dạy học số phức ở thpt theo hướng rèn luyện kĩ năng ứng dụng trong giải một số dạng bài toán

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ------ ĐỒNG VĂN HƯƠNG DẠY HỌC SỐ PHỨC Ở THPT THEO HƯỚNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -

ĐỒNG VĂN HƯƠNG

DẠY HỌC SỐ PHỨC Ở THPT THEO HƯỚNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ỨNG DỤNG

TRONG GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -

ĐỒNG VĂN HƯƠNG

DẠY HỌC SỐ PHỨC Ở THPT THEO HƯỚNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ỨNG DỤNG

TRONG GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN

Chuyên ngành: Lý luân và phương pháp dạy học toán

Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Anh Tuấn

THÁI NGUYÊN - 2010

LỜI NÓI ĐẦU

Để hoàn thành được luận văn này, ngoài sự nỗ lực cố gắng của bản thân, chúng tôi còn nhận được sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo hướng dẫn

TS Nguyễn Anh Tuấn giảng viên khoa toán Trường ĐHSP Hà Nội, các

thầy, cô giáo Khoa toán, Khoa SĐH Trường ĐHSP Thái Nguyên, các Thày,

Cô giáo phản biện, Ban giám hiệu, trường THPT Tứ Sơn, Bắc Giang và tổ toán của các trường THPT trên địa bàn huyện Lục nam – Bắc giang

Chúng tôi xin bày tỏ tấm lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn cùng các thầy, cô giáo trong khoa toán, Khoa SĐH Trường ĐHSP Thái Nguyên, các thầy cô giáo phản biện và các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp CH toán khoá 16 - Chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học toán

Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010

Tác giả

NHỮNG TỪ VIẾT TẮT ĐƢỢC DÙNG TRONG LUẬN VĂN

1.1.4 Cách thức rèn luyện KN cho HS 6 1.2 Tình hình dạy học số phức và vấn đề rèn luyện KN ứng dụng số phức

vào giải toán ở THPT

7

1.2.1.3 Một số khái niệm trong trường số phức 8

1.2.2 Tình hình thực tiễn về rèn luyện KN ứng dụng số phức vào giải toán

ở trường THPT

14

CHƯƠNG 2 – RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở THPT

16

2.2 Một số KN ứng dụng số phức để giải một số bài toán THPT 16

2.2.1 Ứng dụng số phức để giải một số bài toán lượng giác 17

2.2.2 Ứng dụng số phức giải một số bài toán đại số tổ hợp 24

2.2.4 Ứng dụng số phức giải một số hệ phương trình và chứng minh bất

2.3.2 Các bài toán đại số tổ hợp 52

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Mục tiêu và yêu cầu của giáo dục phổ thông nói chung, giáo dục môn Toán nói riêng đòi hỏi tăng cường tính ứng dụng và thực tiễn Số phức được đưa vào chương trình toán THPT nhằm hoàn thiện cho HS về hệ thống số sau khi học xong bậc này, ngoài ra số phức còn có rất nhiều ứng dụng đặc biệt là ứng dụng để giải một số dạng toán ở THPT

Một trong những mục tiêu dạy học của bộ môn toán là rèn luyện kĩ năng, tính ứng dụng các nội dung để giải toán

Nội dung số phức mới được đưa vào chương trình SGK ở bậc học THPT, việc khai thác ứng dụng của chúng cho HS là cần thiết

Với mỗi nội dung được đưa vào chương trình toán phổ thông, chúng đều có những ứng dụng nhất định Số phức cũng không nằm ngoài những nội dung đó, do vậy đòi hỏi người làm toán cần nghiên cứu tính ứng dụng của nó

Căn cứ vào khả năng và hứng thú của bản thân về số phức và tầm quan trọng của việc rèn luyện kĩ năng ứng dụng số phức vào giải toán THPT, chúng tôi đã chọn đề tài “Dạy học số phức ở THPT theo hướng rèn luyện kĩ năng ứng dụng trong giải một số dạng bài toán”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu:

Xác định một số kỹ năng ứng dụng số phức trong giải toán THPT Xây dựng hệ thống bài tập và đề xuất một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng ứng dụng số phức trong giải toán cho HS THPT

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu tổng quan về kĩ năng, và vấn đề rèn luyện kĩ năng

