sử dụng các phương pháp của giải tích phi tuyến vào một số bài toán biên phi tuyến

HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNLÊ KHÁNH LUẬN SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số chuyên ngà

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ KHÁNH LUẬN

SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP

CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN

VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2013

Công trình được hoàn thành tại:

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh

Người hướng dẫn khoa học

1 TS NGUYỄN THÀNH LONG

2 TS TRẦN MINH THUYẾT

Phản biện 1: GS TSKH ĐỖ CÔNG KHANH

Phản biện 2: GS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG

Phản biện 3: PGS TS PHẠM HỮU ANH NGỌC

Phản biện độc lập 1: GS TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN

Phản biện độc lập 2: TS NGUYỄN VĂN NHÂN

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp cơ sở đào tạo họp tại

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh

vào lúc giờ tháng năm 2013

Có thể tìm luận án trên tại các thư viện:

Thư viện Khoa học Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh

Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh

Mở đầu

Lý thuyết các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng có mối liên

hệ trực tiếp với các bài toán xuất phát từ thực tiễn Vào giữa thế kỷ XVIII,các công trình của những nhà toán học như L Euler (1707-1783), D’Alembert(1717-1783), Lagrange (1736-1813) và Laplace (1749 -1827) đã đặt nền móngcho việc xây dựng phương trình đạo hàm riêng như là một công cụ quan trọng

để mô tả các mô hình của vật lý và cơ học Từ đó đến nay, lý thuyết phươngtrình đạo hàm riêng đã phát triển không ngừng và đóng một vai trò quantrọng trong lĩnh vực toán học lý thuyết cũng như trong lĩnh vực toán học ứngdụng, đồng thời thúc đẩy sự phát triển các ý tưởng toán học ở nhiều lĩnh vực

Sự phát triển của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có tác động qualại với sự phát triển của giải tích thực, giải tích hàm và các lĩnh vực nghiêncứu hiện đại khác của toán học Chính nhu cầu nghiên cứu một cách chặt chẽcác phương trình đạo hàm riêng đã làm nảy sinh nhiều phương pháp hữu hiệunhư phương pháp Fourier, phương pháp Galerkin và các phương pháp kháccủa giải tích phi tuyến

Thực tế cho thấy rằng, có rất nhiều dạng bài toán biên cho phương trìnhsóng nói riêng và phương trình đạo hàm riêng nói chung, và không tồn tại mộtphương pháp chung nào để giải tất cả các bài toán đó Còn nhiều dạng bàitoán vẫn là "bài toán mở" - cần tiếp tục khảo sát Do các yếu tố phi tuyếnxuất hiện trong bài toán biên, bài toán sẽ trở nên phức tạp và đòi hỏi phải lựachọn các công cụ toán học thích hợp kèm theo một số kỹ thuật tính toán đểthu được các thông tin về nghiệm càng nhiều càng tốt, như sự tồn tại nghiệm,tính duy nhất, tính trơn, tính ổn định hoặc khai triển tiệm cận nghiệm.Chính vì vậy, chúng tôi có cơ sở để chọn đề tài nghiên cứu của luận án là

"Sử dụng các phương pháp của giải tích phi tuyến vào một số bàitoán biên phi tuyến"

Các phương pháp của giải tích phi tuyến cùng các kiến thức cơ bản khác

hỗ trợ cho việc giải các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng có thểđược tìm thấy trong rất nhiều tài liệu, có thể kể đến các tài liệu như: HaimBrezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations,Springer New York Dordrecht Heidelberg London, 2010; J L Lions, Quelques

méthodes de résolution des problèmes aux limites nonlinéaires, Dunod; thier – Villars, Paris, 1969; Lakshmikantham V, Leela S, Differential and In-tegral Inequalities, Vol.1 Academic Press, NewYork, 1969; K Deimling, Non-linear Functional Analysis, Springer, NewYork, 1985.

