mô hình hóa toán học bài toán liên hợp cơ điện và áp dụng phương pháp

Với tài liệu tóm tắt, chúng ta chỉ đề cập ngắn gọn các hạn chế còn tồn tại liên quan đến tình hình phát triển mô hình tính toán, phương pháp số và thực nghiệm , là các vấn đề luận án đan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

- Nguyễn Trần Chân

Công trình được hoàn thành tại:

Khoa Toán - Tin học Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên

Người hướng dẫn khoa học: 1 GS.TS NGÔ THÀNH PHONG

2 TS LÊ ĐÌNH TUÂN

Phản biện 1: GS.TSKH ĐÀO HUY BÍCH

Phản biện 2: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

Phản biện 3: PGS.TS NGUYỄN HOÀI SƠN

Phản biện độc lập 1: PGS.TSKH PHẠM ĐỨC CHÍNH

Phản biện độc lập 2: GS.TS TRẦN ÍCH THỊNH

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp tại Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM

Vào hồi …… giờ … ngày …… tháng … năm …………

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

-Thư Viện khoa học tổng hợp Tp.HCM

-Thư Viện Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM

- Qua sự tổng hợp đánh giá của luận án về phương pháp số cho thấy phương pháp phần tử hữu hạn cải tiến bằng kỹ thuật làm trơn (S-FEM) được nhóm của nhóm GS Liu, TS Nguyễn Thời Trung, TS Nguyễn Xuân Hùng đề xuất năm 2008-2010 là khả dụng và đáng quan tâm Bởi vì kết quả số được cải tiến rõ rệt, hơn nữa có tính kế thừa từ FEM nên sử dụng thuận tiện

Tổng quan vấn đề

Hiện tượng biến đổi năng lượng trực tiếp từ dạng này qua dạng khác của vật liệu thông minh có nhiều ứng dụng thú vị, hứa hẹn giá trị gia tăng cao Bởi vậy nó nhận được sự quan tâm nghiên cứu khắp nơi trên thế giới Với hiểu biết hiện nay, chúng

ta thấy nó tồn tại dưới các dạng như áp điện, nhớ hình dạng, đáp ứng với nhiệt, ánh sáng hay từ tính Nghiên cứu vật liệu thông minh liên quan đến nhiều ngành khoa học , trong phạm vi luận

án chúng ta chỉ đề cập đến vật liệu áp điện, loại có sự phát triển

mạnh mẽ trong thời gian gần đây

Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước

Hiện nay Việt Nam ít có nghiên cứu Nhưng nó đang diễn ra

mạnh mẽ trên thế giới Chi tiết tên các nhóm nghiên cứu hàng đầu và nội dung công bố của họ đã được trình bày trong luận

án Với tài liệu tóm tắt, chúng ta chỉ đề cập ngắn gọn các hạn

chế còn tồn tại liên quan đến tình hình phát triển mô hình tính toán, phương pháp số và thực nghiệm , là các vấn đề luận án đang quan tâm giải quyết:

-Các nghiên cứu bỏ qua mô hình hóa toán học , mà chính

phần này rất quan trọng, nó góp phần quyết định giải bài toán bài toán liên hợp cơ điện có chặt chẽ hay không

-Đa số các công trình nghiên cứu trước đây dùng các phần

mềm thương mại, hay các chương trình tự viết sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn chuẩn (FEM) để mô phỏng, vì vậy các

kết quả số chưa có sự cải tiến Một vài nghiên cứu có áp dụng phương pháp số cải tiến theo hướng sử dụng phương pháp không lưới (the meshless methods) Với phương pháp mới này,

mặc dù có ưu điểm là không phải xây dựng lưới nhưng việc áp dụng vào tính toán thực tế vẫn có nhiều khó khăn vì mức độ hoàn thiện, thừa kế mã nguồn và mặt khác khó tiếp cận