- Điều tra, tìm hiểu thực tiễn: Thực trạng DH số phức và ứng dụng số

- Xác định một số kỹ năng ứng dụng số phức để giải một số bài toán THPT

- Xây dựng hệ thống bài tập và đề xuất một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kỹ năng ứng dụng số phức trong giải toán THPT

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng phương án đề ra

3 Giả thuyết khoa học

Xác định được một số kĩ năng ứng dụng số phức để giải toán và xây dựng hệ thống bài toán cùng với những hướng dẫn DH thì có thể rèn luyện kỹ năng ứng dụng số phức vào giải toán cho HS

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các tài liệu lý luận (triết học, giáo dục học, tâm lí học, từ

điển, lý luận dạy học bộ môn Toán) có liên quan tới đề tài của luận văn

- Nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tạp chí, các tài liệu trong nước và ngoài nước có liên quan đến nội dung kĩ năng, ứng dụng số phức vào giải

toán THPT

4.2 Phương pháp điều tra quan sát

- Điều tra tìm hiểu việc ứng dụng số phức vào giải một số dạng toán ở trường THPT trong Huyện Lục nam, Bắc giang

4.3 Phương pháp thử nghiệm sư phạm

- Thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của phương

án đề ra tại trường THPT Tứ Sơn, Lục nam, Bắc giang

5 Cấu trúc của luận văn: Luận văn gồm phần mở đầu và ba chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Rèn luyện kĩ năng ứng dụng số phức để giải một số bài toán

ở THPT

Chương 3: Thử nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 – CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Về kĩ năng và rèn luyện kĩ năng trong dạy học toán ở trường THPT

1.1.1 Khái niệm kĩ năng

Khi nghiên cứu các tài liệu bàn về kĩ năng (KN), ta thấy có hai quan niệm về lĩnh vực này, đó là:

Quan niệm 1:

Coi KN là mặt kĩ thuật của một thao tác, hành động hay một hoạt động nào đó Muốn thực hiện được một hành động, cá nhân phải hiểu được mục đích, phương thức và điều kiện để thực hiện nó Vì vậy nếu ta nắm được các tri thức về hành động, thực hiện nó trong thực tiễn theo các yêu cầu khác nhau tức ta đã có KN về hành động

Theo Xavier Roegier quan niệm: Kĩ năng là khả năng thực hiện một hoạt động

Theo V.A.Kruchexki thì: “KN là các phương thức thực hiện hoạt động, những cái mà con người đã nắm vững” Ông cho rằng: Chỉ cần nắm vững phương thức của hành động là con người có KN, không cần đến kết quả hoạt động của cá nhân [1, 78] Trong cuốn “Tâm lí học cá nhân” Côvaliôp.A.G

cũng xem: “KN là phương thức thực hiện hành động phù hợp với mục đích và

điều kiện của hành động” [3, 11]

Khi bàn về KN, Trần Trọng Thuỷ cũng cho rằng: “KN là mặt kĩ thuật của hành động Con người nắm được cách thức hành động - tức kĩ thuật của hành động là có KN” [24, 2]

Quan niệm 2: Coi KN không đơn thuần là mặt kĩ thuật của hành động

mà còn là một biểu hiện năng lực của con người KN theo quan niệm này vừa

có tính ổn định, lại vừa có tính mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo lại vừa có tính

động tác nào đó hay một hoạt động phức tạp hơn bằng cách lựa chọn và áp dụng những cách thức đúng đắn có tính đến những điều kiện nhất định [13, 3] K.K.Platơnôp, nhà tâm lí học Liên Xô khẳng định: “Cơ sở tâm lí của KN là sự thông hiểu mối liên hệ giữa mục đích hành động, các điều kiện và phương thức hành động” [22, 77] Nói đến kĩ năng, A.V Petrovski viết: Năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng

để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định, được gọi là kĩ năng (A.V Petrovski (1982), tâm lý học lứa tuổi và tâm lý học sư phạm, NXB Giáo dục, HN)

Trong từ điển Tâm lí học do Vũ Dũng chủ biên đã định nghĩa: “KN là năng lực vận dụng có kết quả tri thức về phương thức hành động đã được chủ thể lĩnh hội để thực hiện những nhiệm vụ tương ứng” [5, 132]

