tính giải được và các tính chất của nghiệm của một số bài toán biên phi tuyến

HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ANH TRIẾT TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN ANH TRIẾT

TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN

BIÊN PHI TUYẾN

Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2013

Công trình được hoàn thành tại:

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh

Người hướng dẫn khoa học

1 PGS TS LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC

2 PGS TS NGUYỄN HỘI NGHĨA

Phản biện 1: GS TSKH ĐỖ CÔNG KHANH

Phản biện 2: GS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG

Phản biện 3: PGS TS PHẠM HỮU ANH NGỌC

Phản biện độc lập 1: PGS TS PHẠM HOÀNG QUÂN

Phản biện độc lập 2: TS ĐẶNG VŨ GIANG

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp cơ sở đào tạo họp tại

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh

vào lúc giờ tháng năm 2013

Có thể tìm luận án trên tại các thư viện:

Thư viện Khoa học Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh

Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh

Mở đầu

Phương trình đạo hàm riêng (PTĐHR) được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữathế kỷ XVIII trong các công trình của những nhà toán học như Leonhard Paul Euler(1707-1783), Jean le Rond d’Alembert (1717-1783), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) và Pierre-Simon de Laplace (1749 -1827) như là một công cụ quan trọng để

mô tả các mô hình của vật lý và cơ học Từ đó đến nay, lý thuyết PTĐHR đã pháttriển không ngừng và đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực toán học lý thuyết cũngnhư trong lĩnh vực toán ứng dụng, thúc đẩy sự phát triển các ý tưởng toán học trongnhiều lĩnh vực, làm nảy sinh nhiều phương pháp (PP) hữu hiệu để giải quyết các BTcho PTĐHR như PP Fourier, PP Galerkin,

Một trong những bài toán (BT) thuộc lý thuyết PTĐHR được nghiên cứu sâurộng bởi nhiều nhà toán học là BT giá trị biên cho phương trình (PT) sóng liên kếtvới các loại điều kiện biên (ĐKB) khác nhau xuất hiện trong các BT thực tế, chẳnghạn trong BT mô tả dao động của một vật đàn hồi với các ràng buộc phi tuyến ở

bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớttựa trên một nền đàn nhớt Năm 1747, xuất phát từ việc nghiên cứu các dao động

bé của một sợi dây đàn hồi với hai đầu cố định, D’Alembert đưa ra PT dao độngcủa một dây và nhận được công thức biểu diễn nghiệm của nó Mô hình toán họccho BT này, do D’Alembert đề nghị, có dạng

Một dạng khác với PT (2) để mô tả dao động dao động bé của một sợi dây đàn

hồi, Carrier [Quart J Appl Math 3(1945) 157–165] cũng thiết lập PT dạng

utt= P0+P1

Z L

trong đóP0, P1là các hằng số dương có ý nghĩa Cơ học nào đó

Cho đến nay BT dao động của vật liệu đàn hồi vẫn được sự quan tâm rộng rãicủa nhiều nhà toán học Nhiều kết quả định tính và định lượng liên quan đến các

PT sóng phi tuyến kết hợp với các ĐKB khác nhau đã được đề cập nhiều trong cáccông trình nghiên cứu của nhiều tác giả trong những năm gần đây

Một trong các nghiên cứu cổ điển đầu tiên dành riêng cho PT Kirchhoff đãđược đưa ra bởi Pohozaev [Math USSR Sb 25(1975) 145–158] Sau khi công trình

của Lions xuất hiện [On some questions in boundary value problems of ical physics, in: G de la Penha, L A Medeiros (Eds.), International Symposium

mathemat-on Cmathemat-ontinuum, Mechanics and Partial Differential Equatimathemat-ons, Rio de Janeiro 1977,Mathematics Studies, vol 30, North-Holland, Amsterdam, 1978, pp 284-346], PT

(2) đã nhận được nhiều sự chú ý và sự tổng quát hoá nó thành các PT trừutượng đã được đề xuất, ta có thể tìm thấy dạng PT này trong nhiều bài báo,chẳng hạn như, Cavalcanti et al [Adv Differential Equat 6 (6)(2001) 701–730]; Ebi-

hara, Medeiros và Miranda [Nonlinear Anal TMA 10 (1986) 27-40]; Miranda et.

al [Comm Partial Differential Equat 24 (9–10)(1999) 1759–1800]; Lasiecka và Ong

[Comm Partial Differential Equat 24(11-12)(1999) 2069–2108]; Hosoya, Yamada [J Fac Sci Univ Tokyo Sect IA, Math 38 (1991) 225–238]; Larkin [Mathematical Prob.

