tăng cường hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu kerr trong hệ nguyên tử bốn mức dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ

Hiệu ứng này là kết quả của sự giao thoa giữa các biên độ xác suất của các kênh dịch chuyên trong nguyên tử dưới sự kích thích kết hợp của một hoặc nhiều trường điện từ dẫn đến sự trong

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRỊNH THỊ HÒNG

TANG CUONG HE SO KHUC XA PHI

TUYEN KIEU KERR TRONG HE NGUYEN

TU BON MUC DUA TREN HIEU UNG

TRONG SUOT CAM UNG DIEN TU’

LUAN VAN THAC SI VAT Li

VINH, 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRỊNH THỊ HÒNG

TANG CUONG HE SO KHUC XA PHI

TUYEN KIEU KERR TRONG HE NGUYEN

TU BON MUC DUA TREN HIEU UNG

TRONG SUOT CAM UNG DIEN TU

CHUYEN NGANH: QUANG HQC

LỜI CÁM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Vật lí, Phòng Đào tạo Sau Đại học Trường Đại Học Vinh đã tạo điều kiện giúp đỡ tốt nhất để tôi có môi trường nghiên cứu khoa học trong suốt khoá học

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thây giáo PGS TS Định Xuân Khoa, người đã định hướng và tận tình hướng dan dé tôi hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thây giáo chủ nhiệm chuyên ngành Quang học TS Nguyễn Huy Bằng, cùng các thầy cô giáo đã giúp đỡ, giảng dạy và có nhiều ý kiến đóng góp quỷ báu cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và bạn bè đã giúp

đỡ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong quá trình học tập

Vinh, thang 8 năm 2012

Tác giả

MỤC LỤC

Trang

00 1

Chuong 1 CO SO VE DO CAM PHI TUYEN 0 csccssceccsseesseesesseeseesees 4

1.1 Phuong trinh ma tran mat dO 200.0 cece eeeceeeeeeeeeeeeeeeeeeeneeneeeees 4 1.1.1 Thiét lập phương trình ma trận Imật đỘ - + s<++<+ss+s+x+e+ 5 1.1.2 Nghiệm nhiễu loạn của phương trình ma trận mật độ 11

1.2 Độ cảm phi tuyẾn - 2-52 SE SE E2E1E712E127171E 1121212121 xe, 13

1.2.1 Độ cảm phi tuyến trong mô hình LOFehz ©2+ 55c ©5+25e+s+ccscset 13 1.2.2 Mô tả lượng tử cho độ cảm phi tHVẾN 55-55 ScccccctccEcctereerree 19

Kết luận chương 1 - 2-2222 +E+2EE+2EE+EE+EEEEEEtEEEEEEE71211211 1122 ze 30 Chuong 2 HIEU UNG TRONG SUOT CAM UNG DIEN TU CHO HE NGUYÊN TỬ BÓN MỨC CÁU HÌNH BẬC THANG - 31

2.1 Phương trình ma trận mật độ cho hệ nguyên tử bốn mức cấu hình 0) 1 31 2.2 Giái phương trình ma trận mật độ trong gần đúng cấp một 36 2.3 Hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ cho hệ nguyên tử bốn mức cấu 000181003) 0 38

2.3.1 Hệ số hấp thụ và hệ số khúc xạ -2 2-52+5s+ccsEEccerkerrerkerscrree 38

2.3.2 Hiệu ứng trong suốt cảm tứng điện từ 5c5cccccccccceceerccrcee 40

Kết luận chương 2 - 2° + 2+ SE2EE9E12E12112711127127117171111 121.1 xe 44 Chương 3 TĂNG CƯỜNG HE SÓ KHÚC XẠ PHI TUYẾN KIEU KERR TRONG HE NGUYEN TU BÓN MUC CAU HINH BAC THANG DUA TRÊN HIỆU ỨNG TRONG SUÓT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ 45

3.1 Giải phương trình ma trận mật độ trong gần đúng bậc ba 45 3.2 Dẫn ra biểu thức hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr 47

3.3 Nghiên cứu sự tăng cường hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr 48 3.3.1 Tăng cường hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr dựa trên hiệu ứng trong suỐt cảm /71-8:/2/072PPẼPẼẺh a4 48 3.3.2 Điều khiển sự tăng cường hệ số khúc phi tuyến kiểu Kerr 50 Kết luận chương 3 - ¿2c s S9EE2E1211211211211111111E11 1111.111 54

KET LUẬN CHUNG . 2-©222E22EESEE2EE2EESE2EE273E212712122 21.22 xe 55

3005909213 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO - 2-22 ©25222++2E+2EE2EEtzEeerxrerxrrxrerxee 578

