 0.8

0.2 0.8 0.7 0.1

v S v

0.7 1 0.3 0.8 0.7 0.7

0.8 0.32 0.21 0.8 0.56 0.56

Chúng ta thấy rằng lý thuyết tập mờ với mục tiêu mô hình hóa toán học ngữ nghĩa của các khái niệm mờ và, hơn nữa, mô hình hóa cách lập luận của con người Tuy nhiên, những vấn đề này thuộc loại có cấu trúc yếu, khó có thể

có một cấu trúc toán duy nhất mô hình hóa trọn vẹn những vấn đề đó

1.2 Lôgic mờ

Cùng với khái niệm biến ngôn ngữ, L A Zadeh đã phát triển lôgic mờ

mà các giá trị chân lý nhận trong T(Truth) = {true, very true, more false,

possible false, very very false,…}, tập các giá trị của biến ngôn ngữ Truth Khi

đó, một mệnh đề dạng “X is A”, với A là một khái niệm mờ, sẽ có giá trị chân

lý thuộc T(Truth) và được biểu thị bởi một tập mờ có hàm thuộc A trên không

gian tham chiếu U

Lý thuyết tập mờ là cơ sở toán học cho việc phát triển các phương pháp

mô phỏng lập luận của con người Về nguyên tắc, vấn đề tư duy, lập luận của con người rất phức tạp và do đó không thể sử dụng một cấu trúc toán học duy nhất để mô phỏng Vì vậy, mục tiêu của chúng ta là càng xây dựng được nhiều cấu trúc đại số các tập mờ càng tốt để linh hoạt trong tiếp cận các vần đề ứng

dụng Ở đây, chúng ta sẽ định nghĩa một họ các cặp đối ngẫu norm và

t-conorm cùng với phép phủ định làm cơ sở cho lôgic mờ và lập luận xấp xỉ

Định nghĩa 8 [1] Một hàm 2-biến T : [0,1][0,1]  [0,1] được gọi là

phép t-norm nếu nó thỏa các tính chất sau với a,a’,b,c [0,1]:

i) Tính chất điều kiện biên: T(a,1) = a ii) Tính giao hoán: T(a,b) = T(b,a) iii) Tính đơn điệu: a  a’  T(a,b)  T(a’,b) iv) Tính kết hợp: T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c)

Ngoài ra, một số tính chất khác cần đòi hỏi phải có trong nhiều ứng dụng

đối với phép t-norm bao gồm:

v) Tính liên tục: T là hàm hai biến liên tục vi) Tính lũy đẳng dưới: T(a,b) < a

vii) Tính đơn điệu chặt: a  a’ và b  b’  T(a,a’) <

T(b,b’)

Định nghĩa 9 [1] Một hàm 2-biến S : [0,1][0,1]  [0,1] được gọi là

phép t-conorm nếu nó thỏa các tính chất sau với a,a’,b,c [0,1]:

i) Tính giới nội: S(a,0) = a ii) Tính giao hoán: S(a,b) = S(b,a) iii) Tính đơn điệu: a  a’  S(a,b)  S(a’,b) iv) Tính kết hợp: S(a,S(b,c)) = S(S(a,b),c)

Như vậy, chỉ có hai tính chất điều kiện biên và giới nội làm nên sự khác

biệt giữa hai họ phép tính t-norm và t-conorm

Chúng ta cũng có thể mở rộng định nghĩa cho phép t-norm và t-conorm này đối với trường hợp nhiều biến vào, tức là T ex : [0,1]n [0,1] và S ex : [0,1]n

 [0,1], bằng cách áp dụng liến tiếp các phép t-norm và t-conorm ở trên

Định nghĩa 10 [1] Hàm N : [0,1]  [0,1] được gọi là phép phủ định

(negation) nếu nó thỏa các tính chất sau với a,a’ [0,1]:

i) Tính đơn điệu giảm: a  a’  N(a)  N(a’)

iv) Tính lũy đẳng: N(N(a)) = a

Ví dụ 4: Các phép t-norm, t-conorm và phép phủ định hay được sử dụng

như:

T M (a,b) = min{a,b}

T P (a,b) = a.b

T L (a,b) = max{0,a+b-1}

Định nghĩa 11 [1] Ba phép tính t-norm T, t-conorm S và phép phủ định

N được gọi là một hệ đối ngẫu (T,S,N) nếu chúng thỏa điều kiện sau:

N(S(a,b)) = T(N(a),N(b)), a,b[0,1]

Việc áp dụng các phép t-norm, t-conorm và phép phủ định cho việc tính

toán các toán tử hội, tuyển và phủ định trong lôgic mờ làm tăng tính mềm dẻo

trong ứng dụng Thực vậy, khi hai mệnh đề “X is A” và “X is B” có giá trị

chân lý được biểu thị bởi hai hàm thuộc tương ứng A và B trên không gian

tham chiếu U và V thì mệnh đề mờ “X is A and B” có hàm thuộc biểu thị giá

trị chân lý là AB = T(A ,B ), với T là một t-norm nào đó Tương tự, mệnh đề

“X is A or B” có hàm thuộc là AB = S(A ,B ) và mệnh đề “X is not A” có hàm

thuộc là ~A = N(A ), ở đây S là một t-conorm và N là một phép phủ định được

chọn nào đó

Các mệnh đề mờ cùng với giá trị chân lý của chúng là những đối tượng nghiên cứu chính của lôgíc mờ Trong đó, một dạng mệnh đề mờ thường biểu diễn cho tri thức dạng luật trong lập luận xấp xỉ và ứng dụng, đó là mệnh đề

mờ có điều kiện dạng “If X is A then Y is B” và được biểu diễn bằng toán tử

kéo theo mờ

Ở đây, một cách tổng quát, chúng ta đưa ra một số tính chất cho một phép kéo theo mờ

Định nghĩa 12 [1] Phép kéo theo là một hàm số I : [0,1]2  [0,1] có các tính chất sau:

i) Tính đơn điệu giảm đối với biến thứ nhất

I(1,x) = x v) Tính đồng nhất

I(x,x) = x vi) Tính chất hoán đổi

I(x,I(y,z)) = I(y,I(x,z)) vii) Tính chất về điều kiện giới nội

I(x,y) = 1 nếu và chỉ nếu x  y

viii) Tính chất khái quát hóa của phép kéo theo kinh điển

I(x,y) = I(N(y),N(x)), trong đó N là phép phủ

định

ix) I là hàm liên tục theo cả hai biến

Rõ ràng mệnh đề điều kiện ở dạng “If X is A then Y is B” thể hiện mối

quan hệ giữa hai khái niệm mờ A và B Vì vậy, chúng cảm sinh một quan hệ

mờ R thể hiện bởi một tập mờ trên không gian tích Đề-Các UV được xác

định bởi hàm thuộc thông qua một phép kéo theo được chọn

Ví dụ 5 Một số dạng phép kéo theo thường dùng

Mamdani

I(x,y) = min{x,y}

Dạng khái quát từ phép kéo theo kinh điển

I(x,y) = S(N(x),y), hoặc

I(x,y) = S(N(x),T(x,y)), hoặc

I(x,y) = S(T(N(x),N(y)),y), với T, S và N là các phép

t-norm, t-conorm và phép phủ định

Reichenbach

I(x,y) = 1-x+x.y

Lukasiewicz

I(x,y) = min{1, 1-x+y}

Định lý sau đây cho chúng ta xem xét liệu phép kéo theo như thế nào sẽ thỏa mãn tất cả các tính chất trong định nghĩa 12

Định lý 1 [1] Một hàm 2-biến I : [0,1]2  [0,1] thỏa các tính chất từ i) đến ix) trong định nghĩa 12 nếu và chỉ nếu có tồn tại một hàm liên tục đơn điệu tăng thực sự f : [0,1]  [0,+) sao cho f(0) = 0 và

I(x,y) = f -1 (f(1)-f(x)+f(y)), với x,y  [0,1], và

N(x) = f -1 (f(1)-f(x)), với x [0,1]

