ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ SƠ CẤP VÀ THỰC HÀNH GIẢI TOÁN (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ĐHSP TOÁN LÝ)

Ba bước ñầu tiên rèn cho người học khi ñứng trước một bài toán dễ dàng ñịnh hình ñược các công việc chính, trên cơ sở ñó từng bước tiếp cận, vận dụng các kiến thức liên quan ñể hoàn thàn

0

ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG

ðẠI SỐ SƠ CẤP VÀ THỰC HÀNH GIẢI TOÁN

(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ðHSP TOÁN LÝ)

Năm 2014

MỤC LỤC

Chương 1 Giải bài toán như thế nào……… 2

1.1 Cách giải một bài toán……… 2

1.2 Các phương pháp suy luận thường gặp trong giải toán……… 5

Chương 2: Các tập hợp số……… 9

2.1 Tập hợp số tự nhiên……… 9

2.2 Số nguyên……… 10

2.3 Số hữu tỉ……… 12

2.4 Số thực……… 18

Chương 3: ða thức- Phân thức hữu tỉ……… 23

3.1 ða thức……… 23

3.2 Phân thức hữu tỉ……… 31

Chương 4: Hàm số và ñồ thị……… 35

4.1 Khái niệm hàm số và ñồ thị hàm số……… 35

4.2 Một vài phép biến ñổi ñồ thị……… 36

4.3 Khảo sát một hàm số bằng phương pháp sơ cấp……… 37

Chương 5: Phương trình – Hệ phương trình……… 42

5.1 Phương trình……… 42

5.2 Hệ phương trình……… 45

Chương 6: Bất phương trình- Hệ bất phương trình……… 52

6.1 Bất ñẳng thức……… 52

6.2 Bất phương trình- Hệ bất phương……… 55

Tài liệu tham khảo……… 62

CHƯƠNG 1 Giải bài toán như thế nào

Số tiết: 05 (Lý thuyết: 04 tiết; bài tập, thảo luận: 01 tiết)

A) MỤC TIÊU

Chương này gồm hai phần Phần thứ nhất của chương trang bị cho người học các bước giải một bài toán, bao gồm: tìm hiểu ñầu bài; xây dựng chương trình giải; thực hiện chương trình giải; kiểm tra kết quả và biện luận Ba bước ñầu tiên rèn cho người học khi ñứng trước một bài toán dễ dàng ñịnh hình ñược các công việc chính, trên cơ sở ñó từng bước tiếp cận, vận dụng các kiến thức liên quan ñể hoàn thành lời giải của bài toán ñã cho Bước thứ tư rèn cho người học biết cách phân tích ñể khai thác bài toán theo nhiều góc ñộ, ñây là một nhiệm vụ quan trọng, ñặc biệt là ñối với người học là các sinh viên ngành sư phạm toán Phần thứ hai trang bị cho người học một số phương pháp suy luận thường dùng như: phân tích và tổng hợp; quy nạp; tương tự; ñặc biệt hoá; tổng quát hoá Qua ñó, người học biết vận dụng chúng trong quá trình tư duy và quá trình lập luận khi giải toán

B) NỘI DUNG

1.1 Cách giải một bài toán

Thông thường ñể giải một bài toán, người ta thường trải qua các công ñoạn: tìm hiểu ñầu bài; xây dựng chương trình giải; thực hiện chương trình giải; kiểm tra kết quả và biện luận Mặc

dù trong thực tế, không phải quá trình giải bài toán nào cũng phải tuần tự trải qua ñầy ñủ các bước kể trên, nhưng việc tìm hiểu và vận dụng bốn bước này sẽ giúp ích khá nhiều cho việc nghiên cứu các bài toán, ñặc biệt là ñối với những bài toán chọn lọc ñiển hình thì nhất thiết phải ñược trình bày và phân tích kĩ lưỡng theo thứ tự các bước ñể rèn luyện các thao tác tư duy và nắm bắt rõ bản chất

1.1.1 Tìm hiểu ñầu bài

ðây là công việc bắt buộc ñầu tiên khi muốn giải một bài toán Khi ñọc ñầu bài, chúng ta cần hiểu rõ ñâu là giả thiết của bài toán và ñâu là yêu cầu của bài toán Trên cơ sở ñó, cố gắng khoanh vùng phạm vi của ñề toán: bài toán này thuộc vùng kiến thức nào? Cần có những kiến thức và kĩ năng gì? Nếu giải ñược thì sẽ giải quyết ñược vấn ñề gì?

*) Lưu ý:

- Cần tìm ra mối quan hệ giữa cái cần tìm và những cái ñã biết ñối với bài toán về tìm tòi, tính toán

- Cần nêu rõ giả thiết, kết luận ñối với bài toán chứng minh

- Nên sử dụng và khai thác hình vẽ trực quan ñể hỗ trợ

- Nên chọn lựa kí hiệu phù hợp

1.1.2 Xây dựng chương trình giải

a) Nhận dạng và tập hợp kiến thức

Trên cơ sở ñã khoanh vùng bài toán, trước hết chúng ta cố gắng nhận dạng và phân loại nó Tiếp ñó, chúng ta cố gắng huy ñộng và tổ chức các kiến thức ñã biết ñể tìm ra lời giải Quá trình

này có thể là tự phát, thậm chắ nếu ựã thao tác quen lặp lại nhiều lần nó có thể ựược tái hiện một cách vô thức Chẳng hạn, khi gặp bài toán Ộphân tắch ựa thức thành nhân tửỢ thì trong ựầu hiện lên một loạt các phương pháp ựã biết về dạng toán này (nhóm hạng tử, ựặt nhân tử chung, thêm bớt hạng tử, sử dụng nghiệm ựa thức, dùng hằng ựẳng thức, ựặt ẩn phụ,Ầ)

b) Phân tắch bài toán ựể ựưa về những bài toán ựơn giản hơn

Một bài toán có thể ựược xây dựng từ những bài toán ựơn giản hơn Chúng ta nên cố gắng phân tắch bài toán ựã cho, chia tách nó thành nhiều bài toán nhỏ, rồi giải từng bài toán nhỏ ấy, sau ựó kết hợp chúng lại ựể ựược lời giải của bài toán ban ựầu Chẳng hạn, ựể chứng minh rằng

Ộnếu p là số nguyên tố p≥ thì 5 (p2− ⋮1) 24Ợ, ta có thể tách ra thành hai bài toán nhỏ: (i)

2

(p − ⋮ và (ii) 1) 8 (p2− ⋮ 1) 3

c) Liên hệ và sử dụng các bài toán ựã giải

Khi gặp một bài toán mà chưa tìm ra lời giải, chúng ta hãy cố gắng nhớ lại xem ựã gặp một bài toán tương tự hoặc có liên quan ựến bài toán ựã cho mà ta ựã biết cách giải điều này rất hữu ắch vì nó giúp ta tiếp cận gần hơn bài toán ựang xét trên cơ sở kế thừa những ựiểm tương ựồng về phương pháp giải, về kinh nghiệm, về kết quả,Ầ

d) Mò mẫm, dự ựoán

Trong khi tìm tòi lời giải cho bài toán, ta có thể tiến hành thử nghiệm với một số trường hợp ựặc biệt riêng lẻ Trên cơ sở quan sát kết quả xảy ra ựối với các trường hợp này, chúng ta sẽ có thêm những thông tin ựể giải quyết cho trường hợp tổng quát

e) Sử dụng bản gợi ý của Pôlya

đứng trước một bài toán khó, nhiều khi chúng ta hoang mang thậm chắ mất phương hướng

và rất khó tiếp cận trong thời gian ngắn Các gợi ý sau của Pôlya giúp cho chúng ta bình tĩnh ựể từng bước tháo gỡ tiến tới giải quyết bài toán ựã cho

- Bạn ựã gặp bài toán này hay bài toán tương tự lần nào chưa?

- Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một ựịnh lắ nào có thể sử dụng ở ựây ựược không?

- Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩn tương tự

- đây là một bài toán liên quan mà bạn ựã có lần giải rồi Có thể sử dụng nó không? Có thể

sử dụng kết quả của nó không? Có thể sử dụng phương pháp của nó không? Có cần phải ựưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng ựược không?

- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không?

- Nếu bạn vẫn chưa giải ựược bài toán ựã cho thì hãy thử giải một bài toán liên quan mà dễ hơn ựược không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp ựặc biệt? Một bài toán tương tự? Một phần của bài toán? Hãy giữ lại một số ựiều kiện, bỏ qua các ựiều kiện khác Khi ựó ẩn sẽ ựược xác ựịnh ựến một chừng mực nào ựó, nó biến ựổi như thế nào?

