Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình PAdic

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ BÍCH THÙY PHÂN BỐ GIÁ TRỊ ĐỐI VỚI ĐƠN THỨC VI PHÂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TR

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ BÍCH THÙY

PHÂN BỐ GIÁ TRỊ ĐỐI VỚI ĐƠN THỨC VI PHÂN

CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ BÍCH THÙY

PHÂN BỐ GIÁ TRỊ ĐỐI VỚI ĐƠN THỨC VI PHÂN

CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Vũ Hoài An

THÁI NGUYÊN - 2014

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung

thực, không trùng lặp với các đề tài khác và các thông tin trích dẫn trong luận

văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014

Học viên

Nguyễn Thị Bích Thùy

2 Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân

2.1 Giả thuyết Hayman p - adic 162.2 Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm

phân hình p-adic 25

MỞ ĐẦU

Lý do chọn luận văn

Lý thuyết phân bố giá trị do Nevanlinna xây dựng được xem là thànhtựu toán học đẹp đẽ nhất của toán học thế kỷ XX, mà ngày nay đượcgọi là Lý thuyết Nevanlinna Nội dung chính của Lý thuyết phân bố giátrị là hai định lý cơ bản Định lý cơ bản thứ nhất là mở rộng Định lý cơbản của đại số, mô tả sự phân bố đều giá trị của hàm phân hình kháchằng trên mặt phẳng phức C Định lý cơ bản thứ hai là mở rộng Định

lý Picard, mô tả ảnh hưởng của đạo hàm đến sự phân bố giá trị của hàmphân hình Hà Huy Khoái là người đầu tiên xây dựng tương tự Lý thuyếtphân bố giá trị cho trường hợp p - adic Ông và các học trò đã tương tự

lý thuyết Nevanlinna cho trường số phức p - adic mà ngày nay thường gọi

là lý thuyết Nevanlinna p - adic Họ đã đưa ra hai Định lý chính cho hàmphân hình và ánh xạ chỉnh hình p - adic Một trong những ứng dụng sâusắc của lý thuyết phân bố giá trị (phức và p - adic) là Vấn đề xác địnhduy nhất cho các hàm phân hình khác hằng (phức vàp-adic) qua điều kiệnảnh ngược của tập hợp điểm mà ngày nay được gọi là Định lý 5 điểm củaNevanlinna (hoặc tương tự của Định lý 5 điểm cho trường hợp p-adic).Phân bố giá trị và vấn đề xác định duy nhất đã được nhiều nhà toán họctrong và ngoài nước xét trong mối liên hệ với đạo hàm của hàm phân hình

và ảnh ngược của các điểm riêng rẽ Người khởi xướng hướng nghiên cứunày là Hayman

Năm 1967, Hayman đã chứng minh kết quả sau đây:

Định lí A[4] Chof là hàm phân hình trên C Nếuf (z) 6= 0vàf(k)(z) 6=

1 với k là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f là hằng

Năm 1967, Hayman cũng đưa ra giả thuyết sau đây:

Giả thuyết Hayman[4] Nếu một hàm nguyênf thỏa mãnfn(z) f′(z) 6=

1 với n là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C , thì f là hằng.Giả thuyết Hayman đã được Hayman kiểm tra đối với hàm nguyên siêuviệt và n > 1 , đã được Clunie kiểm tra đối với n ≥ 1 Các kết quả này

và các vấn đề liên quan đã hình thành nhánh nghiên cứu được gọi là sựlựa chọn của Hayman

Tiếp đó, đối với các hàm nguyên f và g, C C Yang và G G Gundersen

đã nghiên cứu trường hợp ở đó f(k) và g(k) nhận giá trị 0 CM, k = 0, 1.Công trình quan trọng đầu tiên thúc đẩy hướng nghiên cứu này thuộc vềC.C.Yang – X.H Hua.Năm 1997, hai ông đã chứng minh định lý sau đây:Định lí B[13] Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, n ≥ 11 làmột số nguyên và a ∈ C - {0} Nếu fnf′và gng′ nhận giá trị a CM thìhoặcf = dg với dn+1 = 1 hoặc g (z) = c1ecz và f (z) = c2e−cz , ở đó c, c1,

tự cho đơn thức vi phân dạng fn(z) f(k)(z)
m

Họ đã nhận được kết quảsau:

Định lí D[4] Cho f là hàm phân hình trên Cp, thỏa mãn điều kiện

fn(z) (f(k))m(z) 6= 1 với mọi z ∈ Cp và n,m k là các số nguyên không

âm.Khi đó f là đa thức bậc < k nếu một trong các điều kiện sau xảy ra:

1 f là một hàm nguyên

2 k > 0 và hoặc m = 1, n > 1+√21+4k hoặc m > 1, n ≥ 1

3.n ≥ 0, m > 0, k > 0, và tồn tại hằng số C, r0 sao cho |f|r < C với mọi

r > r0

Theo hướng nghiên cứu này, đề tài nhằm nghiên cứu vấn đề:

Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình

p-adic

Đây là một vấn đề có tính thời sự của giải tích p-adic

Phương pháp được dùng ở đây là :

Vận dụng các kiểu của Định lý chính thứ hai trong trường p-adic để xétphân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p-adic.Ngoài phần mở đầu và tài liệu tham khảo luận văn gồm:

Chương 1 Phân bố giá trị của hàm phân hình p-adic

Chương 2 Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình

p-adic

Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau Đại Học, Đại Học Sư Phạm TháiNguyên dưới sự hướng dẫn của Tiến Sĩ Vũ Hoài An Nhân dịp này, tôi xincảm ơn Tiến Sĩ Vũ Hoài An, người đã hướng dẫn giúp đỡ tôi trong suốtquá trình thực hiện luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các nhà toánhọc Khoa Toán, Đại Học Sư phạm - Đại Học Thái Nguyên

Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nênluận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự đóng góp ýkiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014

Tác giảNguyễn Thị Bích Thùy

Chương 1

Phân bố giá trị của hàm phân hình

p - adic

Hiện nay tập bài giảng nhập môn Giải tích p-adic [2] của Hà Trần Phương

là tài liệu tiếng Việt được dùng cho cao học ngành giải tích của TrườngĐại Học Sư Phạm - Đại Học Thái Nguyên Sách chuyên khảo về hàm phânhình không Acsimet của Hu-Yang [9] là tài liệu tham khảo tiếng Anh rấttốt cho cao học, nghiên cứu sinh và những người muốn tìm hiểu về lýthuyết phân bố giá trị p-adic Trên cơ sở các tài liệu này, trong chương

1 chúng tôi trình bày một số kiến thức về phân bố giá trị của hàm phânhình p-adic để dùng cho chương 2

1.1 Hàm đặc trưng của hàm phân hình p-adic

Với p là một số nguyên tố cố định, Ostowski đã khẳng định: Chỉ có haicách trang bị chuẩn không tầm thường cho trường hữu tỉ Q Mở rộng theochuẩn thông thường ta có trường số thực R, mở rộng theo chuẩn p-adic ta

1.1.2 Hàm đặc trưng

Giả sử f là một một hàm chỉnh hình khác hằng trên Cp Với mỗi a ∈ Cp,

f viết f = P

Pi (z − a) với Pi các đa thức bậc i.Định nghĩa vf(a) = min {i : Pi 6= 0}

Với a ∈ CpS

{∞}, tađịnh nghĩa hàm đếm số không điểm nf(a, r) của f tại a hay còn gọi hàmđếm số a - điểm của f bởi :

bm 2

Ta có

f∗(0) = lim

z −→0zm 2 −m 1f (z) ∈ Cp∗

mf(∞, r) = max {0, log|f|r}.Với mỗi a ∈ Cp, đặt mf(a, r) = m 1

f − a

(∞, r) Ta có

mf(0, r) = log+µf(0, r) = max {0, − log |f|r}.Sau đây ta có một số tính chất đơn giản của hàm đếm và hàm xấp xỉ.Mệnh đề 1.1 [2]

Giả sử fi là hàm phân hình không đồng nhất trên Cp, i = 1, 2, , k Khi

Suy ra

Tiếp theo ta định nghĩa hàm đặc trưng cho bởi công thức

Tf = mf(∞, r) + Nf(∞, r) Ta có Tf(r) = max

1≤i≤2log |fi|r + O(1),

f được gọi là hàm siêu việt nếu lim Tf(r)

Hơn nữa Tf(r) là một hàm tăng theo r

Mệnh đề 1.3 Giả sử f là hàm chỉnh hình không đồng nhất O trên Dr.Khi đó Tf(r) = Nf(r) + O(1), trong đó O(1) là đại lượng bị chặn khi

