Tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình Monge Ampere

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN THÁI NGUYÊN - 2012... Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc

Trang 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

THÁI NGUYÊN - 2012

Trang 2

1

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Phương pháp nghiên cứu 3

4 Bố cục của luận văn 3

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Hàm đa điều hoà dưới 5

1.2 Hàm đa điều hoà dưới cực đại 8

1.3 Toán tử Monge-Ampère phức……… …9

1.4 Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampere 18

Chương 2: TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE 34

2.1 Giới thiệu 35

2.2 Sự tồn tại của nghiệm tổng quát 37

2.3 Đánh giá đối với đạo hàm cấp hai 39

2.4 Tính C1,1 - chính qui của nghiệm tổng quát 43

KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

Trang 3

W Bài toán Dirichlet đối với M là giải

được trong trường hợp khá tổng quát: Cho W là miền lồi tùy ý trong ¡ và n

( )

C

j Î ¶ W sao cho nó là lồi trên một cung tùy ý trong ¶ W (Ta gọi hàm j

như thế là chấp nhận được) Khi đó với độ đo Borel không âm tùy ý m mà

m j

ïïî

(*)

Có nghiệm duy nhất ( Điều này đã được J Rauch và B.A Taylor chứng minh

năm 1977 đối với miền W lồi chặt, ở đó hàm liên tục j là chấp nhận được)

Chúng ta sẽ xét độ đo m với y liên tục không âm, trù mật trong W Ở đây u

sẽ luôn ký hiệu là nghiệm của (*) (với m= y l d ), v là nghiệm của bài toán

ïïî

Các kết quả chính qui của nghiệm của (*) đã được một số tác giả nghiên cứu,

cụ thể như sau: Cheng, Yau (năm 1977, 1982), Trudinger, Urbas (năm 1983),

Trang 4

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:

- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm

đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère và bài toán Dirichlet cổ điển đối với toán tử Monge-Ampere

- Trình bày một số kết quả của Z.Blocki năm 2003 về tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình Monge-Ampère

Trang 5

3

3 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của lý thuyết thế vị phức

- Sử dụng phương pháp và kết quả của Zbigniew Blocki

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 50 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử

Monge-Ampère và bài toán Dirichlet cổ điển đối với toán tử Monge-Ampere

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên cứu về tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình Monge-Ampère

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng, nhân dịp này t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n ThÇy vÒ sù h-íng dÉn hiÖu qu¶ cïng nh÷ng kinh nghiÖm trong qu¸ tr×nh häc tËp, nghiªn cøu vµ hoµn thµnh luËn v¨n

Xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều

kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Trang 6

4

Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường THPT Dương Tự Minh Thái Nguyên cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012

Tác giả

Đặng Hiền Thương

Trang 7

5

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Hàm đa điều hoà dưới

1.1.1 Định nghĩa Cho W là một tập con mở của £n và u W® - ¥ ¥: [ , ) là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với - ¥ trên bất kỳ thành phần liên thông nào của W Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a Î W và

n

b Î £ , hàm l a u a( + l b) là điều hoà dưới hoặc trùng - ¥ trên mỗi thành phần của tập hợp { l Î £ : a+ l bÎ W} Trong trường hợp này, ta viết

( )

u Î P SH W (ở đây P SH( )W là lớp các hàm đa điều hoà dưới trong W)

Tính đa điều hoà dưới có thể được đặc trưng dưới dạng đạo hàm suy rộng Nhắc lại, nếu 2

tùy ý Ngược lại, nếu v Î L1loc( )W sao cho với mọi z Î W , mọi

Trang 8

Phần đầu tiên của định lý được chứng minh

Giả sử v Î L1loc( )W và (1.1) được thoả mãn Đặt v e = v *c e với e > 0 Khi đó D ³v 0 trong W, theo nghĩa suy rộng Do [11], Định lý 2.5.8, tồn tại

duy nhất hàm điều hoà dưới u trên W trùng với v hầu khắp nơi và

giới hạn u là đa điều hoà dưới

1.1.3 Định lý Cho W là một tập con mở trong £n Khi đó

( )i Họ P SH( )W là nón lồi, tức là nếu a b là các số không âm và ,

Trang 9

1.1.4 Hệ quả Cho W là một tập mở trong £ n và w là một tập con mở thực

sự khác rỗng của W Nếu u Î P SH( )W, v Î P SH w , và ( ) lim ( ) ( )

w

íïïï

= ìï

Wïïî

xác định một hàm đa điều hoà dưới trong W

1.1.5 Định lý Cho W là một tập con mở của £n

( )i Cho , u v là các hàm đa điều hoà trong W và v > 0 Nếu f : ¡ ® ¡ là lồi, thì ( / ) v u v f là đa điều hoà dưới trong W

( )ii Cho u Î P SH( )W, v Î P SH( )W, và v > 0 trong W Nếu f : ¡ ® ¡ là lồi và tăng dần, thì ( / ) v u v f là đa điều hoà dưới trong W