Có thể nghĩ ra những dữ kiện khác giúp bạn xác ựịnh ựược ẩn không? Có thể thay ựổi ẩn hoặc các dữ kiện (hoặc cả hai) sao cho ẩn mới và các giữ kiện mới gần nhau hơn không?

- Bạn ựã sử dụng hết mọi dữ kiện chưa? đã sử dụng hết các quan hệ chưa? đã ựể ý ựến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

1.1.3 Thực hiện chương trình giải

Khác với việc xây dựng chương trình giải, kết quả của việc thực hiện chương trình giải thể hiện ở việc trình bày lời giải ựầy ựủ của bài toán để lời giải ựảm bảo chắnh xác, ựúng ựắn cần sử dụng những lập luận ựúng, có căn cứ mấu chốt ở ựây là phải nắm vững và vận dụng các kiến thức về lôgic Toán

Lời giải cần ựảm bảo gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, dễ ựọc ựể bản thân và người khác dễ theo dõi, kiểm chứng Do ựó trình tự của nhiều chi tiết, nhiều công ựoạn khi tìm tòi xây dựng chương trình giải có thể ựược thay ựổi lại cho phù hợp Tuy nhiên cũng cần lưu ý rằng, chắnh ựiều này gây khó khăn và làm hạn chế người học vì họ chỉ ựược tiếp cận với lời giải mà không rõ khi tiến hành giải phải trải qua các bước các công ựoạn cụ thể đây là lắ do mà trong quá trình dạy học, chúng ta không chỉ dừng lại ở việc tìm kiếm, trình bày lời giải hay ựọc hiểu một lời giải sẵn có mà thường coi trọng việc khai thác lời giải ựể cố gắng bóc tách xem ựằng sau mỗi lời giải

còn ẩn chứa những gì?

1.1.4 Kiểm tra kết quả và biện luận

Trong khi trình bày lời giải, rất có thể chúng ta có thiếu sót, nhầm lẫn, tồn tại Việc kiểm tra kết quả trước hết giúp ta khắc phục và tránh ựược những tồn tại ựó, bên cạnh ựó nó còn rèn cho chúng ta tắnh cẩn thận, chắc chắn khi giải quyết một công việc Mỗi một vấn ựề luôn nằm trong mối quan hệ mật thiết với một loạt các vấn ựề khác, việc nhìn nhận lại toàn bộ cách giải giúp ta tắch lũy thêm kinh nghiệm, phát hiện cách giải khác, tìm ra bài toán mới, thấy ựược vị trắ và phát hiện mối quan hệ của bài toán vừa giải với các bài toán khác,Ầ đó là lắ do mà sau khi giải xong một bài toán, người ta thường khai thác bài toán hay ựôi khi gọi là biện luận

Có nhiều hướng ựể tiến hành khai thác bài toán, chẳng hạn:

- Hướng 1: Phát biểu bài toán tương tự

- Hướng 2: Khái quát hóa ựể phát biểu bài toán tổng quát

- Hướng 3: đặc biệt hóa ựể phát biểu bài toán trong một số trường hợp cụ thể hơn bài

toán ban ựầu (chú ý rằng nếu bài toán ban ựầu ựúng thì bài toán ựặc biệt luôn ựúng)

- Hướng 4: Thay ựổi giả thiết ựể xây dựng bài toán mới

- Hướng 5: Từ ý nghĩa bài toán ựã giải dẫn ựến phương pháp giải một bài toán khác

Vắ dụ 1.1.1: Cho bài toán: Ộ Chứng minh rằng tắch hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2Ợ

Ta có thể phát biểu một vài bài toán tương tự:

(i) ỘChứng minh rằng tắch ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3Ợ

(ii) ỘChứng minh rằng tắch bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4Ợ

Từ bài toán này ta có thể xây dựng các bài toán tổng quát và bài toán ựặc biệt:

(i) Bài toán tổng quát: ỘChứng minh rằng tắch n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho nỢ (ii) Bài toán ựặc biệt: ỘChứng minh rằng tắch hai số tự nhiên chẵn liên tiếp luôn chia hết cho

8Ợ

Vắ dụ 1.1.2 Xuất phát từ bài toán: Ộ Tắnh biểu thức A=(x+y)2−(x−y)2Ợ với ựáp số A=4 ,xy

chúng ta có thể khai thác ựể có các bài toán:

(i) ỘChứng minh nếu tổng x y + không ựổi thì tắch xy lớn nhất khi x= yỢ

(ii) ỘChứng minh nếu ,x y > và xy không ựổi thì tắch x0 + nhỏ nhất khi x y = yỢ

(iii) Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

(iv) Tìm hai số khi biết hiệu và tích của chúng

1.2 Các phương pháp suy luận thường gặp trong giải toán

1.2.1 Phân tích và tổng hợp

Phân tích là dùng trí óc ñể tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt của cái toàn thể hoặc chia cái toàn thể ra thành từng phần

T ổng hợp là dùng trí óc ñể kết hợp lại các thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái

toàn thể hoặc hợp lại từng phần của cái toàn thể

Trong hoạt ñộng giải toán, trước hết chúng ta phải nhìn nhận và quan sát một cách tổng thể

ñể xem bài toán ñó thuộc loại gì, cần huy ñộng những kiến thức nào, có thể sử dụng các phương pháp nào Bước tiếp theo, chúng ta hãy tiến hành phân tích phân tích bài toán ñã cho thành các bài toán nhỏ Trên cơ sở tìm ra lời giải của các bài toán bộ phận, thông qua sự tổng hợp chúng ta

sẽ ñược lời giải của bài toán ban ñầu Cần chú ý rằng thao tác phân tích thường ñược sử dụng khi tìm lời giải cho bài toán, còn khi trình bày lời giải ñể ñảm bảo tính ngắn gọn, người ta hay dùng thao tác tổng hợp mặc dù biết có vẻ áp ñặt, thiếu tính tự nhiên

Ví dụ 1.2.1 Tìm công thức giải phương trình bậc hai tổng quát ax2+bx+ =c 0 (a≠0). Sau khi

chia vế trái cho a ta ñược: x2 b x c 0

Phương trình tương ñương với

Quy n ạp là phương pháp suy luận mà kết luận chung cho mọi trường hợp dựa vào các khẳng

ñịnh trên một số trường hợp riêng

Có hai loại quy nạp: quy nạp hoàn toàn và quy nạp không hoàn toàn

(i) Quy nạp không hoàn toàn: là quy nạp trong ñó kết luận chung cho mọi trường hợp chỉ

dựa vào các khẳng ñịnh trên một số trường hợp riêng, cụ thể mà không phải dựa vào tất

cả các trường hợp Do ñó chúng ta chưa thể biết chính xác giá trị chân lí của kết luận (chưa biết ñược tính ñúng, sai)

(ii) Quy nạp hoàn toàn: là quy nạp trong ñó kết luận chung cho mọi trường hợp ñược chứng

minh là ñúng hoặc dựa vào việc thử nghiệm tất cả các trường hợp (chỉ có thể áp dụng cho tập hữu hạn) Do ñó chúng ta hoàn toàn biết kết luận luôn ñúng

Trong toán học người ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học ñể chứng minh cho kết luận của quy nạp hoàn toàn Giả sử cần chứng minh khẳng ñịnh ( )A n là ñúng ñối với mọi số

tự nhiên n≥ p p, là số tự nhiên cho trước Ta tiến hành theo hai bước sau:

(i) Bước cơ sở: kiểm tra ( )A p ñúng

(ii) Bước quy nạp: giả sử ( )A n là ñúng ñối với số tự nhiên n≥ p Ta chứng minh (A n+1) là ñúng

Ví dụ 1.2.2 Từ quan sát thấy 12+1, 22+1,32+1, 42+ không chia hết cho 3, ta rút ra kết luận 1

+ (số Fermat) là các số nguyên tố với mọi số nguyên dương n Số nguyên tố dạng

này ñược gọi là số nguyên tố Fermat ðây là phép quy nạp không hoàn toàn, kết luận này sai vì Ơle ñã chỉ ra 225+ có ước nguyên tố là 641 (nhờ máy tính ñiện tử, người ta ñã biết ñược rất 1nhiều số Fermat không là nguyên tố) [2]

Ví dụ 1.2.4 Từ quan sát thấy 11 3 3 5,13 3 5 5,15 3 5 7,17 3 7 7= + + = + + = + + = + + , ta rút ra kết luận mỗi số lẻ lớn hơn 9 là tổng của ba số nguyên tố ðây là phép quy nạp không hoàn toàn, kết luận này ñến nay vẫn chưa biết ñúng sai (bài toán Gônbách từ năm 1742)