Tuy nhiên, bản chất ngữ nghĩa của phép kéo theo mờ trong lập luận của con người rất phức tạp, khó có một hệ tiên đề chung cho mọi tình huống Vì vậy, các tính chất ở định nghĩa 12 không bắt buộc mọi phép kéo theo mờ đều phải thỏa mãn Hơn nữa, cũng không có quyền đặt ra các yêu cầu về một tính chất nào đó khác mà một phép kéo theo cần phải có Chỉ có ứng dụng thực

tiễn là tiêu chuẩn cuối cùng chứng minh tính phù hợp của một định nghĩa phép kéo theo mờ

1.3 Biến ngôn ngữ

Trong [14], L A Zadeh đã viết “Khi thiếu hụt tính chính xác bề ngoài

của những vấn đề phức tạp cố hữu, một cách tự nhiên là tìm cách sử dụng các biến ngôn ngữ, đó là các biến mà giá trị của chúng không phải là số mà là các từ hoặc các câu trong ngôn ngữ tự nhiên hoặc nhân tạo Động lực cho việc sử dụng các từ, các câu hơn các số là ở chỗ đặc trưng ngôn ngữ của các

từ và các câu thường ít xác định cụ thể hơn của các số” và ông đã đưa ra một

lớp khái niệm rộng hơn có thể mô hình qua các tập mờ, đó là biến ngôn ngữ

Định nghĩa 13 [14] Biến ngôn ngữ là một bộ năm (X,T(X),U,R,M),

trong đó X là tên biến, T(X) là tập các giá trị ngôn ngữ của biến X, U là không gian tham chiếu hay còn gọi là miền cơ sở của biến X, R là một quy tắc ký pháp sinh các giá trị ngôn ngữ cho T(X), M là quy tắc gán ngữ nghĩa biểu thị bằng tập mờ trên U cho các từ ngôn ngữ trong T(X)

Ví dụ 6 Cho X là biến ngôn ngữ có tên AGE, miền tham chiếu của X là

U=[0,120] Tập các giá trị ngôn ngữ T(AGE)={very old, old, possible old, less

old, less young, quite young, more young,…} Chẳng hạn với giá trị ngôn ngữ old, quy tắc gán ngữ nghĩa M cho old bằng tập mờ cho bởi ví dụ 1

Chúng ta thấy rằng một biến ngôn ngữ được cấu trúc theo hướng mà trong đó có hai quy tắc cơ bản Thứ nhất là quy tắc cú pháp, qui định cách thức để sinh các giá trị ngôn ngữ Thứ hai là quy tắc ngữ nghĩa, qui định thủ tục tính toán ngữ nghĩa của các giá trị ngôn ngữ Ngoài các giá trị sinh nguyên

thủy, các giá trị ngôn ngữ có thể gồm các từ liên kết như and, or, not,… và các gia tử ngôn ngữ như very, possible, less, quite, more,….Zadeh cũng nêu ra

một vài thí dụ về cách sinh ra các hàm thuộc từ các hàm thuộc đã có như nếu

A là nhãn ngôn ngữ mờ có hàm thuộc là μA thì veryA có hàm thuộc là (μA)2

còn lessA có hàm thuộc là căn bặc hai của μA

Trong thực tế có nhiều biến ngôn ngữ khác nhau về giá trị sinh nguyên thủy, tuy nhiên cấu trúc miền giá trị của chúng tồn tại một “đẳng cấu” sai khác nhau bởi giá trị sinh nguyên thủy này Đây gọi là tính phổ quát của biến ngôn ngữ

Khác với giá trị nguyên thủy của các biến ngôn ngữ phụ thuộc vào ngữ cảnh, ngữ nghĩa của các gia tử và các từ liên kết hoàn toàn độc lập với ngữ cảnh Đây là tính độc lập ngữ cảnh của gia tử và liên kết

Chúng ta thấy rằng lý thuyết tập mờ với mục tiêu mô hình hóa toán học ngữ nghĩa của các khái niệm mờ và hơn nữa mô hình hóa cách lập luận của con người Tuy nhiên, những vấn đề này thuộc loại có cấu trúc yếu, khó có thể

có một cấu trúc toán duy nhất mô hình hóa trọn vẹn những vấn đề đó

1.4 Bài toán sắp xếp mờ

1.4 1.Bài toán sắp xếp mờ

Một cách hình thức, bài toán kết nhập có thể được phát biểu như sau Giả sử người quyết định phải ra quyết định chọn một phương án “tốt nhất” trong m phương án lựa chọn Ai, i = 1, …, m, trên cơ sở lấy ý kiến đánh giá của n chuyên gia ej, j = 1, …, n