Gau-Tiếp nối các công trình đã có cho phương trình sóng, luận án tập trungkhảo sát một số bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến cụ thể thuộcdạng

utt @x@ [ (x; t; u; ux) ux] = f (x; t; u; ux; ut); 0 < x < 1; 0 < t < T;liên kết với điều kiện biên cụ thể và điều kiện đầu

u(x; 0) = ~u0(x); ut(x; 0) = ~u1(x);

trong đó ; f; ~u0; ~u1là các hàm số cho trước

Để giải các bài toán biên cụ thể này, bên cạnh phương pháp xấp xỉ tuyếntính với một sơ đồ lặp được xây dựng bằng phép quy nạp, luận án đã sử dụngphương pháp Galerkin liên hệ với các định lý điểm bất động, các đánh giá tiênnghiệm và các lý luận về tính compact Trong đó, công cụ chính là phươngpháp Galerkin hay còn gọi là xấp xỉ Faedo - Galerkin Phép giải xấp xỉ nàythường được sử dụng để tìm nghiệmu(x; t) của bài toán giá trị biên - ban đầucho các phương trình đạo hàm riêng Ý tưởng cơ bản ở đây là chọn một cơ

sở phù hợpfeig trong một không gian hàm nào đó và rồi đi tìm kiếm nghiệmdạng u(x; t) = P1

i=1ci(t)ei(x) của bài toán biên ban đầu Từ đó, dẫn đếnbài toán giá trị biên ban đầu cho một hệ vô hạn các phương trình vi phânthường với ẩn hàm làci(t); bài toán sẽ được giải bằng việc tìm "nghiệm xấpxỉ"un(x; t) = Pn

i=1cni(t)ei(x) thoả mãn hệ phương trình "cắt ngắn" tươngứng Cuối cùng, ta chỉ ra dãy nghiệm xấp xỉfung hội tụ về nghiệm u: Quátrình chứng minh tồn tại nghiệm theo phương pháp này rất cần đến các kỹthuật của giải tích phi tuyến, mà trước hết là vận dụng các định lý điểm bấtđộng như Schauder hay định lý ánh xạ co để chứng minh sự tồn tại nghiệmxấp xỉ; sử dụng các bất đẳng thức và đặc biệt là bổ đề Gronwall để thu đượccác ước lượng sai số hay các đánh giá tiên nghiệm, ngoài ra bổ đề Gronwallcũng đóng một vai trò quan trọng trong việc chứng minh sự tồn tại và duynhất nghiệm Cuối cùng là việc sử dụng các định lý nhúng compact để trích

ra được các dãy con hội tụ về nghiệm cần tìm của bài toán

Nội dung chính của luận án gồm ba chương Sau đây là phần giới thiệu vềcác bài toán được nghiên cứu trong các chương

Chương 1 đề cập đến việc sử dụng các phương pháp của giải tích phituyến cho bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến

trong đóu~0; ~u1; ; f; g0; g1 là các hàm số cho trước Đây là bài toán được

đã được đề cập nhiều trong các công trình nghiên cứu của nhiều tác giả trongnhững năm gần đây

Trong các trường hợp đặc biệt, khi các hàm (x; t; u) độc lập với u như:(x; t; u) 1; hoặc (x; t; u) = (x; t); và số hạng phi tuyến f có các dạngđơn giản, bài toán (1), với các điều kiện biên- ban đầu khác nhau, đã đượcnghiên cứu bởi nhiều tác giả, chẳng hạn như, Ortiz, Định [SIAM J Math.Anal 18(1987) 452 - 464], Long, Định [Nonlinear Anal TMA 19(7)(1992)

613 – 623; 24(8)(1995) 1261 – 1279]; Long, Diễm [Nonlinear Anal TMA.29(1997) 1217 –1230]; Long, Định, Diễm [J Math Anal Appl 267(1)(2002)

116 – 134; Demonstratio Math 36(3)(2003) 683 - 695; Bound Value Probl.2005(3)(2005) 337 – 358]; Long, Trường [Nonlinear Anal TMA 67(3)(2007)