MỞ ĐÀU

Từ khi laser ra đời đã mở ra cho con người một cái nhìn mới mẻ về ánh sáng Với tính chất độ kết hợp cao, độ đơn sắc cao và công suất lớn, nó đã tạo

ra nhiều hiệu ứng phi tuyến cực kì thú vị mà trước đây đối với những nguồn

sáng thông thường không thể có được Thí nghiệm mở màn của Franken 1961

đã trở thành điểm mốc trong lịch sử, đánh dấu sự ra đời của một lĩnh vực nghiên cứu mới “Quang học phi tuyến” Lĩnh vực này đã và đang khẳng

định vị thế của mình với những thành tựu khoa học nỗi bật và sẽ là một lĩnh

vực đầy triển vọng trong tương lai

Hấp thụ và tán sắc là hai thông số cơ bản đặc trưng cho tính chất quang học của môi trường, chúng có môi quan hệ khăng khít với nhau thông qua hệ thức Kramer — Kronig Trong miền cộng hưởng, các hệ số này thay đối nhanh theo tần số và quy luật thay đối hoàn toàn phụ thuộc vào cấu trúc của nguyên

tử ( phân tử) Tuy nhiên, với sự có mặt của laser, quy luật này lại có thể được

“điều khiển” bởi các tác nhân kích thích lên hệ nguyên tử Tiêu biểu cho điều này là sự tạo hiệu ứng ứrong suốt cảm ứng điện từ (Electromagnetically Induced Transparency — EIT ) Đây là hiệu ứng được đề xuất vào năm 1989 [1] và kiểm chứng thực nghiệm vào năm 1991 bởi nhóm nghiên cứu ở Stanford Hiệu ứng này là kết quả của sự giao thoa giữa các biên độ xác suất của các kênh dịch chuyên trong nguyên tử dưới sự kích thích kết hợp của một hoặc nhiều trường điện từ dẫn đến sự trong suốt của môi trường đối với một chùm quang học nào đó (gọi là “cứa số EIT”) Điều khiển sự hấp thụ và tan sắc dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ hiện đang được chú ý nghiên cứu trên cả hai phương diện lý thuyết và thực nghiệm đối với các hệ nguyên tử khác nhau và đang được kỳ vọng sẽ tạo đột phá trong các nghiên

cứu về chuyển mạch quang học [2], làm tăng hiệu suất của các quá trình quang phi tuyến [3], làm chậm vận tốc nhóm [4]

Gần đây, đã có rất nhiều sự quan tâm về việc tạo ra môi trường quang học phi tuyến có hệ số khúc xạ Kerr lớn, bởi vì nó có thể được sử dụng cho nhiều ứng dụng thú vị, chắng hạn như sự điều biến chéo pha cho các khóa quang hoc [5], tu diéu bién pha cho sự tạo ra của các soliton quang học, quá trình trộn bốn sóng cho sự biến đổi tần số [6], trạng thái pha tạp của quá trình thông tin lượng tử Trong môi trường Kerr truyền thống, chỉ số phi tuyến

của nó là quá nhỏ (cỡ 10 -10”'“em”/W) để hiệu ứng phi tuyến là đáng kế đối

với ánh sáng có cường độ lớn Ứng dụng hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ

đã mớ ra một con đường đầy hứa hẹn để tăng cường đáng kê hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr đồng thời giảm thiểu tối đa sự hấp thụ trong lân cận của tần số cộng hưởng

Với tầm quan trọng của lĩnh vực này, chúng tôi chọn “Tăng cường hệ

số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr trong hệ nguyên tử bốn mức dựa trên hiệu ứng trong suỗt cảm ứng điện từ” làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình Ngoài phần mở đầu và kết luận chung, luận văn được trình bày trong ba chương có nội dung như sau:

Chương 1 Cơ sớ về độ cám phi tuyến

Trong chương này, chúng tôi trình bày cơ sở của độ cảm phi tuyến theo quan điểm cô điển dựa trên mô hình Lorentz và theo quan điểm lượng tử dựa trên hình thức luận ma trận mật độ với các phép khai triển nhiễu loạn Từ đó,

chúng tôi trình bày lý thuyết về độ cảm phi tuyến bậc ba và trường hợp đặc biệt là “phi tuyến kiểu Kerr ” cùng với một số hiệu ứng liên quan đến loại môi

trường này

Chương 2 Hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ trong hệ nguyên tử bốn mức cấu hình bậc thang

