Khảo sát động học robot song song bằng phương pháp đổi biến số

1.4 Các hướng nghiên cứu tương cận với đề tài 30 Chương 2: KHẢO SÁT ĐỘNG HỌC ROBOT SONG SONG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 32 2.1 Xây dựng vòng khép kín của véc tơ trong các cấu trúc khác

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

TS Phạm Thành Long Nguyễn Đình Thanh

PHÒNG QLĐT SAU ĐẠI HỌC XÁC NHẬN KHOA CƠ KHÍ

PGS.TS Nguyễn Văn Dự

THÁI NGUYÊN – 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

THUYẾT MINH LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT

KHẢO SÁT ĐỘNG HỌC ROBOT SONG SONG

BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

LỜI CAM ĐOAN

Tôi là: Nguyễn Đình Thanh

Nơi công tác: Trường Đại Học Công Nghiệp Việt Trì

Tên đề tài: Khảo sát động học robot song song bằng phương pháp đổi biến số Chuyên ngành: Kỹ thuật cơ khí

Mã số: 60 52 01 03

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi Các số liệu, kết quả

có trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

Thái Nguyên, ngày tháng 04 năm 2014 Học viên

Nguyễn Đình Thanh

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian thực hiện đề tài, tác giả đã nhận được sự quan tâm rất lớn của nhà trường, khoa cơ khí, các thầy cô giáo trường Đại Học Kỹ thuật Công Nghiệp Thái Nguyên và các bạn cùng lớp

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa đào tạo Sau đại học, các thầy cô giáo tham gia giảng dạy đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành nhất đến TS Phạm Thành Long và tập thể cán bộ giảng viên Bộ môn Cơ điện tử đã cho những chỉ dẫn quý báu để hoàn thành luận văn này

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp của các thầy giáo thuộc khoa Cơ điện và các đồng nghiệp tại Trường Đại học Công nghiệp Việt Trì đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tác giả tháo gỡ những khó khăn trong thời gian làm luận văn Mặc dù đã cố gắng song do kiến thức và kinh nghiệm còn hạn chế nên chắc chắn luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong muốn sẽ nhận được những chỉ dẫn từ các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện và có ý nghĩa hơn nữa trong thực tiễn

Xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

1.3 Bài toán động học ngược Robot và các phương pháp điển hình 18

1.4 Các hướng nghiên cứu tương cận với đề tài 30

Chương 2: KHẢO SÁT ĐỘNG HỌC ROBOT SONG SONG BẰNG

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

32

2.1 Xây dựng vòng khép kín của véc tơ trong các cấu trúc khác nhau 32 2.2 Các dạng phương trình liên kết khác nhau với cấu trúc song song 32 2.2.1 Phương trình liên kết khi dẫn động kiểu R (rotation) 33 2.2.2 Phương trình liên kết khi dẫn động kiểu p (prismatic) 33 2.3 Phương pháp giảm Gradient tổng quát (GRG) và trình solver 34

2.4 Ứng dụng phương pháp tối ưu vào bài toán động học robot song song 42

2.5 Công thức đổi biến số và cấu trúc thay thế tương đương 46 2.5.1 Trường hợp robot song song dẫn động bằng khớp tịnh tiến, khớp chủ

động không nối giá

Kết luận của luận văn 73

BẢNG DANH MỤC THUẬT NGỮ, KÍ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT

VỊ

1 6R Robot có 6 bậc tự do quay

2 3R3P Robor có 3 khớp quay và 3 khớp tịnh tiến

3 3RRR Robor có 3 bậc tự do toàn khớp quay

4 4R2P Robor có 4 khớp quay và 2 khớp tịnh tiến

5 5R1- P Robor có 5 bậc tự do quay với 1 bậc tự do tịnh tiến

6 6R- P Robor có 6 bậc tự do quay với 1 bậc tự do tịnh tiến

7 7R Robot có 7 bậc tự do quay

8 a(ax,ay,az) Vector thể hiện hướng tiếp cận của bàn kẹp

9 ABB Asea Brown Boveri (hãng sản xuất của Thụy sĩ)

11 Ai Ma trận Denavit- Hartenberg

12 CAD Computer Aided Design

13 CAM Computer Aided Manufacturing

14 CNC Computer Numerical Control

15 D Miền thỏa mãn các ràng buộc vật lí của các khớp

16 DH Denavit- Hartenberg

18 f(x) Hàm mục tiêu của bài toán tối ưu

19 GA Genetic algorithms

20 GP Bài toán tối ưu tổng quát

21 GRG Thuật toán Generalized Reduced Gradient

22 n Số bậc tự do của robot

23 NC Numerical Control

24 qi Biến khớp tổng quát

25 TPM Translations Parallel Manipulation

26 x Các biến trong bài toán tối ưu

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng1.1 Số lời giải của bài toán động học ngược tương ứng với các thông

Bảng 2.1 Các thuật ngữ của công cụ Solver trên giao diện chương trình 40 Bảng 2.2 Ý nghĩa của các tùy chọn trong Option của công cụ Solver 41

Bảng 2.3 Lời giải bài toán ngược cho robot RRR thay cho RPR với một

Bảng 2.4 Tọa độ điểm chốt trên quỹ đạo theo yêu cầu công nghệ 54 Bảng 2.5 Lời giải bài toán ngược và kết quả theo phương pháp đổi biến số 55

BẢNG DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

1.4 Sơ đồ xử lý ảnh với hai camera bố trí để đo tam giác 15

1.5 Gia công cơ khí với robot mang dụng cụ cắt trong bàn tay

2.1 Nguyên tắc hình thành vòng kín trên hai kiểu robot khác nhau 32

2.2 Sơ đồ khai triển chi tiết nhánh thứ i của robot song song dẫn động

2.3 Sơ đồ khai triển chi tiết nhánh thứ i của robot song song dẫn động

2.5 Hộp thoại Add- Ins tùy chọn cài đặt thêm Solver 40

2.7 Quỹ đạo trọng tâm tấm di động dạng một phần đường ellipse nằm

2.10 Một số ví dụ về cấu trúc thay thế (trái) và cấu trúc gốc (phải) 47

2.16

Quan hệ hình học giữa biến gốc (li) và biến mới (2i)khi thay đổi

2.17 Đường cong quỹ đạo trong không gian công tác của robot 52

2.19 Các đồ thị quy đổi dữ liệu khi sử dụng phương pháp đổi biến số 57

2.21

Sơ đồ thay thế tương đương cho một chân của robot TPM khi sử

dụng hai khớp RR thay thế cho một khớp P có điều kiện hạn chế

kèm theo

59

2.22 Quan hệ đa chiều giữa hai không gian qua bài toán động học 60 2.23 Một điểm đưa vào giải bài toán ngược của robot stewart gocgh 61

