một số phương pháp tìm cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Trong toán học cũng vậy,trong mỗi lĩnh vực cũng có những đại lượng "lớn nhất" hay "nhỏ nhất" màngười ta thường gọi là các bài toán cực trị, các bài toán này rất phổ biến trongcác đề thi

LỜI NÓI ĐẦU

Bất kể một lĩnh vực nào trong cuộc sống cũng có những yếu tố vượttrội, những cá nhân điển hình hay những thành tích cao nhất hay một kỷ lụcnào đó mà không ai vượt qua được đó là cái "nhất" Trong toán học cũng vậy,trong mỗi lĩnh vực cũng có những đại lượng "lớn nhất" hay "nhỏ nhất" màngười ta thường gọi là các bài toán cực trị, các bài toán này rất phổ biến trongcác đề thi vào lớp 10 THPT, hay thi vào các trường Cao đẳng, Đại học cũngnhư các đề thi học sinh giỏi ở nhiều năm

Tôi nhận thấy việc nghiên cứu các dạng toán và các phương pháp giảitoán cực trị , giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở cấp THCS, THPT là rất cần

thiết đối với mỗi học sinh Vì vậy, tôi mạnh dạn nghiên cứu khóa luận “ Một

số phương pháp tìm cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ” giúp học

sinh hiểu rõ hơn về dạng toán này Khóa luận này nghiên cứu, tìm tòi một sốphương pháp tìm cực trị nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về cácbài toán liên quan tới bất đẳng thức và toán cực trị

Trong quá trình trình bày khóa luận không tránh khỏi sự thiếu sót do ý

kiến chủ quan của cá nhân, vì vậy rất mong được sự đóng góp chân thành củacác quý thầy cô giáo và các đọc giả để khóa luận này được phát huy hiệu quả Cuối cùng tôi xin cám ơn toàn bộ giảng viên trường Đại học Quảng Bình đãtạo mọi điều kiện cho tôi học tập và sinh hoạt trong bốn năm qua Cám ơn banlãnh đạo trường Đại học Quảng Bình đã tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thànhkhóa luận này Đặc biệt, tôi xin chân thành cám ơn thầy giáo Thạc sĩ NguyễnQuốc Tuấn đã nhiêt tình giúp đỡ, đóng góp và hướng dẫn cho tôi trong suốt thờigian làm khóa luận này

Đồng Hới: Tháng 5 năm 2012 Sinh viên

Nguyễn Thị Vân

Trong chương trình toán phổ thông cấp THCS, THPT nhiều mảng kiếnthức trong SGK đề cập đến rất ít tới bài toán này nhưng trong quá trình kiểmtra lại gặp rất nhiều, ngay cả những học sinh nắm rất vững kiến thức SGKnhưng khi gặp dạng toán này cũng lúng túng.

Các bài toán cực trị được liệt kê vào một trong những dạng toán khó Đểgiải được một bài toán cực trị bên cạnh phải nắm vững được các kiến thức cơbản của chương trình phổ thông còn phải biết vận dụng linh hoạt các kiếnthức đó vào giải bài tập Điều đặc biệt là thông qua các bài toán cực trị ngườihọc có thể vận dụng linh hoạt vào giải các loại toán khác như giải phươngtrình, hệ phương trình, bất đẳng thức, chứng minh một yếu tố hình học

Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức, đọc nhiều tài liệu và qua nhữngđóng góp tích cực của thầy giáo và bạn bè Tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài

“ Một số phương pháp tìm cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ”

- Giúp bản thân người học nắm được các bước cơ bản để tìm cực trị

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Đề tài đưa ra một số dạng toán cơ bản về bài toán"cực trị’’phù hợp với

trình độ nhận thức của học sinh và chỉ ra được những sai lầm thường mắc phảicủa học sinh

- Thông qua đề tài trang bị cho học sinh một số phương pháp giải các bàitoán cực trị cơ bản để học sinh vận dụng làm bài tập

- Chọn lọc có hệ thống những bài tập mang tính tiêu biểu phù hợp vớitừng nội dung phương pháp

- Đề xuất một số phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải

4 Phạm vi đề tài

Phát triển năng lực tư duy của học sinh thông qua giải toán tìm cực trị đốivới các học sinh chuyên và không chuyên toán

5 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, đặc biệt trang bị các dạngtoán cực trị cơ bản cho học sinh lớp 12 ôn thi đại học

6 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp khách quan: Qua kết quả học tập của bản thân trong quátrình học tập ở THCS, THPT và trong quá trình học Đại học

- Phương pháp đọc và nghiên cứu từ các nguồn tài liệu khác nhau.Trích dẩn từ nguồn internet và các sách tham khảo