Trong hoạt ñộng giải toán, sử dụng suy luận tương tự ñể liên hệ bài toán cần giải với bài toán ñã giải có thể giúp ta nhanh chóng tìm ra lời giải Trong việc lập luận trình bày lời giải, ñể tránh việc lặp ñi lặp lại dài dòng không cần thiết, khi gặp trình tự lôgic tương tự và không có gì mới lạ thì ta viết gọn là “ tương tự như trên ta có…”, hoặc “chứng minh tương tự ta ñược…”

*) Lưu ý: ðể nâng cao ñộ tin cậy của kết luận khi sử dụng phương pháp tương tự, chúng ta cần

chú ý các ñiểm dưới ñây:

(i) Cố gắng xác lập càng nhiều càng tốt các dấu hiệu chung cho các ñối tượng ñược so sánh (ii) Cần chọn sao cho các dấu hiệu chung là dấu hiệu ñiển hình của các ñối tượng ñược so sánh, nghĩa là có liên hệ mật thiết với các thuộc tính khác của các ñối tượng ñược so sánh

(iii) Cần chọn sao cho các dấu hiệu chung có nhiều ñiểm tương ñồng với dấu hiệu kết luận (iv) Cần chọn sao cho các dấu hiệu chung là dấu hiệu ñặc trưng, riêng biệt của các ñối tượng ñược so sánh

tìm tòi lời giải thuận tiện hơn Người ta cũng gọi tổng quát hóa là khái quát hóa

Ví dụ 1.2.6 Sau khi biết cách giải phương trình bậc hai ax2+bx+ =c 0 (a≠0), ta có thể tổng quát hóa bằng cách xét các phương trình tam thức dạng

2n n 0 ( 0, *)

ax +bx + =c a≠ n∈ ℕ

*) Chú ý: Ngoài các phương pháp suy luận chủ yếu ở trên, trong giải toán chúng ta thường sử

dụng kết hợp rất nhiều phương pháp khác như: phương pháp suy diễn, phương pháp phản chứng, phương pháp trừu tượng hóa, phương pháp cụ thể hóa (xem [1]),… và một loạt các quy tắc suy luận ñược trình bày trong lôgic toán

C) TÀI LIỆU HỌC TẬP:

[1] Hoàng Kỳ, Hoàng Thanh Hà (2009), ðại số sơ cấp và Thực hành giải Toán, Nhà xuất bản

ðại học Sư phạm

D) CÂU HỎI , BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN

Thực hành giải toán Chương 1

Chủ ñiểm 1: Cách giải một bài toán

Gi ải và khai thác các bài toán sau:

Bài toán 1: Cho abc là một số nguyên tố Chứng minh phương trình ax2+bx+ = không có c 0nghiệm hữu tỉ

Bài toán 2: Cho ,x y là các số thỏa mãn (x+y)3=x3+y3 Chứng minh rằng

5 5 5

(x+y) =x +y

Bài toán 3: Cho N =1.2.3 2.3.4 3.4.5+ + +⋯+n n( +1)(n+2) Chứng minh rằng

4N+ là một số chính phương 1

Bài toán 4: Cho ,p q là các số nguyên tố khác nhau, q>2, q≠ Chứng minh rằng tồn tại số 5

nguyên k sao cho

k

pp… ⋮p q



Chủ ñiểm 2: Các phương pháp suy luận và năng lực tư duy

Hãy tìm trong ch ương trình toán THCS những bài toán thể hiện ñược các phương pháp suy luận

CHƯƠNG 2 Các tập hợp số

Số tiết: 08 (Lý thuyết: 06 tiết; bài tập, thảo luận: 02 tiết)

A) MỤC TIÊU

Chương này trang bị cho người học quá trình xây dựng, mở rộng các tập số, bao gồm: tập số

tự nhiên ,ℕ tập số nguyên ℤ tập số hữu tỉ , ℚ tập số thực , ℝ Người học có ñiều kiện ôn tập và củng cố lại các phép toán, quan hệ thứ tự trên các tập số, mối quan hệ giữa các tập số ñể từ ñó vận dụng giải các bài tập theo một số chủ ñiểm trong phần thực hành giải toán Qua nội dung của chương, người học người học bước ñầu thấy ñược khái niệm con số là khái niệm khá trừu tượng

và ñể xây dựng tập số phải trải qua nhiều cấp ñộ, sử dụng nhiều công cụ toán học

B) NỘI DUNG

2.1 Tập hợp số tự nhiên

2.1.1 Nhắc lại khái niệm số tự nhiên

Trước hết chúng ta thừa nhận: mỗi tập hợp ñều có một bản số, bản số của tập A ñược kí hiệu là A hay Card A Hai tập A B là tương ñương (nghĩa là có song ánh từ tập này ñến tập ,kia) thì có cùng bản số: A = B

Bản số của một tập hữu hạn ñược gọi là một số tự nhiên Kí hiệu tập tất cả các số tự nhiên là

tự trên ℕ là toàn phần Hơn thế nữa, người ta còn chứng minh ñược tập số tự nhiên ℕ là tập sắp

th ứ tự tốt (mọi tập con khác rỗng luôn có phần tử nhỏ nhất)

2.1.3 Các phép toán

a) Phép cộng: Cho hai số tự nhiên , a b Giả sử ,A B là hai tập hợp hữu hạn thỏa mãn

a= A b= B A∩B= Φ. Ta gọi A B∪ là tổng của hai số tự nhiên , a b Kí hiệu a+ b

b) Phép nhân: ho hai số tự nhiên , a b Giả sử ,A B là hai tập hợp hữu hạn thỏa mãn

a= A b= B Ta gọi A B× là tích của hai số tự nhiên , a b Kí hiệu ab

c) Phép trừ: ho hai số tự nhiên , a b Nếu có số tự nhiên c sao cho a c b + = thì ta nói c là hiệu của b và a Kí hiệu b− =a c

ðịnh lí 2.1.1 (i) Phép cộng và phép nhân có tính chất giao hoán, nghĩa là a+ = +b b a ab, =ba

v ới mọi , a b∈ ℕ

(ii) Phép cộng và phép nhân có tính chất kết hợp, nghĩa là

thương của a và b Kí hiệu a b: =c

ðịnh lí 2.1.2 Cho hai số tự nhiên , ,a b b≠0. Khi ñó luôn tồn tại duy nhất một cặp số tự nhiên

a =aa  và ñọc là a lũy thừa n Số ⋯a a ñược gọi là cơ

số, n gọi là số mũ của lũy thừa Nếu a≠0,ta quy ước a0= 1

ðịnh lí 2.1.3 Với mọi , , , a b m n ∈ ℕ ta có các khẳng ñịnh sau: ,

2.2.1 Nhắc lại cách xây dựng vành số nguyên

ðịnh lí 2.2.1. Tồn tại một miền nguyên Z và một ñơn ánh : f ℕ→Z sao cho

(i) f vừa là một ñơn cấu nửa nhóm cộng, vừa là một ñơn cấu nửa nhóm nhân

(ii) Các phần tử của Z có dạng f a( ) – f b ( ).

(iii) Cặp ( , )ℤ f xác ñịnh như trên là duy nhất sai khác một ñẳng cấu, nghĩa là nếu cặp

(P g, ) v ới P là một vành và g:ℕ→P là m ột ñơn ánh, sao cho g vừa là một ñơn cấu nửa

nhóm c ộng, vừa là ñơn cấu nửa nhóm nhân, và mọi phần tử của P ñều có dạng g a( ) – g b( ),

thì t ồn tại một ñẳng cẩu ϕ:Z→P sao cho ϕf =g

ðịnh nghĩa 2.2.2. Vành Z xác ñịnh như trên ñược gọi là vành các số nguyên

ðịnh lí 2.2.3. Vành các số nguyên Z là vành cực tiểu, theo quan hệ bao hàm, chứa tập các số tự

nhiên ℕ như một nửa nhóm cộng và nửa nhóm nhân ðảo lại, mọi vành cực tiểu chứa tập các số

t ự nhiên ℕ như một nửa nhóm cộng và nửa nhóm nhân ñều trùng với Z (sai khác một ñẳng cấu

vành)

Tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu về tính sắp thứ tự trên vành số nguyên Trước hết xin nhắc lại một số khái niệm và kết quả về vành sắp thứ tự

a) Vành sắp thứ tự

ðịnh nghĩa 2.2.4 Vành giao hoán A có ñơn vị 1 ≠ 0 ñược gọi là một vành sắp thứ tự nếu A ñược

trang bị một quan hệ thứ tự toàn phần ≥ thỏa mãn ñược hai ñiều kiện sau:

(i) x ≥ y kéo theo x + z ≥ y + z với mọi , , x y z∈A

(ii) Với mọi , x y∈A, ta có x ≥ 0 và y ≥ 0 kéo theo xy ≥ 0

Vành A sắp thứ tự ñược gọi là một vành sắp thứ tự Archimede nếu với mọi , x y∈A và x > 0

ñều tồn tại một số tự nhiên n ñể nx > y Một bộ phận M của vành sắp thứ tự A ñược gọi là bị

ch ặn trên (chặn dưới) nếu tồn tại một phần tử a∈Asao cho a ≥ x (x ≥ a) với mọi x∈M Một

bộ phận của vành sắp thứ tự ñược gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới Với A là một vành sắp thứ tự, thì do x + (–x) = 0 nên với mỗi x ta có hoặc x ≥ 0 hoặc –x ≥ 0 Lại do 1 = 1.1 = (–1).( –1) và x2 = x.x = (–x)( –x) nên 1 > 0 và x2 ≥ 0 Bởi 1 > 0 nên n.1 ≥ 1 > 0 với mọi số tự nhiên n > 0 Vậy vành sắp thứ tự là một vành có ñặc số 0 Với mỗi x ≠ 0, ta luôn có hoặc x > 0 hoặc x < 0 Các phần tử x > 0 ñược gọi là các phân tử dương, các phần tử y < 0 ñược gọi là các phần tử âm Kí hiệu A+ và A− là tập các phần tử dương và âm tương ứng của A Từ các lập luận trên ta lập tức rút ra A+∩A− = Φ và A=A+∪A−∪{0}

Ngoài ra, bởi x(–y) –= xy, nên nếu xy > 0 và x > 0 thì y > 0 Vậy ta có hệ quả sau:

Trong vành sắp thứ tự A, người ta ñưa ra khái niệm trị tuyệt ñối của một phần tử như sau:

ðịnh nghĩa 2.2.5 Trị tuyệt ñối của một phần tử a A∈ , ký hiệu |a|, ñược xác ñịnh bởi

khi 0 khi 0

Dễ dàng chứng minh các tính chất sau ñây của trị tuyệt ñối

Mệnh ñề 2.2.6 Cho , , , a b c d là các phẩn tử của một trường sắp thứ tự với c ≠ 0, d ≥ 0 Khi

ñó ta có:

Mệnh ñề 2.2.7 Quan hệ ≥ xác ñịnh như trên là một quan hệ thứ tự toàn phần trong Z

ðịnh lý 2.2.8. Vành các số nguyên Z với quan hệ thứ tự ñã ñược xác ñịnh, là một vành sắp thứ

t ự Archimede

Mệnh ñề 2.2.9 Nếu x > y thì x ≥ y + 1

ðịnh lý 2.2.10. Mọi bộ phận của vành các số nguyên Z bị chặn trên, ñều có phần tử lớn nhất

M ọi bộ phận của vành các số nguyên Z bị chặn dưới, ñều có phần tử nhỏ nhất

2.2.2 Lý thuyết chia hết trên vành số nguyên

a) Quan hệ chia hết

ðịnh nghĩa 2.2.11 Số nguyên a ñược gọi là chia hết cho một số nguyên b, hay b chia hết cho a

nếu tồn tại một số nguyên c sao cho a = bc Khi a chia hết cho b ta viết a b⋮ hoặc | b a và b ñược gọi là ước của a, còn a ñược gọi là bội của b

Nhận xét 2.2.12 Số nguyên a chia hết cho 0 khi và chỉ khi 0 a = Do ñó bội của số 0 chỉ là 0 Tuy nhiên tập các ước của 0 lại là toàn bộ Z

b x

=

∑ với mọi x i∈ Z .(v) Nếu a | b và b | a thì a b = hoặc a= − b

(vi) Quan hệ chia hết trong Z có tính phản xạ, bắc cầu, nhưng không có tính ñối xứng (vii) Quan hệ chia hết trong Z có tính phản ñối xứng

b) Phép chia với dư

ðịnh lí 2.2.13 Với mỗi cặp số nguyên a và b ≠ 0, luôn luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên

q, r v ới 0 r ≤ < |b| ñể a .= qb + r

2.2.3 Ước chung lớn nhất - Bội chung nhỏ nhất

a) Ước chung lớn nhất

ðịnh nghĩa 2.2.14 Cho các số nguyêna1, , , … a d n

(i) d ñược gọi là một ước chung của các số a1, ,… a n nếu | , 1, , d a i i = … n

(ii) d ñược gọi là ước chung lớn nhất của a1, ,… a n nếu d chia hết cho mọi ước chung của chúng

(ii) Nếu (a1, ,… a n)=1 thì a1, ,… a n ñược gọi là nguyên tố cùng nhau

(iii) Các số a1, ,… a n ñược gọi là nguyên tố sánh ñôi, hay ñôi một nguyên tố cùng nhau nếu

(viii) ka1, ,… ka n)= k (a1,, ,… a n) với mọi k∈ℤ

(ix) Nếu a=bc+ d thì (a b, ) (= b d, ) với mọi a b c d, , , ∈ℤ

Thuật toán Euclid: Giả sử a và b là hai số nguyên dương với a ≥ b và ñặt r0 , .= a r1 = b

Bằng cách áp dụng liên tiếp thuật toán chia, ta ñược:

(a b, )=( , ) ( , )r0 r1 = r r1 2 =⋯=(r n−2,r n−1) (= r n−1, ) ( ,0)r n = r n =r n.

Do ñó ước chung lớn nhất của a và b là số dư khác 0 cuối cùng trong dãy phép chia

ðịnh lí 2.2.17 Cho các số nguyên a1, ,… a n và d =(a1, ,… a n) Khi ñó:

(i) Tồn tại x1, ,… x n ∈ ℤ ñể

1

n

j j j

ðịnh lí 2.2.19 (Bổ ñề Euclid) Cho các số nguyên a, b, c Khi ñó nếu (a b, )= và a chia hết 1

cho bc thì a chia h ết cho c

a … a nếu s là bội chung của các số a i và s chia hết mọi bội chung khác của a1, ,… a n Kí hiệu

BC(a1, ,… a n) là tập tất cả các bội chung, BCNN(a1, ,… a n) là tập các bội chung nhỏ nhất, [a1, ,… a n] là bội chung nhỏ nhất không âm của a1, ,… a n

(ii) Nếu a1, , … a n là các s ố nguyên tố sánh ñôi thì: [a1, ,… a n]=a1⋯a n.

Hệ quả 2.2.25 Cho a là bội chung của n số nguyên từng ñôi mội nguyên tố cùng nhau a1, , … a n Khi ñó a là bội của tích a1⋯a n

2.2.4 Số nguyên tố

ðịnh nghĩa 2.2.26 Một số nguyên p ñược gọi là một số nguyên tố nếu p > 1 và p không có một

ước số nguyên dương nào khác 1 và chính nó Một số nguyên m ñược gọi là một hợp số nếu |m|

> 1 và |m| có ít nhất một ước số nguyên dương khác 1 và |m| Số tự nhiên n ñược gọi là một số

chính ph ương, nếu tồn tại một số nguyên d ñể n=d 2

ðịnh lí 2.2.27 Cho số nguyên tố p và các số nguyên tuỳ ý m, a, b Khi ñó:

(i) m ⋮ hoặc p ( , ) 1.m p =

(ii) Nếu m > 1 thì luôn tồn tại một ước nhỏ nhất, lớn hơn 1 của m và ước này là số nguyên tố (iii) Nếu p | ab thì p | a hoặc p | b

ðịnh lí 2.2.28 (Euclid) Tập hợp tất cả các số nguyên tố là một tập hợp vô hạn

ðịnh lí 2.2.29 (ðịnh lí cơ bản của số học) Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 ñều phân tích ñược thành

m ột tích hữu hạn thừa số nguyên tố và phân tích này là duy nhất nếu không kể ñến thứ tự các

trong ñó p p1, 2, ,… p k là các số nguyên tố phân biệt và α α1, 2, ,…αk∈ℕ*

ðịnh lí 2.2.30 Giả sử p p1, 2, ,… p k là các s ố nguyên tố phân biệt và

ðịnh nghĩa 2.2.31 Cho các số nguyên , , a b c Khi ñó phương trình ax by+ =c với các biến số

nguyên x, y ñược gọi là phương trình vô ñịnh hay phương trình ðiôphăng

ðịnh lí 2.2.32 Cho các số nguyên , ,a b c Khi ñó phương trình ax by+ =c có nghi ệm nguyên

khi và ch ỉ khi d =(a b, ) chia h ết c

Cách giải phương trình ðiôphăng ax by+ =c:

Giả sử cho phương trình Diophante ax by+ =c với a, b không ñồng thời bằng 0 Khi ñó lời giải

của phương trình này thường ñược thực hiện qua các bước sau:

Bước 1: Tìm (a, b) = d cùng cặp (x’, ’y )∈ Z ñể ’ ’ 2 ax + by = d Kiểm tra nếu c không chia hết cho d thì phương trình vô nghiệm, và chuyển sang Bước 2

Bước 2: Giả sử c = ds Khi ñó ( , ) ( ’, ’)x0 y0 = sx sy là một nghiệm riêng của ax .+ by = c

Bước 3: Giả sử ’ a = da và ’ b = db Ta rút ra ñược: a x’( −x0) =b y’( 0−y)

Do (a’, ’ 1 b ) = và a x’ – ( x0) chia hết cho ’b nên theo bổ ñề Euclid thì x – x0 chia hết cho ’b

hay x – x0 = ’ b với t ∈ Z Do ñó y – – ’ y0 = a t Ta ñược 0

0

''

Hệ quả 2.2.33 Giả sử d , = (a b) Khi ñó nếu phương trình ax + by = c có m ột nghiệm

riêng (x o , y 0 ) thì nó có nghiệm tổng quát là 0

Như vậy, mấu chốt của lời giải là tìm nghiệm riêng, mà thực chất nằm ở bước 1 Sau ñây ta

sẽ chỉ ra một thuật toán nhằm tìm nghiệm riêng của phương trình này Xét phương trình ax + by

= c với (a, b) = d và a, b khác 0, d là ước của c Rồi bằng cách biến ñổi ax = (–a)( –x) hay by = (–b)( –y) (nếu cần), ta có thể luôn coi ax + by = c với a, b dương Bây giờ ta tìm hiểu thuật toán tìm d cùng cặp (x’, y’) ∈ Z2ñể ax’ + by’ = d

Trở lại thuật toán tìm (a, b) thì trong trường hợp này r n = d với r0 = a và r1 = b;

và ta cần tìm cả cặp (x’, y’) ∈ Z2 ñể ax’ + by’ = r n Nhận xét rằng, nếu ta thiết kế ñược một dãy

các bộ ba (x k , y k, r k ), sao cho luôn có ax k + by k = r n = d Do ñó bộ ba ( x n , y k, r n) cho ta lời giải bài toán Mong muốn này ñưa ta ñến thiết kế sau: Chọn (x y r0, ,0 0) (= 1,0,a) (, , ,x y r1 1 1) (= 0,1, ,b)

cùng dạng truy hồi: (x y r k, ,k k) (= x k−2– x k−1q n−1,y k−2–y k−1q k−1 ,r k−2– r q k−1 k−1) ðể dễ kiểm tra ñược bằng quy nạp rằng ax k+ by k =r kvới mọi k=0,1, , … n Do ñó (x y d’, ’, ) (= x y r n, ,n n).

2.3 Số hữu tỉ

2.3.1 Nhắc lại cách xây dựng trường số hữu tỉ

ðịnh lí 2.3.1 Tồn tại trường ℚ và một ñơn cấu vành :f Z→ ℚ th ỏa mãn hai ñiều kiện sau: (i) Với mỗi x ∈ℚ , tồn tại cặp số nguyên ( , ), a b b≠0 ñể x= f a f b( ) ( )−1

(ii) Cặp ( , )ℚ f ñược xác ñịnh duy nhất sai khác một ñẳng cấu, có nghĩa là nếu cặp (P, g) v ới

P là một trường và : g Z→P là một ñơn cấu sao cho mỗi x ∈ P , tồn tại cặp số nguyên a, b ≠ 0

ñể x=g a g b( ) ( )−1, thì có m ột ñẳng cấu trường ϕ:ℚ→P sao cho fϕ =g

Trường ℚ như trong khẳng ñịnh của ðịnh lí 2.3.1 ñược gọi là trường số hữu tỉ Có thể có

nhiều trường số hữu tỉ, tuy nhiên chúng ñều ñẳng cấu với nhau Do ñó nếu xét về mặt cấu trúc, chúng ta chỉ có duy nhất một trường số hữu tỉ Nhờ phép ñồng nhất ta luôn có ℤ là một vành con của ℚ Người ta thường viết tập số hữu tỉ ℚ dưới dạng: a| ,a b ,b 0

ðịnh lí 2.3.2 Trường các số hữu tỉ ℚ là một trường cực tiểu chứa vành các số nguyên Z như

là m ột vành con ðảo lại mọi trường cực tiểu chứa các số nguyên Z như là vành con ñều trùng

v ới trường các số hữu tỉ ℚ (sai khác một ñẳng cấu)

ðịnh lí sau cho ta thêm một biểu diễn của các số hữu tỉ

ðịnh lí 2.3.3 (i) Mỗi số hữu tỉ luôn ñược viết dưới dạng một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn

2.3.3 Quan hệ thứ tự

ðịnh lí 2.3.4. Mọi trường sắp thứ tự K ñều chứa một trường con ñẳng cấu với trường ℚ Vì

v ậy người ta coi ℚ là một trường con của K

ðịnh nghĩa 2.3.5 Giả sử xy ,x a,y c, , , ,a b c d , ,b d 0

(i) x ≥ 0 nếu ab≥0

(ii) x ≥ y nếu và chỉ nếu x−y 0.≥

ðịnh lí 2.3.6 Quan hệ thứ tự ≥ trong ℚ vừa xác ñịnh ở trên, là một quan hệ thứ tự toàn phần

trong ℚ Trường ℚ cùng với quan hệ thứ tự toàn phần nói trên là một trường sắp thứ tự

ðịnh lí 2.3.7. Quan hệ thứ tự thu hẹp trên ℚ của một trường sắp thứ tự K trùng với quan hệ

th ứ tự có sẵn trong ℚ

ðịnh lí 2.3.8 Trường các số hữu tỉ ℚ là một trường sắp thứ tự Archimede Nghĩa là, với mọi

x y∈ℚ x> luôn t ồn tại một số tự nhiên n sao cho nx > y

ðịnh lí 2.3.9 Trường các số hữu tỉ ℚ trù mật, nghĩa là với mọi cặp số hữu tỷ x > y, luôn tồn tại

s ố hữu tỷ z sao cho x > z > y

2.3.4 So sánh hai phân số

Cho hai phân số , a c

b d Không giảm tổng quát, ta có thể coi ,b d >0 Nếu hai phân số ñã cho

có mẫu số như nhau thì dễ thấy rằng phân số nào có tử số lớn hơn thì nó lớn hơn Nếu hai phân

số ñã cho có mẫu số khác nhau, bằng cách quy ñồng mẫu số, chúng ta ñưa hai phân số này về các phân số cùng mẫu số Khi ñó, phân số nào trong hai phân số mới cùng mẫu có tử số lớn hơn thì phân số ñã cho bằng nó lớn hơn

2.4 Số thực

2.4.1 Nhắc lại cách xây dựng trường số thực

a) Dãy cơ bản

ðịnh nghĩa 2.4.1 Cho A là một vành con của một trường sắp thứ tự Dãy ( )x n n∈ℕ các phần tử

của A ñược gọi là một dãy hội tụ trong A nếu lim n

→+∞ = ∈ , tức là với mọi ε∈ℚ,ε >0, tồn

tại số tự nhiên mε sao cho với mọi số tự nhiên n > mε ta có |x n−x|< ε

ðịnh nghĩa 2.4.2 Cho A là một vành con của một trường sắp thứ tự Dãy ( )x n n∈ℕ các phần tử

của a ñược gọi là một dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu với mọi ε∈ℚ,ε >0, ñều tồn tại nε∈ ℕ sao cho |x n−x m|< với mọi ,ε m n>nε

ðịnh lí 2.4.3 Các dãy cơ bản trong ℚ có các tính chất sau:

(i) Mỗi dãy hội tụ trong ℚ ñều là một dãy cơ bản trong ℚ

(ii) Mọi dãy cơ bản trong ℚ ñều bị chặn

(iii) Nếu ( ) x n n∈ℕ, ( )y n n∈ℕ là nh ững dãy cơ bản trong ℚ thì ( x n+y n n)∈ℕ,(x n−y n n)∈ℕ và

(x y n n n)∈ℕc ũng là những dãy cơ bản trong ℚ

ðịnh lí 2.4.4 Cho dãy cơ bản ( )x n n∈ℕ trong ℚ không có giới hạn 0, nghĩa là hoặc ( ) x n n∈ℕkhông h ội tụ hoặc ( )x n n∈ℕ h ội tụ về một số khác 0 Khi ñó:

(i) Tồn tại a∈ℚ,a>0 và k ∈ ℕ sao cho |x n | > a v ới mọi n > k

(ii) Tồn tại k ∈ ℕ sao cho x n > 0 v ới mọi n > k hoặc x n < 0 v ới mọi n > k

ðịnh nghĩa 2.4.5 Một vành con A của một trường sắp thứ tự ñược gọi là một vành ñầy ñủ nếu

mọi dãy cơ bản của A ñều hội tụ trong A

ðịnh lí 2.4.6 Trường sắp thứ tự ℚ là một trường sắp thứ tự không ñầy ñủ

b) Xây dựng trường các số thực ℝ

Xét tập X gồm tất cả các dãy cơ bản trong ℚ Bây giờ, ta xác ñịnh trong X hai phép toán

cộng và nhân như sau: với mọi ( )x n n∈ℕ, ( )y n n∈ℕ∈X viết tắt ( )x n và ( )y , ta ñặt n

( ) ( ) (x n + y n = x n+y n), ( )( ) (x n y n = x y n n)Theo tính chất của dãy cơ bản, ta thấy ngay phép cộng và phép nhân như trên 2 phép toán 2 ngôi

trong X

ðịnh lí 2.4.7 Tập X cùng với hai phép toán xác ñịnh trên trên có các tính chất sau ñây

(i) X là một vành giao hoán, có ñơn vị

(iii) Vành thương X/I là một trường

ðịnh nghĩa 2.4.8 Trường X/I xác ñịnh như trên ñược gọi là trường các số thực ñược ký hiệu là

ℝ Mỗi phần tử thuộc ℝ ñược gọi là một số thực

Người ta thường biểu diễn mỗi số thực dưới dạng các số thập phân vô hạn:

0, 1 2 n

a a a …a … và −a a a0, 1 2…a n…trong ñó a0>0; , , , ,a a1 2 … a n …∈{0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 } Mỗi số thập phân a a a0, 1 2…a n… thực chất ứng với dãy cơ bản 1 2

n n n

Chú ý 2.4.9 (i) Mỗi số thập phân hữu hạn là một số hữu tỉ, ta cũng nói chúng là các số thập

phân vô hạn tuần hoàn với chu kì (0)

(ii) Mỗi số nguyên một mặt ñược biểu diễn như một số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kì (0), mặt khác cũng ñược biểu diễn như một số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kì (9)

+) Nếu ,α β ≥0, thì ta có α β+ =sup{αn+βn|n∈ℕ},αβ =sup{α βn n|n∈ℕ}

→+∞ − = hoặc tồn tại a∈ℚ,a>0 và k ∈ ℕ , sao cho x n−y n > với mọi n > k a

ðịnh lí 2.4.11 Quan hệ ≥ vừa xác ñịnh trên là một quan hệ thứ tự toàn phần trong ℝ và ℝ

cùng v ới quan hệ xác ñịnh ở trên là một trường sắp thứ tự

ðịnh lí 2.4.12 Tồn tại một ñơn cấu trường :f ℚ→ℝ sao cho với mọi a b, ∈ ℚ và a > b ta có

f(a) ≥ f(b) Do ñó ta có thể coi ℚ là một trường con của ℝ

ðịnh lí 2.4.13 Trường các số thực ℝ là một trường sắp thứ tự Achimede

ðịnh lí 2.4.14 Trường các số thực ℝ là trù mật hữu tỉ, có nghĩa là với mọi ,x y ∈ ℝ và x > y,

t ồn tại a ∈ ℚ sao cho x > a > y

ðịnh lí 2.4.15 Mỗi số thực ñều giới hạn một dãy cơ bản các số hữu tỉ

Hệ quả 2.4.16 Mọi dãy cơ bản trong ℚ ñều hội tụ trong ℝ

ðịnh lí 2.4.17 Trường các số thực ℝ là trường sắp thức tự ñầy ñủ, tức là mọi dãy cơ bản trong

ℝ ñều hội tụ trong ℝ

ðịnh lí 2.4.18 Trong trường các số thực ,ℝ mọi tập khác rỗng bị chặn trên ñều có cận trên ñúng và mọi tập khác rỗng bị chặn dưới ñều có cận dưới ñúng

C) TÀI LIỆU HỌC TẬP:

[1] Hoàng Kỳ, Hoàng Thanh Hà (2009), ðại số sơ cấp và Thực hành giải Toán, Nhà xuất bản

ðại học Sư phạm

D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN

Thực hành giải toán Chương 2

Gi ải và khai thác các bài toán trong các chủ ñiểm sau:

Chủ ñiểm 1: Số nguyên tố

Bài toán 1: Tìm số nguyên tố a biết 2a+ là lập phương của một số nguyên tố 1

Bài toán 2: Tìm các số nguyên tố , ,a b c biết abc=3(a+ +b c).

Bài toán 3: Cho p là một số nguyên tố Chứng minh rằng với mọi số nguyên m> ta có 1,

A= m+ m+ ⋯ pm− pm chia hết cho p m mà không chia hết cho p m+1

Bài toán 4: Cho p> là số nguyên tố sao cho 43 p+ cũng là số nguyên tố Chứng minh rằng 1

4p− là hợp số 1

Bài toán 5: Tìm số nguyên tố p sao cho p+2,p+ cũng là số nguyên tố 4

Chủ ñiểm 2: Tính chia hết

Bài toán 1: Chứng minh rằng nếu số nguyên không chia hết cho 3 thì n2− ⋮ 1 3

Bài toán 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên ,m ta luôn có m3−13m⋮ 6

Bài toán 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên ,m ta luôn có m5− ⋮ m 5

Bài toán 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố , ,p q ta luôn có

Chủ ñiểm 3: Bội và ước của các số

Bài toán 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho số ñó chia hết cho tích các chữ số của nó

Bài toán 2: Một căn phòng hình chữ nhật dài 6,25m, rộng 4,75m Hãy tìm kích thước viên gạch

lát nền hình vuông (ñược tính theo cm) sao cho số viên gạch ít nhất và lát vừa kín nền mà không

phải xẻ viên nào

Bài toán 3: Tại bến sông có 3 chiếc thuyền Chiếc thứ nhất cứ 5 ngày lại cập bến 1 lần, chiếc thứ

hai cứ 7 ngày lại cập bến 1 lần, chiếc thứ ba cứ 12 ngày lại cập bến 1 lần Hôm nay, cả 3 chiếc cùng khởi hành từ bến sông Hỏi ít nhất sau bao nhiêu ngày nữa chúng lại cùng cập bến sông này

Bài toán 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3x−2xy+2y− =8 0

Bài tập

Gi ải và khai thác các bài toán sau:

1) Tồn tại hay không số tự nhiên có tích các chữ số của nó bằng 165

2) Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng nếu cộng thêm 1 vào tất cả các chữ số ñó, ta cũng

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ,n ta luôn có f(1) nf 1

n

 

 b) Tìm (2005).f

5) Chứng minh rằng trong 7 số nguyên bất kì luôn tồn tại 4 số có tổng chia hết cho 4

6) Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:

++ là phân số tối giản

9) Giải phương trình nghiệm nguyên: (x+2)4−x4 = y3

10) Chứng minh rằng phương trình 1 1 1 1

1991

x+ y+z = chỉ có hữu hạn nghiệm nguyên dương

11) Chứng minh rằng ,ℤ ℚ là những tập có lực lượng ñếm ñược

12) Biết ℝ là tập có lực lượng vô hạn không ñếm ñược, chứng minh rằng tập các dãy

( )u n n∈ℕ,u n =0,1 là một tập vô hạn không ñếm ñược và có cùng bản số với tập các số thực

CHƯƠNG 3

ða thức- Phân thức hữu tỉ

Số tiết: 08 (Lý thuyết: 05 tiết; bài tập, thảo luận: 03 tiết)

A) MỤC TIÊU

Chương này củng cố và hệ thống lại cho người học các kiến thức về ña thức và phân thức hữu tỉ trên các trường số, bao gồm: các phép toán và các phép biến ñổi ña thức; lý thuyết chia hết trên trên vành ña thức một biến; ña thức bất khả quy, phân tích ña thức thành nhân tử; ña thức nhiều biến, ña thức ñối xứng; phân thức tối giản; rút gọn phân thức và biểu diễn phân thức dưới dạng tổng của những phân thức ñơn Từ ñó, người học biết vận dụng các kiến thức ñể rèn kỹ năng giải và khai thác các dạng bài tập thông qua một hệ thống ví dụ và bài tập ñược giới thiệu Qua nội dung của chương, người học một mặt củng cố lại các kiến thức chung về ña thức, phân thức trên các vành giao hoán, các trường tổng quát, mặt khác thấy ñược những tính chất khác

biệt và ñặc trưng của ña thức thể hiện trên các trường số quen thuộc

B) NỘI DUNG

3.1 ða thức

3.1.1 Các ñịnh nghĩa của ña thức

Giả sử A là một vành giao hoán, có ñơn vị 1 Gọi P là tập hợp các dãy ( , , , , )a a0 1 a n

trong ñó các a i ∈ với mọi i ∈ ℕ và bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn Như vậy P là một bộ A

phận của lũy thừa ðề các Aℕ Khi ñó P là một vành giao hoán có ñơn vị với phép cộng và phép nhân như sau:

ðịnh nghĩa 3.1.1 Vành P ñược gọi là vành ña thức một biến x trên A, hay vắn tắt vành ña thức

c ủa ẩn x trên A, kí hiệu P: A= [ ]x Mỗi phần tử của P ñược gọi là một ña thức của biến x trên A

Chú ý 3.1.2 (i) Cho ña thức 2

Ta gọi n là bậc của ña thức, kí hiệu : deg ( ) n = f x Hệ tử a ñược gọi là hệ tử cao nhất của f(x) n

Ta quy ước ña thức 0 không có bậc

ðịnh lý 3.1.4 Giả sử f(x), g(x) là hai ña thức khác 0 Khi ñó:

(i) Nếu deg ( ) deg ( ) f x ≠ g x , thì ta có f x( )+g x( ) 0≠ và

deg[ ( )f x +g x( )] max(deg ( ), deg ( )).= f x g x

(ii) Nếu deg ( ) deg ( ) f x = g x và f x( )+g x( ) 0≠ , thì ta có

deg[ ( )f x +g x( )] max(deg ( ),deg ( )).≤ f x g x

(iii) Nếu ( ) ( ) 0 f x g x ≠ , thì ta có deg[ ( ) ( )] deg ( ) deg ( ) f x g x = f x + g x

Hệ quả 3.1.5 Nếu A là miền nguyên thì A[x] là miền nguyên

3.1.2 Các phép toán và các phép biến ñổi trên các ña thức - Phương pháp hệ số bất ñịnh a) Các phép toán và các phép biến ñổi trên các ña thức

Phép cộng trên vành ña thức có các tính chất quen thuộc như kết hợp, giao hoán, tồn tại phần tử không là ña thức 0 và mỗi ña thức ñều có ña thức ñối là ña thức có các hệ tử ñối nhau với các hệ tử cùng bậc của ña thức ñã cho

Phép nhân trên vành ña thức có tính chất kết hợp, giao hoán và phân phối ñối với phép cộng Ngoài ra trong vành ña thức còn tồn tại ña thức ñơn vị là 1

Trong các bài toán liên quan ñến ña thức, ngoài những biểu diễn quen thuộc người ta còn ñưa ra nhiều biểu diễn ñối với một ña thức Các ñịnh lí dưới ñây sẽ minh họa cho một số biểu diễn ña thức

ðịnh lí 3.1.6 (Lagrange) Cho f x là ña thức bậc ( ) n trên tr ường A và x x0, , ,1… x n∈A là n + 1

ðịnh lí 3.1.8 (Newton) Cho f x là ña thức bậc ( ) n > trên trường A và 0 α1, ,… αn∈A. Khi ñó

(i) ða thức không là ña thức trong ñó tất cả các hệ tử ñều bằng 0

(ii) Hai ña thức bằng nhau khi và chỉ khi các hệ tử tương ứng của chúng ñều bằng nhau

Bên cạnh ñó người ta còn sử dụng sự ñồng nhất giữa hàm ña thức và ña thức trên các miền nguyên vô hạn ñể xác ñịnh hệ số của các ña thức khi biết chúng nhận các giá trị bằng nhau trên miền nguyên ñang xét

Ví dụ 3.1.10 ðể biểu diễn ña thức ( ) (f x = x−1)(x−2)(x+3) 5+ x+ dưới dạng thu gọn, ngoài 4việc thực hiện phép nhân các ña thức rồi khai triển và rút gọn, ta có thể làm như sau Trước hết nhận xét rằng ña thức có bậc bằng 3 với hệ số cao nhất là 1, hệ số tự do là 10, nên dạng thu gọn của nó là f x( )=x3+ax2+bx+10. Lần lượt thay x=1,x= với chú ý (1)2 f =9, (2) 14f = ta ñược hệ phương trình: 11 9

Ví dụ 3.1.11 Biểu diễn ña thức g x( ) (= x2−5x+4)(x−1) dưới dạng lũy thừa của (x+1)

H ướng dẫn: Ta có thể viết g x( ) (= x2−5x+4)(x−1) (= x+1)3+b x( +1)2+c x( +1)+d Lần lượt lấy x= −1,x=1,x= thay vào hai vế của hệ thức trên ta ñược hệ phương trình: 4

3.1.3 Lý thuyết chia hết trên vành ña thức một biến ða thức bất khả quy

a) Phép chia ña thức

ðịnh nghĩa 3.1.12 ða thức f x( )∈A x[ ]ñược gọi là chia hết cho ña thức g x( )∈A x[ ] nếu tồn tại ña thức ( )q x ∈A x[ ] sao cho ( )f x =g x q x( ) ( ).

ðịnh lí 3.1.13 Giả sử A là một trường f x( ) 0, ( ) 0≠ g x ≠ Khi ñó luôn tồn tại duy nhất cặp ña

th ức q x r x( ), ( )∈A x[ ] sao cho f x( )=g x q x( ) ( )+r x( ), trong ñó deg ( ) deg ( )r x < g x n ếu

( ) 0

r x ≠

Ví dụ 3.1.14 Cho A = ℚ là một trường hữu tỉ Ta tìm thương và số dư trong phép chia của

ðịnh nghĩa 3.1.15 ða thức ( )r x nói trên ñược gọi là dư của phép chia f x( ) cho g x ( )

b) Nghiệm của một ña thức

có ñược bằng cách thay x bởi c ñược gọi là giá trị của f x( )tại c Nếu f c( ) 0= thì ta nói c là

nghi ệm của f x ( ) Việc tìm nghiệm của f x( ) trong A ñược gọi là giải phương trình ñại số

b ậc n: n 1 0 0

n

a x + +a x+a = trong A

ðịnh lý 3.1.17 (Bezout) Dư của phép chia f x( ) cho (x c− ) là f c ( )

Hệ quả 3.1.18 ða thức f x nh( ) ận c làm nghiệm khi và chỉ khi f x chia h( ) ết cho (x c− )

Thực hiện phép chia ña thức ( ) 1 0 n ( 0)

trong ñó b0=a b0, i =a i+cb i−1,∀ =i 1, 2,…,n−1 Bảng này ñược gọi là lược ñồ Hoocne

Ví dụ 3.1.19 ðể tìm nghiệm của ña thức f x( ) x= 3−12x 16,+ trước hết ta thấy f( )2 =0 Do

ñó 2 x = là một nghiệm của ña thức Sử dụng lược ñồ Hocne ta ñược: 1 0 12 16

2 1 2 8 0

−

Như vậy f x( ) (= x 2 x− ) ( 2 +2x 8 − ) Dễ thấy f x( )=(x 2− )(x 2 ( 4).− ) x + v ậy f x có ( )hai nghiệmx=2, x= − 4

c) Nghiệm bội

ðịnh nghĩa 3.1.20 Cho A là một trường, c∈A f x, ( )∈A x m[ ], ∈N*, c ñược gọi là nghiệm bội

c ấp m nếu ( ) f x chia hết cho ( )m

x c− và ( )f x không chia hết cho ( )m 1

x − c +

(i) Nếu 1 m = thì c ñược gọi là nghiệm ñơn của ( ) f x

(ii) Nếu 2m = thì c ñược gọi là nghiệm kép của ( ) f x

ðịnh lí 3.1.21 Cho A là một trường Phần tử c∈A là nghi ệm bội cấp m của f x( ) n ếu và chỉ

n ếu f c( )= f c'( )= f''( )c =⋯= f(m−1)( ) 0c = ≠ f( )m( ).c

ðịnh lý 3.1.22 Cho hai ña thức f x g x( ), ( )∈A x[ ],deg ( )f x =m≥ =n deg ( ),g x ở ñây A là một

tr ường Khi ñó f x chia hết cho ( ) g x nếu và chỉ nếu tất cả ( ) m nghiệm của g x ñều là nghiệm ( )

c ủa f x (mỗi nghiệm ñược kể một số lần bằng số bội) ( )

f x =a x +a − x − +⋯+a x+a có ñầy ñủ n nghiệm là x x1, , , 2 … x n Khi

ñó ta có công thức Viéte sau ñây:

n n

n

n n

n

a

a a

e) Nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỉ

Trong thực hành việc tìm nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỉ thường ñóng vai trò quan trọng

và có ý nghĩa thực tiễn Nhờ việc quy ñồng, ta luôn ñưa ñược bài toán tìm nghiệm của một ña thức với hệ số hữu tỉ về bài toán tìm nghiệm của một ña thức với hệ số nguyên