2.24 Điểm đã đưa vào bài toán ngược được tìm lại dưới quy mô 12 biến

3.1 Sơ đồ động robot thí nghiệm và khai triển chi tiết nhánh phải 66 3.2 Sơ đồ động tương đương và khai triển chi tiết nhánh phải 67

3.4 Cấu hình ở trạng thái tương ứng với lời giải ở hình 3.3 69 3.5 Giá trị biến beta 2 kiểm tra độc lập theo công thức đổi biến 69 3.6 Quan hệ khép kín của dữ liệu động học trên phương trình liên kết 70

3.8 Cách đo tọa độ khớp bằng chốt di động và thước cặp trên dưỡng

GIỚI THIỆU

Tính cấp thiết của đề tài, hiện nay có nhiều phương pháp để xây dựng số liệu động học

tùy theo trình độ người sử dụng, yêu cầu công việc hoặc trang bị của hệ thống như ( dạy - học, liên kết CAD/ CAM, xử lý ảnh, giải bài toán ngược) nhưng phổ biến nhất là

kỹ thuật teach-in trong trường hợp sai số vị trí cho phép của quỹ đạo tương đối lớn, chẳng hạn ở các nguyên công hàn hay cắt kim loại Trong trường hợp đòi hỏi độ chính xác cao giải bài toán động học ngược được cho là kỹ thuật phù hợp nhất

Một trong những điểm gây khó khăn không ít khi thực hành trên Robot song song là cả bài toán thuận và bài toán ngược đều có nhiều nghiệm, có nhiều phương pháp giải, tuy nhiên cơ sở lý thuyết của các phương pháp này khó hiểu và mỗi một phương pháp cụ thể chỉ hiệu quả trên một nhóm nhỏ đối tượng

Để khắc phục nhược điểm trên, trong bản luận văn này tác giả tập trung phát triển một phương pháp mới để giải quyết bài toán động học cho nhóm robot song song trên những quan điểm sau:

- Phương pháp mới có cơ sở toán học dễ hiểu hơn các phương pháp khác

- Thể hiện được cả các yêu cầu về ràng buộc công nghệ và cơ học trong mô hình của bài toán;

- Sử dụng tối đa các chương trình hỗ trợ có sẵn, đã được thương mại, để tránh phải tạo thêm các công cụ tin học mới cho bài toán;

- Phù hợp với tất cả các kiểu robot khác nhau và áp dụng được cho cả hai kiểu bài toán động học thuận và nghịch

Sự khác biệt về bậc của mô hình toán là một trong những khó khăn cơ bản khi nó không thích hợp để sử dụng một vài phương pháp quen thuộc có hiệu quả cao Tuy nhiên các phương trình liên kết với rất nhiều vòng kín và mỗi vòng có số lượng phần

tử rất lớn mô tả đa dạng các kiểu liên kết cơ học khác nhau giữa các khâu lại là khó khăn lớn để tìm ra phương thức hạ bậc thích hợp Có thể thấy đây chính là mấu chốt vấn đề để tìm được một phương pháp mong muốn có đầy đủ bốn tiêu chí mô tả ở trên Trong [6,7], một phương pháp thỏa mãn ba trong số bốn tiêu chí của một phương pháp mới nói ở trên đã được kiểm chứng, tuy nhiên thử nghiệm cho thấy nó không thích nghi được với các dạng hàm bậc bốn Mục đích của luận văn là sử dụng một cấu hình thay thế để đổi biến nhằm hạ bậc của mô hình nói trên về dạng bậc 2 quen thuộc

Việc hạn chế số lượng phương pháp trong thực hành là cần thiết và sự hạn chế này cần nhất là không đưa đến những bất tiện do sử dụng các công cụ vạn năng Vì vậy mà việc thay thế cấu hình để sử dụng phương pháp quen thuộc sẽ hiệu quả hơn việc giữ cấu hình gốc và thay đổi phương pháp giải bài toán Trên cơ sở các phân tích đó tác giả chọn đề tài luận văn tốt nghiệp là:

“Khảo sát động học Robot song song bằng phương pháp đổi biến số”

Đối tượng nghiên cứu của đề tài, xác định kết cấu thay thế tương đương và xây dựng

mô hình động học tương đương trên cơ sở công thức đổi biến, xác lập quan hệ duy nhất giữa hai điểm trong hai không gian khác nhau

Phương pháp nghiên cứu của đề tài là phát triển các mô hình lý thuyết dựa trên các

quan hệ cơ học và toán học Chứng minh bằng toán học và mô phỏng bằng phần mềm kết hợp với thực nghiệm

Ý nghĩa khoa học của đề tài là thu thập được bộ dữ liệu biến khớp bằng cách giải bài

toán thay thế và dùng để điều khiển Robot Sử dụng công cụ Solver có trong Excel bởi

vì đó là một giải thuật mạnh được tối ưu hóa có sẵn trên tất cả máy tính

Ý nghĩa thực tiễn của đề tài là tạo ra một phương thức chuẩn bị số liệu động học lập

trình điều khiển robot hoàn toàn mới, có tính ứng dụng cao, dể hiểu, dễ sử dụng và phổ thích nghi rộng trên nhiều lớp đối tượng khác nhau đạt độ chính xác cao

Nội dung của luận văn bao gồm năm phần chính như sau:

- Phần mở đầu

- Chương 1: Tổng quan về bài toán động học Robot

- Chương 2: Phép đổi biến và mô hình động học tương đương

- Chương 3: Thực nghiệm và kiểm chứng kết quả

- Kết luận của luận văn

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC ROBOT

1.1.Vị trí và vai trò của bài toán động học robot

Bài toán động học robot là bài toán có chức năng xây dựng số liệu điều khiển mạch

chuyển vị của robot công nghiệp Nhiệm vụ của phần công tác được thiết lập trong không gian công tác, trong khi tác động điều khiển lại đặt vào khớp, nên biến khớp là đối tượng điều khiển trực tiếp Vì vậy bài toán động học ngược bao giờ cũng phải được giải, nhưng vị trí của nó khác nhau giữa trường hợp điều khiển trong không gian khớp và điều khiển trong không gian công tác

Khi điều khiển trong không gian khớp, bài toán động học ngược được giải trước để chuyển các thông số từ không gian công tác sang không gian khớp

Hình 1.1: Sơ đồ điều khiển trong không gian khớp

Hình 1.2: Sơ đồ điều khiển trong không gian công tác

Ở sơ đồ điều khiển trong không gian công tác, bài toán ngược được giải trong mạch phản hồi, có thể thấy dữ liệu của bài toán động học chia thành hai nhóm:

Nhóm thông số gồm các yếu tố có thể xác định được dựa trên thiết kế của robot như:

- Chiều dài khâu (đo theo đường nối tâm hai khớp của nó, kích thước kí hiệu d trên bảng DH)

- Khoảng cách giữa hai gốc hệ quy chiếu kề nhau không cùng 1 khâu (đo theo phương trục khớp, kích thước kí hiệu a trong bảng DH)

