Phương pháp dưới đạo hàm cho bài toán cân bằng và ánh xạ giả co chặt

Phương pháp dưới đạo hàm cho bài toán cân bằng và ánh xạ giả co chặt 20 2.1.. Về mặt lý thuyết, như sự tồn tại nghiệm, nhiềukết quả quan trọng đã đạt được cho bài toán cân bằng tổng quát

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS PHẠM NGỌC ANH

Thái Nguyên - 2012

Mục lục

Mục lục i

Lời cảm ơn ii

Những kí hiệu và chữ viết tắt iii

Lời nói đầu 1

Chương 1 Một số Khái niệm Cơ bản 2 1.1 Tập lồi và các phép toán cơ bản 2

1.2 Hàm lồi 3

1.3 Bài toán cân bằng 8

1.4 Ánh xạ giả co chặt và các tính chất 12

Chương 2 Phương pháp dưới đạo hàm cho bài toán cân bằng và ánh xạ giả co chặt 20 2.1 Cách tiếp cận 20

2.2 Thuật toán 2.1 21

2.3 Định lý hội tụ mạnh 2.1 22

Chương 3 Ứng dụng của phương pháp dưới đạo hàm cho bài toán cân bằng 32 3.1 Thuật toán 3.1 32

3.2 Định lý hội tụ mạnh 3.1 33

3.3 Ví dụ minh họa và các kết quả tính toán 37

Kết luận 41

Tài liệu tham khảo 42

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầyPGS.TS Phạm Ngọc Anh (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông),thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốtthời gian nghiên cứu vừa qua

Xin chân thành cảm ơn các quý thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảngdạy lớp Cao học Toán K4C, các bạn học viên, và các bạn đồng nghiệp

đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình họctập và nghiên cứu tại trường

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và ngườithân luôn khuyến khích động viên tác giả trong suốt quá trình học caohọc và viết luận văn này

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếusót và hạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quýthầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012

Tác giả

Phạm Thị Linh

Những ký hiệu và chữ viết tắt

R : Tập hợp các số thực

R+ : Tập hợp các số thực không âm

Rn : Không gian số thực n - chiều

Rn+ : Không gian số thực không âm n - chiều

hx, yi : Tích vô hướng của x và y

xk * x : Dãy xk hội tụ yếu tới x

xk → x : Dãy xk hội tụ mạnh tới x

I : Ánh xạ đồng nhấtkxk : Chuẩn của véc tơ x[x, y] : Đoạn thẳng nối hai điểm x và y

Lời nói đầu

Bài toán cân bằng được mô tả dưới dạng một bất đẳng thức, gọi làbất đẳng thức Ky Fan, lần đầu được áp dụng để nghiên cứu các mô hìnhcân bằng kinh tế theo khái niệm cân bằng do J Nash, nhà toán học Mỹđoạt giải Nobel kinh tế trong những công trình nghiên cứu về cân bằngđưa ra vào năm 1994 Về mặt lý thuyết, như sự tồn tại nghiệm, nhiềukết quả quan trọng đã đạt được cho bài toán cân bằng tổng quát trêncác không gian trừu tượng Tuy nhiên, về mặt thuật toán và các ứngdụng, các kết quả còn hạn chế

Luận văn này trình bày một số thuật toán để giải bài toán tìm nghiệmchung của tập nghiệm của bài toán cân bằng và tập các điểm bất độngcủa một họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt Luận văn gồm mục lục, bachương, phần kết luận và tài liệu tham khảo

Chương 1 sẽ nhắc lại các kiến thức cơ bản nhất của tập lồi và hàmlồi, mà các kết quả này sẽ được sử dụng ở các chương sau Phần cuối củachương sẽ giới thiệu về bài toán cân bằng, một số ví dụ và cuối cùng sẽtrình bày về ánh xạ giả co chặt, phép chiếu trực giao với các tính chất.Chương 2 sẽ trình bày thuật toán để giải bài toán tìm nghiệm chungcủa tập nghiệm của bài toán cân bằng và tập các điểm bất động củamột họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt với định lý hội tụ mạnh