in Eng 8 (2002) 15–31]; Medeiros [Comp Appl Math 13(1994) 225–233]; Menzala

[Appl Anal 10(1980) 179–195]; Park et al [Nonlinear Anal TMA 50(7)(2002) 871

– 884]; Rabello et al [Rev Mat Complutent, 16(2003) 179–206]; Santos et al linear Anal TMA 54(2003) 959–976]; Long et al [J Math Anal Appl 274(1)(2002)

[Non-102–123; 267(1)(2002) 116–134; 292(2)(2004) 433–458; 306(1)(2005) 243–268;

Non-linear Anal TMA 55(5)(2003) 493–519; 58(7-8)(2004) 933–959]; Ngọc et al ear Anal RWA 11(4)(2010) 2479–2510; 11(5)(2010) 3363–3388; 13(2)(2012) 817–839; Acta Applicandae Math 112(2)(2010) 137–169; Acta Math Viet 35(2)(2010) 207–227; Demonstratio Math 43(3)(2010) 605–634]; Trường et al [Nonlinear Anal TMA 71(1-

[Nonlin-2)(2009) 467–484;Applied Math Comput 215(5)(2009) 1908–1925], cùng các tài liệu

tham khảo trong đó Tổng quan các kết quả về khía cạnh toán học của mô hìnhKirchhoff có thể được tìm thấy trong Medeiros, Limaco và Menezes [J Comput Anal.

Appl 4(2)(2002) 91–127; 4(3)(2002) 211– 263].

Ngoài những công trình đó, nhiều BT biên với các dạng ĐKB cụ thể khác đã và

đang được nghiên cứu và hiển nhiên rằng khi xét đến các BT cụ thể thì còn nhiềudạng BT vẫn là bài toán mở - cần tiếp tục khảo sát Thực tế cho thấy rằng, có rấtnhiều dạng BT biên cho PT sóng nói riêng và PTĐHR nói chung và không tồn tạimột PP chung nào để giải được tất cả các BT đó Chính vì vậy, đề tài luận án chúngtôi nghiên cứu "Tính giải được và các tính chất của nghiệm của một số bài toán biên phi tuyến" là cần thiết và có ý nghĩa về mặt lý thuyết và áp dụng.

Tiếp nối các kết quả đã có cho PT sóng, trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu

ba BT biên cụ thể cho ba dạng PT sóng phi tuyến Các kết quả thu được là mới và

sẽ trình bày trong ba chương 1, 2 và 3

Trước hết, xuất phát từ các BT cho PT Kirchhoff nêu trên, hai dạng PT sóngkiểu Kirchhoff sẽ được xét trong Chương 1 và Chương 2 Bằng công cụ chính là PPxấp xỉ tuyến tính liên hệ với PP Galerkin, các kết quả về tồn tại và duy nhất nghiệm,

về khai triển tiệm cận (KTTC) của nghiệm được chứng minh Cụ thể như sau

Chương 1 chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương của

trong đóu˜0, ˜u1, µ, ψ, f , g0, g1là các hàm số cho trước Khi các hàm µ, f lần lượt

được thay bởi các hàm có nhiễu(

0<x<1, 0<t<T, liên kết với ĐKB và điều kiện đầu (4)2,3 Với tính trơn thích

hợp của các hàm ψ, µ, f , µi, fi (i=1, , p), một KTTC của nghiệm BT (4)2,3, (6)theo p tham số bé ε1, εpđược thiết lập

Kết quả thu được trong phần này đã công bố trong [T2], ứng với trường hợp riêng

Dirichlet (4)2 thay bởi ĐKB Neumann - Dirichlet:ux(0, t) =g0(t), u(1, t) =g1(t).

Chương 2 khảo sát BT sau đây cho PT sóng phi tuyến Kirchhoff - Carrier với

BT (4) Trường hợp riêng của BT (7) ứng với f = f(x, t, u, ux, ut)đã được công bốtrong [T3]

Mặt khác, kết quả này cũng là sự phát triển các kết quả trong [T4], kết hợp

sự điều chỉnh và cải tiến các kỹ thuật đã sử dụng trong [T4] cho BT (7) ứng với

Φ = ψ = 0 và ĐKB Robin (7)2 được thay bởi ĐKB hỗn hợp Dirichlet - Robin:

ux(0, t) h0u(0, t) =g0(t), u(1, t) =g1(t)