Trong môi trường thông tin ngôn ngữ, các chuyên gia biểu thị đánh giá của mình bằng các từ ngôn ngữ (thang đánh giá ngôn ngữ) lấy trong tập S = {s0, …, sg} Ký hiệu xij là ý kiến đánh giá của chuyên gia j về phương án Ai

Một yêu cầu tự nhiên là cần định giá ý kiến tổng hợp của các chuyên gia đối với từng phương án, nghĩa là ta cần sử dụng một phép toán kết nhập R tíchhợp các ý kiến {xij: j = 1, …, n} của các chuyên gia Toán tử kết nhập là một ánh xạ R : {s0, …, sg}n {s0, …, sg} Ánh xạ này phải được xác định sao cho kết quả của phép toán R(si1, …, sin) có thể xem là biểu thị ý kiến tập thể của n chuyên gia

Giải bài toán sắp xếp mờ cũng chính là giải bài toán kết nhập mờ vì khi

có kết quả kết nhập, ta có thể sắp xếp các kết quả này theo thứ tự tăng (giảm ) dần của kết quả đó

Có nhiều phương pháp tiếp cận tính toán khác nhau để giải quyết vấn

đề này Dưới đây là một số phương pháp phổ biến

1.4.2 Các phương pháp giải bài toán sắp xếp mờ

1.4.2.1 Phương pháp tính toán ngôn ngữ dựa trên nguyên lý mở rộng của tập mờ

Ta biết rằng bằng nguyên lý mở rộng (hay nguyên lý thác triển) các ánh xạ hoặc các phép tính số học thông thường có thể chuyển thành các ánh xạ hay phép tính tương ứng trên các tập mờ Ý tưởng chính của phương pháp là các phép tính kết nhập kinh điển như phép trung bình số học, trung bình có trọng

số …, có thể chuyển thành các phép tính tương ứng trên các tập mờ, chẳng hạn phép lấy trung bình cộng mờ, trung bình cộng mờ có trọng số trên các tập

mờ … Khi đó, các từ ngôn ngữ trong tập S được xem là các nhãn của các tập

mờ Các phép kết nhập mờ thực hiện trên các tập mờ của các nhãn trong tập S

sẽ cho kết quả là tập mờ Nói chung tập mờ kết quả khác với các tập mờ của các nhãn, hay nó không biểu thị cho một nhãn ngôn ngữ nào trong S Điều này dẫn đến sự cần thiết phải phát triển các phương pháp xấp xỉ ngôn ngữ, tức là tìm một nhãn ngôn ngữ trong S có tập mờ xấp xỉ tập mờ kết quả

1.4.2.2 Phương pháp tính toán trên các ký hiệu ngôn ngữ

Giả sử ý kiến đánh giá theo một tiêu chí được biểu thị bằng các từ ngôn ngữ trong tập S = {s0, …, sg} được sắp tuyến tính theo ngữ nghĩa của chúng sao cho: si<sj nếu và chỉ nếu i<j Vì không thể tính trực tiếp trên các từ nên người ta mượn cấu trúc tính toán của đoạn [0, g] bao hàm các chỉ số để thực hiện việc kết nhập số học Ý tưởng này thể hiện như sau:

Giả sử ta lấy kết nhập tập các từ ngôn ngữ trong A = {a1, …, ap}, aiS Ta thực hiện một hoán vị các chỉ số của tập A, A = {aπ1, …, aπp},

sao cho aπi ≥ aπj nếu i ≤ j Xét một phép kết nhập số học R nào đó R sẽ cảm sinh một phép kết nhập g* trên tập S được định nghĩa như sau:

Tính R(π1, …, πp)  [0, g], với π1, …, πp là các chỉ số của các phần tử trong A Đặt i* = round(R(π1, …, πp)), trong đó round là phép làm tròn số học Khi đó phần tử si* được xem là kết quả kết nhập R*(aπ1, …, aπp)