Chương 3 là phần ứng dụng Phần này trình bày về việc áp dụngthuật toán để giải một số bài toán cân bằng với các kết quả tính toán

cụ thể Đây cũng là những đóng góp mới được ứng dụng để giải bài toáncân bằng thông qua sự gắn kết giữa phương pháp dưới đạo hàm và các

kỹ thuật điểm bất động

Chương 1

Một số Khái niệm Cơ bản

Trong luận văn này, ta xét bài toán cân bằng và bài toán điểm bấtđộng của một họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt trên không gian Hilbertthực H Dưới đây, ta nhắc lại một số khái niệm và các tính chất cơ bảncủa giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân, và một số kiếnthức liên quan đến bài toán cân bằng, ánh xạ giả co chặt, phép chiếutrực giao cùng với các tính chất tương ứng Các kiến thức trong chươngnày được lấy chủ yếu từ các tài liệu [1],[3],[5],[6]

1.1 Tập lồi và các phép toán cơ bản

Định nghĩa 1.1 Cho C là tập con, khác rỗng của không gian Hilbertthực H Tập C được gọi là lồi (convex) nếu với mọi x, y ∈ C và λ ∈[0, 1] , ta có

λx + (1 − λ) y ∈ C

Đặc biệt, H và ∅ là các tập lồi

Ví dụ 1.1 Các nửa không gian là các tập lồi Các tam giác và hìnhtròn trong mặt phẳng là các tập lồi Hình cầu đơn vị trong không gianBanach là tập lồi

Định nghĩa 1.2 Một tập hợp là giao của một số hữu hạn các nửa khônggian đóng gọi là tập lồi đa diện (polyhedral convex set) hay khúc lồi.Định nghĩa 1.3 Tập con C khác rỗng trong không gian Hilbert thực Hđược gọi là nón (cone) nếu

λx ∈ C, ∀ x ∈ C, ∀λ > 0

Tập con C khác rỗng trong không gian Hilbert thực H được gọi là nónlồi nếu nó vừa là nón vừa là lồi Điều đó có nghĩa là

λx + µy ∈ C, ∀ x, y ∈ C, ∀λ, µ > 0

Ví dụ 1.2 Tập Rn+ là nón lồi trong Rn

Định nghĩa 1.4 Cho không gian Hilbert thực H, tập C ⊆ H lồi, khácrỗng và điểm x∗ ∈ C Khi đó, nón pháp tuyến ngoài của C tại x∗ (haycòn gọi là nón lồi đóng), kí hiệu NC(x∗) , được xác định bởi

NC(x∗) : = {p ∈ H : hp, x − x∗i 6 0, ∀x ∈ C} 1.2 Hàm lồi

Định nghĩa 1.5 Cho không gian Hilbert thực H, tập C ⊆ H và hàm

f : C → R ∪ {+∞, −∞} Khi đó, các tập hợp

dom f : = {x ∈ C : f (x) < +∞} ,epif : = {(x, α) ∈ C × R : f (x) 6 α} ,tương ứng, được gọi là miền hữu hiệu (effective domain) và trên đồ thị(epigraph) của f

Hàm f được gọi là chính thường (proper) trên C nếu

dom f 6= ∅, f (x) > −∞, ∀ x ∈ C

Định nghĩa 1.6 Cho không gian Hilbert thực H và tập C ⊆ H Hàm

f : C → R ∪ {+∞, −∞} được gọi là lồi (convex) trên C nếu trên đồ thịcủa nó là tập con lồi của H × R Hàm f được gọi là lõm (concave) nếu