Cuối cùng,Chương 3 nghiên cứu tính giải được và một số tính chất của nghiệm

của BT biên sau đây cho PT sóng phi tuyến8

0ki(t s) ju(i, s)jri 2u(i, s)ds, i=0, 1,

u(x, 0) =u˜0(x), ut(x, 0) =u˜1(x),

(8)

trong đó f(u, ut) =Kjujp 2u+λjutjq 2ut, với Ki 0, λi >0, pi, qi, ri >1 là cáchằng số cho trước vàu˜0, ˜u1, µ, F, g0, g1, k0, k1là các hàm số cho trước thoả một sốđiều kiện thích hợp BT thuộc dạng này có nhiều ý nghĩa trong Cơ học, Vật lý học và

đã được đề cập trong các công trình nghiên cứu của nhiều tác giả từ trước đến nay.Chẳng hạn như, An, Triều [J Mech NCSR Vietnam, 13(2)(1991) 1–7]; Bergounioux

et al [Nonlinear Anal TMA 43(5)(2001) 547–561]; Cavalcanti et al [Southeast Asian Bulletin of Math 24(2000) 183–199; Electron J Differential Equat 2002(44)(2002) 1–

14]; Long, Định và Diễm [Bound Value Probl 2005(3) 337–358]; Long, Ngọc [J Math Anal Appl 385(2)(2012) 1070–1093]; Ngọc et al [Nonlinear Anal TMA 70(11)(2009)

3943–3965; Nonlinear Anal RWA 12(1)(2011) 69–92; Acta Math Viet 36 (2)(2011)

345–374;Comm on Pure and Appl Anal 12(5)(2013) 2001-2029]; Rivera et al [Math Meth Appl Sci 23(2000) 41–61]; Santos [Electronic J Diff Equat 2001(73)(2001) 1–11;

2002(38)(2002) 1–17]; Trường et al [Nonlinear Anal RWA 11(3)(2010) 1289–1303;

Nonlinear Anal TMA 74(18)(2011) 6933–6949], và các tài liệu tham khảo trong đó.

Trong các công trình này, sự tồn tại và duy nhất nghiệm, tính trơn, tính ổn định vàKTTC, kể cả tính tắt dần của nghiệm đã được nghiên cứu

Với µ(x, t) 1 hay µ(x, t) µ(t), bài toán (8) cũng được nghiên cứu bởi nhiềutác giả

Trong [J Mech NCSR Vietnam, 13(2)(1991) 1–7] An, Triều đã xét một trường

hợp riêng của BT (8)1,3 liên kết với ĐKB

Một trường hợp riệng khác của BT (8)1,3 liên kết với ĐKB tuyến tính tại x=1

đã được khảo sát bởi Bergounioux, Long và Định [Nonlinear Anal TMA 43(5)(2001)

BT (8) cũng được xét trong [T1] với f(u, ut)tuyến tính, tức là f(u, ut) =Ku+

λut, với K 0, λ>0 là các hằng số cho trước Ở đây, sự tồn tại toàn cục, tính duy

nhất, tính trơn của nghiệm yếu và KTTC của nghiệm theo hai tham số λ, K được

chứng minh

Bằng PP Faedo-Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm, sử dụng sự hội

tụ yếu thông qua các định lý nhúng compact và PP đơn điệu, Chương 3 đã nới rộngkết quả thu được trong [T1] cho f(u, ut) là phi tuyến, với f(u, ut) = Kjujp 2u+

λjutjq 2ut

Toàn bộ nội dung chính của luận án là nới rộng và kế thừa các kết quả đã công

bố trong [T1]-[T5] Ngoài ra, PP và kỹ thuật về KTTC cho các BT biên phi tuyếnđược sử dụng trong toàn bộ luận án cũng được công bố trong [T6] Nội dung củaluận án đã được báo cáo một phần tại Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8, Nha

Trang, 10-14/08/2013 và một số hội nghị khoa học khác do một số Trường đại học

tổ chức

Để nhận được các kết quả trong luận án này, các công cụ của giải tích hàm phituyến đã được áp dụng Ngoài các khái niệm và tính chất cần thiết đặc thù cho mỗidạng BT sẽ được nêu rõ trong mỗi chương, để tiện theo dõi, sau đây chúng tôi sẽ nêucác ký hiệu và các không gian hàm sử dụng trong suốt luận án nầy

Các không gian hàm thông dụng Luận án sử dụng các không gian hàm sau

Xét riêng không gian L2, chuẩn được ký hiệu bởik k Ký hiệu h, i để chỉ tích

vô hướng trongL2hoặc tích đối ngẫu của các hàm tuyến tính liên tục với một phần

tử của không gian hàm

Không gian Lp(0, T; X), 1 p ∞ Cho không gian Banach X với chuẩn

k kX Ta ký hiệu Lp(0, T; X), 1 p ∞, để chỉ không gian Banach của các hàm

u :(0, T)!X đo được, sao chokukLp (0,T;X)< +∞, trong đó

TMA 67 (3) 842 – 864].