- Góc xoắn của khâu (kích thước kí hiệu  trong bảng DH)

Các thông tin này đều đã biết trước trong cả bài toán thuận và bài toán ngược Nhóm thứ hai là biến khớp: Bao gồm lượng tịnh tiến của khớp tịnh tiến hoặc góc quay của

khớp quay các giá trị này là đầu ra của bài toán động học ngược Trong bài toán thuận đây là thông tin biết trước

Để giải bài toán ngược cần xác định thêm thông tin về phần chấp hành (vị trí và hướng), dữ liệu này do người sử dụng đưa ra trong bài toán ngược

1.2 Các phương pháp xây dựng dữ liệu động học

Trong quá trình sử dụng một robot công nghiệp, các khả năng công nghệ tiêu chuẩn có thể không thỏa mãn những yêu cầu thực tế Nếu gặp trường hợp cần điều khiển robot

di chuyển theo một quỹ đạo phức tạp hơn so với khả năng của bộ nội suy, việc xây dựng dữ liệu điều khiển là cần thiết Giao diện qua cổng USB với file NC code viết theo chuẩn lập trình do nhà sản xuất quy định thường là lựa chọn trong trường hợp này

Cấu trúc kết cấu của robot cho phép nó thực hiện các chuyển động không gian phức tạp, đồng thời cấu trúc điều khiển cho phép nhận tín hiệu chỉ huy từ nhiều nguồn khác nhau Do vậy khả năng công nghệ của robot chỉ phụ thuộc vào phương thức chuẩn bị

nghiệp hỡnh thức này thường được ứng dụng trong cỏc bài toỏn như lắp rỏp với trường dung sai hẹp hoặc tiếp cận cỏc vật thể bố trớ mang tớnh ngẫu nhiờn

Hỡnh 1.4: Sơ đồ xử lý ảnh với hai camera bố trớ để đo tam giỏc

1.2.2 Bài toỏn ngược

Việc giải hệ phương trỡnh động học của robot được gọi là bài toỏn động học ngược, nhằm xỏc định giỏ trị của cỏc biến khớp theo cỏc thụng số đó biết của khõu chấp hành cuối Kết quả của việc giải hệ phương trình động học đóng vai trò hết sức quan trọng trong việc điều khiển robot Thông thường, điều ta biết là các vị trí và hướng mà ta muốn robot phải dịch chuyển tới và điều ta cần biết là mối quan hệ giữa các hệ toạ độ trung gian để phối hợp tạo ra chuyển động của robot, hay nói cách khác đó chính là giá trị của các biến khớp ứng với mỗi toạ độ và hướng của khâu chấp hành cuối hoặc công

cụ gắn lên khâu chấp hành cuối, muốn vậy ta phải giải hệ phương trình động học của robot, tuy nhiờn để thực hiện bài toỏn này thỡ cú khú khăn ở những điểm sau:

- Nếu n<6 thỡ lời giải khụng hoàn chỉnh, lỳc này cơ cấu robot khụng đưa bàn kẹp tới vị trớ và định hướng như mong muốn được hoặc đạt tới vị trớ nhưng khụng thỏa món yờu cầu về định hướng

- Nếu n=6 tức là số ẩn bằng số phương trỡnh thỡ bộ biến khớp q1 ữq6 hoàn toàn xỏc định Tuy nhiờn , lời giải khụng phải lỳc nào cũng rễ dàng tỡm ra vỡ cỏc phương trỡnh này cú thể là siờu việt và hệ phương trỡnh siờu việt này khụng phải lỳc nào cũng hội tụ của lời giải

- Nếu n>6 tức là ẩn số lớn hơn số phương trỡnh thỡ cú khả năng cú nhiều lời giải và cựng đạt tới một vị trớ, một định hướng của bàn kẹp cú thể cú nhiều bộ thụng số biến khớp qi

Trong khỏ nhiều trường hợp giải bằng phương phỏp số lại khụng giải được lời giải thớch hợp, thời gian tỡm kiếm lời giải quỏ lõu do gặp khú khăn như giải hệ phương trỡnh siờu việt Tớnh đa trị của lời giải cũng như sự đa dạng của cỏc cấu hỡnh trung giancủa cơ cấu robot Vỡ vậy cú nhiều cụng trỡnh nghiờn cứu để tỡm lời giải cho cỏc bài toỏn động học ngược ở dạng cụng thức Hầu hết cỏc phương phỏp đều dựng cho cỏc trường hợp cơ cấu robot cụ thể nào đú và tất cả đều là trường hợp từ 6 bậc tự do trở xuống

1.2.3 Kỹ thuật dạy – học

Kỹ thuậtdạy - học (Teach- Pendant) dựng để dạy cho robot cỏc thao tỏc cần thiết theo yờu cầu của quỏ trỡnh làm việc, sau đú robot tự lặp lại cỏc thao tỏc đó được dạy để làm việc ( Phương phỏp lập trỡnh kiểu dạy học)

Về cơ bản để dạy và học được hệ thống cần cú cỏc trang bị nhận biết trạng thỏi bản thõn như chuyển vị, vận tốc, gia tốc bằng cỏc cảm biến, cỏc trạng thỏi này sau khi nhận biết thành cụng cần được định dạnh và lưu trữ để truy xuất tuần tự khi cần nhằm tạo ra một chương trỡnh thực sự thụng qua việc hệ thống cỏc tư thế được học Việc tương tỏc người –mỏy được thực hiện thụng qua remote – control, thụng thường trong chế độ dạy, tốc độ cỏc động cơ được cố định, chỉ ghi nhận chuyển vị cỏc điểm chốt

Cỏc phần mềm để lập trỡnh và cỏc chương trỡnh điều khiển robot được cài đặt trờn mỏy tớnh, dựng để điều khiển robot thụng qua bộ điều khiển ( Controller) Bộ điều khiển cũn được gọi là Modun thụng qua điều khiển( hay Unit, Driver), nú thường được kết

nối với máy tính Một Modun điều khiển có thể còn các cổng Vào – ra (I/O- port) để làm việc với nhiều thiết bị khác nhau như các cảm biến giúp robot nhận biết trạng thái của bản thân, xác đinh vị trí của đối tượng làm việc hoặc các dò tìm khác, điều khiển các băng tải hoặc cơ cấu cấp phôi hoạt động phối hợp với robot

1.2.4 Liên kết CAD/ CAM

Để hạn chế giá thành thiết bị, khả năng nội suy giới hạn của hệ thống điều khiển tiêu chuẩn tích hợp theo robot có thể không nội suy được các kiểu đường cong như ellipse, parabolic, b-spline…khắc phục điều này nhà sản xuất để lại một cổng liên kết ngoại vi cho robot như RS232 hoặc RS485 nhằm liên kết các nguồn thông tin bên ngoài được xác lập theo mã chuẩn, đây chính là khả năng liên kết và chia sẻ các thông tin điều khiển của hệ thống khi robot là một thành phần của hệ đó