842 – 864; Electron J Diff Eqns., Vol.2007(2007), No 48, pp 1 – 19]; Ngọc,Hằng và Long [Nonlinear Anal TMA 70(11)(2009) 3943 – 3965] và các tàiliệu tham khảo trong đó

Trong bài báo [Comm Pure Appl Math 10(1957) 331-356] Ficken vàFleishman đã thiết lập sự tồn tại duy nhất toàn cục và sự ổn định của nghiệmcho phương trình

uxx utt 2 ut u = "u3+ ; " > 0: (2)Trong [Comm Pure Appl Math 20(1967) 145 - 205] Rabinowitz đã chứngminh sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn cho

uxx utt 2 ut= "f (x; t; u; ux; ut); (3)trong đó" là một tham số bé và f là hàm tuần hoàn theo thời gian

Trong một bài báo của Caughey và Ellison [J Math Anal Appl 51(1975)1- 32] đã hợp nhất các xấp xỉ của các trường hợp trước đó để khảo sát sự tồntại, duy nhất và ổn định tiệm cận các nghiệm cổ điển cho một lớp các hệ độnglực phi tuyến liên tục

Trong [Demonstratio Math 36(3)(2003) 683 - 695] Long, Định, Diễm đãnghiên cứu thuật giải qui nạp tuyến tính và khai triển tiệm cận cho phương

trình sóng phi tuyến

utt uxx= f (x; t; u; ux; ut) + "g(x; t; u; ux; ut); (4)với các điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất(

ux(0; t) h0u(0; t) = g0(t);

ux(1; t) + h1u(1; t) = g1(t): (5)Ngoài ra, một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu u" đến cấp N + 1 theo "cũng được nghiên cứu ứng vớig0; g12 C3(R+); f 2 CN +1([0; 1] R+ R3);

g 2 CN([0; 1] R+ R3) và một số điều kiện khác

Trong trường hợp (x; t; u) phụ thuộc vào u hay số hạng phi tuyến f códạng tổng quát, theo sự hiểu biết của chúng tôi chưa có nhiều công trìnhnghiên cứu, vì thực tế các tính toán không dễ dàng Để giải quyết khó khănnày, phương pháp tuyến tính hóa các số hạng phi tuyến thường được sử dụng

Kỹ thuật này như sau Đầu tiên, với mỗi v = v(x; t) thuộc một không gianhàm thích hợpX; ta có thể đưa ra một số giả thiết thích hợp để có được mộtnghiệm duy nhấtu 2 X của bài toán đối với = (x; t; v(x; t)) = ~(x; t) và

f = f (x; t; v; vx; vt) = ~f (x; t): Rõ ràng là u phụ thuộc vào v; vì vậy ta có thểgiả sử rằngu = A(v): Vì vậy, bài toán trên có thể được đưa về một bài toánđiểm bất động của toán tử A : X ! X: Dựa vào ý tưởng này, ta thiết lậpđược một dãy lặpfumg sao cho fumg hội tụ về nghiệm của bài toán và ta thuđược kết quả tồn tại nghiệm; thông thường là xây dựng theo thuật giải lặp

um= A(um 1); m = 1; 2; :::; với số hạng đầu u0được chọn trước

Trong chương này, trước hết sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phươngcủa bài toán (1) được chứng minh Vì (x; t; u) phụ thuộc vào u và f có dạngtổng quát, nên như đã nói ở trên, chúng tôi chọn phương pháp xấp xỉ tuyếntính và sử dụng kết hợp với phương pháp Galerkin, phương pháp compact vàđánh giá tiên nghiệm Tiếp theo, khi các hàm ; f có nhiễu, thay cho ; f

là 8+ "1 1 vàf + "2f1; ta có bài toán nhiễu sau

trường hợp = (u); 1= 1(u); g1(t) = 0 như là một trường hợp riêng.Ngoài ra, kết quả của Chương 1 cũng đúng cho bài toán (1)1;3 liên kết vớiđiều kiện biênu(0; t) = u(1; t) = 0; và đã được công bố trong [L3], trong đókhẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm đồng thời thiết lập một khai trển tiệmcận của nghiệm theop tham số bé "1; :::"p, ứng với các hàm ; f có nhiễu dướidạng +Pp

i=1"i i vàf +Pp

i=1"ifi:Chương 2 tiếp tục sử dụng các phương pháp và công cụ của giải tích phituyến để xét bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến có dạng