Nhưng chỉ mới được áp dụng giải các bài toán cơ học thuần túy chứ chưa dùng để giải bài toán liên hợp 2 trường cơ điện -Mặt khác, các nhóm nghiên cứu hầu hết tập trung vào mô phỏng số, các công bố về kết quả thực nghiệm hiếm thấy vì vậy

sự so sánh kết quả mô phỏng và dữ liệu thực nghiệm không được thực hiện, nghĩa là mô phỏng ảo chưa được chứng minh bằng thực nghiệm, dẫn đến nghiên cứu chưa được trọn vẹn Một

số ít các công bố khác chỉ thuần về thực nghiệm với các phương pháp đo chuyển vị tiếp xúc hay bằng cách đo chuyển vị gián

tiếp qua giao thoa ánh sáng nên hiệu quả chưa cao

Các ý tưởng, nguồn lực và mục tiêu nghiên cứu của luận án

-Ý tưởng m ô hình hóa toán học với các phương trình vi phân, áp dụng mở rộng định lý Lax-Milgram cho bài toán biến phân, bài toán xấp xỉ trong không Sobolev, đánh giá sai số và

tốc độ hội tụ là phần lý thuyết mới bổ sung để giải bài toán liên

hợp cơ điện một cách chặt chẽ Đây sẽ là đóng góp mới

-Việc đề xuất sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với kỹ thuật làm trơn dựa trên cạnh (ES-FEM) cho bài toán liên hợp 2 trường cơ điện là một ý tưởng mới của luận án

-Luận án sẽ xây dựng các chương trình tính toán trong môi trường Matlab cho FEM và ES-FEM, các chương trình này sẽ là công cụ thuận tiện để định lượng và dự đoán ứng xử các kết

cấu áp điện Các thí dụ số này được trình bày trong chương 3, đây là điểm đóng góp đặc trưng của nghiên cứu này

-Trong luận án chúng ta thực hiện 2 thí n ghiệm cho 2 loại

vật liệu áp điện là PVDF và PZT Việc thiết kế, chế tạo các mẫu thí nghiệm và thiết kế lắp ráp các hệ thống đo chuyển vị không

tiếp xúc bằng kính hiển vi và hệ thống lade với độ phân giải chính xác đến 10 nano mét sẽ là các kết quả nghiên cứu mới

trực quan sinh động của luận án này bằng thực nghiệm

-Cần phải nói thêm rằng các thí nghiệm nói trên đã được thực hiện tại Phòng thí nghiệm trọng điểm quốc gia số và kỹ thuật hệ thống (DCSELAB), một phòng thí nghiệm công nghệ cao vừa mới được đầu tư tổng cộng khoảng 70 tỷ đồng vào năm

2009 Đây chính là nguồn lực rất quan trọng đã góp phần tích cực vào sự nghiên cứu thực nghiệm thành công của luận án

Chương 1 : Hiện tượng và vật liệu áp điện

1.1 Hiệu ứng áp điện

Hiện tượng áp điện với 2 hiệu ứng thuận nghịch đã được mô tả chi tiết ở mục 1.1 chương 1 của luận án Một cách ngắn gọn, trong

hiệu ứng thuận khi chúng ta đặt một lực cơ học tác động lên vật

liệu áp điện, thì năng lượng cơ học sẽ được biến thành điện năng làm xuất hiện các điện tích trên điện cực bề mặt của vật liệu Ngược lại ở hiệu ứng nghịch khi áp một điện trường lên các điện

cực thì năng lượng điện sẽ chuyển thành năng lượng cơ học làm

biến dạng vật liệu áp điện

1.2 T rường hợp một chiều

Để có thể dễ cảm nhận hiện tượng trên bằng toán học, chúng ta

đã trình bày các công thức ở trường hợp một chiều đơn giản trong

mục 1.2 trong luận án

1.3 V ật liệu áp điện dưới điện trường mạnh

Vật liệu áp điện hiện tại có 2 dạng là PZT và PVDF Mục này, trình bày ứng xử vật liệu áp điện dưới điện trường gia tăng đến

mức tới hạn làm xảy ra hiện tượng đảo cực vật liệu theo miền như trong hình 1-1 của luận án