Trước đây, việc mã hoá tín hiệu tập tin CAD thành các thao tác của robot thường rất tốn kém và phức tạp Một phần do các hệ thống được sử dụng là những máy móc mới nhất Phần khác do chi phí phần mềm tương đối cao Nhưng nay việc mã hoá tập tin CAD đã trở nên đơn giản và đỡ tốn kém hơn nhờ CAD-CAM Robot, giải pháp tạo đường dẫn trực tiếp từ các tập tin CAD để robot gia công vật dạng 2,5D đến 3D.CAD-CAM Robot có hai loại: CAD-CAM Robot dùng cho robot 3 trục và CAD-CAM Robot dùng cho robot 5 trục (cả hai đều sử dụng đầy đủ sáu trục cánh tay robot) Trong đó, loại dùng cho robot 3 trục thường điều khiển robot gia công (phay, cán, cắt…) vật dạng “2,5D” Còn loại dùng cho robot 5 trục điều khiển robot gia công vật dạng 3D Loại này yêu cầu phần mềm điều khiển khác với loại dùng cho robot 3 trục Tuy nhiên, cả hai loại CAD-CAM cho Robot này đều có công suất CNC lớn và phạm

vị ứng dụng rộng Chúng có thể ứng dụng cho S4C mới nhất, robot S4CPlus ABB, các loại robot có kích cỡ từ IRB 140 rất nhỏ tới IRB 6400 có kích cỡ 3m Các chuyên gia cho biết, khi robot gia công vật theo đường cong, phần mềm CAD-CAM sẽ mã hoá tín hiệu qua đường dẫn công suất và bộ xử lý, để tách đường cong thành nhiều đường chuyển dịch ngắn Nhờ đó, robot thực hiện chính xác các quy trình gia công trên phạm

vi rộng và hiệu suất lớn

Hình 1.5: Gia công cơ khí với robot mang dụng cụ cắt trong bàn tay

điều khiển qua liên kết CAD/CAM

1.3 Bài toán động học ngược Robot và các phương pháp điển hình

1.3.1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp giải tích

Tên phương pháp Analytical Method, tìm ra các công thức hay các phương trình toán giải tích biểu thị quan hệ giữa các giá trị của không gian biến trục và các thông số khác của bộ thông số DH Nhóm phương pháp giải tích tìm ra nghiệm chính xác, nhưng quá trình tổng quát biến đổi sơ cấp để rút nghiệm giải tích cần sử dụng nhiều trực giác

và lợi dụng các đặc điểm về kết cấu một cách khéo léo để đạt mục đích Quy trình này được khuyến cáo không áp dụng được rộng rãi trên các nhóm mang đặc điểm kết cấu khác nhau [3], do khó khái quát hóa

1.3.2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp số

Tên phương pháp Numerical Method, tìm ra các giá trị của tệp nghiệm bằng kết quả của một quá trình lặp Nhóm phương pháp số là các phương pháp tính gần đúng với sai

số cho phép, được sử dụng với sự hỗ trợ của máy tính Các phương pháp này cho cách giải tổng quát cho mọi loại robot, cho kết quả chính xác cần thiết theo yêu cầu kỹ thuật

1.3.3 Các phương pháp khác giải bài toán động học ngược

1.3.3.1 Phương pháp “các nhóm 3”

Như đã biết vị trí một điểm trong không gian hoàn toàn được xác định trong hệ tọa độ

3 chiều, nên có thể phân cơ cấu robot ra những nhóm 3 Nói chung viết thành : 3+3+3+… Tuy nhiên gốc tọa độ của nhóm 3 kể từ nhóm thứ 2 trở đi đều cùng là đối tượng cần xác định Đối với các loại robot dùng trong công nghiệp thường có ít hơn hoặc bằng 6 bậc tự do, nên việc phân nhóm 3+3 lại phù hợp với các thao tác trong thực

tế Thao tác đầu tiên là robot đưa bàn kẹp đến gần vị trí làm việc Có thể gọi tên là thao

tác “thô” Sau đó bàn kẹp được xê dịch nhỏ và xoay hướng cho phù hợp với công việc

Thao tác này còn gọi là thao tác “tinh” Vậy các nhóm 3+3 tương ứng với các thao tác

“thô”+ “tinh”

Giải bài toán động học ngược đối với trường hợp n=3, trở nên đơn giản hơn nhiều Có

thể dùng phương pháp hình giải tích thông thường hoặc dùng các hệ phương trình:

Với n=3 và lưu ý các vấn đề sau đây:

- Đối với nhóm 3 thực hiện thao tác “thô” thì thường chỉ quan tâm đến vị trí, mà

không quan tâm đến định hướng nên các thành phần của các vectơ n,s,a đều bằng 0

- Đối với nhóm 3 thực hiện thao tác “tinh” thì ngược lại, cho các thành phần của vectơ

p bằng 0

Nhược điểm của phương pháp này, như đã nói ở trên, gốc tọa độ của các nhóm 3 kể từ

nhóm thứ 2 trở đi đều là những vị trí cần xác định hoặc cho trước Thông thường

người ta cho trước chúng như những điểm tựa công nghệ

1.3.3.2 Phương pháp dịch chuyển vi phân

Tính toán về động học robot khi di chuyển nhỏ sẽ nhận được những quan hệ vi phân

Chúng có tầm quan trọng nhất định trong một số trường hợp như khi lắp ráp cần vi

chỉnh các giá trị chuyển dịch của các khớp để đáp ứng yêu cầu có những thay đổi rất

nhỏ về đinh vị và định hướng của hệ tọa độ gắn liền với điểm tác động cuối của bàn

kẹp robot Các quan hệ vi phân còn dùng để tính toán độ chính xác cơ cấu về sự biến

thiên của lực tác động lên các khâu về sự ổn định tốc độ di chuyển v.v

Phương pháp này dựa trên ý tưởng cơ bản là giả thiết chuyển vị nhỏ để tuyến tính hóa

các đại lượng siêu việt như sin, cosin nhằm làm đơn giản hóa bài toán ngược

1.3.3.3 Phương pháp Raghavan Roth

Một phương pháp trong giải bài toán động học ngược của tay máy 6 bậc tự do là biến

đổi hệ phương trình phi tuyến như là một đa thức nhiều biến của Si và ci sau đó lọai bỏ

tất cả các biến ngoại trừ biến θ3 , do đó thu được đa thức bậc 16 của tan 3

2



từ đây biến khớp θ3 có thể được tính toán như là nghiệm của đa thức này [10] Các biến khớp còn

lại được xác định bằng cách thay giá trị nhận được và giải các phương trình trung gian

Dưới đây là phần tóm tắt các bước thức hiện trong giải thuật của Raghavan và Roth

Ma trận B[6x8] với icác phần tử là hằng số, và X1[9x1], Y[8x1] là các ma trận được định nghĩa dưới đây:

X1s s4 5 s c4 5 c s4 5 c c4 5 s4 c4 s5 c5 1T (1-7)  1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2

Bước 5

Chuyển phương trình (1-14) thành dạng đa thức bằng cách đổi biến

1 2

21

i

i

x S

x





2 2

11

i i

i

x c

1 x để triệt tiêu mẫu

số và nhân phương trình một tới bốn bằng  2

3

1 x để thu được dạng sau:

 2X2  0 (1-15) Trong đó ma trận  26 9   có chứa các phần tử tuyến tính với s3,c3 Tổng quát với tay máy 6R vector X2 có dạng:

 

0 0

Bước 8

Các nghiệm của phương trình đặc tính có thể thu được bằng phương pháp số các nghiệm thực tương ứng với bộ kết quả thực của phương trình động học ngược với mỗi một giá trị của x3 có thể tính được giá trị biến khớp tương ứng nhờ công thức

k

Với tay máy 4R2P có số phép nhân vô hương ít hơn do đó sô phương trình cần thiết để giải cũng ít hơn, dẫn tới bậc của đa thức đặc tính giảm xuống chỉ còn 8 Tuy nhiên các

bước cơ bản vẫn thực hiện tương tự như trên [10] Với các tay máy có dạng 3R3P, các bước thực hiện đơn giản hơn, bậc của đa thức đặc tính cũng giảm xuống còn 2 [10] Raghavan Roth đã xây dựng lên phương pháp tổng quát giải bài toán động học ngược của robot 6 và 7 bậc tự do Tuy nhiên, phương pháp này cần những bước biến đổi rất dài và phức tạp cần đòi hỏi trực giác toán học của người sử sụng Hơn nữa phương pháp này cũng chỉ áp dụng với một nhóm nhỏ robot xác định, chính điều này đã hạn chế khả năng ứng dụng vào những thiết kế trong thực tế

1.3.3.4 Phương pháp loại trừ thẩm tách Sylvester

Phương pháp này đòi hỏi các xác định phương trình gọi là phương trình loại trừ hoặc phương trình kết quả, rút gọn hệ phương trình đa thức nhiều biến bất kỳ thành một đa thức đơn biến [10] Quy trình loại trừ của Sylvester sử dụng sáu bước cơ bản sau:

1 Viết lại tất cả các phương trình với một biến bị loại bỏ

2 Xác định tích lũy thừa của các biến còn lại là các biến tuyến tính mới Các tích lũy thừa là các đại lượng trong phương trình đa thức

Ví dụ các tích lũy thừa của đa thức 2

5 Tìm nghiệm của đa thức đặc tính của ma trận này, kết quả có thể là tất cả các

nghiệm khả dĩ của biến đã loại bỏ

6 Lần lượt thay các biến đã loại bỏ vào hệ các phương trình ban đầu và lặp lại cho các biến còn lại

Trong thực tế, phương pháp này chỉ áp dụng được cho tập hợp tương đối nhỏ các phương trình đa thức Điều này là do đa thức kết quả có thể tăng số lượng phương trình lên rất lớn và xuất hiện nhiều nghiệm lạ

1.3.3.5 Phương pháp Pieper

Pieper là người đầu tiên xây dựng bài toán động học ngược cho robot dạng chuỗi 6 bậc

tự do và đưa ra lời giải là nghiệm của đa thức đơn biến bằng cách tách nhóm cơ khí

[10]

Phương pháp này áp dụng với robot 6 bậc tự do quay với ba khâu cuối có đường trục đồng quy Điểm đồng quy này là điểm đặt của các hệ tọa độ 4, 5 và 6 Do đó, lời giải

của θ1, θ2, θ3 được xác định nhờ vị trí của ba khớp đầu tiên, bởi vì θ4, θ5và θ6 không ảnh hưởng tới vị trí của hệ tọa độ chung 0 0 0

Hình 1.6: Sơ đồ robot có cổ tay cầu

Nếu hệ tọa độ O0 được quy định theo quy tắcc Denavit Hartenberg thì sẽ song song Với z1 do đó α0=0 Hơn thế nữa, gốc tọa độ của hệ tọa độ 0 và 1 trùng nhau nên

hệ quy chiếu cơ sở và khoảng cách tới gốc tọa độ O0 O1là hàm độc lập với θ1

được xác định dựa trên công thức

Ưu điểm của phương pháp là đã đưa ra lời giải dưới dạng giải tích của tay máy,phương pháp này được áp dụng hiệu quả vào các robot thương mại ngày nay Tuy nhiên nhược điểm của phương pháp là chỉ áp dụng được với những dòng robot có tính chất đặc biệt như cổ tay cầu và có các thông số khâu đặc biệt (ai=0,di=0) và số bậc tự do không quá

6 Với phương pháp số của Pieper có thể giải với robot tổng quát nhưng tạo ra phương trình với bậc quá lớn

1.3.3.6 Phương pháp Lee and Liang

Duffy và Crane đã thu được phương trình bậc 32 với robot 7R có kết cấu không gian tổng quát trong việc chinh phục đỉnh Everest của các vấn đề động học Trên cơ sở của phương pháp này Lee và Liang đã phát triển bài toán động học ngược của robot 6R-P

và 7R thành phương trình bậc 16 của tan

2



Phương pháp của Lee và Liang thuộc nhóm phương pháp thiết lập với tư tưởng chung

là khéo léo rút gọn các phương trình động học của robot chuyển thành một đa thức đơn biến bậc cao Do đó để có thể áp dụng với từng nhóm robot cần có những nghiên cứu

và xây dựng phương pháp tiếp cận riêng Để đưa ra đa thức đơn biến cần có những biến đổi phức tạp đòi hỏi nhiều về khả năng của người sử dụng trong xử lý các vấn đề toán học Đây cũng chính là nhược điểm hạn chế khả ứng dụng của phương pháp vào các sản phẩm robot trong thực tế cũng như sự quan tâm phát triển của các tác giả trong thời gian gần đây

1.3.3.7 Phương pháp Tsai Morgan

Tsai và Morgan đã phát triển phương pháp giải bài toán động học ngược cho robot 5

và 6 bậc tự do tổng quát Phương pháp này có thể đưa ra tất cả các lời giải tương ứng với vị trí và hướng của khâu tác động cuối Kết quả này đạt được bằng cách chuyển toàn bộ vấn đề thành một hệ tám phương trình bậc hai với tám ẩn và sau đó tìm tất cả các lời giải theo phương pháp liên tục [10] Wampler và Morgan [10] đã ử dụng phương pháp tương tự để tạo ra 11 phương trình rất đơn giản cho phép tìm ra tất cả các nghiệm

Cũng giống như phương pháp của Raghavan Roth phương pháp của Tsai Morgan cũng

sử dụng các bước biến đổi phức tạp để tạo ra một đa thức đơn biến bậc cao Quá trìnhbiến đổi dài và phức tạp đã hạn chế khả năng ứng dụng của phương pháp trong các sản phẩm robot trong thực tế