Chương 1

PT sóng kiểu Kirchhoff liên kết với ĐKB Dirichlet

Chương này khảo sát BT sau8

0 jux(x, t) +ψ(x, t)j2dx Trước hết, BT (1.0.1)được đưa về BT với ĐKB thuần nhất và sau đó với các điều kiện phù hợp, sự tồntại nghiệm và KTTC của nghiệm theo các tham số bé xuất hiện trong PT đượcthiết lập Trong chương nầy chúng tôi sử dụng PP xấp xỉ tuyến tính Ý tưởng của

PP này như sau: Trước hết, với mỗi hàm w = w(x, t) thuộc vào một không gianhàm thích hợpX, với một số giả thiết phù hợp ta thu được một nghiệm duy nhất

u 2 X của BT (1.0.1) tương ứng với µ= µ(x, t, w(x, t),kwx(t) +ψ(t)k2) = ¯µ(x, t)

và f = f(x, t, w, wx, wt,kwx+ψ(t)k2) = ¯f(x, t) Dĩ nhiên u phụ thuộc vào w, nên

có thể giả sử rằngu=A(w) Từ đó, BT (1.0.1) được đưa về BT tìm điểm bất độngcủa toán tửA : X!X Dựa vào ý tưởng này, với số hạng đầu u0được chọn, ta xâydựng dãy lặpfumgtheo công thứcum=A(um 1), m=1, 2, , sao chofumghội tụ

về nghiệm của BT, khi đó ta thu được kết quả về tồn tại nghiệm

1.1 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu

vàg0, g1, ˜u0thỏa điều kiện tương thíchu˜0(0) g0(0) =u˜0(1) g1(0) =0, ˜u1(0)

g00(0) =u˜1(1) g10 (0) =0 Khi đó, nếu BT (1.1.1) giải được và v là nghiệm của nóthì BT (1.0.1) sẽ nhận nghiệm làu=v+ϕ.

Như vậy, ta chỉ cần giải BT (1.0.1) tương ứng với8 g0=g1 0 như sau

1.1.1 Định nghĩa nghiệm yếu và các giả thiết

Nghiệm yếu của (1.1.2) là một hàm u 2 L∞ 0, T; H01\H2 , sao cho ut 2

L∞ 0, T; H01 vàutt2L∞(0, T; L2), đồng thời u thỏa mãn BT biến phân

W1(M, T) =fv2W(M, T): vtt2L∞(0, T; L2)g.

Ký hiệu W1(T) = fv 2 L∞(0, T; H10): v0 2 L∞(0, T; L2)g là không gian Banachvới chuẩnkvkW1(T)= kvkL∞(0,T;H 1) + kv0kL ∞(0,T;L2 )

1.1.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính

Đầu tiên, chọn số hạng ban đầuu0 u˜0, giả sử rằng um 12W1(M, T), và tìm

Fm(t) = f , t, um 1(t),rum 1(t), u0m 1(t), zm(t) ,

µ (t) =µ(, t, um 1(t), zm(t)), zm(t) = krum 1(t) +ψ(t)k2 (1.1.4)Khi đó, sự tồn tại của dãyfumgcho bởi định lý

Định lý 1.1.1 Cho các hàm ˜u0,u˜1, ψ, µ và f thỏa các giả thiết(H1) (H4) Khi đó, tồn tại các hằng số dương M, T sao cho với u0 u˜0, tồn tại một dãyfumg W1(M, T)

xác định bởi (1.1.3), (1.1.4).

1.1.3 Sự hội tụ của lược đồ xấp xỉ tuyến tính

Định lý 1.1.2 Cho các hàm ˜u0,u˜1, ψ, µ và f thỏa các giả thiết(H1) (H4) Khi đó, tồn tại các hằng số dương M, T sao cho

(i) BT (1.1.2) có duy nhất một nghiệm yếu u2W1(M, T)

(ii) Dãy qui nạp tuyến tính fumg xác định bởi (1.1.3)-(1.1.4) hội tụ mạnh về u trong

W1(T)và có đánh giákum ukW1(T) CkmT, 8m2 N, ở đây 0< kT < 1 và C là các

hằng số chỉ phụ thuộc vào T, f , µ, ˜u0,u˜1

1.2 KTTC của nghiệm theo p tham số bé

Xét BT nhiễu theo p tham số bé ε= (ε , , εp) 2 Rp+,kεk <1, như sau

ε= (ε , , εp), có nghĩa là, ta tìm cách xấp xỉ nghiệmuε ∑jγj Nuγ ε γbởi một đa

thức theo ε1, , εp, trong đó, các hàm uγ cần xác định và đánh giá sai số theo "độlớn" của các tham số nhiễu dưới dạng uε ∑jγj Nuγ ε γ

Dγ µ(x, t, u,kux+ψk2)

Gọiu0là nghiệm yếu của (P˜0).