Đây là chương cơ sở cho việc xét khả năng tăng cường hiệu ứng phi tuyến kiểu Kerr dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ Trong gần đúng lưỡng cực và gần đúng sóng quay, chúng tôi thiết lập hệ phương trình

ma trận mật độ cho nguyên tử bốn mức cấu hình bậc thang được cảm ứng bởi hai trường laser Từ đó, sử dụng nhiễu loạn cấp 1 để dẫn ra biếu thức cho hệ

số hấp thụ và hệ số khúc xạ của môi trường Đây là cơ sở để khảo sát hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ và đề tính các nghiệm nhiễu loạn cấp 3 được trình bày ở chương tiếp theo

Chương 3 Tăng cường hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr trong hệ nguyên tứ bốn mức cấu hình bậc thang dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ

Trong chương này, dựa trên phương trình ma trận mật độ cho hệ 4 mức được xây dựng ở chương 2, chúng tôi tiến hành tìm nghiệm nhiễu loạn cấp 3

để dẫn ra biểu thức giải tích cho hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr Từ đó, chúng tôi tiến hành nghiên cứu khả năng điều khiển sự tăng cường hệ số khúc

xạ phi tuyến kiểu Kerr theo các thông số của trường điều khiển

Chương 1

CƠ SỞ VẺ ĐỘ CÁM PHI TUYẾN

Sự tương tác của trường điện từ với môi trường vật chất là bài toán trọng tâm của ngành quang học Trong đó, mối liên hệ giữa độ phân cực P và cường độ điện trường E là ranh giới phân biệt giữa quang học tuyến tinh với quang học phi tuyến Quang học tuyến tính thường chỉ áp dụng cho những chùm sáng có cường độ yếu mà trong đó độ phân cực vĩ mô của môi trường tỉ lệ /„yến tinh với cường độ điện trường theo hệ thức:

z 1a d6 cam tuyén tinh, ¢, là hằng số điện của chân không Khi cường độ

điện trường tăng đến một giới hạn nào đó sẽ nảy sinh các hiệu ứng mới mà ta không thẻ giải thích được nếu chỉ xét đến mối quan hệ tuyến tính như hệ thức

(1.1) Khi đó, mối liên hệ giữa và # phải được thay thế bởi hệ /bứe phi

phi tuyến là rất bé so với độ cảm tuyến tính nên phân cực phi tuyến chỉ đáng

kế đối với các trường sáng có cường độ lớn Rõ ràng, độ cảm là đại lượng phụ thuộc vào cấu trúc vi mô của các nguyên tử trong môi trường Vì vậy, để mô

tả đầy đủ độ cảm ta cần sử dụng cơ học lượng tử

1.1 Phương trình ma trận mật độ

Có bốn cách để mô tả bài toán tương tác: cô điển, bán cổ điển, bán

lượng tử và lượng tử Trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi trình bày cách

mô tả bán cổ điển, ở đó hệ nguyên tử (phân tử) tuân theo các quy luật lượng

tử và được gọi là “hệ lượng tử” Khảo sát tương tác của trường kích thích với

hệ lượng tử, chúng ta tìm được thay đối của các thông số đặc trưng cho hệ thông qua việc giải phương trình chuyển động Đó là phương trình liên quan đến thay đổi các thông số đặc trưng cho hệ theo thời gian

Khi mô tả hệ lượng tử ta cần chú ý, nếu trạng thái của hệ được biết

chính xác thì hệ nằm trong trạng thái /h„ần khiết và được biêu diễn bởi hàm

sóng |wŒ.?) Sự tiến triển theo thời gian của hệ được biểu diễn thông qua phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian Tuy nhiên, trong nhiều bài toán trạng thái của hệ không biết được một cách chính xác, hay nói khác đi

hệ nằm trong trang thái øổn hợp ( theo [7] đây là loại bất định thứ hai khi xem xét hệ lượng tử) Trường hợp này sẽ được xử lý bằng phương trình ma trận mật độ

1.1.1 Thiết lập phương trình ma trận mật độ

Chúng tôi xem xét hình thức luận ma trận mật độ theo sau các định luật

cơ bản của cơ học lượng tử Nếu một hệ lượng tử (chang hạn như một nguyên tử) được biết trong trạng thái lượng tử s, ta hoàn toàn có thể mô tả tất cả các tính chất vật lý của hệ thông qua hàm sóng |yŒ.0) Hàm sóng này tuân theo phương trình Schrédinger [8]

u(r, t= 3 ,C;00%, Œ) (1.5) Với z„ứ) là các nghiệm riêng năng lượng của phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian:

mỗi hệ số khai triển Cÿ(z) Để xác định các hệ số đó tiến triển theo thời gian

như thế nào chúng ta đưa khai triển (1.5) vào phương trình Schrödinger (1.3):