Lưu ý rằng các chỉ số chỉ mang thông tin về thứ tự của các từ ngôn ngữ Vì vậy, việc thực hiện phép kết nhập R trên các chỉ số, mặc nhiên ta đã thừa nhận ngữ nghĩa các từ của S được biểu thị bằng chỉ số của chúng

Do vậy, phép kết nhập R* được định nghĩa như trên là một hạn chế, vì nó chịu một ràng buộc ít tự nhiên và mất mát nhiều thông tin

1.4.2.3 Phương pháp tính toán ngôn ngữ dựa trên biểu diễn dữ liệu bộ 2

Trong phương pháp trên ta cần làm tròn bằng biểu thức i* = round(R(π1, …, πp))

để kết quả là một từ ngôn ngữ ai* trong tập S Tuy nhiên việc làm tròn làm mất mát thông tin và các tác giả [12] đã đưa ra cách biểu diễn dữ liệu bộ 2 để khắc phục sự mất mát thông tin này

Ý tưởng của phương pháp như sau Giá trị R(π1, …, πp) chưa làm tròn

sẽ là một số thực b [0, g], k – 0.5 ≤ b<k + 0.5 Để biểu thị rõ các thông tin các tác giả trong [13] đề xuất dạng biểu diễn bộ 2, (sk, bk), trong đó bk = b –

k [-0,5, +0,5) Từ sk được gọi là tâm của thông tin còn ak biểu thị giá trị chuyển dịch từ giá trị gốc b về từ ngôn ngữ sk Biểu diễn này cũng xác định một ánh xạ sau:

k k-1 b

g

Hình 1: Biểu diễn bộ 2

Hình 2 Biểu diễn bộ 2

1.4.2.4 Phương pháp tính toán ngôn ngữ dựa trên biểu diễn dữ liệu bộ 3

Trong [2,10], các tác giả đã nghiên cứu phát triển việc tính toán trên các

từ dựa trên đại số gia tử (ĐSGT) với việc tận dụng các khoảng độ đo tính mờ của các từ ngôn ngữ Theo cách tiếp cận của ĐSGT, ngữ nghĩa các từ ngôn ngữ có thể biểu thị qua các khoảng tính mờ mức l, với l chỉ độ dài của xâu biểu diễn các từ ngôn ngữ Đây là một cách tiếp cận có nhiều ưu điểm vì sử dụng ĐSGT cho phép đưa quan hệ thứ tự ngữ nghĩa của các từ đánh giá vào

xử lý

ĐSGT là công cụ tốt để ta có thể tiến hành công việc này một cách đơn giản Cụ thể là ta có thể dùng giá trị ngôn ngữ có độ dài hơn (tức giá trị ngôn ngữ thuộc lớp con) Thí dụ, nếu một người nhận xét là “giỏi”, một người nhận xét là “khá” thì kết quả là “giỏi” hay là “khá” đều dễ dẫn đến sự thiếu chính xác Nên dùng “khá giỏi” hay “tương đối giỏi” để làm đánh giá chung Vấn

đề là đưa ra thuật toán xác định xem trong các giá trị ngôn ngữ lớp sau (có độ dài lớn hơn), ta chọn giá trị nào để sai số là nhỏ nhất Để hiểu rõ hơn ý tưởng này, phần sau tôi sẽ trình bày tóm tắt các khái niệm cơ bản về ĐSGT

Chương 2 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ GIA TỬ

Để xây dựng phương pháp luận tính toán nhằm giải quyết vấn đề mô phỏng các quá trình tư duy, suy luận của con người chúng ta phải thiết lập ánh xạ: gán mỗi khái niệm mờ một tập mờ trong không gian tất cả các hàm F(U, [0, 1]) Nghĩa là ta mượn cấu trúc tính toán rất phong phú của tập để mô phỏng phương pháp lập luận của con người thường vẫn được thực hiện trên nền ngôn ngữ tự nhiên

Vậy một vấn đề đặt ra là liệu bản thân ngôn ngữ có cấu trúc tính toán không? Nếu có thì các phương pháp lập luận xây dựng trên đó đem lại những lợi ích gì? Thông qua lý thuyết về đại số gia tử ta có thể thấy rằng tập các giá trị của một biến ngôn ngữ (biến mà giá trị của nó được lấy trong miền ngôn ngữ) là một cấu trúc đại số đủ mạnh để tính toán