Đây là bài toán được khảo sát bởi nhiều tác giả, như là: An, Triều [J.Mech NCSR Vietnam, 13(2)(1991) 1 –7]; Bergounioux, Long, Định [Nonlin-ear Anal TMA 43(2001) 547–561]; Cavalcanti, cùng các cộng sự [Appl Math.Comput 150(2)(2004) 439–465]; Định, Long [Demonstratio Math 30(3)(1997)

557 - 572]; Long cùng các cộng sự [Nonlinear Anal TMA 19(7)(1992) 613– 623; 24(8)(1995) 1261 – 1279; Bound Value Probl 2005(3)(2005) 337 –358; Demonstratio Math 36(4)(2003) 915 – 938; Electron J Diff Eqns., Vol.2007(2007), No 48, pp 1 – 19]; Ngọc cùng các cộng sự [Comm on Pure andApplied Anal 12(5)(2013) 2001-2029; Nonlinear Anal TMA 70(11)(2009)

3943 – 3965; Nonlinear Anal TMA 72(3–4)(2010) 1865 – 1885; Acta Math.Viet 36(2)(2011) 345 – 374] và các tài liệu tham khảo trong đó

Trong công trình của An, Trieu [J Mech NCSR Vietnam, 13(2)(1991) 1–7] đã xét bài toán (7)1;2;4, và (8) liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần

nhất tạix = 1 :

với (x; t) 1; F = ~u0= ~u1= ~P0= 1= 0; (t) = ; và f (u; ut) = Ku + ut;với ; K 0; 0 là các hằng số cho trước Trong trường hợp này bài toán(7)1;2;4, (8) và (9) là một mô hình toán học mô tả những va chạm của một vậtrắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng Cũng với(x; t) 1; một trường hợp đặc biệt khác của bài toán (7)1;2;4, (8) liên kết vớimột điều kiện biên tuyến tính tại x = 1 đã được khảo sát bởi Bergounioux,Long, Định [Nonlinear Anal TMA 43(2001) 547–561]

Từ (8), biểu diễnP (t) theo 1; 2; ~P0; ~P1; (t); utt(0; t) và sau đó lấy tíchphân từng phần, ta thu được

P (t) = g(t) + (t)u(0; t) +Rt

0k (t; s) u (0; s) ds; (10)g(t) = P~0 (0)~u0(0) e tcos !t

4 2 2: Khử P (t); ta thay điều kiện biên (7)2 bởi(0; t)ux(0; t) = g(t) + (t)u(0; t) +Rt

0k (t; s) u (0; s) ds: (13)Khi đó, bài toán (7), (8) được dẫn về bài toán (7)1;3;4và (13), dạng bài toánnày cũng đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chẳng hạn như, Cav-alcanti cùng các cộng sự [Appl Math Comput 150(2)(2004) 439–465]; Long,Định và Diễm [Bound Value Probl 2005(3)(2005) 337 – 358]; Ngọc, Hằng

và Long [Nonlinear Anal TMA 70(11)(2009) 3943 – 3965]; Tiehu Qin nese Ann Math Ser B 14(3)(1993) 335–346; Arab J Sci Eng 19(2A)(1994)195–202]; Rivera J E Munoz [Math Meth Appl Sci 23(2000) 41 – 61; Appl.Math Lett 13(2)(2000) 115–121]; Santos [Electron J Qual Theory Differ.Equ 2002(7)(2002) 17pp] và các tài liệu tham khảo trong đó Các công trìnhnày đã có được nhiều kết quả đáng chú ý về sự tồn tại, duy nhất, tính trơn,tính ổn định, khai triển tiệm cận của nghiệm hoặc tính tắt dần của nghiệm.Kết quả thu được của chương 2 gồm 3 phần sau đây:

[Chi-Phần 1 là kết quả về sự tồn tại toàn cục và duy nhất nghiệm yếu của bàitoán (7) dưới một số điều kiện cho trước Trong phần 2, gọi u 1 là nghiệm

yếu của bài toán (7) ứng với mỗi 1> 0; ta thu được dáng điệu tiệm cận củanghiệm u 1 khi 1 ! 0+: Phần còn lại chỉ ra được một cách khai triển tiệmcận của nghiệmu 1 theo tham số bé 1; đến cấp N; theo nghĩa là có các hàm

u0; u1; :::; uN độc lập với 1 sao cho ta có một đánh giá dạng

i

1u0 i

L 1 (0;T ;L 2 ) CT

(N +1) 1 2( 1)

Bài toán thuộc dạng (14) cũng đã được nhiều tác giả nghiên cứu và đãnhận được nhiều sự quan tâm rộng rãi, bài toán được nghiên cứu ở đây cóthể xem như là sự tiếp nối của một trong các công trình Cavalcanti, cùngcác cộng sự [Appl Math Comput 150(2)(2004) 439–465]; Long, Định vàDiễm [Bound Value Probl 2005(3)(2005) 337 – 358]; Ngọc, Hằng và Long[Nonlinear Anal TMA 70(11)(2009) 3943 – 3965]; Tiehu Qin [Chinese Ann.Math Ser B 14 (3)(1993) 335–346; Arab J Sci Eng 19(2A)(1994) 195–202]; Rivera J E Munoz [Math Meth Appl Sci 23(2000) 41 – 61; Appl.Math Lett 13(2)(2000) 115–121]; Santos [Electron J Qual Theory Differ.Equ 2002(7)(2002) 17pp]

Trong [J Mech NCSR Vietnam, 13(2)(1991), 1 –7] An, Triều đã nghiêncứu một trường hợp riêng của bài toán (14)1;4 liên kết hợp với điều kiện biên

ux(0; t) = g0(t) + h0u (0; t) +Rt

0k0(t s) u (0; s) ds; (15)

với 1; ~u0= ~u1 0; và f (u; ut) = Ku + utvớiK> 0; > 0 là các hằng

số cho trước,g0 vàk0 là các hàm cho trước Trong trường hợp này, bài toán(14)1;4; (15), (16) là một mô hình toán học mô tả va chạm của một vật rắn

và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng

Trong [Nonlinear Anal TMA 43(2001) 547–561], Bergounioux, Long vàĐịnh đã nghiên cứu bài toán (14)1;4; (15) với điều kiện biên (14)3 được thaybởi

ux(1; t) + K1u (1; t) + 1ut(1; t) = 0; (17)trong đó f (u; ut) = Ku + ut; với K > 0; > 0; K1 > 0; 1 > 0 là cáchằng số cho trước vàg0; k0là các hàm cho trước Sau đó, Long, Định và Diễm[Bound Value Probl 2005(3)(2005) 337 – 358] đã tổng quát hóa kết quả củaBergounioux bằng việc khảo sát bài toán (14)1;4; (15) và (17) trong trườnghợp của f (u; ut) = Kjujp 2u + jutjq 2ut; trong đó K; > 0; p; q > 2 và(~u0; ~u1) 2 H2 H1:

Gần đây trong [Nonlinear Anal TMA 70(11)(2009) 3943 – 3965] Ngọc,Hằng và Long cho kết quả về sự tồn tại duy nhất, ổn định và khai triển tiệmcận của bài toán (14) ứng với trường hợpf (u; ut) = (u)+ ut; ở đây là mộthằng số cho trước và hàm 2 C1(R) thỏa điều kiệnRz

0 (s) ds C1z2 C108z 2 R; C1; C0

Một phần kết quả của Chương 3 đã được gửi đăng trong [L4]