- Phương pháp tham khảo, trao đổi ý kiến với thầy giáo hướng dẩn vàbạn bè

7 Nội dung đề tài

Đề tài này được chia thành ba chương

Chương 1 : Cơ sở lý thuyết

Toàn bộ chương 1 trình bày các vấn đề liên quan tới các bài toán về cựctrị: Định nghĩa, các định lý, các tính chất của bất đẳng thức, của hàm số, điềukiện để có cực trị, các bước tiến hành để giải một bài toán cực trị…

Chương 2 : Một số phương pháp tìm cực trị

Trong khóa luận này tôi trình bày một số phương pháp tìm cực trị điểnhình

I : Phương pháp dùng bất đẳng thức

II : Phương pháp dùng miền giá trị của hàm số

III : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

IV : Phương pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác, tọa độ và véc tơ

Chương 3 : Một số sai lầm trong giải toán cực trị

Trong chương này tôi trình bày một số sai lầm của học sinh trong quá trìnhgiải bài toán cực trị

NỘI DUNG CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I: Định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

1.1 Định nghĩa giá trị lớn nhất của biểu thức

Cho biểu thức f x y , , xác định trên miền D Ta nói M là giá trị lớn nhấtcủa f x y , ,  trên miền D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:

- Với mọi x y, , thuộc D thì f x y , ,   M với M là hằng số

- Tồn tại x y0, , 0 thuộc D sao cho f x y 0, , 0  M

1.2 Định nghĩa giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Cho biểu thức f x y , , xác định trên miền D Ta nói m là giá trị nhỏnhất của f x y , , trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:

- Với x y, , mọi thuộc D thì f x y , ,   m với m là hằng số

- Tồn tại x y0, , 0 thuộc D sao cho f x y 0, 0  m

Xét biểu thức chứa biến P x Ta ký hiệu giá trị lớn nhất của biểu thức P 

trên tập xác định D của biến là GTLN(P) hay maxP, còn giá trị nhỏ nhất của

P là GTNN(P) hay minP.

a) Cho P A B  thì maxP maxA maxB  và minP m A m B in  in

Trong đó A và B là các biểu thức chứa các biến độc lập với nhau, hoặc nếu

A và B chứa cùng một biến thì cùng đạt GTLN (GTNN) tại một giá trị xácđịnh x x 0, tức là maxA A x  0 , maxB B x  0 thì maxP P x  0

 Một vài hệ quả quan trọng:

Dấu “=” xảy ra  a1a2   a b n; 1 b2   b n ; n Z n , 2

h) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

+ a  Dấu “=” xảy ra 0  a0

+ a  a a Dấu “=” xảy ra  a0

+ a b a  b Dấu “=” xảy ra  ab0 ,a bcùng dấu)

+ a b a  b Dấu “=” xảy ra  ab0 ,a bcùng dấu)

Dấu “=” xảy ra khi đôi một cùng dấu

l ) Định lý về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f x( )ax2 bx c (a 0)

Khi đó:

Nếu  0 thì f x( ) luôn luôn cùng dấu với a , x R

Nếu   0 thì f x( )luôn luôn cùng dấu với a , x R  ,

2

b x a

a/ max f x x D   max f x D 2 x

   b/min   min 2 

Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm số, bao giờ

cũng phải tìm TXĐ Cùng một hàm số f (x)nhưng xét trên hai TXĐ khác

nhau thì nói chung giá trị lớn nhất tương ứng khác nhau

Giả sử hàm số f x( ) liên tục trên a b chứa điểm ,  x và có đạo hàm trên0

khoảng a b Không nhất thiết phải có đạo hàm tại ,  x nên khi đó0

a)    

0 0

CHƯƠNG II : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ

I : Phương pháp dùng bất đẳng thức

1.1 Nội dung phương pháp

Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

miền D nào đó, ta tiến hành theo hai bước:

+ Chứng minh một bất đẳng thức

+ Tìm x , , D0 y0  sao cho dấu “=” xảy ra

1.2 Các kiến thức liên quan

Vận dụng bất đẳng thức a b a  b Dấu "=" xảy ra khi ab 0.