Lý thuyết đại số gia tử đã cố gắng nhúng tập ngôn ngữ vào một cấu trúc đại số thích hợp và tìm cách xem chúng như là một đại số để tiên đề hóa sao cho cấu trúc thu được mô phỏng tốt ngữ nghĩa ngôn ngữ

Trong chương này, chúng ta xét các vấn đề cơ bản về đại số gia tử, định nghĩa đại số gia tử, các định lí, các đại lượng đo trên đại số gia tử và một số tính chất của đại số gia tử

2.1.Đại số gia tử

Một cách không hình thức, đại số gia tử(ĐSGT)là một cấu trúc đại số được đưa vào tập các giá trị của một biến ngôn ngữ (thí dụ biến "chiều cao"), khi ta coi tập các từ nhấn - gia tử, (thí dụ "rất", "tương đối", ) là các toán tử một ngôi, khi tác động lên các phần tử sinh của biến ngôn ngữ (thí dụ "cao",

"thấp") cho ta tập các phần tử của ĐSGT (tập {rất cao, rất thấp, tương đối thấp, tương đối rất thấp, khá cao }) có thể sắp thứ tự theo ngữ nghĩa của chúng ("rất rất cao" > "rất cao" > "tương đối cao"> > "tương đối thấp"> "rất thấp" )

Xét một tập giá trị ngôn ngữ là miền của biến ngôn ngữ của biến chân

lý TRUTH gồm các từ sau:

T = dom(TRUTH) = {true, false, very true, very false, more true, more false, approximately true, approximately false, little true, little false, less true, less false, very more true, very more false, very possible true, very possible false, very more true, very more false, …}

Khi đó miền ngôn ngữ T = dom(TRUTH) có thể biểu thị như là một cấu trúc đại số AT = (T, G, H, ≤), trong đó:

- T: Là tập cơ sở của AT

- G: Là tập các từ nguyên thủy (tập các phần tử sinh: true, false)

- H: Là tập các toán tử một ngôi, gọi là các gia tử (các trạng từ nhấn)

- ≤: Là biểu thị quan hệ thứ tự trên các từ (các khái niệm mờ), nó được

“cảm sinh” từ ngữ nghĩa tự nhiên

Ví dụ: Dựa trên ngữ nghĩa, các quan hệ thứ tự sau là đúng: false≤ true, more true ≤ very true, very false ≤ more false, possible true ≤ true, false ≤ possible false, …

Ta luôn giả thiết rằng các gia tử trong H là các toán tử thứ tự, nghĩa là (∀h ∈ H, h: T → T), (∀x ∈ T) {hx ≤ x hoặc hx ≥ x} Hai gia tử h, k ∈ H được gọi là ngược nhau nếu (∀x ∈ T) {hx ≤ x khi và chỉ khi kx ≥ x} và chúng được gọi là tương thích nhau nếu (∀x ∈ T) {hx ≤ x khi và chỉ khi kx ≤ x}

Ta ký hiệu h ≥ k nếu h, k tương thích nhau và (∀x ∈ T) {hx ≤ kx ≤ x hoặc hx ≥ kx ≥ x}

Ngoài ra, tập H còn có thể được phân hoặch thành hai tập H+ và H- với các gia tử trong tập H+ hay H- là tương thích nhau, mỗi phần tử trong H+ cũng ngược với bất kỳ phần tử nào trong H- và ngược lại

Giả sử trong tập H+ có phần tử V (ngầm định là very – rất) và trong tập H- có phần tử L (ngầm định là less – ít) là phần tử lớn nhất thì phần tử sinh

g ∈ G là dương nếu g ≤ Vg và là âm nếu g ≥ Vg (hoặc g ∈ G là dương nếu g ≥

Lg và là âm nếu g ≤ Lg)

Một gia tử h dương (hoặc âm) đối với một gia tử k nếu (∀x ∈ T) {hkx ≤

kx ≤ x hoặc hkx ≥ kx ≥ x} (hoặc (∀x ∈ T) { kx ≤ hkx ≤ x hoặc kx ≥ hkx ≥ x})