1.4 V ật liệu áp điện PZT

Vật liệu PZT(PbZryTi1-yO3

1.5 Vật liệu áp điện PVDF

) là một dạng gốm phân cực áp điện, các hình 1-2, 1-3 trong luận án diễn tả ứng xử của nó dưới điện trường biến thiên và mô tả vật liệu dưới góc nhìn hóa học vĩ

mô

Vật liệu dạng tấm PVDF (piezoelectricity in polyvinylidene,

(-CH2-CF2-)n

Chương 2 :Mô hình toán học & phương pháp số

) rất nhạy có cấu trúc và chủng loại được trình bày trong các hình 1-4 , 1-5 của luận án

2.1 Mô hình toán học của hiện tượng áp điện

Hiện tượng áp điện là kết quả tương tác liên hợp giữa 2 trường

cơ và điện Từ quan điểm toán học, nó tuân theo các phương trình Maxwell và đàn hồi

2.1.1 Môi trường tĩnh điện

Trong tĩnh điện, các phương trình Maxwell trở thành:

∂ (2-2)

Điện thế và điện trường

Phương trình (2-1) diễn tả một điện trường không xoáy, mối quan hệ giữa điện trường điện thế được trình bày như sau:

Điều kiện biên tĩnh điện

-Điều kiện biên trên biên Γv

2.1.2 Môi trường cơ học

Các phương trình đàn hồi chủ đạo

j i

u u S

Điều kiện biên cơ học

-Điều kiện biên trên Γu

-Điều kiện biên trên Γσ

T n Γσ= f

: (2-10)

2.1.3 Các phương trình cơ bản

Trường hợp tổng quát, từ nguyên lý nhiệt động lực học thứ

nhất các phương trình liên hợp áp điện cơ bản có dạng:

Cho Ω ⊂ Rnlà một miền Lipschitz với biên ∂Ωchứa điều

kiện biên cơ học và tĩnh điện Chúng ta xét bài toán giá trị biên tìm nghiệm ui và φ trên miền Ω thõa mãn

( , ) ( , ) s,

1 0

thể đánh giá sai số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác

2.2.2 Đánh giá sai số của phần tử hữu hạn

Cho ( ,u φ)là nghiệm chính xác của bài toán gốc từ các phương trình (2-13) và (2-14) Nếu Ωlà một miền đa giác lồi và

( )n

u ∈ V và φh ∈V h là nghiệm phần tử hữu hạn sử dụng nội suy bậc k liên tục thỏa mãn phát biểu rời rạc yếu, phương trình (2-32) và (2-33), lúc đó tồn tại các hằng số

w tiến tới 0 khi kích thước của phần tử htiến

tiến tới 0 nếu đạo hàm bậc(k + 1)của nghiệm chính xác

( ,u φ là biên trên ) Ω Thêm nữa, năng lượng của htrong các phương trình cũng cho thấy tốc độ hội tụ của nghiệm phần tử hữu hạn trong các chuẩn tương ứng

2.2.3 Dạng ma trận của dạng yếu trong FEM

Bài toán tĩnh điện tuyến tính, từ phương trình (2-11) và (2-12) các phương trình cơ bản có dạng

E T S

Với np là tổng số nút trong miền bài toán, dI =[u I v I w I]T là bậc

tự do của nút u =[u v w]T kết hợp với nút I và N x I( ) là các hàm dạng tuyến tính Thế các xấp xỉ (2-37) vào các phương trình (2-35) và (2-36), chúng ta thu được

uu u T u

2.3 Phương pháp phần tử hữu hạn trơn cho bài toán áp điện

Tương tự FEM, ES-FEM cũng sử dụng cùng lưới phần tử Với

phần tử tam giác 3 nút, hàm dạng trong ES-FEM cũng giống hệt trong FEM

2.3.1 Toán t ử trơn trên trường biến dạng cơ và trường điện

Trong ES-FEM, chúng ta không sử dụng trường biến dạng tương thích (2-35) mà sử dụng biến dạng trơn trên các miền trơn,

và tất nhiên tích phân của ma trận độ cứng K là không dựa trên

phần tử nữa mà dựa trên các miền trơn Các miền trơn được xây

dựng dựa trên phần tử sao cho ( )