1.2 Hai Định lý chính của lý thuyết Nevanlinna p-adic

1.2.1 Hai Định lý chính

Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày hai định lý chính trong lý thuyếtNevanlinna p-adic Ta kí hiệu|.| thay cho |.|p trên Cp Ta cố định hai sốthực ρ và ρ0 sao cho 0 < ρ0 < ρ < ∞ Trước tiên ta chứng minh định lýchính thứ nhất

Định lý 1.4 [2]

Nếu f là một hàm khác hằng trên Cp(0, ρ) thì với mọi a ∈ Cp ta có

mf(a, r) + Nf(a, r) = Tf(r) + O(1)

(k)

rk.Mệnh đề được chứng minh

Với một hàm phân hình khác hằng f trong Cp(0, ρ), ta định nghĩa

NRamf(∞, r) = 2Nf(∞, r) − Nf ′(∞, r) + Nf ′(0, r)

Tiếp theo ta giới thiệu Định lý chính thứ hai

Định lý 1.6 (Định lý chính thứ hai)[2]

Nếu f là hàm phân hình khác hằng trên Cp(0, ρ) và a1, , aq ∈ Cp là các

số phân biệt Đặt δ = min

i 6=j {1, |ai− aj|} , A = max {1, |ai|} Khi đó với

Trong chứng minh khi viết||Ta hiểu là||pLấyr′ ∈ |Cp|sao choρ0 < r′ < ρ

Ta viết f = f1/f0 trong đó f1, f0 ∈ Ar ′ (Cp) không có không điểm chung

và đặt

F0 = f0, Fi = f1 − aif0 (i = 1, 2, , q)Khi đó

|fk(z)| ≤ A max {|F2(z)|, |Fi(z)|} , (k = 0, 1)

Ta luôn sử dụng

W = W (f0, f1) =

là kí hiệu Wronskian của f0 và f1.Đặt Wi = W (F0, Fi) = W

Bây giờ ta cố định z ∈ Cp[0, r′] −Cp[0, ρ] sao cho

W (z), f1(z), Fi(z) 6= 0,i = 0, 1, , q

Khi đó tồn tại một chỉ số j ∈ {1, 2, , q} sao cho

|Fj(z)| = min

1≤j≤q|Fi(z)|.Chú ý rằng

|f0(z)| = |Fi(z) − Fj(z)|

|aj − ai| ≤

1

δ|Fi(z)|(i 6= j)Như vậy chúng ta có thể lấy các chỉ số phân biệt β1, , βq −1 với βl 6=j(l = 1, 2, , q − 1) sao cho

F0|Khi đó log |Fβ l(z) Fβq−l| ≤ log |F0(z) Fq(z)|

|W (z)| + log Dj(z).Bởi vậy ta có

(q − 1) log |f(z)| ≤ log|F0(z) Fq(z)|

A

δ.Đặt r = |z| Lại có

log |F0(z)|r = log |f2|r = N2(0, r) + log |f2|ρ 0 = Nf(∞, r) + log |f2|ρ 0,

log |W (z)|r = log |f0f1′−f1f0′|r=NW(0, r)+log |W |ρ 0 =NW(0, r)+log |f′|ρ 0+

Giả sử f là một hàm phân hình khác hằng trên Cp Khi đó

P

a ∈C p S {∞}

a ∈C p S {∞}

Khi r −→ ∞ và như thế |f|r > 1 khi r đủ lớn Bởi vậy

mf(∞, r) = log |f|r.Khi r đủ lớn, kéo theo

Nf(r) = Tf(r) + O(1)

Do đó

Nf(a, r) = Tf(r) + O(1).Với mọi a ∈ Cp

0 ≤ ρ ≤ r

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1Trong chương 1, chúng tôi đã trình bày các khái niệm cơ bản và hai định

lý chính cùng các hệ quả của nó, của lý thuyết phân bố giá trị của hàmphân hình p-adic

Chương 2

Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p-adic

Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p-adic là vấn

đề mới mẻ Năm 2008, Ojeda [11] là người đầu tiên đã xét phân bố giá trịcủa fnf′ với f là hàm phân hình p - adic

Trong [11] J.Ojeda đã chứng minh cho hàm phân hình siêu việt trên trườngđóng đại số có đặc số không, thỏa mãn giá trị tuyệt đối trên K khôngArchimedean, hàm f′fn − 1 có vô số không điểm nếu n ≥ 2.