−f là lồi

Bổ đề 1.1 Cho không gian Hilbert thực H và tập C ⊆ H Nếu hàm

f : C → R ∪ {+∞, −∞} lồi trên C thì miền hữu hiệu của f là tập lồi

Mệnh đề 1.1 Cho không gian Hilbert thực H và tập C ⊆ H Khi đó,hàm f : C → R ∪ {+∞} được gọi là lồi trên C nếu và chỉ nếu với mọi

x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] , ta có

f (λx + (1 − λ) y) 6 λf (x) + (1 − λ) f (y)

Chứng minh Giả sử f là hàm lồi, không mất tính tổng quát có thể coi

λ ∈ (0, 1) Không thể xảy ra trường hợp f (x) < +∞, f (y) < +∞ mà

f (λx + (1 − λ) y) = +∞, bởi vì dom f lồi Hơn nữa, với mọi x, y ∈ dom f,thì [x, y] ⊂ dom f Vì λ ∈ (0, 1) nên f (x) = +∞, suy ra λf (x) = +∞.Nếu x hoặc y /∈ dom f thì f (x) = +∞ hoặc f (y) = +∞

Mặt khác, vì epi f lồi nên với mọi (x, α) , (y, β) ∈ epif, λ ∈ (0, 1) , ta có

λ (x, α) + (1 − λ) (y, β) = (λx + (1 − λ) y, λα + (1 − λ) β) ∈ epi f

⇒ f (λx + (1 − λ) y) 6 λα + (1 − λ) β

⇒ f (λx + (1 − λ) y) 6 λf (x) + (1 − λ) f (y)(lấy α = f (x) , β = f (y))

Ngược lại, giả sử với mọi x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] , ta có

Ví dụ 1.3 Cho C là tập con lồi, khác rỗng của không gian Hilbert thực

H Khi đó, hàm chỉ (indicator funtion) trên C

δC (x) =

( 0 nếu x ∈ C;

+∞ nếu x /∈ C;

là một hàm lồi

Định nghĩa 1.7 Cho không gian Hilbert thực H và tập C ⊆ H Hàm

f : C → R ∪ {+∞} được gọi là lồi chặt (strict convex) trên C nếu vớimọi x, y ∈ C, x 6= y, λ ∈ (0, 1) , ta có

∂f (x) 6= ∅, ∀ x ∈ C

Ví dụ 1.5 (Dưới vi phân của hàm chỉ)

Cho C là tập con lồi, khác rỗng của không gian Hilbert thực H Xét hàmchỉ trên C

Ví dụ 1.6 (Dưới vi phân của hàm lồi thuần nhất dương)

Cho f : Rn → R là hàm lồi thuần nhất dương, tức là hàm lồi f thỏa mãn

f (λx) = λf (x) , ∀λ > 0, ∀x ∈ Rn.Khi đó,

∂f (x∗) = {p ∈ Rn : hp, x∗i = f (x∗) , hp, xi 6 f (x) , ∀x ∈ C} Chứng minh Nếu p ∈ ∂f (x∗) thì

hp, x − x∗i 6 f (x) − f (x∗) , ∀x ∈ C (1.1)Thay x = 2x∗ vào (1.1), ta có

hp, x∗i 6 f (x∗) (1.2)Thay x = 0 vào (1.1), ta nhận được

− hp, x∗i 6 −f (x∗) (1.3)Kết hợp (1.2) và (1.3), ta có hp, x∗i = f (x∗)

hp, x − x∗i = hp, xi − hp, x∗i

6 f (x) − f (x∗) , ∀x ∈ C

Vậy p ∈ ∂f (x∗)

Định nghĩa 1.9 Cho không gian Hilbert thực H, hàm f : H → R bất

kỳ và tập C ⊂ H khác rỗng, tùy ý Điểm x∗ ∈ C ∩ dom f được gọi là(i) cực tiểu địa phương (local minimizer) của f (x) trên C nếu tồn tạilân cận U (x∗) của x∗ sao cho

H và hàm lồi f : H → R Khi đó, mọi cực tiểu địa phương của f trên

Định lý 1.2 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gianHilbert thực H và hàm f : C → R lồi, khả dưới vi phân trên C Khi đó,điều kiện cần và đủ để điểm x∗ ∈ C là cực tiểu của f trên C là