Mỗi về của phương trình này đều liên quan đến cách lấy tổng trên tat ca các trạng thái riêng năng lượng của hệ Đề đơn giản, ta nhân bên trái mỗi về của phương trình (1.8) với u(r) sau đó lấy tích phân trên toàn bộ không gian

mồ a fu) H, (dr = = LO fur, ( ‘mn r) Au, Oar

Gọi yếu tố ma trận của toán tử # là

H,, = fu, (r)Au, (Par (1.9)

Thay (1.9) vào (1.8) ta thu được kết quả:

hộ C;(0 = x H,,,Ci(t) (1.10) Phương trình (1.10) hoàn toàn tương đương với phương trình Schrödinger (1.3) nhưng nó được viết cho các biên độ xác suất C;(;), hay nói khác đi phương trình (1.10) là phương trình Schrödinger trong biểu diễn năng lượng

Giá trị kỳ vọng của một biến số động lực bất kì đều có thể được tính

toán dựa vào hàm sóng Theo tiên dé 2 cơ học lượng tử mỗi biến số động lực

A bất kỳ đều được biểu diễn bởi một toán tử hermite 2 Giá trị kì vọng của A

được tính theo công thức

trong đó 4,,, = (u,,|4|u,) là yếu tố ma trận của toán tử 4 trong cở sở của Ay

Khi trạng thái ban đầu và toán tử Hamilton #? của hệ được biết, hình

thức luận được mô tả từ (1.3) đến (1.12) cho ta khả năng mô tả hoàn chỉnh sự phụ thuộc thời gian của hệ Tuy nhiên, có những trường hợp trạng thái của hệ không được biết một cách chính xác, chẳng hạn một tập hợp các nguyên tử trong một đám hơi nguyên tử, ở đó mỗi nguyên tử có thể tương tác với nguyên tử khác đo sự va chạm dẫn đến hàm sóng của mỗi nguyên tử thay đổi Nếu trong các va chạm là yếu, sự thay đối có thé chi dan dén sự thay đổi về pha nói chung của hàm sóng Tuy nhiên, trên thực tế ta không thể theo dõi pha của mỗi nguyên tử trong đám hơi, hay nói khác đi trạng thái của mỗi nguyên tử không được xác định chính xác

Đối với trường hợp như vậy (tức là trạng thái của hệ không được biết chính xác), hình thức ma trận mật độ có thể được sử dụng để mô tả hệ theo

nghĩa thống kê Gọi p(s) là xác suất hệ ở trạng thái s Ta định nghĩa các phần tử của ma trận mật độ của hệ như sau

Pan = PSEA CG; « (1.13)

Méi quan hệ này cũng có thé viết tương đương

dấu nằm ngang chỉ trung bình thống kê, tức là lấy trung bình trên tất cả các

trạng thái khả dĩ của hệ Trong cả hai kí hiệu, chỉ SỐ „ VÀ m chạy trên toàn bộ các thái riêng năng lượng của hệ

Các phần tử ma trận mật độ có ý nghĩa vật lý như sau: phần tử đường chéo ø„„ cho ta xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái riêng ø Các phần tử ngoài đường chéo ø„ cho “sự kết hợp” giữa mức ø và m, với ý nghĩa này ø„ sẽ chỉ khác 0 nếu hệ là chồng chất kết hợp của trạng thái riêng năng lượng ø va

m Các phần tử ngoài đường chéo của ma trận mật độ trong một số trường hợp xác định sẽ tỷ lệ với mô men lưỡng cực điện của nguyên tử

Với cách mô tả này chúng ta có thể tính giá trị kì vọng của biến số

động lực A bắt kì Như đã trình bày ở trên, khi trạng thái của hệ được biết

mn “ mn 3

chính xác trong trạng thái s thì giá trị kì vọng được tính bởi (4)= °C" C54

do đó đối với trường hợp trạng thái của hệ không được biết chính xác thì giá trị kì vọng sẽ nhận được bằng cách lấy trung bình phương trình (1.12) trên toàn bộ trạng thái khã dĩ của hệ

(4)=3)pGs)3)CÿC;A,„ nm (1.15)

Kí hiệu được sử dụng bên tay trái của phương trình này có nghĩa là tính toán trung bình thống kê cho giá trị kì vọng theo cơ học lượng tử của đại lượng quan sát A Sử dụng (1.14) có thể viết lại (1.15) trong dạng

Tổng kép trong phương trình có thể phân tích

DY Pan Ann = LD Pon Amn) = 33„ =1(pA), (1.17)

Với 2 là toán tử mật độ có phần tử ma trận là ø„ ; 24 là tích của toán tử ô

với toán tử 4 và (24),„ là phần tử ma trận của tích này

Để tìm phương trình chuyển động của ma trận mật độ, ta đạo hàm theo

biểu thức (1.13) theo thời gian

dj

&, “Xà =3 CoC + LCS for “ aC Ion } Hn dt cs (1.19) Giả sử p(s) không thay đổi theo thời gian, số hạng thứ nhất trong biểu thức

này sẽ triệt tiêu Số hạng thứ hai được tính trực tiếp nhờ phương trình

Schrödinger (1.8) Ta thu được:

Sử dụng (1.13), phương trình (1.21) được viết đơn giản như sau

cuối cùng lấy tổng trén v ta thu được phương trình

Phương trình (1.23) mô tả sự tiến triển theo thời gian của các phần tử ma trận mật độ như là kết quả của các tương tác được bao gồm trong Hamilton #7 Tuy nhiên như đã đề cập ở trên, có những tương tác nhất định (ví đụ do sự va chạm giữa các nguyên tử) dẫn đến xác suất của hệ ở trạng thái s không được

xác định, do đó ti sé dp(s)/dr không bị triệt tiêu Để đầy đủ hơn ta thêm vào

số hạng tắt dần mô tả những tương tác này cho phương trình chuyền động (1.23) Theo [6] có hai cách để mô tả những quá trình như vậy :

Cách thứ nhất là xem phương trình ma trận mật độ có dạng:

* Bl = BH 1B) ~ Yon Pan Pi) (1.24)

ở đây số hạng thứ hai bên phía tay phải là một thành phần tat dan mang tính

hiện tượng luận, nó chỉ ra rằng ø„ hồi phục đến giá trị cân bằng ø!* với tốc

độ z„„.Vì z„„ là tốc độ phân rã Ngoài ra, ta thực hiện giả thiết vật lý

Poo!) =0,n#m, (1.25)

có nghĩa là ở trạng thái cân bằng không xảy ra sự két hop

Cách thứ hai là xem các phần tử ngoài đường chéo của ma trận mật độ bị tắt dần do sự phân rã từ các mức cao đến các mức thấp Trong trường hợp như vậy phương trình ma trận mật độ được xác định

đụ, =—ih '[R,Ô _ —y„p,„.n # m, (1.26)

Ä,=Tih [f,ð|] + 3) Tum, — 3) Tạ, (127)

TH BE, E„<E„

Trong đó, các tốc độ phân rã được hiểu như sau:

T„„ là tốc độ phân rã tự phát từ mức ø tới ø, z„„ là tốc độ tắt dần của độ kết mn

hop p,, và được biểu thị :

Yon = 5p 4 TQ) +72, (1.28)

10

với T,= ÐT„ z2 là tốc độ lệch pha lưỡng cực, hay còn gọi là tốc độ lệch

Exe,

pha riêng, nó là do các quá trình (chẳng hạn như va chạm đàn hồi) mà chỉ làm thay đôi pha chứ không làm thay đổi độ cư trú hay nói khác đi không làm thay đối mức năng lượng

1.1.2 Nghiệm nhiễu loạn của phương trình ma trận mật độ

Theo cách mô tả thứ nhất trình bày trong mục (1.1.1) ta đã dẫn ra phương trình:

ở đây =-e chỉ toán tử mômen lưỡng cực điện của nguyên tử Gọi trạng thái

|z) là hàm riêng năng lượng ø„ của Hamilton không bị nhiễu loạn Ø,, tức là

f„„ = E„„ Như một hệ quả, ma trận của toán ?#, là ma trận chéo trong cơ sở

của chính nó

Khi đó ta có

(i

= YEG Pom ~ Pv Oum En)

= (Ap — pH, Yam = > (Ao unPom — Đau Ay um ) lam

= E,ØЄ— nm E„Ð,„ = (E„— E„)/Ø mF’ nm im) Pam * (132)

Ta định nghĩa tần số dịch chuyền (theo đơn vị tần số góc) theo công thức sau

Thay (1.30), (1.32) va (1.33) vao phuong trinh (1.24), thu duoc

Big = im Pam PoP |, Fam Pam ~ Prat) (1.35)

Khai triển giao hoán tử của ƒ với A co thé nhan dugc phuong trình ma trận mật độ dưới dạng:

i

Big =i Pag > YE Co Pom — Pa %om) ~ Yam Pam ~ Ps?) (1.35)

Để giải phương trình này chúng ta thay thé v, boi av,, void là tham số chạy

từ 0 đến 1, nó đặc trưng cho cường độ của nhiễu loạn Giá trị 4 =1 tương ứng với tình trạng vật lý thực Mỗi yếu tố ma trận được khai triển dưới dạng

Pam = Pim + AP am +A” Prag + (1.36)

Phương trình (1.36) là nghiệm của phương trình (1.35) cho bat ki gia trị nào của 2 Do đó ta nhận được một tập hợp các phương trình