T được sinh ra từ G bởi các gia tử trong H Như vậy mỗi phần tử của T

sẽ có dạng biểu diễn là x = h

nh

1u, u ∈ G Tập tất cả các phần tử được sinh ra từ phần tử x có dạng biểu diễn là H(x)

Nếu G chỉ có đúng 2 từ nguyên thủy mờ, thì một được gọi là phần tử sinh dương ký hiệu là c+, một được gọi là phần tử sinh âm ký hiệu là c-

và ta

có c- < c+ (Trong ví dụ trên, c+ tương ứng với true là dương, còn c- tương ứng với false là âm)

2.2 Định nghĩa đại số gia tử

Một cấu trúc đại số AT = (T, G, H, ≤) với H được phân hoạch thành H+

và H- các gia tử ngược nhau được gọi là một đại số gia tử nếu nó thỏa mãn

các tiên đề sau:

(1) Mỗi gia tử hoặc là dương hoặc là âm đối với bất kỳ một gia tử nào khác, kể cả với chính nó

(2) Nếu hai khái niệm u và v là độc lập nhau, nghĩa là u∉H(v) và v∉H(u), thì (∀x∈H(u)) {x∉H(v)} Ngoài ra nếu u và v là không sánh được thì bất kỳ x∈H(u) cũng không sánh được với bất kỳ y∈H(v) (H(u) là tập các giá trị được sinh ra do tác động của các gia

tử của H vào u)

(3) Nếu x ≠ hx thì x∉H(hx) và nếu h ≠ k và hx ≤ kx thì h’hx ≤ k’kx, với mọi gia tử h, k, h’ và k’ Hơn nữa nếu hx ≠ kx thì hx và kx là độc lập

(4) Nếu u∉H(v) và u ≤ v (hoặc u ≥ v) thì u ≤ hv (hoặc u ≥ hv) đối với mọi gia tử h

Xét đại số gia tử AT có đúng 3 phần tử sinh: dương, âm và một phần tử trung hòa w nằm giữa hai phần tử sinh kia và có tính chất hw = w, với mọi h∈H Một phần tử y được gọi là phần tử đối nghịch của phần tử x nếu có tồn tại một biểu diễn của x có dạng x = h

1g, w ≠ g ∉ G, sao cho y = h

1g’, với w ≠ g’∈G và g’ ≠ g (nói cách khác: hai phần tử của đại số gia tử được gọi

là đối nghịch nhau nếu chúng có dạng biểu diễn với cùng một dãy các gia tử nhưng phần tử sinh của chúng khác nhau, một cái là dương và một cái là âm)

Đặc biệt phần đối nghịch của w được định nghĩa chính là w Phần tử đối nghịch của x được ký hiệu là –x với chỉ số nếu cần thiết Nhìn chung một phần tử có thể có nhiều phần tử đối nghịch

Nếu mỗi phần tử của T chỉ có duy nhất một phần tử đối nghịch thì AT được gọi là đại số gia tử đối xứng

2.3 Các định lý

Định lý 2: Một đại số gia tử AT là đối xứng nếu với mọi x, x là điểm

dừng khi và chỉ khi –x cũng là điểm dừng

Định lý trên chứng tỏ rằng đại số gia tử đối xứng, dù chỉ dựa trên các tính chất tự nhiên của khái niệm ngôn ngữ cũng có những tính chất rất quan trọng và đủ phong phú để xây dựng và phát triển một cơ sở logic cho lập luận xấp xỉ Rõ ràng nó sẽ là một logic không kinh điển Ngoài ra có thể thấy rằng tập G là đại số gia tử đối xứng con của AT và nó thỏa mãn các tính chất của đại số cho logic 3-trị Với những lý do đó có thể xem mỗi một đại số gia tử đối xứng là một cơ sở đại số cho một logic các giá trị ngôn ngữ Định lý tiếp theo nói về mối quan hệ với miền [0, 1]

Định lý 3:Nếu tập các toán tử (gia tử) H+ và H- có quan hệ thứ tự sắp xếp tuyến tính thì có tồn tại một đẳng cấu 𝝋 từ đại số gia tử đối xứng

