SỔ TAY CÔNG THUC HỌC NHANH môn TOÁN LUYÊN THI đại HỌC

Sổ tay toán cấp III Theo chương trình mới nhất của Bộ Giáo Dục - Đào Tạo.. Sổ tay toán cấp III Theo chương trình mới nhất của Bộ Giáo Dục - Đào Tạo.. Sổ tay toán cấp III Theo chư

Trang 1

Sổ tay toán cấp III Theo chương trình mới nhất của Bộ Giáo Dục - Đào Tạo

GV:Lê Quang Điệp Tel:0974200379-0633755711 54H Bùi Thị Xuân-Đà Lạt Trang 1

CÔNG THƢ́C HỌC NHANH MÔN TOÁN LUYỆN THI ĐẠI HỌC

ab

a

Trang 2

* Phương trình có 2 nghiệm cùng âm

ab

2.Dấu của tam thức

Dấu của tam thức bậc nhất

f x trái dấu với a 0 cùng dấu với a

Dấu của tam thức bậc hai

Biểu thức : f x  ax2 bx c; a  0 là tam thức bậc hai f x  0 ax2 bx c 0

* Nếu   0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1  x2

x  x 1 x 2 

 

f x cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a

* Nếu   0 Phương trình có nghiệm kép x1 x2 b

f x cùng dấu với a 0 cùng dấu với a

* Nếu   0 Phương trình vô nghiệm

x  

 

f x cùng dấu với a

Dấu của tam thức bậc ba

Biểu thức : f x  ax3 bx2 cx d; a   0 là tam thức bậc ba

f x trái dấu với a 0 cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a

* Nếu Phương trình  1 có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm kép x ; x0  0  x1.Qua nghiệm kép không đổi dấu

x  x 0 x 1 

 

f x trái dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a

Trang 3

* Nếu Phương trình  1 vô nghiệm

CHUYÊN ĐỀ II : PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI

1.Phương trình – Bất phương trình chứa trị tuyệt đối

Trang 4

* Nếu D Dx  Dy  0thì hệ vô số nghiệm :

x R

c axy

thì hệ đã cho vô nghiệm

2.Hệ phương trình đối xứng loại I

Trang 5

Truc cos

Truc sin Truc tan

Truc cotan

- 3 2

- 2 2

-1 2

1 2

2 2

3 2

-1 2

- 2 2

- 3 2

2 2

3 2

1 2

- 3

-1

- 3 3

-3 3

3 3

3

3 3 1

cot x tan x2

  

Hệ quả:

Trang 6

cot x tan x2

sin x y s inx.cos y sin y.cos x

cos x y cos x.cos y sin x.sin y

1 tan x.tan ycot x.cot y 1cot x y

cot x cot ycot x.cot y 1cot x y

cot x cot y

b Công thức nhân đôi:

sin 2x 2 sin x.cos x

cos2x cos x sin x

2 tan xtan 2x

1 tan xcot x 1cot 2x

sin 3x 3 sin x 4 sin x

cos3x 4 cos x 3 cos x

2

3 tan x tan xtan 3x

1 3 tan xcot x 3 cot xcot 3x

1 cos2xtan x

1 cos2x

1 cos2xcot x

1 cos2x

e.Công thức biến đổi tổng thành tích:

Trang 7

cos x cos y 2 cos cos

x y x ycos x cos y 2 sin sin

sin x ytan x tan y

cos x.cos ysin x ycot x cot y

21sin x.sin y cos x y cos x y

2

t anx tan ytan x.tan y

2

2tsin x

2

2ttan x

1 t

1 tcotx

2 Phương trình bậc n theo một hàm số lượng giác

Cách giải: Đặt t s inx (hoặc cos x, t anx, cot x ) ta có phương trình:

Trang 8

a t a t    a t 0 (nếu t s inx hoặc tcosx thì điều kiện của t : 1  t 1)

3 Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

a sin x b cos x c. a.b 0 điều kiện có nghiệm : 2 2 2

a b c

Cách giải: Chia 2 vế phương trình cho a2 b2 và sau đó đưa về phương trình lượng giác cơ bản

4.Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

     có phải là nghiệm không ?