(iii Cho ) u,- v Î P SH( )W, u ³ 0 trong W, và v > 0 trong W Nếu

Trang 10

ïïï

ïïïïî

là đa điều hoà dưới trong W Nếu u là đa điều hoà và bị chặn trong \ FW , thì u là đa điều hoà trong W Nếu W là liên thông, thì W\ F cũng liên thông

1.2 Hàm đa điều hoà dưới cực đại

đa điều hoà dưới Ta nói rằng u là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact tương đối G của W, và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho

( )

v Î P SH G và v £ u trên ¶G , đều có v £ u trong G

Ký hiệu M P SH( )Wlà họ tất cả các hàm đa điều hoà dưới cực đại trên W Sau đây ta sẽ xem xét một số tính chất tương đương của tính cực đại

Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

( )i Với mỗi tập con mở compact tương đối G của W và mỗi v Î P SH( )W,

nếu lim sup( ( ) ( )) 0

x

® - ³ , với mọi x Î ¶ G , thì u ³ v trong G ;

( )ii Nếu v Î P SH( )W và với mỗi e > 0 tồn tại một tập compact K Ð W sao cho u - v ³ - e trong W\ K , thì u ³ v trong W;

(iii Nếu ) v Î P SH( )W, G là một tập con mở compact tương đối của W, và

u ³ v trên ¶G thì u ³ v trong G;

Trang 11

Chứng minh ( ) i Þ ( )ii : Cho v là một hàm đa điều hoà dưới có tính chất:

với mỗi e > 0 tồn tại một tập compact K Ð W sao cho u- v ³ - e trong

là tập con compact của W Bởi vậy có thể tìm được tập mở G chứa E và

compact tương đối trong G Theo ( )i ta có

là đa điều hoà dưới trong W theo các giả thiết ( )iii , ( ) iv , ( ) v và ( ) i

Trang 12

10

0

n c

W

Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị

chặn địa phương trên W thì tồn tại dãy { }u n n 1 ( ) C¥

và gọi là toán tử Monge-Ampère của u

Sau đây chúng ta sẽ xem xét một vài tính chất cơ bản của toán tử Monge-Ampère, phần cuối của mục này là nguyên lý so sánh được dùng trong chương 2

hội tụ yếu tới độ đo Radon m Khi đó

a) Nếu G Ð W là tập mở thì ( ) lim inf j( )

Trang 13

cận mở của K và j Î C V0( ), 0£ j £ và 1 j = 1 trên K Khi đó

( ) ( ) lim j( ) lim sup j( )

c) Viết E = IntE È ¶ Khi đó E

( ) (int ) lim inf j(int ) lim inf j( )

Trang 14

12

1.3.3 Mệnh đề Giả sử WÐ £ là miền bị chặn và n u v, Î P SH( )W ÇL¥loc( )W

sao cho , u v £ 0 trên W và lim ( ) 0

® ¶ W = Giả sử T là (n - 1,n - 1)- dòng dương, đóng trên W Khi đó

Trang 15

Trang 16

14

khi thay u bởi u + d d, > 0, thì {u + d< v} {- u < v} khi d ¯0 Nếu bất

đẳng thức (1.2) đúng trên u + d< v thì cho d ¯0 suy ra (1.2) đúng trên {u < v} Vì vậy có thể giả sử lim inf( ( ) ( )) 0

® ¶ W - ³ > Vậy {u < v}Ð W

u z + e ³ v z + >d v z với z gần biên ¶ W Vậy u e = u z( )+ e gần biên

¶ W và u e ¯v trên ¢W Theo công thức Stokes

Trang 17

Trang 18

1.3.5 Hệ quả Giả sử WÐ £ là miền bị chặn và , n u v Î P SH( )W ÇL¥ ( )W

sao cho u £ v và lim ( ) lim ( ) 0

(dd u c )n £ (dd v c )n trên W Khi đó v £ u trên W

Chứng minh Đặt y( )z = z 2 - M , với M được chọn đủ lớn sao cho y < 0

Trang 19

và ta gặp phải mâu thuẫn Vậy u £ v trên W

sao cho lim inf( ( ) ( )) 0

® ¶ W - = và ( dd u c )n = (dd v c )n Khi đó u = v

sao cho lim inf( ( ) ( )) 0

Chứng minh Tương tự như trong Hệ quả 1.3.6 Giả sử {u < v}¹ Æ Khi đó

Chú ý rằng do y < 0 nên {u < v + ey} {Ð u < v} Khi đó như chứng minh của Hệ quả 1.3.6 ta có

Trang 20

1.3.9 Hệ quả Giả sử WÐ £ là miền bị chặn và n u Î P SH( )W ÇL¥ ( )W

thỏa mãn phương trình Monge-Ampère ( dd u c )n = 0 Khi đó u là hàm đa điều hòa dưới cực đại trong W