đu =—Ì0,„/Ðụu —Z⁄u(/Đặm — Prat) » (1.37a)

Vì ø' đã được biết nên phương trình (1.37b) có thé lấy tích phân, muốn vậy

ta thay đối các biến số bằng cách biếu điễn ø!' như

Pan (t) = Sim (te CP" (1.40)

12

Đạo hàm ø! có thể được biểu diễn thông qua s) mm nm

1) ;, 1) Gm + Yam GO + Fm )

BB) =O y+ Zam Sine on Fe" + Sere wn, am ‘nm nm (1.41)

các công thức này được thay vào (1.37b) ta thu được

Lấy tích phân của (1.42) ta có

‘nm (1) _ ‘ a roe) A(0) GOpn + Fam May

9 =] h AG ),p ,.¢ Yon)! df (1.43)

Các biểu thức này được thay trở lại (1.40) và kết quả cuối cùng là

Hoàn toàn tương tự ta có thể tính đến các đóng góp bậc cao hơn đối cho các

phan tử trận mật độ, chẳng han đối với ø*' ta có thể nhận được bằng cách thay thé 6 bởi 2'**” ở bên về phải của phương trình (1.42) Vi du cụ thé

như đóng góp bậc ba được viết

1.2 Độ cám phi tuyến

1.2.1 Độ cảm phi tuyến trong mô hình Lorentz

Để mô tá độ cảm phi tuyến theo quan niệm cô điển người ta thường sử dụng mô hình Lorentz, trong đó xem nguyên tử như một dao động tử điều hòa

có tần số ø„, và đưa thêm một thành phần lực hồi phục phi tuyến tác động lên mỗi electron [6]

Chúng ta khảo sát độ cảm phi tuyến trong hai môi trường dưới đây

Môi trường không đối xứng tâm

Phương trình chuyền động của mỗi electron

& 2y & wo? Ve a = —eÊfÂ) !m (1.46)

Trong đó: tr) là cường độ điện trường của trường ngoài, e là điện tích electron, —2my biếu diễn lực tắt dần và lực hồi phục được cho đưới đạng

trong đó z là thông số đặc trưng cho cường độ của phi tuyến

Hàm thế năng tương ứng có đạng:

Số hạng thứ nhất trong (1.48) tương ứng với thế năng điều hòa và số hạng thứ

hai tương ứng với thành phần phi điều hòa được minh họa trên hình I.1

Parabol

>

x

Hình 1.1 Hàm thế năng của môi trường không đối xứng tâm

Đây là mô hình mô tả môi trường không đối xứng xuyên tâm bởi vì hàm thế nang (1.48) chứa cả bậc chẵn và bậc lẻ của #

Gia sir rang trường quang học đặt vào có đạng:

EU) = Re 2+ E;e "9 +ee , (1.49)

Khi đó phương trình (1.46) sẽ không có lời giải chính xác Tuy nhiên, nếu trường đặt vào đủ yếu thì số hạng phi tuyến a# sẽ nhỏ hơn nhiều so với số hạng tuyến tính ø‡¿# cho mọi dịch chuyển # mà trường có thé gây ra Trong trường hợp đó phương trình (1.46 ) có thể được giải bằng phương pháp nhiễu

loạn Thay #§)trong phương trình (1.46) bằng 2#), khi đó phương trình

(1.46) trở thành

14

§ 2x &u 03 M4 ald =—Aelr)/m (1.50)

Ta tìm một nghiệm của (1.50) trong dạng của một khai triển chuỗi năng lượng theo cường độ nhiễu loạn 2, nghĩa là nghiệm có dạng:

4 16) + A”96) + `6) + (1.51)

Để phương trình (1.51) là nghiệm của phương trình (1.50) cho mọi giá trị của

2 thì các số hạng trong phương trình (1.50) phải thoả mãn:

(DQ =x (Je +x (ae +ec, (1.53)

Thay (1.57) vào (1.56) dẫn tới kết quả:

xOQ)= 24! mY EE, , —2a(el my EE, D(0)D(@)D(-@,) D(0)D(@,)D(-@,) (1.594)

Biểu diễn các kết quả này theo độ cảm tuyến tính (y"”) va phi tuyến(z®) Độ cảm tuyến tính được xác định theo hệ thức:

P? 2a) = & 7° (2@,0,,0,)E(@) (1.63)

với P?(2a) là đóng góp phi tuyến tại tần số 2œ, cho độ phân cực phi tuyến bậc hai và được định nghĩa

16

So sánh các phương trình này với (1.63) thu được

Độ cảm phi tuyến tại tần số ø, nhận bằng sự thay thế @, > @, Vao (1.64)