0 ∈ ∂f (x∗) + NC(x∗) ,trong đó, ∂f (x∗) là ký hiệu dưới vi phân của hàm f tại x∗ còn NC(x∗)

là ký hiệu của nón pháp tuyến ngoài của C tại x∗

1.3 Bài toán cân bằng

Phát biểu bài toán

Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực

H và song hàm f : C × C → R sao cho f (x, x) = 0, ∀ x ∈ C Bài toáncân bằng, viết tắt là EP (f, C), được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗, y) > 0, ∀ y ∈ C

Ký hiệu tập nghiệm của bài toán EP (f, C) là Sol(f, C)

Cho ánh xạ F : C → H, ta định nghĩa

f (x, y) : = hF (x) , y − xi , ∀x, y ∈ C

Khi đó, bài toán EP (f, C) trở thành bài toán bất đẳng thức biến phân:

Tìm x∗ ∈ C sao cho hF (x∗) , y − x∗i > 0, ∀y ∈ C

Ví dụ 1.7 Bài toán cân bằng Nash

Có n hãng cùng tham gia sản xuất một loại sản phẩm thuần nhất vớigiá pi của hãng i = 1, 2 , n phụ thuộc vào tổng số lượng sản phẩm củatất cả các hãng σx =

n

P

i=1

xi, trong đó xi(i = 1, 2 , n) là số lượng sảnphẩm mà hãng i định sản xuất Ký hiệu hi(xi) là chi phí của hãng i khisản xuất xi sản phẩm Khi đó, hàm lợi nhuận của hãng i được xác địnhbởi

fi(x1, x2, , xn) := xipi(σx) − hi(xi) , i = 1, 2, , n

Gọi Ci := {x ∈ R |x > 0} , i = 1, 2, , n là tập chiến lược của hãng i.Điểm x∗ = (x∗1, x∗2, , x∗n) ∈ C1× C2× × Cn được gọi là điểm cân bằngNash nếu

fi(x∗1, , x∗i−1, yi, x∗i+1, , x∗n) 6 fi(x∗1, x∗2, , x∗n) , ∀yi ∈ Ci, ∀i = 1, 2, , n

Về mặt kinh tế, điểm cân bằng Nash nói lên rằng bất kỳ hãng nàochọn phương án sản xuất ra khỏi điểm cân bằng, trong khi các hãng cònlại vẫn giữ phương án sản xuất tại điểm cân bằng thì hãng thay đổi sẽ

bị thiệt hơn

Nếu đặt C := C1 × C2 × × Cn và hàm f : C × C → R được xácđịnh bởi

thì bài toán cân bằng Nash tương đương với bài toán EP (f, C)

Chứng minh Giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán EP (f, C), ta có

fi(x∗1, , x∗i−1, yi, x∗i+1, , x∗n) 6 fi(x∗1, x∗2, , x∗n) Chọn y = (x∗1, , x∗n−1, yn) , ta có

f1(x∗1, , x∗n−1, yn) 6 f1(x∗1, x∗2, , x∗n) Vậy x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng Nash

Ngược lại, nếu x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng Nash thì

fi(x∗1, x∗2, , x∗n) > fi(x∗1, , x∗i−1, yi, x∗i+1, , x∗n) , ∀yi ∈ Ci, i = 1, 2, , n

Vậy x∗ là nghiện của bài toán EP (f, C)

Ví dụ 1.8 Bài toán bù phi tuyến

f (x, y) := hS (x) , y − xi , ∀x, y ∈ Cthì bài toán bù phi tuyến tương đương với bài toán EP (f, C)

Chứng minh Giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán bù phi tuyến, ta có

Ngược lại, nếu x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán EP (f, C) thì