1.3.3.8 Phương pháp chuyển đổi ngược

Phương pháp giải bài toán động học ngược này sử dụng các hàm lượng giác tự nhiên Các phương trình này sau đó kết hợp với hàm actan hai biến để chỉ rõ giá trị nghiệm thuộc cung phần tư thứ mấy [3] Phương pháp này làm việc tốt trong hầu hết các trường hợp tay máy có cấu trúc đơn giản, có thể giải trực tiếp, hiệu quả cao với phương pháp đơn giản nhất Trong một vài trường hợp khác đòi hỏi trực giác về toán học của người thiết kế, nhưng trực giác này vẫn có thể được trình bày trong phần này

Ví dụ, một tay máy với khớp cuối cùng là khớp trượt đòi hỏi chuyển đổi để thu được

6 6 A A1 2 3 4 5

Hình 1.7: Phương pháp chuyển đổi ngược

Trong các trượng hợp tay máy có kết cấu đơn giản khác, một điều cần thiết để chuyển đổi bài toán và giải với vị trí cơ sở của tay máy tại 1

Dạng thứ hai:

p S x 1 p C y 1 d2 (1-34) Dạng này cũng cho cặp nghiệm khác nhau 0

180 Một lần nữa lại tồn tại khả năng suy biến khi cả tử số và mẫu số đều bằng không, các phương trình thiết lập gồm sine và cosine của biến khớp tương ứng

Dạng thứ ba:

d S3 2  p C x 1 p S y 1 (1-35) Dạng thứ tư:

d C p

Các phương trình này được sử dụng để thu được duy nhất nghiệm, như trong trường hợp cuối cùng khi phương trình có chứa cả hàm sine lẫn hàm cosine được thiết lập đẫn tới một giá trị góc duy nhất Cuối cùng, trong trường hợp những tay máy có hai hay nhiều hơn hai khớp song song với nhau, các giá trị góc có thể được giải dễ dàng dựa trên liên hệ của tổng các góc Góc giữa hai khâu thu được dưới dạng arccos

Phương pháp này đã sử dụng những đặc điểm đặc điểm về mặt kết cấu của robot hay cũng chính là những đặc điểm đặc biệt trong các ma trận biến hình để đưa ra các nghiệm của bài toán động học ngược dưới dạng tường minh Phương pháp này có thể

áp dụng hiệu quả với nhiều dòng robot được sản xuất tuy nhiên chính phương pháp này không thể áp dụng với một robot có số bậc tự do bất kỳ hoặc có hình dạng không đặc biệt

1.3.3.9 Phương pháp Newton Raphason

Trong phương pháp này việc giải bài toán động học ngược của robot được tính toán dữ liệu trên cơ ở ma trận jacobian Phương pháp này thực hiện tăng giá trị biến khớp từ giá trị ban đầu tới giá trị đích mà người sử dụng cần tương ứng với một tư thế của robot trong quá trình làm việc Giá trị thay đổi giá trị biến khớp sau mỗi vòng lặp được xác định dựa trên mối liên hệ giữa đạo hàm riêng của các hàm động học theo các biến khớp, và sai lệch giữa tư thế của khâu chấp hành cuối cùng với tư thế mong muốn [ 10]

Ma trận jacobian có kích thước (m x n) trong đó là số phương trình trong hệ động học

sử dụng để tính toán, là số biến khớp hay cũng chính là số bậc tự do của robot

Giá trị biến khớp trong mỗi vòng lặp được tính toán dựa trên công thức do Pseudo đề xuất như sau [10]

Hình 1.8: Phương pháp Newton Raphson

Giải thuật của này đơn giản về cấu trúc, không cần phải có các bước biến đổi dài và đây là phương pháp mang tính vạn năng cao, có thể áp dụng được cho hầu hết các sơ

đồ robot Tuy nhiên nhược điểm chính của phương pháp này là khó tìm ra nghiệm của

hệ động học thỏa mãn các ràng buộc chuyển động của các khớp Bởi vì các điểm khởi tạo để tính toán khác nhau, giải thuật đưa ra giá trị nghiệm khác nhau điều này dẫn tới việc tìm ra giá trị khởi tạo cho giải thuật là một bài toán khó khăn Hơn thế nữa, phương pháp này mang một nhược điểm rất lớn đó chính là giá trị tìm kiếm là giá trị cực trị địa phương thay vì giá trị toàn cục

1.3.3.10 Phương pháp giải bài toán tối ưu

Chuyển bài toán động học ngược của robot thành bài toán tối ưu được xem là một phương pháp tổng quát có thể nhanh chóng đưa ra lời giải bài toán động học ngược của một robot có kết cấu và số bậc tự do bất kỳ Phương pháp này được thiết lập dựa trên hàm mục tiêu là sai lệch giữa vị trí và hướng của cơ cấu chấp hành cuối cùng so với vị mục tiêu cần đạt tới [30]

Hình 1.9: Phương pháp tối ưu giải bài toán động học

Phương pháp này có tính vạn năng cao, có thể áp dụng với một robot bất kỳ Tuy nhiên nó không thích hợp với dạng hàm mục tiêu bậc bốn có chứa các phần tử siêu việt Mô hình toán học của phương pháp này cho robot cấu trúc chuỗi động học hở có dạng:

n k

k ij

U q L

a q q q f Z

1

2 6 2

1 , ) ) (

( min

(1-39)

Trong mô hình này f(q1, ,q6) được gọi là phương trình liên kết, nó được hình thành trên cơ sở các liên hệ véc tơ Mô hình này đã giải quyết triệt để các vấn đề về bài toán ngược của robot đơn và khẳng định ưu thế của việc chuyển hướng nghiên cứu bài toán động học truyền thống dưới dạng bài toán tối ưu [30]

Bên cạnh đó theo [30, 8], thuật toán này còn có khả năng giải bài toán động học robot khi sử dụng quy tắc chuyển vị xoắn thay cho quy tắc DH thông thường

Giao diện Excel khởi tạo bài toán nhanh chóng và cho phép giải lặp lại các điểm khác nhau với cả bài toán thuận và bài toán ngược là một điểm thuận tiện rất lớn khi ứng dụng vào sản xuất Kỹ thuật này ứng dụng vào thực tế sẽ giúp giải quyết bài toán dễ dàng hơn, rút ngắn thời gian đào tạo nhân lực vì không đòi hỏi phải lập trình

1.4 Các hướng nghiên cứu tương cận với đề tài

Ở góc độ kỹ thuật, trong các phương pháp số giải bài toán động học robot có thể nhận

thấy toàn bộ các phương pháp số mặc dù rất phong phú song đều đi theo hướng giải hệ phương trình liên kết, không có nghiên cứu nào đi theo hướng chuyển bài toán động học sang nghiên cứu dưới dạng bài toán tối ưu