Xét cosx 0 Chia 2 vế cho cos x và đặt t2  tanx

5 Phương trình dạng

a s inx cos x b.s inx.cos x  c

Cách giải : Đặt t s inx cos x 2 sin x ; DK : 2 t 2

 và giải phương trình bậc 2 theo t

CHUYÊN ĐỀ V : KHẢO SÁT HÀM SỐ -BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Trang 9

II.Các Bài Toán Liên Quan

1.Sự tương giao của hai đồ thị

Cho hàm số : y f x C và y = g x C   1    2

a.Phương trình hoành độ giao điểm của  C và 1  C là : 2 f x      g x *

 * có 1 nghiệm x0   C và 1  C cắt nhau tại điểm 2 M x ;f x 0  0 

 * vô nghiệm  C và 1  C không có điểm chung 2

 * có k nghiệm x0   C và 1  C cắt nhau tại k điểm 2

 * có nghiệm kép x1   C và 1  C tiếp xúc nhau tại điểm 2 N x ;f x 1  1 

 có nghiệm là x (0 x là hoành độ tiếp xúc ) 0

2.Phương trình tiếp tuyến

Cho hàm số :y f x ; C    

a.Phương trình tiếp tuyến tại

Phương trình tiếp tuyến của hàm số  C tại M x ; y có dạng :  0 0 '  

y f x x x y ' 

0

f x là hệ

số góc của tiếp tuyến

b.Phương trình tiếp tuyến đi qua

x

O

I

Trang 10

Phương trình tiếp tuyến của hàm số  C đi qua N x ; y có dạng :  1 1 y k x x  1y 1   k là hệ số góc của tiếp tuyến Để   là tiếp tuyến của  C    

c.Phương trình tiếp tuyến song song

Tiếp tuyến cuả hàm số  C song song với đường thẳng   y k x b  nên có ' 

0

f x  k.Giải tìm

0

x rồi thay vào hàm số  C tìm y0phương trình tiếp tuyến cần tìm

d.Phương trình tiếp tuyến vuông góc

Tiếp tuyến cuả hàm số  C vuông góc với đường thẳng  d y k x bd  nên có ' 

f x k  1.Giải tìm

0

x rồi thay vào hàm số  C tìm y0phương trình tiếp tuyến cần tìm

3.Tọa độ điểm nguyên

Bước 2: Để  C có tọa độ điểm nguyên thì B

cx d phải nguyên B chia hết cho cx+d (cx+d là ước

chung nhỏ nhất của B ) từ đó tìm được x , x thay vào 1 2  C tìm được y , y 1 2

Bước 3: Kết luận các tọa độ điểm nguyên M x ; y , M x ; y 1 1 1 2 2 2

4.Biện luận số nghiệm của phương trình

Cho hàm số :y f x ; C    

Dựa vào  C để biện luận số nghiệm của phương trình F x;m 0 * =0

Bước 1: Biến đổi  * sao cho vế trái giống như đồ thị  C ,vế phải đặt là đường thẳng d : yg x;m  Bước 2: Số nghiệm của  * chính là số nghiệm của hoành độ giao điểm của  d và  C

Bước 3: Lập bảng giá trị dựa vào đồ thị  C kết luận.(có thể không cần kẻ bảng)

0

f x 0x

0

f x 0x

Trang 11

 

; b 0b

c

b

1log b

Trang 12

Trang 13

x ln a

a

ulog u

cos x

2

utanu

sin x

2

ucotu

sin u  u sin  u.cosu  ' ' 1

cos u   u cos u.sin u

CHUYÊN ĐỀ VIII : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Trang 14

Trang 15

2.Phương pháp đổi biến số

Dạng 1 Hình phẳng giới hạn bởi : Hàm số yf x C   ,trục hoành y0 và hai đường thẳng

xa, xb.Giải phương trình hoành độ giao điểm của  C và oxf x  0 x , x 1 2

    hoặc dựa vào đồ thị

Dạng 2 Hình phẳng giới hạn bởi : Hàm số yf x C ; y   1 g x C   2 và hai đường thẳng

Trang 16

 giải tìm x,y rồi thay vào w

*Cho phương trình bậc 2 : az2 bz c 0 a 0 xét =b  2 4ac

khi  0 phương trình có 2 nghiệm ảo phân biệt : 1 2

Trang 17

PHẦN B: HÌNH HỌC

CHUYÊN ĐỀ I : TỌA ĐỘ TRONG PHẲNG

1 TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ

1 Tọa độ điểm : Trong không gian với hệ tọa độ Oxy

Cho 2 điểm A và B : 2 điểm A x ; y A A) và B x ; y  B B

Véctơ : AB xB x ; yA B yA

Khoảng cách giữa AB là : 2 2

AB (x x ) (y y )Gọi I là trung điểm của AB : xA xB yA yB

Nếu a vuông góc với b

3 Phương trình tổng quát của đường thẳng    : A xx0 B yy0  0

Hay Ax By C  0 (với C Ax0 By0 và A2 B2 0)trong đó M (x0; y0) và

Trang 18

n n song song

n u vuông góc

4.Các trường hơ ̣p đă ̣c biê ̣t:

* Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A(a ; 0) và B(0 ; b) là:

1

a  b  ( phương trình đoa ̣n chắn )

* Phương trình đường thẳng đi qua điểm M x ; y 0 0) có hệ số góc k có dạng : y y 0 k x x  0

5 Khoảng cách từ mội điểm M (x0; y0) đến đường thẳng  : Ax + By + C = 0 được tính theo công

thức : d(M; ) =

2 2 0 0

B A

c Bx Ax

2

b

a

= 2

đươ ̣c 2 đường phân giác)

3.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Phương trình đường tròn tâm I a; b bán kính R có dạng :   x a–  2  y b– 2=R 2 1 

hay x 2 y 2 –2ax 2by c–  0 2  với R2 a2b2 c

 Với điều kiện a2b – c 2  0thì phương trình :x2 y – 2ax – 2by 2 c 0 là phương trình đường tròn tâm I a; b bán kính R  

 Đường tròn (C) tâm I (a ; b) bán kính R tiếp xúc với đường thẳng   : Ax By C  0

Trang 19

CHUYÊN ĐỀ II : PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

II.Kiến Thức Cơ Bản Về Hình Học Không Gian

A.QUAN HỆ SONG SONG

§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

I Định nghĩa:

Đường thẳng và mặt phẳng

gọi là song song với nhau nếu

chúng không có điểm nào

chung

(P)

II.Các định lý:

Trang 20

ĐL1:Nếu đường thẳng d

không nằm trên mp(P) và song

song với đường thẳng a nằm

ĐL2: Nếu đường thẳng a song

song với mp(P) thì mọi mp(Q)

(P)

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt

nhau cùng song song với một

đường thẳng thì giao tuyến

của chúng song song với

đường thẳng đó

(P) (Q) d (P) / /a d / /a (Q) / /a

Q P

§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

I Định nghĩa:

Hai mặt phẳng được gọi là

song song với nhau nếu chúng

không có điểm nào chung (P)/ /(Q) (P) (Q)    

Q P

Trang 21

ĐL2: (Ba đường vuông góc)

Cho đường thẳng a không

vuông góc với mp(P) và

đường thẳng b nằm trong (P)

Khi đó, điều kiện cần và đủ để

b vuông góc với a là b vuông

góc với hình chiếu a’ của a

§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC I.Định nghĩa:

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900

ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P)

và (Q) vuông góc với nhau

thì bất cứ đường thẳng a nào

nằm trong (P), vuông góc

với giao tuyến của (P) và (Q)

đều vuông góc với mặt

phẳng (Q)

(P) (Q) (P) (Q) d a (Q)

Trang 22

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P)

và (Q) vuông góc với nhau

và A là một điểm trong (P)

thì đường thẳng a đi qua

điểm A và vuông góc với

§3.KHOẢNG CÁCH

1 Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng ,

đến 1 mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a

(hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa

hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của

điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))

d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH a

H

O

H O

P

2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt

phẳng song song:

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P)

song song với a là khoảng cách từ một điểm

nào đó của a đến mp(P)

d(a;(P)) = OH

a

H O

P

3 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt

phẳng này đến mặt phẳng kia

d((P);(Q)) = OH

H O

Q P

4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

Trang 23

B

h

a b c

a a a

§4.GÓC

1 Góc giữa hai đường thẳng a và b

là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi

qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và

a' a

2 Góc giữa đường thẳng a không vuông góc

với mặt phẳng (P)

là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên

mp(P)

Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P)

thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và

Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2

mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1

điểm

b a

Q P

4 Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của

đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình

chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì

S' Scos  

trong đó là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’)

B A

Trang 24

Sổ tay tốn cấp III Theo chương trình mới nhất của Bợ Giáo Dục - Đào Tạo

B h

2 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP:

V=1

3Bh

với B : diện tích đáy

h : chiều cao







3 TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:

Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần

lượt thuộc SA, SB, SC ta cĩ:

SABC

SA ' B' C'

V  SA' SB' SC'

* MSC, ta cã:

.

S ABM

S ABC

V  SA SB SC  SC

C'

B' A'

C B

A

S

4 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT:

V h  B B' BB' 

3

với B, B' : diện tích hai đáy

h : chiều cao







B A C A' B' C' 5.THỂ TÍCH-DIỆN TÍCH HÌNH TRỤ:     xq 2 S 2 Rh V R h    R : ban kính đáy h : chiều cao

I o’

h

J R O

6.THỂ TÍCH-DIỆN TÍCH HÌNH NĨN sxq = Rl V=1 3R2h

     R : ban kính đáy h : chiều cao l:duong sinh l h A C B S M R

R

Định dạng
Số trang	31
Dung lượng	1,27 MB