Chứng minh Giả sử v Î P SH( )W và G Ð W sao cho u ³ v trên ¶G Đặt

Khi đó w Î P SH( )W ÇL loc¥ ( )W Hơn nữa lim inf( ( ) ( )) 0

1.4 Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampere

Trước tiên chúng ta xét lớp các hàm đa điều hòa dưới cực đại liên tục (được giới thiệu trong mục 1.2) liên quan đến bài toán Dichlet tổng quát: Cho W là một miền bị chặn trong £n và f Î C(¶ W Bài toán Dirichlet )được đặt ra như sau: tìm một hàm nửa liên tục trên :u W® ¡ sao cho

Trang 21

w

®

Î W

= , với mọi z Î W

Đặt yW,f( )z = sup{u z( ) :u Î U( , ) , Wf } z Î W Hàm yW,f( )z được gọi

là hàm Perron - Bremermann đối với W và f

Ta sẽ chứng minh rằng yW,f( )z là nghiệm của bài toán Dirichlet tổng quát khi W là một hình cầu Euclid

1.4.1 Định lý Cho f Î C(¶B), trong đó B = B a r( , )là một hình cầu mở trong £ n Khi đó hàm y xác định bởi

ïïï

= ìï

Î ¶ïïî

là một nghiệm của bài toán Dirichlet đối với tập B và hàm f Hơn nữa, y

là liên tục

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng a = 0 Giả

sử h là nghiệm của bài toán Dirichlet cổ điển đối với B và f Vì hàm đa

điều hoà dưới là điều hoà dưới, nên suy ra y B f, £ h trong B theo nguyên

lý cực đại đối với hàm điều hoà dưới Do h liên tục trong B , nên ta có

,

(y B f)* £ h trong B Đặc biệt, điều đó có nghĩa là (y B f, )* Î U B f( , ) và như vậy (y B f, )* º y trong B Þ y Î P SH( )B Để hoàn thành chứng minh kết luận thứ nhất của định lý, ta chỉ cần chứng minh (y B f, )* ³ f trên ¶B

Ta sẽ chứng minh một tính chất mạnh hơn: với z0 Î ¶ bất kỳ, thì B

Trang 22

= , (1.3)

tức là y liên tục tại mỗi điểm biên

Tính cực đại của y là hiển nhiên Thực vậy, nếu G là một tập con mở compact tương đối của B , v G ® - ¥ ¥: [ , ) là nửa liên tục trên,

ïïï

= ìï

Îïïî

thuộc ( , )U B f Þ V £ y Đặc biệt, v £ y trong G (điều phải chứng minh)

Để chứng minh rằng y là liên tục, chỉ cần chứng tỏ nó nửa liên tục dưới Thật vậy, lấy e > 0 Khi ¶B là compact, y B = f là liên tục đều Điều đó kết hợp với (1.3) suy ra tồn tại (0, )

Trang 23

H z y( ) = y( ),z z Î B \ (- y + B) Nếu z Î (B Ç - +( y B)) \ B(0,r - 2 )d , thì ta chọn z0 Î ¶ sao cho B

Vậy y là nửa liên tục dưới (điều phải chứng minh)

Bây giờ ta sẽ áp dụng kết quả trên cho Bài toán Dirichlet tổng quát đối với toán tử Monge-Ampere:

Trang 24

22

Cho W là miền bị chặn trong n

và f Î C(¶ W Bài toán Dirichlet tổng )quát đối với toán tử Monge-Ampere phức được đặt ra như sau: tìm một hàm nửa liên tục trên u W®:  sao cho u liên tục tại mỗi điểm của ¶ W và các điều kiện sau được thỏa mãn:

ïî

Trong phần này chúng ta sẽ chứng minh rằng bài toán này có nghiệm duy nhất khi W là hình cầu Ơcơlit B = B a r( , ) Theo Hệ quả 1.3.9 nghiệm như vậy phải là hàm cực đại do đó nó phải trùng với hàm Perron-Bremermann

,

B f

Y Vì thế bài toán đưa về chứng minh (ddcYB f, )n = 0 trong B

Ta nhắc lại một vài ký hiệu sẽ dùng trong các định lý dưới đây:

Cho ( , )B a R là hình cầu mở trong  m Đặt

Trang 25

23

bậc a của u nếu D u a = h, hay D u a ,j h d j l

W

= ò với mỗi j Î C0¥ ( )W Tương tự, ta nói rằng 1

( )

loc

h Î L W là phép biến đổi Laplace yếu hay suy rộng

của u nếu h = Du theo nghĩa suy rộng

Giả sử 1£ p £ ¥ và k là số nguyên không âm, W là tập con mở trong

( , )

d f x f y Lip f

d x y

trong đó sup được lấy theo tất cả ,x y Î X sao cho x ¹ y Nếu Lip f < ¥ ( )

thì f được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz trong X Nếu với mỗi x Î X

tồn tại lân cận V sao cho ( )

0

Trang 26

h

W

F < nếu t Î (0, )t0 Suy ra

Định dạng
Số trang	53
Dung lượng	1,18 MB