Có thể thấy, các nhà tâm lí học theo khuynh hướng thứ hai này khi bàn

về KN lại rất chú ý tới mặt kết quả của hành động

Xét về mặt bản chất hai quan niệm trên không phủ định lẫn nhau Sự khác biệt là ở chổ mở rộng hay thu hẹp thành phần cấu trúc của KN mà thôi

Có thể hiểu: KN là khả năng thực hiện có kết quả một hành động hay một hoạt động nào đó trong những điều kiện nhất định, bằng cách vận dụng

và lựa chọn những tri thức, kinh nghiệm đã có

Khi bàn về KN cần lưu ý một số điểm sau đây:

Điểm thứ nhất: KN trước hết là mặt kĩ thuật của một thao tác hay một hành động nhất định, không có KN chung chung, trừu tượng tách rời hành động cá nhân của con người Khi nói tới KN là nói tới một hành động cụ thể đạt tới mức đúng đắn và thuần thục nhất định

Điểm thứ hai: Thành phần của KN bao gồm tri thức, kinh nghiệm đã

có, quá trình thực hiện hành động, sự kiểm soát thường xuyên trực tiếp của ý thức và kết quả của hành động

Điểm thứ ba: Tiêu chuẩn để xác định sự hình thành và mức độ phát triển của KN là: tính chính xác, tính thành thạo, tính linh hoạt và sự phối hợp nhịp nhàng các động tác trong hành động Hành động chưa thể trở thành KN nếu hành động đó còn vụng về, còn tiêu tốn nhiều công sức và thời gian để triển khai

1.1.2 Kĩ năng giải toán

Trên cơ sở về khái niệm kĩ năng, ta có thể nêu nên khái niệm về kĩ năng giải toán như sau:

Đó là khả năng vận dụng các kiến thức, tri thức toán học đã biết cùng với kinh nghiệm đã có để tiến hành có hiệu quả tốt những hoạt động nhằm giải quyết bài toán, hoặc lớp bài toán cụ thể đã đề ra

Người có kĩ năng giải toán tốt là, khi đứng trước một bài toán có thể giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau với việc vận dụng bằng nhiều tri thức toán học khác nhau một cách ngắn ngọn, xúc tích

1.1.3 Phân biệt KN và kĩ xảo

Tuy có sự khác nhau đôi chút về định nghĩa, song hầu hết các nhà nghiên cứu đều thống nhất: “Kĩ xảo là loại hành động được tự động hoá nhờ luyện tập Nó có đặc điểm: Không có sự kiểm soát thường xuyên của ý thức, động tác mang tính khái quát, không có động tác thừa, kết quả cao mà ít tốn năng lượng thần kinh và bắp thịt”

Kĩ năng và kĩ xảo về bản chất đều là các thuộc tính kĩ thuật của hành động cá nhân Chúng đều được hình thành trên cơ sở các tri thức về hành động đã được lĩnh hội và triển khai trong thực tiễn Tuy nhiên giữa KN và kĩ

mức độ thuần thục, tự động hoá So với KN, kĩ xảo thuần thục hơn, tự động hoá hơn và được giải phóng khỏi sự kiểm soát của ý thức Nói chung, để có kết quả cao trong hành động mà cá nhân không bị “cộm” trong ý thức thì thao tác (với tư cách là phương tiện) không chỉ dừng lại ở mức độ KN, nó phải vươn tới trình độ kĩ xảo Với tư cách đó, kĩ xảo có tính hoàn thiện cao hơn

KN, được hình thành trên cơ sở KN có trước

Ví dụ: Để rèn kĩ năng giải phương trình bậc hai 2

Nếu   0thì kết luận phương trình có hai nghiệm thực: 1,2

4

b x

a

  

 Như vậy, để giải phương trình bậc hai, HS cần phải thực hiện theo các

HĐ như trên Nếu làm việc đó nhiều lần thì HS sẽ có KN giải phương trình bậc hai Bài toán về giải phương trình bậc hai là tương đối dễ và cơ bản ở trường THPT đối với HS nên hầu hết các em đều đạt đến mức kĩ xảo giải phương trình bậc 2 Đối với một số bài toán hay dạng toán khó hơn, HS để có