Năm 2011, Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An [4] đã thiết lập các kết quả tương

tự cho đơn thức vi phân dạng fn(z) f(k)(z)
m

Mục đích trong chươngnày là trình bày các kết quả của Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An trong[4]:Định lí D [4] Cho f là hàm phân hình trên Cp, thỏa mãn điều kiện

fn(z) (f(k))m(z) 6= 1 với mọi z ∈ Cp và n,m k là các số nguyên khôngâm.Khi đó f là đa thức bậc < k nếu một trong các điều kiện sau xảy ra:

1 f là một hàm nguyên

2 k > 0 và hoặc m = 1, n > 1+√21+4k hoặc m > 1, n ≥ 1

3 n ≥ 0, m > 0, k > 0, và tồn tại hằng số C, r0 sao cho |f|r < C với mọi

r > r0

Mặt khác, phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình

p-adic liên quan mật thiết với Giả thuyết Hayman p - adic Do đó, trướctiên chúng tôi trình bày các kết quả về Giả thuyết Hayman p - adic[1]

2.1 Giả thuyết Hayman p - adic

Năm 1967, Hayman đưa ra giả thuyết sau đây:

Giả thuyết Hayman [4] Nếu một hàm nguyênf thỏa mãnfn(z) f′(z) 6=

1 với n là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f là hằng.Giả thuyết Hayman và các vấn đề liên quan đối với hàm phân hình là mộttrong những vấn đề cơ bản của Giải tích phức Các kết quả liên quan đếnGiả thuyết Hayman đã hình thành và phát triển hướng nghiên cứu: Sựlựa chọn Hayman Giả thuyết Hayman đối với hàm phân hình được giảiquyết năm 2005 Từ năm 2008, Giả thuyết Hayman được nghiên cứu trongtrường hợp p- adic Vì các kết quả trong Giải tích p− adic thường tốt hơncác kết quả cùng kiểu trong Giải tích phức nên Giả thuyết Hayman đượcphát biểu trong trường hợp p− adic như sau

Giả thuyết Hayman p− adic [1] Nếu một hàm phân hình p− adic fthỏa mãn fn(z) f′ (z) 6= 1 với n là một số nguyên dương nào đó và vớimọi z ∈ Cp thì f là hằng

Trong mục này chúng ta trình bầy các kết quả của Giả thuyết Haymancho hàm phân hình p− adic

Giả sử f là hàm chỉnh hình khác hằng trên Cp (hàm phân hình p− adic),

Giả sử f là một hàm phân hình trên Cp, khi đó tồn tại hai hàm nguyên

f1, f2 sao cho f1, f2 không có không điểm chung và f = f1

f2, a ∈ Cp, k, l làmột số nguyên dương Ta định nghĩa

Bổ đề 2.1 Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên Cp và n là một

số nguyên dương, n > 1 Khi đó

(n − 1)T (r, f) + N(r, 1

f′) + N (r, f ) ≤ T (r, fnf′) + O(1).Chứng minh

n2 + 3n + 2)T (r, f

fnf′ − ai) − log r + O(1).Chứng minh Áp dụng Định lý chính thứ hai ta có

không là không điểm của f, ở đó mỗi không điểm của f được tính cả bội.Khi đó

Giả sử ngược lại, f khác hằng Theo Bổ đề 2.1 ta có fn(z) f′ khác hằng.

Do đó fnf′ nhận giá trị 1, một mâu thuẫn Vậy f là hằng

Câu hỏi: Với n = 1 thì Định lý 2.3 còn đúng nữa hay không?

Tiếp theo, ta phát biểu tương tự Giả thuyết Hayman cho Toán tử saiphân, Tích sai phân của hàm phân hình p− adic Cho f là một hàm phânhình p− adic Ta định nghĩa

Toán tử sai phân của f như sau:

∆cf = f (z + c) − f(z) ở đó c ∈ Cp là một hằng số khác 0

và Tích sai phân của f như sau:

fn(z) f (z + c) ở đó c ∈ Cp là một hằng số khác 0

Giả thuyết Hayman được phát biểu cho Toán tử sai phân, Tích sai phâncủa hàm phân hình p− adic như sau:

Giả thuyết Hayman cho Toán tử sai phân p− adic Nếu một hàmphân hình p− adic f thỏa mãn fn(z) ∆cf (z) 6= 1 với n là một số nguyêndương nào đó và với mọi z ∈ Cp thì f là hằng

Giả thuyết Hayman cho Tích sai phân p− adic Nếu một hàm phânhìnhp− adic f thỏa mãn fn(z) f (z + c) 6= 1 vớin là một số nguyên dươngnào đó và với mọi z ∈ Cp thì f là hằng