AT = (T, G, H, -, ∪, ∩, ⇒, ≤) vào cấu trúc logic đa trị tựa trên đoạn [0, 1] sao cho:

(1) Bảo toàn quan hệ thứ tự

(2) (u ∪ v) = max{ 𝝋 (u), 𝝋 (u ∪ v)} = min{ 𝝋 (u), 𝝋 (v)} (3) 𝝋 (u ⇒ v) = max{1- 𝝋 (u), 𝝋 (v)} và 𝝋 (-u) = 1- 𝝋 (u)

Cần lưu ý rằng cấu trúc logic đa trị tựa trên đoạn [0, 1] là cơ sở để xây dựng và phát triển logic mờ và lập luận mờ Vì vậy sự “tương đồng” dựa trên định lý trên chứng tỏ thêm giá trị của cách tiếp cận đại số này

Định lý 4: Có tồn tại một hệ tiên đề hoá sao cho mỗi miền ngôn ngữ

AT của biến ngôn ngữ trở thành dàn đầy đủ có một phần tử 0, một phần tử đơn vị 1 và một phần tử trung hoà Như vậy phép tuyển ∪ và hội ∩ logic có

thể định nghĩa được trong cấu trúc này Hơn nữa, nếu AT là một đại số gia tử đối xứng thì trong cấu trúc đó ta có thể định nghĩa phép phủ định –, phép kéo theo ⇒ và ta có:

(11) x⇒y ≥ w khi và chỉ khi hoặc x≤w hoặc y≥w

(12) x⇒y ≤ w khi và chỉ khi hoặc y≤w hoặc x≥w

(13) x⇒y = 1 khi và chỉ khi hoặc x=0 hoặc y=1

Các kết quả mở rộng đối với các toán tử sup, inf, gọi là đại số gia tử mở

rộng đối xứng, đồng thời mịn hoá đại số gia tử, đưa thêm các toán tử hoặc, và

liên kết các gia tử tạo thành các gia tử mới Nhưng vấn đề tiếp tục này được quan tâm ở đây là trong các ví dụ trên thường đề cập đến biến chân lý, có miền giá trị được sắp xếp thứ tự khá rõ, trong khi với các khái niệm ngôn ngữ

mà con người tiếp xúc hàng ngày thì không được như vậy Hoặc bản thân một

số gia tử như có thể, ít nhiều, xấp xỉ cũng không sánh được với nhau, trong khi suy luận rất cần sự sắp xếp đó

2.4 Các đại lương đo trên đại số gia tử

Theo định lý 3 tồn tại một đẳng cấu giữa một đại số gia tử mở rộng đối xứng và cấu trúc logic đa trị tựa trên miền [0, 1] Chính điều này cho phép ta thiết lập một hàm đo trên đại số gia tử chuyển một giá trị của đại số gia tử mở rộng đối xứng (lớp các đại số gia tử rất được quan tâm ở đề tài này) thành một giá trị trong miền [0, 1]

Để xây dựng hàm đo, ta giả thiết từ cơ sở hx đều có thể sánh được với

nhau Nếu chúng không sánh được ta coi là đồng nghĩa và chỉ còn một đại diện trong đại số gia tử Giả thiết này biến đại số gia tử thành một tập sắp xếp

thứ tự tuyến tính

 Các hàm đo

Định nghĩa 14(Hàm đo trên đại số gia tử):

Cho đại số gia tử mở rộng đối xứng (T, G, H, ≤), f: T→[0, 1] là một hàm đo trên T nếu thoả mãn:

(1)∀t∈T: f(t) ∈ [0, 1], f(c+) = 1, f(c-) = 0; trong đó: c+, c- ∈ G, là các phần tử sinh dương và âm

(2)∀x, y ∈ T, nếu x<y thì f(x)<f(y)

Định nghĩa 15 (Hàm ngược của hàm đo):

Cho đại số gia tử (T, G, H, ≤), f là một hàm đo trên T, f-1: [0, 1] → T là hàm ngược của hàm đo f nếu thoả mãn:

∀a ∈ [0, 1], f-1(a) ∈ T sao cho |f(f-1(a)) - a| ≤ |(f(t) - a| ∀t ∈ T