Độ cảm phi tuyến mô ta sự phát tần số tổng nhận được qua các hệ thức

PO, + 0,) = 26,4 (@, + @,,0,,0,)E(@ )E(@,), (1.67) P'(@, + @,) =-Nex (@, + ø,) (1.68)

So sánh các phương trình này với thành phần x?1(ø,+ø„) của hệ phương trình (1.594đ), độ cảm phi tuyến tại tần số tổng nhận được

sẽ liên quan đến độ cảm bậc ba z® và tổng quát lên cho những nghiệm bậc ø

gắn với 4" hơn trong khai triển được mô tả bởi (1.51) sẽ giúp chúng ta tính toán độ cảm z”

Mô hình đối xứng tâm

Đối với môi trường đối xứng tâm, thế năng phải là hàm đối xứng Như vây ở

bậc thấp nhất của thế phải chứa số hạng bậc bốn

Hình 1.2 Mô hình thế năng của môi trường đối xứng xuyên tâm

Khi đó phương trình chuyên động của mỗi electron là:

$27 ð?9s b5 = —eỆ) Lm (174) Giả sử cường độ điện trường đặt vào chứa ba thành phần tần số khác nhau

Et) = Be + Bye" + Exec (1.75) Dùng phương pháp nhiễu loạn giống như đã trình bay trong trường hợp môi trường không đối xứng tâm ta thu được hệ các phương trình sau:

#9 + 2y #0 + øð299) = ~eÊf§) Lm, (1.76a)

#8 +27, + of 86 —0[ 20 | =0 (1.76c)

18

Khi giải phương trình (1.76a) ta cũng thu được

Véc tơ phan cực có dang

P”(@,)=—Nex" (@,) = &)Z" (@, )E(@,)- (1.78) Suy ra

Dap ứng bậc hai của hệ được mô tả bởi phương trình (1.76b) Vi day là phương trình đao động tắt đần mà không có lực cưỡng bức, đo đó hệ được mô

tả bởi phương trình này sẽ tiến đến trạng thái mà không có các dao động Tức

là nghiệm ở trạng thái dừng của nó bằng không

Ở đây chúng tôi sẽ tính toán độ cảm phi tuyến qua mô tả môi trường bằng lý thuyết lượng tử Thay vì đùng hàm sóng chúng tôi sử dụng hình thức

ma trận mật độ để mô tả hệ nguyên tử và phân tử, bởi vì dùng hàm sóng thì không mô tả được các quá trình hồi phục quan trọng trong trường hợp tương tác gần cộng hưởng

Trước tiên, ta sẽ tính toán cho độ cảm tuyến tính Trong phần 1.1, nghiệm nhiễu loạn trong gần đúng cấp một được dẫn ra

Pan (1) = [TỪ Œ),ð | emma lam (1.82)

Năng lượng tương tác được cho bởi

Thay (1.85) và (1.86) vào (1.82) thu được

Pin = (Phim ~ Pi! on DE (o,)

(1.87)

xe 92-720! jan le] œy

Dòng thứ hai của phương trình (1.87) được tính bằng

e.-o,}sz~- Ï "

l( ty, —@,)*Z„, l( #9, — @, )*Z„„

Do đó biểu thức ø!' cuối cùng thu được

gi = woo poy yan Ele) & (nm =p) im (1.89)

Sử dụng kết quả này để tính giá trị kì vọng của mô men lưỡng cực điện cảm ứng

Chúng ta phân tích (#z)) vào trong các thành phần tần số của nó theo

B(e,)=N(u,(@,))= Daz) (@,)E, (2) (1.103)

với z/'(ø,) ánh Dem Pan [om 0, ) ig, ~ 0) 7g ( )

Chúng ta nhìn thấy rằng độ cảm tuyến tinh tỷ lệ với hiệu độ cư tra p — p,

bởi vậy nếu hai mức n, m có độ cư trú bằng nhau thì dịch chuyển m—>n không đóng góp đến độ cảm tuyến tính

Ta có thể xem ban đầu hầu hết các nguyên tử tập trung ở trạng thái cơ bản z và sau một số bước biến đồi trung gian ta thu được

Số hạng thứ nhất có thể coi như sự đóng góp cộng hưởng vào độ tự cảm còn

số hạng thứ hai biểu điễn sự đóng góp không cộng hưởng

Dựa trên cách tính toán này ta có thể dẫn ra được biểu thức của các độ

cảm phi tuyến Chắng hạn đối với độ cảm phi tuyến bậc ba

1

ở đây giao hoán tử có thể được biểu diễn tường minh:

21

[Pa] = DU 02 sg LOO « (1.107)