Ở góc độ toán học, trong tài liệu [15] việc giải quyết bài toán tối ưu với hàm mục tiêu

phi tuyến có chứa đại lượng siêu việt bậc bốn đi theo hướng sử dụng các công cụ phù hợp chẳng hạn phương pháp của powell, hook-Jeeves, Newton Raphson, Fletcher powell

1.5 Hướng nghiên cứu của đề tài

Về mặt kỹ thuật, để giải bài toán động học của robot song song đề tài sẽ đi theo hướng

đề xuất ở [30], tức là xét bài toán dưới dạng tối ưu có kể đến các ràng buộc vật lý và công nghệ khi giải

Về mặt toán học, đề tài tiếp tục sử dụng phương pháp GRG đã đề xuất ở [6,7] đã áp

dụng thành công trên cấu trúc chấp hành dạng chuỗi hở ứng với hàm mục tiêu bậc 2,

sang để giải quyết kiểu hàm mục tiêu bậc 4 Có hai kỹ thuật mới được đề xuất để phương pháp GRG có thể thích hợp với dạng mục tiêu bậc 4 của robot song song là kỹ thuật hạ bậc hàm mục tiêu và kỹ thuật sử dụng cấu trúc thay thế tương đương có hạn chế cơ học mô tả trong ràng buộc của bài toán tối ưu Nếu thành công, đề tài sẽ chứng minh được không cần sử sụng các phương pháp như powell, hook-Jeeves, Newton Raphson, Fletcher powell trên dạng mục tiêu bậc 4

Kết luận chương 1

Có thể thấy việc giải bài toán động học robot với đa dạng các tình huống khác nhau rất khó để có một giải pháp chung cho tất cả, vì mỗi phương pháp giải chỉ thích nghi với một nhóm nhỏ các đối tượng và không hiệu quả trên các nhóm khác (các mục từ 1.3.3.3 đến 1.3.3.10 chỉ ra điều này), do đó số lượng phương pháp và công cụ cho bài toán ngược là rất lớn, ở góc độ thực hành điều này không có lợi

Việc hạn chế số lượng phương pháp trong thực hành là cần thiết và sự hạn chế này cần nhất là không đưa đến những bất tiện do sử dụng các công cụ vạn năng Vì vậy mà việc thay thế cấu hình để sử dụng phương pháp quen thuộc sẽ hiệu quả hơn việc giữ cấu hình gốc và thay đổi phương pháp giải bài toán

Những cản trở chính trong việc này là chọn một phương pháp có thể giải quyết được phần lớn các bài toán động học khác nhau, khó khăn cơ bản về bậc của phương trình liên kết sẽ được khắc phục bằng các biện pháp như hạ bậc bằng cách đổi biến hoặc đưa các cấu hình thay thế có kèm theo các ràng buộc bổ sung trong mô hình toán

CHƯƠNG 2 KHẢO SÁT ĐỘNG HỌC ROBOT SONG SONG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

2.1 Xây dựng vòng khép kín của véc tơ trong các cấu trúc khác nhau

Phương trình liên kết là căn cứ cơ bản để hình thành bài toán động học và động lực học, nguyên tắc chung để xây dựng phương trình liên kết cho cả hai kiểu robot là dựa vào các vòng véc tơ khép kín, hình thành theo kết cấu cụ thể của từng robot Sự khác nhau là ở chỗ với robot dạng chuỗi hở, tất cả các khớp có mặt trong sơ đồ động đều tham gia dẫn động và là các khớp loại 5 Để xác định vị trí và hướng của mỗi khâu sử dụng n+1 hệ quy chiếu suy rộng cho hệ có n bậc tự do Trong khi ở robot song song, thường chỉ sử dụng 2 hệ quy chiếu, một gắn với bệ cố định và một gắn với bệ di động, vòng kín ở robot chuỗi hở chưa toàn bộ n+1 hệ quy chiếu suy rộng trong khi vòng kín

ở robot song song cũng chứa hai hệ quy chiếu

Hình 2.1: Nguyên tắc hình thành vòng kín trên hai kiểu robot khác nhau

Ở robot chuỗi hở nếu phương trình liên kết tách ra làm hai nội dung là mô tả vị trí và định hướng riêng thì ở robot song song hướng của khâu chấp hành cũng được đảm bảo thông qua ràng buộc vị trí của các tọa độ Tức là trong mô hình động học của robot song song không có phương trình đảm bảo vị trí riêng và phương trình đảm bảo định hướng riêng Do có nhiều vòng kín nên số lượng phương trình liên kết của robot song song có thể nhiều hơn 6 là số phương trình liên kết tối đa của robot kiểu chuỗi hở

2.2 Các dạng phương trình liên kết khác nhau với cấu trúc song song

Về cơ bản có 2 kiểu phương trình liên kết trên robot song song cần được xem xét cụ thể ứng với các kiểu khớp chủ động khác nhau là:

- Phương trình của robot kiểu chuỗi động học kín, khâu dẫn động quay;

- Phương trình của robot kiểu chuỗi động học kín, khâu dẫn động tịnh tiến

Dạng của phương trình liên kết trong mỗi bài toán được hết sức quan tâm vì nó quyết định phương pháp giải và trình ứng dụng nào được lựa chọn

2.2.1 Phương trình liên kết khi dẫn động kiểu R (rotation)

a) Mặt trước b) Mặt bên

Hình 2.2: Sơ đồ khai triển chi tiết nhánh thứ i của robot song song dẫn động quay

Xét sơ đồ khai triển chi tiết nhánh thứ i của robot song song dẫn động quay như hình 2.1 với cấu hình một nhánh dạng SRS, phương trình liên kết với chân đó có dạng như sau:

i i i i i i RPY PC OA A B B C R

ci ci ci

z y x

i i i i

i

i i

i

i i i i

i

z y x

z y x

c c c

s s

c s s s c c c s s s s c

s s c s c s c c s s c c

p p p

s s

.

.

.

.

.

.

.

) (

.

.

.

) cos(

.

.

.