được KN giải cần phải nhanh nhạy hơn, linh động hơn và cần có tư duy toán học, không phải chỉ áp dụng một cách cứng nhắc các HĐ mà GV đưa ra là xong mà cần biến đổi khéo léo, huy động tất cả vốn kiến thức sẵn có để vận dụng giải quyết bài toán

1.2 Tình hình dạy học số phức và vấn đề rèn luyện KN ứng dụng số phức vào giải toán ở THPT

1.2.1 Sơ lược về số phức

1.2.1.1 Lịch sử

Nhà toán học Italia R Bombelli (1526-1573) đã đưa định nghĩa đầu tiên về số phức, lúc đó được gọi là số “ không thể có” hoặc “số ảo” trong công trình Đại số (Bologne, 1572) công bố ít lâu trước khi ông mất Ông đã định nghĩa các số đó (số phức) khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đã đưa ra căn bậc hai của  1

Nhà toán học Pháp D’Alembert vào năm 1746 đã xác định được dạng tổng quát “a bi ” của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một phương trình bậc n

Nhà toán học Thụy Sĩ L Euler (1707-1783) đã đưa ra ký hiệu “i” để chỉ căn bậc hai của  1, năm 1801 Gauss đã dùng lại ký hiệu này

Ta có thể lập một đơn ánh từ tập số thực  vào  bằng cách cho mỗi

số thực a ứng với cặp( ,0)a   Khi đó 0  (0,0);1  (1,0); 1    ( 1,0); Nhờ phép nhúng, ta đồng nhất tập các số thực  với tập con các số phức dạng ( ,0)a , khi đó tập các số thực  là tập con của tập số phức  và  được xem

là một mở rộng của  Ký hiệu i là cặp (0,1)   Ta

có 2

(0,1) * (0,1) ( 1, 0) 1

Số i được gọi là đơn vị ảo, tất cả các số phức dạng a i* được gọi là các

số ảo (thuần ảo)

1.2.1.3 Một số khái niệm trong trường số phức

Với mọi số phức z a bi khác 0, tồn tại duy nhất một số phức z' sao cho ' 1

z z   Khi đó z' được gọi là số phức nghịch đảo của số phức z:

- Nếu n là số nguyên dương thì: n .

 zz

 Nếu z a bi thì 2 2

.

z za b và 1

.

z z

z z

 

 z  z' z z'

   z z

 z z ' z z '

 



 

 



 



 

 

Mô đun của một số phức

a) Định nghĩa mođun của số phức

Cho số phức z a bi Ta gọi mođun của số phức z, ký hiệu z

là một số thực được xác định bởi công thức z  a2b2

Minh họa hình học

Giả sử số phức z a bi

được biểu diễn bởi điểm M a b( , ) trên mặt phẳng phức

Độ dài của véc tơ OM chính là mođun của số phức z

Vậy z  OM hay 2 2 abi  a b

Giả sử: 1 1 1 1 2 2 2 2 ( , ) ( , ) A B z a b i A a b z a b i B a b      

Như vậy nếu  là một acgumen của z thì k2 ; k  cũng là acgumen của z Do vậy arg(z)= k2 ; k 

Người ta thường coi acgumen là giá trị không âm nhỏ nhất của  b) Cách xác định acgumen của số phức z

r OM  z  a b

r b r

khi 0 2

arg( ) arg( ) arg( ')

' arg( n) arg( )

z z

Cho hai số phức z z, ' khác 0 được viết dưới dạng zr c( os isin ) ; ' '( os ' i sin ')

Khi r 1: ta có z cosisin; z cosisin

1

1 sin

n

n

n n

n

n n

 f(  ')  f( ) ( ') f 

 f '( ) if( ) ( f '( ) là đạo hàm của f( ) )

Từ các tính chất trên ta có thể đưa ra định nghĩa sau:

b) Định nghĩa:

Với mọi   , ta định nghĩa: e i cos isin

Như vậy với mọi số phức z bất kĩ khác 0 có môđun là r và acgumen là  có

thể viết được dưới dạng: zr e. i Dạng này được gọi là lũy thừa của số phức Nhận xét:

e

e e

Qua trao đổi với một số Thầy, Cô giáo dạy toán ở các trường THPT ở trên thì nguyên nhân ít ứng dụng số phức vào giải toán cho HS là do:

+ Số phức mới đưa vào chương trình SGK, phần lớn các bài tập trong sách cũng chỉ là nội bộ về số phức

+ Bản thân các Thầy, Cô cũng tự nhận thấy mình nắm kiến thức và kỹ năng về số phức và ứng dụng còn nhiều hạn chế do họ cũng chưa thực sự quan tâm đến nội dung mới mẻ này.;

+ Mặt khác tài liệu viết về ứng dụng số phức để giải toán còn ít

1.3 Kết luận chương 1

Trong chương 1 tôi đã trình bày khái niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán, một số nội dung cơ bản về số phức được đưa vào chương trình toán THPT.Trên cơ sở đó trong chương 2 chúng tôi xác định một số kĩ năng ứng dụng số phức giải một số dạng toán ở trường THPT và hệ thống các bài toán được vận dụng các kĩ năng ứng dụng số phức để giải

CHƯƠNG 2 – RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở THPT

2.1 Định hướng sư phạm

Căn cứ vào nội dung (lý thuyết và bài tập) số phức trong chương trình, SGK toán THPT hiện hành ta có thể khai thác các ứng dụng của chúng để giải các dạng toán khác

Trong nội bộ môn toán ở trường phổ thông, có nhiều lĩnh vực như: đại

số, lượng giác, giải tích, hình học, … liên quan đến số phức

Một trong những nhiệm vụ của giáo dục phổ thông hiện nay là tăng cường tính ứng dụng và thực tiễn

Trong các kì thi có rất nhiều bài toán có thể ứng dụng công cụ số phức

để giải một cách ngắn ngọn, xúc tích

Theo định hướng này, ở chương 2, chúng tôi tiến hành:

+ Xác định một số kĩ năng ứng dụng số phức để giải một số dạng toán trong trường phổ thông

+ Chọn lọc xây dựng hệ thống bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng trên

2.2 Một số KN ứng dụng số phức để giải một số bài toán THPT

Để sử dụng số phức trong giải toán, về cơ bản, HS thường tiến hành các hoạt động sau:

+ Chuyển đổi bài toán hoặc yêu cầu của bài toán từ dạng thông thường sang dạng bài toán với số phức

+ Sử dụng công cụ số phức để giải bài toán ở dạng đã chuyển đổi + Chuyển đổi kết quả bài toán đã giải được về dạng ban đầu

Trong khuôn khổ, phạm vi của một đề tài luận văn Thạc sỹ, chúng tôi

đề xuất một số kĩ năng cụ thể ứng dụng số phức vào giải bốn loại toán sau đây:

+ Giải toán lượng giác;

+ Giải toán Đại số tổ hợp;

+ Giải toán Hình học phẳng;

+ Giải hệ phương trình và chứng minh bất đẳng thức

2.2.1 Ứng dụng số phức để giải một số bài toán lượng giác

Chuyển bài toán hay yêu cầu của bài toán lượng giác sang bài toán có chứa ngôn ngữ số phức, sau đó sử dụng các kiến thức về số phức và lượng giác để giải bài toán Đối với mỗi bài toán ta có thể chuyển đổi sang ngôn ngữ

số phức theo những cách khác nhau, sau đây là một số kĩ năng chuyển đổi đối với một số biểu thức lượng giác sang biểu thức số phức:

( cos , cos , , ncos n )

f a k x a k x a k x (1) và f a( 1 sink x a1 , 2 sink x2 , ,a nsink x n ) (2), ta nhân biểu thức (2) với i rồi cộng với (1) sẽ được biểu thức có chứa số phức f z z( ,1 2, ,z n) trong đó z j a j(cosk x i j  sink x j )

Kỹ năng 2

Vận dụng số phức để tính toán, biến đổi các biểu thức đã chuyển đổi

Đây là bước quan trọng để ta tìm ra đáp số của bài toán, để thực hiện được kĩ năng này đòi hỏi HS phải vận dụng kiến thức tổng hợp

Ví dụ 1: Rút gọn các tổng sau:

a) 1 cos  x c os2x  cosnx

b) sinx sin 2  x  sinnx

* Gợi ý sư phạm:

Đây là dạng toán được cho bởi 2 hệ thức dạng

1 1 2 2

( cos , cos , , ncos n )

f a k x a k x a k x (1) và f a( 1sink x a1 , 2sink x2 , ,a nsink x n ) (2), như vậy vận dụng kĩ năng 1và kĩ năng 2 ta có lời giải bài toán:

Lời giải

Ta xét tổng:

(1 cos  x c os2x  cosnx) (sinx sin 2   x  sinnx i) 

2 1

1 (cos is ) ( os2 is 2 ) (cos i sin )

1 (cos i sin ) (cos i sin ) (cos i sin )

1 (cos i sin ) [1 cos( 1) ]-i sin( 1)

1 (cos i sin ) (1 cos ) i sin

1

[1 os( 1) sin( 1) ][

2 2 cos

n n

(1 cos ) i sin ] 1

[(1-cos( 1) )(1 cos ) sin( 1) sin ] 4sin

2 1

[(1-cos( 1) ) s inx (1 cos ) sin( 1) ] 4sin

Nếu bài toán chỉ yêu cầu rút gọn tổng a) (không cho tổngb)) thì ta vẫn

1 sin

n

n

n n

n

n n

Kỹ năng 5

Chuyển đổi nghiệm của bài toán phức sang nghiệm lượng giác

Đối với dạng toán giải phương trình vận dụng kĩ năng 4, ta được phương trình dạng g z z( , )  0 Nếu phương trình này có nghiệm n

z  a bi khi

đó ta chuyển nghiệm này sang nghiệm của phương trình lượng giác như sau:

Do z cosx i sinxz n cosnx i sinnx, như vậy cosnx i sinnx a bi

Điều này là hiển nhiên, vì z18   1 Vậy bài toán được chứng minh

Nhận xét: Đối với những HS yếu về biến đổi lượng giác thì cách biến đổi trên

là một giải pháp tốt giúp các em làm toán

Kỹ năng 6

Chuyển biểu thức lượng giác dạng f(sinx,cosx, tanx,cotx) sang bài toán chứa biểu thức số phức g e( i,e i)

Xuất phát từ công thức Ơle:e i cos  isin , ta có: ei cos  isin 

Khi đó, ta chuyển biểu thức lượng giác dạng

(sin ,cos , tan ,cot )

f x x x x sang bài toán chứa biểu thức số phức g e( i,e i)

Kỹ năng 7

Vận dụng các phép tính số phức, biến đổi đối với biểu thức g e( i,ei)

Đối với biểu thức trên, đòi hỏi HS cần có kĩ năng tính toán, các phép toán mũ cũng như các tính chất của chúng

Ví dụ 5: Chứng minh rằng:

sin sin(a b c c ) os(b c a   ) sin sin(b c a c ) os(c a b   ) sin sin(c a b c ) os(a b c   ) 0với a b c, ,  

Gợi ý sư phạm:

Ở bài toán này, biểu thức lượng giác đã cho chứa biểu thức dạng

sinkx,cosnx nên ta có thể vận dụng kĩ năng 6 và kĩ năng 7 hoặc kĩ năng 4, 5 để chuyển sang bài toán số phức và giải bài toán Sau đây là lời giải bài toán vận dụng kĩ năng 6 và kĩ năng 7

 ra một bên rồi hoán vị vòng quanh a b c, , ta được:

sin sin(a b c c ) os(b c a   ) sin sin(b c a c ) os(c a b   ) sin sin(c a b c ) os(a b c   ) 0 (Điều phải chứng minh)

* Gợi ý sư phạm: Cách biến đổi trên hay được dùng cho bài toán lượng giác biến đổi tích thành tổng