Bổ đề 2.4 Nếu hàm phân hình f trên Cp thỏa mãn ∆cf (z) = 0 với mọi

z ∈ Cp thì f là hằng

Chứng minh

Giả sử ngược lại, f khác hằng Do f là một hàm phân hình trên Cp,khi đó tồn tại hai hàm nguyên f1, f2 sao cho f1, f2 không có không điểmchung và f = f1

f2

Do f khác hằng nên ít nhất một trong hai hàm f1, f2

khác hằng Không giảm tổng quát, giả sử f1 khác hằng Vì ∆cf (z) = 0với mọi z ∈ Cp nên f1(z)

f2(z) =

f1(z + c)

f2(z + c) = a, a 6= 0 với mọi z ∈ Cp Khi đó

f1(z) = af1(z + c) Ta chứng minh f1(z) không có không điểm có mô đunlớn hơn |c|. Giả sử ngược lại, f1(z) có không điểm có mô đun lớn hơn |c|.Gọiblà không điểm củaf1(z)sao cho|c| < |b| Đặt|b| = r Do|c| < |b|nên

|z + mc| = |z| với |z| = r, m là một số nguyên dương bất kỳ Chú ý rằng,tập hợp các không điểm có cùng mô đun của một hàm nguyên là hữu hạn

Do f1(z) = af1(z + c) nên b, b + c, , b + mc, là các không điểm phânbiệt có cùng mô đun của f1(z) với m là một số nguyên dương bất kỳ Từđây ta nhận được mâu thuẫn Vậy f1(z) không có không điểm có mô đunlớn hơn |c| Do đó f1(z) là đa thức với bậc nnào đó Từ f1(z) = af1(z + c)nhận được f1(z)(n−1) là đa thức với bậc 1 và f1(z)(n−1) = af1(z + c)(n−1)

dz + e = adz + adc + ae Từ đây suy ra a = 1, c = 0 Mâu thuẫn với giảthiết c 6= 0 Vậy f là hằng

Bổ đề 2.5 Cho f là hàm phân hình khác hằng trên Cp Khi đó

Nếu |c| < r. Chú ý rằng tập các số r ∈ R+ sao cho tồn tại z ∈ Cp với

|z| = r là trù mật trong r ∈ R+ Vì thế, không giảm tổng quát ta có thểgiả sử rằng tồn tai z ∈ Cp sao cho |z| = r Khi đó |c + z| = |z| = r Vìvậy |f(z)|r = |f(z + c)|r và |Ac| = 1

Nếu r ≤ |c|, thì |c + z| ≤ max {|c|, |z|} ≤ |c| Vì thế |Ac| = O(1)

2 Tương tự chứng minh như 1., ta có m(r,ff(z+c)(z) ) = O(1)

3.Tương tự chứng minh như 1., ta có N (r,f(z+c)1 ) = N (r,f(z)1 ) + O(1).4.Tương tự chứng minh như 1., ta có N (r, f (z + c)) = N (r, f (z)) +O(1)

5 Do m(r,f(z+c)f(z) ) = O(1),m(r, △c f

f ) ≤ maxnm(r, f(z+c)f(z) ), 0o

nên ta cóm(r, △c f

f ) = O(1)

6 Chof = f1

f 2 là hàm phân hình khác hằng trên Cp, ở đó f1, f2 là cáchàm chỉnh hình trên Cp và không có không điểm chung Tương tự nhưchứng minh 1., Ta có:

Nếu |c| < r, thì |f1(z)|r = |f1(z + c)|r và |f2(z)|r = |f2(z + c)|r

Nếu r ≤ |c|, thì |f1(z)|r ≤ |f1(z)|c, |f1(z + c)|r ≤ |f1(z)|c

và |f2(z)|r ≤ |f2(z)|c, |f2(z + c)|r ≤ |f2(z)|c

Phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p-adic

Phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p-adic vấn

đề mẻ Năm 2008, Ojeda [11] người xét phân bố giá tr? ?của. .. |f|r < C với

r > r0

Mặt khác, phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình

p-adic liên quan mật thiết với Giả thuyết Hayman p - adic... fnf′ với f hàm phân hình p - adic

Trong [11] J.Ojeda chứng minh cho hàm phân hình siêu vi? ??t trườngđóng đại số có đặc số khơng, thỏa mãn giá trị tuyệt đối K khơngArchimedean, hàm f′fn