1

e N k

k=

Ω =Ω và Ω ∩ Ω = ∅( )i ( )j cho

i ≠ j, trong đó Ne là tổng số cạnh tất cả các phần tử trong toàn

miền bài toán Với phần tử tam giác, miền trơn con Ω( )k kết hợp

với cạnh k được tạo nên bởi sự liên kết các nút ở đầu, cuối của

cạnh và trọng tâm của các tam giác gần kề như trong hình 2-1 Sử

dụng miền trơn dựa trên cạnh, trường biến dạng trơn và trường điện trơn trên miền Ω( )k liên kết với cạnh k được định nghĩa dựa

trên trường biến dạng tương thích và trường điện tương thích trong 2 phương trình (2-46) và (2-47):

H O

N = cho cạnh biên và Ne( )k = 2 cho cạnh bên trong) như đã chỉ ra trong hình 2-

Vì vậy véc tơ ứng suất và chuyển vị điện có thể chỉnh sửa thành dưới dạng

T E S

2.3.2 Các ma trận độ cứng trơn cho bài toán áp điện

Bây giờ chúng ta giới thiệu 2 cách đơn giản để tính toán ma

trận trơn trong ES-FEM Bằng cách thế phương trình (2-37) vào phương trình (2-48)-(2-50), trường biến dạng trơn và trường điện trơn trên miền Ω chia s( )k ẻ cạnh k có thể viết dưới dạng ma trận

của biến theo nút

( )

( )

( ) ( )

k

k

uI k I k

( ) ( )

( ) 1

3

k N

j

A A

kề cạnh k khi các phần tử tam giác sử dụng hàm dạng tuyến tính

Chú ý rằng ma trận trong phương trình được xây dựng trực

tiếp từ diện tích và ma trận biến dạng tương thích thông thường

của FEM sử dụng các phần tử tam giác Tuy nhiên, các công thức trên chỉ thuận tiện cho xấp xỉ biến dạng ma trận tương thích hằng

số như bài toán phần tử tam giác 3 nút cho 2D và phần tử tứ diện 4 nút cho bài toán 3D Vì vậy, để thu được một cách tổng quát có

thể làm tốt cho phần tử bậc cao như như tứ giác 4 nút hay phần tử tam giác 6 nút, trường biến dạng trơn và trường điện trơn nên được tính dọc theo biên của miền trơn con (trong các phương trình (2-50)&(2-51)) như sau

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

k

k k

k I k

( ) 1

x

Tiếp theo, chúng ta giả sử rằng biên Γ c( )k ủa miền trơn con bất

kỳ Ω là t( )k ổng của các đoạn biên ( )k

( ) ( ) ( ) ( )

G k G

I b x b nb

Hệ phương trình tuyến tính thu được là

uu u T u

φ φ

Các phương trình (2-64)-(2-66) cho một cách đơn giản để tính

ma trận độ chứng của các miền trơn con liên kết với cạnh của các

phần tử Cuối cùng, chúng ta chú ý rằng các hàm thử u(x), φ(x) là

tương tự như đã cho trong phương trình (2-37), và vì vậy các véc

tơ lực F, Q trong ES-FEM được tính tương tự như cách tính trong

FEM Nói các khác, ES-FEM chỉ thay đổi ma trận độ cứng so với FEM

Chương 3 : Kết quả mô phỏng số

Trong chương này có 8 thí dụ số: gồm 3 bài toán ở các mục 3.1, 3.2, 3.3 được giải bằng các chương trình FEM tự viết Thí dụ

số thứ 4 ở mục 3.4 là bài toán thiết bị áp điện có dạng hình học

phức tạp tính bằng phần mềm COMSOL Phần cuối là 4 thí dụ số

với các chương trình ES-FEM tự viết, trong đó kết quả được so sánh với các bài báo, nhằm chứng minh rằng ES-FEM là giải pháp

hiệu quả để giải bài toán liên hợp cơ điện

3.1 Động cơ siêu âm truyền sóng thẳng

Giới thiệu bài toán

Trong bài toán này, chúng ta phát triển chương trình phần tử hữu hạn có khả năng mô phỏng hoạt động mô hình 2 chiều của stator Mục đích chúng ta là minh chứng chuyển động elip của một điểm trên bề mặt stator Mô hình nguyên lý hoạt động của động cơ