Ví dụ 1.9 Bài toán điểm yên ngựa

Cho C1, C2 ⊂ C và hàm ϕ : C1× C2 → R Điểm (x∗1, x∗2) ∈ C1× C2 đượcgọi là điểm yên ngựa của hàm ϕ nếu

ϕ (x∗1, y2) 6 ϕ (x∗1, x∗2) 6 ϕ (y1, x∗2) , ∀ (y1, y2) ∈ C1 × C2.Xét ánh xạ f : C1 × C2 → R, được xác định bởi

f (x, y) = ϕ (y1, x2) − ϕ (x1, y2) ,trong đó x = (x1, x2) , y = (y1, y2) Đặt C := C1× C2, điểm x∗ ∈ C được

là nghiệm của bài toán điểm yên ngựa nếu và chỉ nếu

f (x∗, y) > 0, ∀y ∈ C

Tức x∗ là nghiệm của bài toán EP (f, C)

Định nghĩa 1.10 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gianHilbert thực H Song hàm f : C × C → R được gọi là

(i) đơn điệu (monotone) trên C nếu

Ví dụ 1.11 Xét tập lồi đa diện

C := {x ∈ Rn, Ax 6 b}

và song hàm f : C × C → R ∪ {+∞} có dạng

f (x, y) = hM x + By, y − xitrong đó các ma trận M, B ∈ Rn×n được chọn sao cho B là ma trận đốixứng, nửa xác định dương và B − M nửa xác định âm [4] Khi đó, songhàm f sẽ liên tục kiểu Lipschitz trên C với hai hằng số c1 = c2 = kB−M k2 1.4 Ánh xạ giả co chặt và các tính chất

Định nghĩa 1.11 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gianHilbert thực H Ánh xạ S : C → C được gọi là

(i) giả co chặt (strict pseudocontraction) trên C nếu tồn tại L ∈ [0, 1)sao cho với mọi x, y ∈ C, ta có

kS (x) − S (y)k2 6 kx − yk2 + Lk(I − S) (x) − (I − S) (y)k2,trong đó, I là ánh xạ đồng nhất trong không gian Hilbert thực H;(ii) tựa giả co chặt (quasi-strict pseudocontraction) trên C nếu tập cácđiểm bất động của S, kí hiệu Fix (S), khác rỗng và tồn tại L ∈ [0, 1)sao cho

kS (x) − pk2 6 kx − pk2 + Lkx − S (x)k2, ∀x ∈ C, p ∈ Fix (S) Nếu L = 0, trong (i), thì S được gọi là ánh xạ không giãn (nonex-pansive mapping) trên C

Ví dụ 1.12 Ánh xạ S : [−9, 3] → [−9, 3] được xác định bởi

S (x) =

( x nếu x ∈ [−9, 0) ;

−3x nếu x ∈ [0, 3] ;giả co chặt trên [−9, 3]

Định nghĩa 1.12 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gianHilbert thực H Phép chiếu trực giao của H trên C tại x ∈ H, ký hiệu

P rC(x), được xác định bởi

P rC(x) = argmin {kx − yk : y ∈ C}

Bổ đề 1.2 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbertthực H, điểm x ∈ H và z ∈ C Khi đó, ta thấy z = P rC(x) nếu và chỉnếu

hx − z, y − zi 6 0, ∀y ∈ C

Mệnh đề 1.2 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gianHilbert thực H Khi đó, ta thấy nếu z = P rC(x) thì

kx − zk2 + ky − zk2 6 kx − yk2, ∀x ∈ H, y ∈ C

Định nghĩa 1.13 Cho không gian Hilbert thực H, tập C ⊂ H và dãy

xk ⊂ C Ánh xạ S : C → H được gọi là

(i) nửa đóng (demiclosed) tại điểm p nếu xk * x và S xk
→ p thì

S (x) = p;

(ii) liên tục yếu nếu xk * x thì S xk
* S (x)

Bổ đề 1.3 Cho H là không gian Hilbert thực, ta có

(v) nếu λi được chọn từ (iv) và họ các ánh xạ {Si : i = 1, 2, , p} cómột điểm bất động chung thì

(1 − L) kSx − Syk2−2L kx − yk kSx − Syk−(1 + L) kx − yk2 6 0.Giải bất phương trình bậc hai trên, ta có điều cần chứng minh

(iii) Chứng minh F ix(S) là tập đóng.