ðịnh lí 3.1.23 Cho ña thức ( ) n 1 n1 1 0 [ ] ( *, 0 0)

f x =a x +a −x − +⋯+a x+a ∈ℤ x n∈ℕ a a ≠ N ếu

phân s ố tối giản p

q là nghi ệm của f x( ) thì p là ước của a q là 0, ước của a n

Hệ quả 3.1.24 (i) Mọi nghiệm nguyên nếu có của ña thức với hệ số nguyên phải là ước của số

f) Ứớc chung lớn nhất

Cho hai ña thức ( ), ( )f x g x ∈A x[ ] ða thức ( )d x ∈A x[ ] ñược gọi là một ước chung của

( ), ( )

f x g x nếu f x d x( ) ( )⋮ và ( ) ( ).g x d x⋮ Nếu ước chung ( )d x chia hết cho mọi ước chung khác

thì nó ñược gọi là ước chung lớn nhất của ( ) f x và g x Ta ñã biết rằng vành ña thức trên một ( )trường là một vành chính, do ñó theo lý thuyết chia hết trong vành chính ta có kết quả sau

ðịnh lí 3.1.26 Ước chung lớn nhất của hai ña thức một biến trên một trường luôn tồn tại ðặc

bi ệt, ước chung lớn nhất của hai ña thức một biến trên trường số thực và trường số phức luôn

t ồn tại

Vì vành ña thức một biến trên một trường cũng là một vành Euclid nên ñể tìm ước chung lớn nhất của hai ña thức, người ta thường áp dụng thuật toán Euclid

g) ða thức bất khả quy

Cho A là m ột trường và ña thức p x( )∈A x[ ] có bậc dương Ta nói ( )p x là bất khả quy trên

A nếu nó không thể phân tích thành tích của hai ña thức bậc dương Nếu trái lại, ta nói ( )p x là

kh ả quy hoặc phân tích ñược trên A

Mệnh ñề 3.1.27 (i) Mọi ña thức bậc nhất ñều bất khả quy

(ii) ða thức bất khả quy ( ) p x ch ỉ có các ước là ña thức bậc 0 và dạng ap x a( ), ∈A\ 0 { }

(iii) ða thức ( ) p x ∈A x[ ] là b ất khả quy khi và chỉ khi với mọi ña thức f x( )∈A x[ ]thì ho ặc

( ) ( ),

f x ⋮p x ho ặc ( ( ), ( )) 1.f x p x =

(iv) Nếu ( ) ( ) ( ) f x g x h x⋮ mà ( ( ), ( )) 1f x h x = thì ( ) ( ) g x h x⋮

(v) Nếu ( ) p x bất khả quy và f x g x( ) ( ) ( )⋮p x thì f x( ) ( )⋮p x ho ặc g x( ) ( ).⋮p x

ðịnh lí 3.1.28 Mỗi ña thức trên một trường ñều phân tích ñược thành một tích các ña thức bất

kh ả quy, hơn nữa sự phân tích là duy nhất nếu không kể ñến thứ tự các nhân tử và các phần tử

kh ả nghịch

ðịnh lí sau cho ta thấy rõ lớp các ña thức bất khả quy trên các trường số thực và phức

ðịnh lí 3.1.29 (i) Lớp các ña thức bất khả quy trên trường số phức là các ña thức bậc nhất

(ii) Lớp các ña thức bất khả quy trên trường số thực là các ña thức bậc nhất và các ña thức bậc

hai v ới biệt thức âm

Do tính quan trọng của ña thức bất khả quy, ñặc biệt là lớp các ña thức bất khả quy trên trường số hữu tỉ, người ta ñã cố gắng ñưa ra nhiều dấu hiệu ñể một ña thức là bất khả quy Một trong những dấu hiệu hay ñược áp dụng là Tiêu chuẩn Aidenstainơ dưới ñây

p không là ước của số hạng tự do a thì 0 f x là bất khả quy ( )

3.1.4 Những phương pháp phân tích ña thức thành nhân tử

a) Phương pháp dùng nghiệm phức

b) Phương pháp chia liên tiếp

d) Phương pháp nhóm các số hạng

e) Phương pháp ñặt ẩn phụ

f) Phương pháp dùng hằng ñẳng thức

g) Phương pháp ñề xuất bình phương ñủ

3.1.5 ða thức nhiều biến - ða thức ñối xứng

a) ða thức nhiều biến

ðịnh nghĩa 3.1.31 Giả sử A là một vành giao hoán, có ñơn vị

Khin= , ta ñịnh nghĩa vành ña thức 1 A x[ ] 1 của biến x trên1 A ðặt A1=A x[ ], 1 A1 là vành giao hoán, có ñơn vị Vì thế lại ñịnh nghĩa ñược vành A2 =A x1[ ]2 của biến x trên A2 1 ta kí hiệu

2 1, 2

A = A x x và gọi là vành ña thức của hai ẩn x1, x2 trên A, cứ tiếp tục như vậy, giả sử ta ñã

ñịnh nghĩa ñược vành ña thức A x x[ 1, , , 2 … x n−1] của n 1 − ẩn x1, , , x2 … x n−1 trên A ðặt

A =A− x kí hiệu là A x[ 1, , ,x2 … x n], gọi là vành ña thức của n biến x1, , , x2 … x n trên A

Một phần tử của An ñược gọi là một ña thức của n biến x1, , , x2 … x n lấy hệ tử trong vành A, kí hiệu là f x( , , , )1 x2 … x n

ðịnh lí 3.1.32 ða thức f x x( , , ) 01 2 x n = nếu và chỉ nếu tất cả các hệ tử của nó ñều bằng 0

Hệ quả 3.1.33 Cho hai ña thức của A x[ 1, , , x2 … x n]:

Khi ñó f x( , , )1 … x n =g x( , , )1 … x n n ếu và chỉ nếu c i=d i (i= …1, , ).m

ðịnh nghĩa 3.1.34 Giả sử f x x( , , , )1 2 … x n ∈A x[ 1,…,x n] là một ña thức khác ña thức 0

a X =a x x ⋯x ñược gọi là một ñơn

th ức bậc i1+i2+⋯+i n của A x[ 1, , ,x2 … x n]

Chú ý 3.1.35 (i) Nếu trong ña thức f x( ,1 …, )x n ẩn xi không có mặt thì bậc của f x( ,1 …, )x n ñối với nó là 0

(ii) Nếu các hạng tử của ña thức có cùng bậc k thì f x( ,1 …, )x n gọi là một ña thức ñẳng cấp bậc k (một dạng bậc k) ðặc biệt một dạng bậc nhất gọi là dạng tuyến tính, một dạng bậc hai gọi là

d ạng toàn phương, một dạng bậc ba gọi là dạng lập phương

(iii) Bậc của ña thức 0 quy ước là −∞

ðịnh lí 3.1.36 Mọi ña thức f ∈A x x[ , , ,1 2 x n]có th ể biểu diễn một cách duy nhất thành tổng

c ủa các ñơn thức không ñồng dạng

ðịnh lí 3.1.37 Giả sử f x( ,1 …, )x n là m ột ña thức với hạng tử cao nhất là 1 2

Hệ quả 3.1.39 Nếu A là một miền nguyên thì A x x[ 1, , ,2 … x n] c ũng là một miền nguyên

ðịnh lí 3.1.40 Nếu A là một miền nguyên và f x( ,1 …, ), ( , , )x n g x1… x n ∈A x[ 1,…,x n]thì

deg fg =deg f +deg g

b) ða thức ñối xứng

ðịnh nghĩa 3.1.41 Giả sử A là vành giao hoán có ñơn vị, f x( ,1 …, )x n ∈A x[ 1,…,x n]

Ta bảo f x( ,1 …, )x n là một ña thức ñối xứng của n biến nếu với mọi phép thế

n n

ta luôn có f x( ,1 …, )x n = f x( τ(1),…,xτ( )n ), ở ñây f x( τ(1),…,xτ( )n )ñược suy ra từ f x( ,1 …, )x n

bằng cách thay thế x1 bởi xτ(1), x2 bởi xτ(2), …, xn bởi xτ( )n

ðịnh lí 3.1.42 Bộ phận M các ña thức ñối xứng của vành A x[ 1,…,x n] là m ột vành con của