được được trình bày trong hình 3-11

Kết quả phân tích của chương trình matlab sử dụng FEM

Chúng ta tạo lưới như trong hình 3-14 Lưới có 658 bậc tự do;

578 phần tử; 329 nút

Hình 3-11 Hoạt động của động cơ Hình 3-14 lưới của stator Sau khi giải bài toán ta vẽ các quỹ tích, đáp ứng của 1 điểm trên bề mặt stator:

Tại điểm 2 (nút 29 có chỉ mũi tên trên hình 3-14):

Hình 3-18 đáp ứng & chuyển động elip của điểm 2

Nhận xét

Kết quả phân tích là elip tương đồng với bài báo của Peter L Levin, khẳng định chương trình đã được xây dựng là đúng

3.2 Dầm Bimorph PVDF

Giới thiệu bài toán

Bài toán tìm kết quả số bằng chương trình FEM tự viết để so sánh với thí nghiệm trong mục 4.2

Nhận xét: Trong kết quả mô phỏng số, ứng xử của dầm PVDF

bimorph đúng với dự đoán Tính đúng đắng của chương trình sẽ được khẳng định khi so sánh với kết quả thực nghiệm ở chương 4

3.3 Khối PZT hình trụ

Thí dụ này sử dụng chương trình Matlab tự viết dựa trên FEM

để mô phỏng một khối vật liệu áp điện PZT hìn h trụ như trong hình 4-16, nó là bộ phận chính của thiết bị khuyếch đại PZT ở thí

dụ số 3.1.4 và thí nghiệm ở mục 4.3 (hình 4-19) , kết quả tính toán

của chương trình đư ợc so sánh với kết quả phân tích bằng phần

mềm Comsol Các chi tiết cụ thể khác của bài toán được trình bày trong mục 3.3 của luận án

Để thuận tiện chúng ta chỉ mô

mềm Comsol với chuỗi các

giá trị điện thế đầu vào là 10v,

3.4 Khuyếch đại áp điện PZT

Thí dụ mô phỏng một thiết bị có biên dạng phức tạp bằng phần mềm COMSOL dựa trên FEM Các kết quả số sẽ được so sánh với

thực nghiệm trong mục 4.3 Lưới của mô hình được chia 38.793 bậc tự do ( hình 3-31) Các thông tin chi tiết khác của thí dụ đã

ục 3.4 luận án

Điều kiện biên

Có 2 loại điều kiện biên như được trình bày trong mục 3.4 của

luận án Giá trị của điền kiện biên điện thế φ và kết quả mô phỏng được cập nhật trong bảng 3-7

Điện thếφ

K ết quả

40 (V) (µm)

80(V) (µm)

120(V) (µm)

160(V) (µm)

Bảng 3-7 kết quả mô phỏng bằng COMSOL

Với điều kiện biên điện là 160 v, chúng ta có kết quả chuyển vị như trong hình 3-33

Nhận xét

Kết quả mô phỏng bằng phần mềm COMSOL có ứng xử định tính đúng như dự đoán Kết quả định lượng của mô phỏng này sẽ được minh chứng khi chúng ta so sánh kết quả mô phỏng với kết

quả thí nghiệm trong mục 4.3

Hình 3-31 mô hình lưới 3D

với 38.793 bậc tự do Hình 3-33 kkhi áp điện thế 160 volt ết quả chuyển vị

3.5 Bài toán mi ếng dán kiểm tra phần tử phẳng

Thí dụ sử dụng bài toán

chuẩn miếng dán (path test) đã

biết trước kết quả để kiểm tra

phương pháp phần tử hữu hạn

áp dụng kỹ thuật lảm trơn dựa

trên cạnh (ES-FEM)

Hình 3-35 Patch test áp điện

-Biên d ạng hình học và lưới : xét bài toán path-test hình dạng

tấm chữ nhật kích thước 0,24 × 0,12 và lưới như trên hình 3-35