Toàn bộ nội dung chính của luận án là nới rộng các kết quả đã được công

bố trong các bài báo ([L1] – [L3]) và gửi đăng trong [L4], một phần các kếtquả trên đã được báo cáo trong các hội nghị:

- Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 7, tại Qui Nhơn 04 – 08 /08/2008

- Hội nghị Ứng dụng Toán học lần thứ 2 25/12/2005); lần thứ 3 25/12/2010), tại Hà Nội

(23 Hội nghị Khoa học lần 5 (30/11/2006), lần 7 (26/11/2010), lần 8 (9/11/2012),

ĐH Khoa học Tự nhiên Tp HCM, tiểu ban Toán-Tin học

- Hội nghị Khoa học Công nghệ lần thứ 10 (26/10/2007), lần thứ 11 (21–23/10/2009), Trường ĐH Bách khoa Tp HCM, 26/10/2007, Phân ban Toán

Cơ Kỹ thuật

- Hội nghị Khoa học về một số hướng nghiên cứu mới trong toán họchiện đại và ứng dụng, trường ĐH Hồng Đức -Thanh Hóa, 25-28/5/2011; 24-

Để tiện cho việc theo dõi, sau đây là một số ký hiệu và các không gian hàmcần thiết để sử dụng trong suốt luận án, các khái niệm và tính chất cơ bảnkhác đặc trưng cho các dạng bài toán sẽ được nêu rõ trong mỗi chương.Không gian hàm thông dụng Trong suốt luận án nầy chúng tôi kýhiệu = (0; 1) ; QT = (0; 1) ; T > 0: Chúng tôi không nhắc lại địnhnghĩa mà chỉ ký hiệu lại các không gian hàm thông dụng:Wm;p= Wm;p( ) ;

Lp = W0;p( ) ; Hm = Wm;2( ) ; 1 p 1; m = 0; 1; ::::Chi tiết về khônggian trên có thể xem trong các cuốn sách của Brézis và Lions đã nêu ở trên.Chú ý thêm rằng, ta không viết đi kèm theo các ký hiệu không gian hàm nếu

= (0; 1) ; nhưng nếu cần phân biệt với miền khác với = (0; 1) thì sẽ viết

rõ, chẳng hạn như Wm;p(0; T ) ; Lp(0; T ) ; Hm(0; T ) ; Wm;p(QT) ; Lp(QT) ;

Hm(QT) ::::

Chuẩn trongL2được ký hiệu làk k : Ta ký hiệu h ; i là tích vô hướng trong

L2hoặc tích đối ngẫu của các phiếm hàm tuyến tính liên tục với một phần tửcủa không gian hàm

Cho không gian Banach X với chuẩn k kX: Ta ký hiệu Lp(0; T ; X) ; 1

p 1; để chỉ không gian Banach của các hàm u : (0; T ) ! X đo được, saochokukL p (0;T ;X)< +1; trong đó

"1; "2:

Bổ đề 01 Cho m; N 2 N và u 2 R; 2 Z2

+; 1 j j N: Khi đóP

1 j j Nu ~" m=P

m j j mNT(m)[u]~" ;trong đó các hệ số T(m)[u] phụ thuộc vào họ u = fu : 1 j j N g đượcxác định bởi

1.2 Các ký hiệu và giả thiết

Trong chương nầy, ta sử dụng không gian hàmV = v 2 H1: v (1) = 0 :Giả sử rằngu~02 H2; ~u12 H1; g0; g12 C3(R+) ; f 2 C1 [0; 1] R+ R3

và 2 C2([0; 1] R+ R) ; thỏa điều kiện (x; t; z) 0 > 0; 8 (x; t; z) 2[0; 1] R+ R: Dùng phép đổi biến v = u ' với ' (x; t) = (x 1) g0(t)+g1(t)thì bài toán (1.1.1) trở thành bài toán8

Trước hết, ta gọi một hàm v 2 L1 0; T ; V \ H2 vớivt 2 L1(0; T ; V ) ;

vtt2 L1 0; T ; L2 là nghiệm yếu của (1.2.1) nếu nó thỏa bài toán biến phân(