Từ biểu thức da biét cho p® va p® ching ta dùng kí hiệu viết tắt: om TỦ

1 pq

ở đây K,„„là một biểu thức tương đối phức tạp không trình bày ở đây Chúng

ta biểu diễn điện trường đặt vào là

ol par | [Lom E(a, )|K„„

Ta biểu diễn độ phân cực phi tuyến theo cảm bậc ba là:

PO, +O, + @,) = & >> Hn, + @, + 69,, (9,2 9,69, ) (1.113)

mm

xE, (a, JE(@, )E,(@,) :

Kết hợp phương trình (1.110) đến (1.113) ta nhận được độ cảm bậc ba

2

[mn — 2, — ©, —@,)-i7 44 || (@n — ©, —@,)-i7,», || (@y-@,) =i | (1.114)

Trong các biểu thức này ta dùng ? là toán tử nội hoán vị, với ý nghĩa là về phải lấy trung bình trên toàn bộ phép hoán vị của các tần số vào (,„„(9,„(0, , VỚI các chỉ số Đềcác »,¡,/,k được hoán vị đồng thời Như vậy biểu thức đầy đủ cho độ cảm bậc ba gồm 48 số hạng do sáu hoán vị của các tần số trường vào 1.3 Hiệu ứng Kerr

Chiết suất của môi trường sẽ được thay đổi dưới sự tác động của điện

trường lớn bên ngoài và sự phụ thuộc của chiết suất vào cường độ trường như sau [6]:

trong đó ø„ là chiết suất tuyến tính thông, ø, là chỉ số khúc xạ bậc hai

Đại lượng # trong móc nhọn cho biết giá trị trung bình theo thời gian

ft) = E(o)e ”? +ee

=> ()°) =2E(ø)E” (ø) = 2|E(@)], (1.116)

E(o)

=>n=n,+2n,

Sự thay đối chiết suất theo cường độ gọi là hiệu ứng Kerr quang học, trong đó

chỉ số khúc xạ của một môi trường vật chất thay đổi một lượng mà tí lệ với

bình phương của biên độ trường

Sự tương tác của một chùm tia sáng với môi trường quang học phi tuyến cũng có thể được mô tả trong các thành phần của độ phân cực phi tuyến

mà ảnh hưởng đến sự lan truyền của chùm tia tần số ø là:

Ley = 7) +3e,7'" |E(a) (1.119)

Để có mối liên hế giữa độ cảm phi tuyến z#' với chỉ số khúc xạ phi tuyến ø,,

với n, là hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr, 7 biểu thị cường độ trung bình

theo thời gian của trường quang học, và được cho bởi

1=2nysje|E(@)} (1.124)

So sánh (1.116) và (1.123) ta thu được mối liên hệ giữa n, và n,

24

và giảm dần về phía biên của chùm tia Do vậy, môi trường hoạt động như một thấu kính có tiêu cự dương gây nên sự hội tụ của chùm tia bên trong vật

liệu Khi độ dày môi trường ngắn thì điểm hội tụ sẽ nằm ngoài môi trường và

ngược lại nếu môi trường quá dày thì điểm hội tụ nằm trong môi trường Khi

đó năng lượng lớn tại điểm hội tụ sẽ có thể phá vỡ các tính chất của môi trường Trường hợp này được chỉ ra trong hình I với giả sử ø, >0

Liên hợp pha quang học

Bản chất của quá trình liên hợp pha được minh họa trong hình 1.4.: Phần (a) mô tá một sóng quang học truyền theo phương vuông góc với một

tắm gương kim loại thường Rõ ràng phần nhanh nhất của mặt đầu sóng tới vẫn là nhanh nhất của sóng phản xạ Phần (b) của hình cho thấy cùng một mặt đầu sóng như vậy chiếu vào một gương liên hợp pha (phase conjugate mirror

~PCM), trong trường hợp này phần nhanh nhất trở thành phần chậm nhất sau khi phản xạ

Hình 1.4 Sự phản xạ từ (4) một gương thường và (b) một gương liên hợp pha

Với lý do này, sự liên hợp pha đôi khi còn được gọi là sự đảo ngược mặt đầu sóng Lý do tại sao quá trình minh họa trong hình 1.4 được gọi là liên hợp pha quang học có thể được hiểu bằng cách đưa vào một mô tả toán học của quá trình Gọi sóng tới gương liên hợp pha (hay còn gọi là sóng tín hiệu ) là:

Khi được chiếu bởi một sóng như vậy, gương liên hợp pha sinh ra một sóng phản xạ (được gọi là sóng liên hợp pha) được mô tả bởi:

ở đây z tương ứng với biên độ hệ số phản xạ của gương liên hợp pha Đề xác định ý nghĩa của thay thế E, () bới E () trong quá trình phản xạ, sẽ là hữu

ích nếu E, (F) được xem như là tích số:

26