1

1 1

Dạng hàm số khiến ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức: ab a  b đối với

1000 cặp giá trị tuyệt đối

Vậy minK = 2 xảy ra “=” khi   1 x 0

VD 5 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A, với x  1,y ≥ 2 , z ≥ 3

x y z

x y z

15 ;

min

, , 02

x y z P

21

Cách 2: Ta có

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski đối với (x,y,z)và (y,z,x)

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

)(

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si

x y z

x y z

HD: Ta phân tích a3b3 3a b2 3ab2 (a b )3 vì thế ta muốn xuất hiện

3

(a b ) ; ta áp dụng bất đẳng thức 31 3 12 1 2

a b  a b ab áp dụng hệ quảcủa bất đẳng thức cô-si ta có :

II: Phương pháp sử dụng miền giá trị của hàm số

2.1 Nội dung phương pháp

Xét bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số f x( ) trên một miền D chotrước Gọi y0 là một giá trị tùy ý của hàm số f x( )trên miền D thì khi đó ta có

Trong nhiều trường hợp sau khi ta biến đổi đưa được về dạng  y0  

Vì y0là một giá trị tùy ý của f x( ) nên ta có min ( ) ;max ( )

Cho tam thức bậc hai f x( )ax2 bx c (a 0)

Khi đó ta biện luận nghiệm của hàm số theo hệ số của a

Nếu a = 0 thì phương trình có nghiệm c

x b

11

11

Trường hợp 2: Nếu y0  1 thì điều kiện cần và đủ để (2) có nghiệm là  

22

Từ đó suy ra

B  a

22

thay vào (4) ta có :4 y2  t02  t0  1 (5)

Vì

2 2

Gọi y0 là một giá trị tùy ý của hàm số.

Khi đó ta phương trình có nghiệm theo ẩn x

VD 22: Tìm GTLN, GTNN của hàm số

2 2

1

x x Q

 ( với t là tham biến )

Vì x  2 1 0 với mọi số thực xnên dấu của f x  chính là dấu của tử thức

 ( với t là tham biến )

Vì x2  y2luôn luôn dương trừ giá trị x 0y  nên dấu của f x y chính , 



 

III: Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

3.1 Nội dung phương pháp

Phương pháp này kết hợp với việc sử dụng đạo hàm để khảo sát tính đồng biến và nghịch biến của hàm số với việc so sánh các giá trị đặc biệt của hàm

số (các điểm cực tiểu, cực đại của hàm số, các điểm giới hạn của hàm số)

Chú ý : Khi đổi biến phải xác định lại miền xác định của hàm số mới mà ta

sử dụng sau khi biến đổi

Giả sử hàm số f x( ) liên tục trên a b chứa điểm ,  x và có đạo hàm0

trên khoảng a b Không nhất thiết phải có đạo hàm tại ,  x nên khi đó0

a)    

0 0

- Giải phương trình f x '( ) 0tìm được x

- Thử lại giá trị x có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cựctrị tại x thì f x '( ) 0không kể CĐ hay CT)

- Đạo hàm cuả hàm số không đổi dấu qua nghiệm kép

- Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì f x 0 là giá trị cực trị hay

t xy

x y xy

f t





 -2 2 

 '( )

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy

s inos

4

9 Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy

Để x x là nghiệm của phương trình 1, 2 2

A t

KXĐ

+( )

A t 

2

Giải :

Hàm số xác định trên R

Ta có : y' 3 mx26mx (m 1)

y' 0  3mx26mx (m1) 0

Với m 0thì ta có : 1 = 0 ( vô lý ) Vậy hàm số không có cực trị

Với m  Để hàm số có cực trị thì 0 y ' 0 và có hai nghiệm phân biệt

 ' 3m2 3 (m m 1) 0

 3 (4m m 1) 0

014

Gọi A x y B x y là các điểm cực trị của hàm số khi đó ( ; ), ( ; )1 1 2 2 x1,x2 lànghiệm của phương trình g x( ) 3 x2  12x3(m2) 0

m m

  thì cực đại và cực tiểu của hàm số cùng dấu

VD 32: Cho hàm số y x 3 3x2 2 ( C ) hãy tìm tất cả các giá trị của a để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị ( C ) nằm ở 2 phía khác nhau của đường tròn ( phía trong và phía ngoài ) C x a : 2 y2  2ax 4ay5a2  1 0

Giải:

Vậy với m= - 2 là giá trị cần tìm

VD 34: Cho hàm số y x 3 3x2m x m2  có cực đại và cực tiểu và 2 điểm

đó đối xứng nhau qua đường thẳng 1 5

Để hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y ' 0 và có 2 nghiệm phânbiệt

2 2

Gọi hai điểmA x y B x y( ; ), ( ; ) 1 1 2 2 ,là điểm cực đại và cực tiểu của hàm số thì khi

đó x1, x2 là nghiệm của phương trình g x   0

Vậy với m=2 thì hàm số đạt cực đại tại x= 0

VD 38 : Tìm hệ số a, b, c, d sao cho hàm số y f x( ) ax 3 bx2cx d đạt cực tiểu tại x= 0, f(0) 0  và đạt cực đại tại x = 1, f(1) 1 

y y

Hàm số đạt cực trị tại x 0, 4 x 

Vậy a2, 4b  là các giá trị cần tìm

y đổi dấu qua khi x đi qua điểm đó Khi đó phương trình (2) vô nghiệm

hoặc có nghiệm kép trong đó có một nghiệm bằng 0

2 2

m

m m

m m

Bài 2 : Tìm m để hàm số y x 3 3mx2m 1 x2đạt cực đại tại x  2

( Đại học huế khối A-1989)