Ví dụ 6: Hạ bậc 5

os

c x (Sử dụng kĩ năng 6 và 7) Lời giải

2.2.2 Ứng dụng số phức giải một số bài toán đại số tổ hợp

Trong chương trình môn toán ở trường THPT các bài toán về đại số tổ hợp là tương đối khó đối với HS cũng như GV, việc giải các bài toán này thường được vận dụng các công thức, tính chất của đại số tổ hợp hoặc ứng

dụng nguyên hàm và tích phân Để giúp các em HS cũng như các thày, cô giáo ở trường phổ thông có thêm phương pháp giải một số bài toán về đại số

tổ hợp chúng tôi đề xuất một số kĩ năng giải nhờ công cụ số phức

19 0

- Qua bài toán giúp GV khai thác để tạo ra các bài toán mới cho HS,

chẳng hạn, nếu thay đổi số mũ 19 hoặc thay đổi công thức 19

Trong ví dụ này, việc nhận biết bài toán giải được nhờ công cụ số phức

là dựa vào vế phải của đẳng thức cần chứng minh, để chuyển đổi yêu cầu bài

1 nê k chia hê m

0 nê k khô chia hê m

m

j k

1 ( )

m

j j

f z m

1

1 nê k chia hê m

1 nê k khô chia hê m

kji m

m j

1

1

kji m

m j

Bài giải Gọi S X( ); X lần lượt là tổng tất cả các phần tử và số các phần tử của tập X Đặt AX 1, 2, , 2p: X  p,

2 0

p

k k k

p

k k k

Vậy số tập con X có p phần tử và tổng tất cả các phần tử của X chia hết cho

p của tập 1, 2, , 2 p là C2p p 2

p



2.2.3.Ứng dụng số phức giải một số bài toán hình học phẳng

Để giải được bài toán hình học phẳng bằng số phức, ta cần phải chuyển được bài toán hoặc yêu cầu của bài toán sang ngôn ngữ số phức Sau đây là một số kĩ năng biến đổi các đại lượng của hình học phẳng sang đại lượng số phức:

Kĩ năng 11

Kĩ năng chuyển đổi từ bài toán tọa độ và vectơ sang dạng số phức

Số phức z a bi đồng nhất với điểm M a b( , )của mặt phẳng với hệ tọa

độ trực chuẩn Oxy Vì vậy ta không phân biệt số phức z hay điểmz, điểm M

hay số phứcM Ta cũng nói điểm M có tọa độz, kí hiệu: M z( )

Mỗi số phức M a bi đồng nhất với véc tơ OM

có điểm đầu là gốc tọa độ O, điểm cuối là M Véctơ 0 

đồng nhất với gốc tọa độ O Như vậy trên mặt phẳng phức cho hai điểm A B, Khi đó ta có véctơ AB

Từ đẳng thức véc tơ ABOB OA  và việc đồng nhất A với OA

được xem là hiệu hai số phức B A, và do đó

B A AB là khoảng cách giữa hai điểm A và B

Gọi z1là tọa độ củaM1,z2là tọa độ của M2 Khi đó z2 z1 là tọa độ của vectơ M M1 2

Kĩ năng 12

Vận dụng các phép toán, phép biến đổi số phức

Sau khi chuyển bài toán hoặc yêu cầu của bài toán từ ngôn ngữ vectơ hay tọa độ sang ngôn ngữ số phức, ta có thể vận dụng các phép toán, các phép biến đổi vế số phức để giải quyết bài toán

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC, G là trọng tâm Chứng minh rằng: GA GB GC     0

Và nếu G là điểm sao cho GA GB GC     0 thì G là trọng tâm tam giác ABC Nhận xét:

Gọi M là trung điểm BC

G là trọng tâm ABC nên:

2 2( )

(Điều phải chứng minh)

Giả sử G là điểm sao cho GA GB GC     0 1( )

3

   

Gọi G' là trọng tâm ABC, theo chứng minh trên ta có: 1

3

G  A B C  Từ đó suy ra GG', nghĩa là G cũng là trọng tâm ABC

Như vậy điểm G là trọng tâm ABC 1( )

  

theo AB AC,

 

b) Chứng minh các tam giác ABC AEF, có cùng trọng tâm

c) Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm I sao cho DAk DB;

Đẳng thức này chứng tỏ hai tam giác AEF ABC, cùng trọng tâm

d) Từ giả thiết DAk DB; ICk IA ta tính được:

a) Xác định điểm I thỏa mãn điều kiện 2IA 3IB 2IC 0

b) Xác định trọng tâm G của tam giác ABC và điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

Đối với các bài toán hình học hình học tổng hợp, để ứng dụng số phức

để giải ta gắn cho chúng mặt phẳng phức, đối với một số bài toán thì việc chọn hệ trục này cũng cần khéo léo để lời giải được ngắn gọn