Với γ2 Zp+, 1 jγj N, ta gọi uγ là nghiệm yếu của BT

với ρ ν[µ] = ρ ν[µ;fuγgγ ν], ρ(i)ν [µ] = ρ(i)ν [µ;fuγgγ ν], π ν[f] = π ν[f ;fuγgγ ν],

π(i)ν [f] =π(i)ν [f ;fuγgγ ν],jνj N, được xác định bởi các công thức sau đây

Định lý 1.2.1 Cho các hàm ˜u0, ˜u1, ψ, µ và f thỏa các giả thiết(H1),(H2),(H7), và

(H8) Khi đó, tồn tại các hằng số M>0 và T>0 sao cho với mọi ε2 R+p, vớikεk <1, BT

(Pε)có duy nhất nghiệm yếu u ε 2 W1(M, T)có một KTTC đến cấp N+1 và được đánh

giá như sau u ε ∑jγj Nuγ ε γ

W1(T) CTkεkN+1, trong đó các hàm u γ, 1 jγj N

lần lượt là nghiệm yếu của các BT(P˜γ),jγj N, và CTlà một hằng số chỉ phụ thuộc vào

N, T, f , fi, µ, µi, u γ , 1 jγj N, 1 i p

Kết luận chương 1 Bằng cách thực hiện một phép đổi ẩn hàm và sử dụng

các công cụ thích hợp của giải tích phi tuyến, chương 1 đã chứng minh sự tồntại duy nhất nghiệm yếu của BT biên cho PT sóng phi tuyến kiểu Kirchhoff:

utt ∂

∂x µ(x, t, u,kux(t) +ψ(t)k2)ux = f(x, t, u, ux, ut,kux(t) +ψ(t)k2), kết hợpvới các ĐKB Dirichlet không thuần nhất và các điều kiện đầu Một KTTC đến cấp

N+1 của nghiệm yếu cũng được thiết lập cho BT nhiễu với các số hạng nhiễu xuất

hiện ở cả hai vế của PT, ở trong thành phần của các số hạng phi tuyến µ, f và phụ

thuộc theo p tham số bé ε1, , εp

Kết quả của Chương 1 đã nới rộng các kết quả trong [T2] ứng với trường hợp

riêng ψ = 0 và f = f(x, t, u, ux, ut), fi = fi(x, t, u, ux, ut) Đặc biệt, kết quả nàycũng chính là sự phát triển các kết quả trong [T5] về tồn tại duy nhất nghiệm vàKTTC nghiệm theo nhiều tham số bé, với việc vận dụng các kỹ thuật tính toán trong

[T5] ứng với ψ= 0, µ = µ(u,kuxk2) và ĐKB Dirichlet thay bởi ĐKB Neumann Dirichletux(0, t) =g0(t), u(1, t) =g1(t)

-Thực chất, dạng BT được nghiên cứu ở đây không chỉ xuất phát từ các công trìnhđáng chú ý về PT sóng Kirchhoff, mà còn xuất phát từ ý tưởng tìm kiếm cách giảicho BT biên trong [T2], [T5] với ĐKB không thuần nhất

Về KTTC của nghiệm theo một tham số bé có thể tìm thấy trong các công trìnhcủa nhiều tác giả, tuy nhiên, theo sự hiểu biết của chúng tôi, vẫn còn ít kết quả vềKTTC theo nhiều tham số bé, mà chỉ dừng lại với hai hoặc ba tham số bé Dĩ nhiên,các kỹ thuật sử dụng trong KTTC cho nhiều tham số sẽ tương tự cho trường hợp íttham số nhưng sẽ phức tạp hơn rất nhiều

Chương 2

PT sóng kiểu Kirchhoff-Carrier liên kết với ĐKB Robin

Trong chương này, chúng tôi xét BT giá trị biên và ban đầu cho PT sóng phituyến kiểu Kirchhoff-Carrier liên kết với ĐKB Robin không thuần nhất dưới đây8