Bài 3 : Xác định giá trị của m để hàm sốy x 3 2m1 x2m2 3m2 x4

có cực đại và cực tiểu nằm về hai phái của trục tung

HD: Gọi A x y B x y( ; ), ( ; ) 1 1 2 2 là các điểm cực trị của hàm số

Khi đó x ,1 x là nghiệm của phương trình 2 f x '  0

Để hai điểm cực đại và cực tiểu cùng dấu  y y1 2 0

IV: Phương pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác, tọa độ và véc tơ

4.1 Nội dung phương pháp

Nếu như một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, bằng một phépbiến đổi nào đó có thể quy về sự kiện hình học thì ta nên dùng phương phápbất đẳng thức trong tam giác, tọa độ và véc tơ để giải chúng Dĩ nhiên làphương pháp này chỉ thích hợp cho các bài toán trong nội dung của nó đãtiềm ẩn những yếu tố hình học, mà thoạt tiên ta chưa nhìn ra nó, chứ khôngphải bài nào cũng có thể giải bằng phương pháp này

4.2 Kiến thức bổ sung

1 Bất đẳng thức tam giác

AB BC AC: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi B nằm giữa A và C

2 Công thức vô hướng

là 0

Công thức này vẩn áp dụng được cho ba , bốn véc tơ

4 Chọn hệ trục tọa độ thích hợp rồi dựa vào định lý Cosin, diện tích tam giác

2

2

3 2

1 2

3 2

y x

VD 46 : Cho 3 số dương a, b, c ( cho trước ) và ba số dương bất kỳ x, y,

z luôn luôn thỏa mản a b c 1

Dấu “ = ” xảy ra

1

a x

b y

c z

Trên Mặt phẳng tọa độ Oxy xét vị trí các điểm A , B

Vì y y  A B 4 2    8 0 A, B nằm khác phía đối với Ox

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số y không có cực đại mà chỉ có cực tiểu

y = 1 trên 1 x 2 vậy min D = 1 khi và chỉ khi 1 x 2

y 3 (d1) (d2)

(d3)

1

2 1

-3 O

Hình 1

nếunếunếu

y 3 (d1) (d2)

(d3)

1

2 1

-3 O

Hình 1

y y  A B 3.8 24 0   nên A, B cùng phía đối với Ox

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua trục Ox nên A’ ( 2 ; -3 )

I: Dạng sai lầm thứ 1

1.1 Nội dung sai lầm

Trong bài làm sử dụng nhiều bất đẳng thức, nhưng khi tìm điều kiện để biểu thức cần tìm đạt giá trị nhỏ nhất ( hoặc giá trị lớn nhất ) thì các dấu bằng không đồng thời xảy ra đã kết luận hàm số đạt giá trị nhỏ nhất ( hoặc lớn nhất ) hoặc biểu thức không đạt giá trị nhỏ nhất ( hoặc lớn nhất )

12

02

x

x y y

y y

y y

2.1 Nội dung sai lầm thứ 2

Không xác định điều kiện xảy ra dấu “=” trong bất đẳng thức f x( ) M , (hoặc f x( ) M ) ,hoặc điều kiện xảy ra dấu bằng không thỏa mản

Dấu "=” xảy ra khi

01

9

2

f chưa chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức

Do đó Ax x 0

Min A 0  x 0

III Dạng sai lầm thứ 3 :

3.1 Nội dung sai lầm thứ 3

Bất dẳng thức f x( )a không xảy ra đẳng thức ứng với 1 giá trị x x  0 nào

đó ( x0 thỏa mản điều kiện của bài toán ) đã kết luận biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất của f x( ) bằng a hoặc biểu thức f x( )không đạt giá trị nhỏ nhất

3.2 Một số ví dụ sai lầm và cách khắc phục

VD 53 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

5 4 4

Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhưng khi khẳng định “ A có

tử số là số không đổi nênAcó giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa

Với lập luận “phân thức Bcó tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏnhất” do mẫu nhỏ nhất bằng  4 khi x 0, ta sẽ đi đến kết luận :

là các số dương Hoặc từ nhận xét trên suy ra A 0, do đó A lớn nhất khi và

Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhưng lập luận mắc sai lầm.

Ta mới chứng minh được f(x,y)g(x,y), chứ chưa chứng minh được

4.1 Nội dung sai lầm thứ 4

Nhầm tưởng vai trò của các biến trong bài như nhau

( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b

Để ra ngay kết quả P ≥ 6  min P = 6 0