Thật vậy, giả sử pk là dãy trong F ix(S) thỏa mãn pk → p Vìeánh xạ S tựa giả co chặt trên C với L ∈ [0, 1) nên với mỗi k ta có

Sp − pe k 2 6 p − pe k 2 + Lkp − Se pke 2.Khi k → ∞, ta có kSp −e pke 2 6 Lkep − Spke 2 Hơn nữa, vì L ∈ [0, 1)nên Sp =e p Vậy F ix(S) là tập đóng.e

Tiếp theo, ta chứng minh F ix(S) là tập lồi

Thật vậy, lấy p, q ∈ F ix(S) và t ∈ (0, 1) Đặt z = tp + (1 − t)q, tacó

p − z = p − tp − (1 − t) q = (1 − t) (p − q)và

q − z = q − tp − (1 − t) q = t (q − p) Suy ra,

kp − zk = (1 − t) kp − qk và kq − zk = t kp − qk Kết hợp các đẳng thức trên với bổ đề 1.3 (ii), ta có

= Lkz − Szk2

Vì L ∈ [0, 1) nên z = Sz Vậy F ix(S) là tập lồi

(iv) Chứng minh bằng quy nạp, với p = 2, đặt

G = (1 − λ) S1 + λS2, λ ∈ (0, 1)

trong đó, các ánh xạ Si (i = 1, 2) giả co chặt trên C với Li ∈ [0, 1).

Ta chứng minh ánh xạ G giả co chặt trên C với L = max {L1, L2}.Thật vậy, ta có

(1 − λ) k(I − S1) x − (I − S1) yk2 + λk(I − S2) x − (I − S2) yk2

= k(I − G) x − (I − G) yk2 + λ (1 − λ) k(S1x − S1y) − (S2x − S2y)k2.Mặt khác, ta có

− λ (1 − λ) k(S1x − S1y) − (S2x − S2y)k2

Kết hợp với đẳng thức trên, ta cókGx − Gyk2 6 kx − yk2 + Lk(I − G) x − (I − G) yk2

− (1 − L) λ (1 − λ) k(S1x − S1y) − (S2x − S2y)k2

6 kx − yk2 + Lk(I − G) x − (I − G) yk2.Vậy G là ánh xạ giả co chặt trên C với L = max {L1, L2}

(v) Để chứng minh (v), giả sử p = 2 Điều kiện đủ, ta chứng minh

F ix (G) ⊂ F ix (S1) ∩ F ix (S2) Thật vậy, lấy x ∈ F ix (G) và đặt V1 = I − S1, V2 = I − S2 Với

i (1.5)Nếu (1 − λ) V1x + λV2x = 0 thì

(1 − λ) kV1xk2 + λkV2xk2 = λ (1 − λ) kV1x − V2xk2.Kết hợp đẳng thức trên với (1.5), ta có

(1 − L) λ (1 − λ) kV1x − V2xk2 6 0

Vì λ ∈ (0, 1) và L ∈ [0, 1) nên kV1x − V2xk = 0 Suy ra,

S1x = S2x = x

Do đó (1 − λ) S1x + λS2x = x Vậy x ∈ F ix (S1) ∩ F ix (S2) 

Kết luận chươngTrong chương này, ta đã nhắc lại các kết quả quan trọng của giải tíchlồi như tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân, bài toán cân bằng Đồng thời, tacũng trình bày các khái niệm về ánh xạ đơn điệu, giả đơn điệu Đặt biệt

là khái niệm ánh xạ giả co chặt, phép chiếu trực giao cùng với một sốtính chất tương ứng