2 1 3 1

3

3 2

3

2 1 3 1

)(

)(

min

i

i iz iz iy iy ix

p

2.2.2 Phương trình liên kết khi dẫn động kiểu P (prismatic)

Hình 2.3: Sơ đồ khai triển chi tiết nhánh thứ i của robot song song dẫn động kiểu P

6 , , 1

( ) (

) (

2

)(

)(

)(

min

i

i iz iz iy

iy ix

2.3 Phương pháp giảm Gradient tổng quát (GRG) và trình solver

Khi quyết định chuyển bài toán động học robot sang khảo sát dưới dạng tối ưu, cần xác định một phương pháp và công cụ phù hợp để giải quyết mô hình này, vấn đề so sánh và lựa chọn phương pháp thích hợp với dạng bài toán này được giải quyết ở [21, 30], cấu trúc hợp lý của bài toán để cho ra độ chính xác vị trí và định hướng cân đối nhất cũng đã được giải quyết ở [30] Theo [21] thì phương pháp được lựa chọn để giải quyết hàm mục tiêu dạng Banana thích hợp nhất là Generalize Reduced Gradient (GRG), phương pháp này cũng thuộc nhóm sử dụng đạo hàm, các hàm của bài toán phải thoả mãn điều kiện liên tục, khả vi Giải thuật hiện có hai mô hình khác nhau, mô hình gốc GRG và mô hình cải tiến GRG2 dựa trên cùng một nguyên lý Phương pháp GRG được ứng dụng là công cụ tối ưu cho MS Excel dưới dạng trình solver được tích hợp thêm, nó cho phép không cần lập trình mà khi thiết lập bài toán chỉ cần liên kết các địa chỉ cụ thể dưới dạng các nhãn (label) và chọn trực tiếp các điều kiện khác bằng chuột để thiết lập bài toán, đây là thuận lợi lớn khi phải thực hành trong điều kiện sản xuất tại phân xưởng, nhất là khi việc chuẩn bị số liệu lập trình diễn ra thường xuyên và liên tục Dưới đây là giới thiệu những nét cơ bản nhất về phương pháp khảo sát và công cụ được lựa chọn để giải quyết bài toán động học robot, phương pháp GRG và trình tối ưu solver

2.3.1 Giới thiệu về thuật toán GRG

Xét bài toán tối ưu:

Trong đó hàm f(x) và hi(x) phải liên tục và khả vi tại x và lân cận của x thỏa mãn:

Trước hết khai triển gần đúng hàm f(x) và hi(x) tại x1 như sau:

(2-7) Các biến số được chia thành hai tập là là các biến cơ sở và là các biến không cơ

sở Các hệ số cũng chia thành hai tập hợp là và chứa các biến cơ

sở và biến không cơ sở theo thứ tự đó, dạng khai triển của hai đại lượng này như sau:

Tập hợp các biến cơ sở có thể biểu diễn bởi phương trình:

(2-11) Thay các biến cơ sở từ hàm mục tiêu vào phương trình (2-11) ở trên, giá trị của hàm mục tiêu thay đổi từ n đến (n – m) đồng thời bài toán trở thành bài toán quy hoạch phi tuyến không bị ràng buộc

Nếu x1 là lời giải tối ưu, gradient của hàm mục tiêu phải bằng không, điều đó có nghĩa là:

Phương trình (2-12) xem như lượng giảm véc tơ gradient, nếu véc tơ gradient giảm bằng 0 tại giá trị x1 thì nó cũng thỏa mãn điều kiện cân bằng Lagrange Trái lại nếu di chuyển dọc theo hướng sẽ đạt được giá trị nhỏ hơn của hàm mục tiêu Giá trị mới này sẽ được giữ lại, theo phương trình (1) các biến cơ sở sẽ biến đổi theo hướng

, do đó hướng tìm kiếm nghiệm mới của bài toán sẽ là:

(2-13) Các hướng tìm kiếm đã xác định nhưng độ dài bước đi trên hướng đó chưa tính được, giá trị của bước đi trên các hướng tìm kiếm đã chọn sẽ thay đổi theo từng vòng lặp Theo powell, để xác định được độ dài bước tìm kiếm có thể sử dụng một quy trình gồm hai pha như sau

Pha 1:

Giả sử rằng hướng tìm kiếm d tại điểm hiện thời x đã xác định được, gọi bước tìm kiếm lớn nhất có thể đạt được trên hướng d là D được chia đều làm mười phần, pha 1 gồm các bước như sau:

Với k = 1

Pha 2:

Trên hướng tìm kiếm của pha 1 có thể điểm tối ưu nằm trong khoảng (xa, xc), trong pha này powell giới thiệu một phương pháp ước lượng bằng hàm bậc hai để tính toán

vị trí của điểm tối ưu

Bước 1: sử dụng kết quả của pha 1, vị trí gần đúng của điểm tối ưu được cho bởi công thức sau:

thì dừng tìm kiếm và quay lại chương trình chính

Trái lại sẽ hủy bỏ các giá trị không chấp nhận được xa, xb, xc và chấp nhận điểm x* , sắp xếp ba điểm xa, xb, xc theo thứ tự xa > xb > xc và quay lại bước 1

Nếu tọa độ của điểm tìm kiếm vượt ra ngoài vùng chấp nhận được, cần điều chỉnh lại bằng phương pháp Newton như sau:

Tính m ràng buộc:

Quy trình này được lặp đi lặp lại cho đến khi :

(2-19) Nếu tất cả các điều kiện dừng được thỏa mãn, giá trị mới của lời giải sẽ nằm trong vùng chấp nhận được

Về cơ bản thuật toán GRG gồm các bước chính sau đây:

Bước 1: tìm một phương án xuất phát chấp nhận được và chia nó ra làm hai tập hợp là biến cơ sở và biến không cơ sở kí hiệu lần lượt là và

Bước 2: xác định hướng tìm kiếm, sử dụng phương trình (2.8) để tính gradient của các biến không cơ sở, xem xét các điều kiện biên với mỗi biến và thực hiện các biến đổi sau:

Tiếp tục kiểm tra điều kiện tối ưu, nếu quá trình dừng lại, nếu không thỏa mãn

cần thay đổi theo các phương trình (2-20) Sử dụng phương trình (2-13) để tính

và cuối cùng là xác định hướng tìm kiếm d

Bước 3: Thực hiện quá trình tìm kiếm gồm hai pha như đã giới thiệu ở trên

Bước 4: Kiểm tra điều kiện ràng buộc của bài toán, nếu điểm tìm kiếm vượt ra ngoài vùng giới hạn cần điều chỉnh lại bước tìm kiếm theo phương pháp Newton như nói ở trên

Bước 5: Thay đổi tập cơ sở

Nếu các biến số tiệm tiến tới giới hạn của chúng, chẳng hạn:

(2-21) Khi đó biến phải loại ra khỏi tập cơ sở và trở thành biến không cơ sở, nói cách khác các biến không cơ sở có giá trị tuyệt đối lớn nhất trong véc tơ gradient được lựa chọn

để đưa vào tập các biến cơ sở Do các biến đã thay đổi, tính cập nhật lại các ma trận B

và sau đó quay lại bước 2

2.3.2 Giới thiệu về trình tối ưu solver

Chương trình máy tính sử dụng phương pháp GRG được chọn là hàm solver của Excell Solver chỉ xuất hiện khi cài đặt lựa chọn full, hoặc nếu đã cài Excel trước với lựa chọn typical, phải chọn Add-Ins để cài solver Bài toán được khởi tạo ngay trên giao diện chính của Excel, có thể điều chỉnh trực tiếp các thông số của bài toán tối ưu như:

Hình 2.4: Hộp thoại Solver parameter

Phần công cụ tối ưu của Excel có hai công cụ tối ưu hàm phi tuyến và tối ưu hóa hàm tuyến tính,Trình cài thêm (add-ins) Solver thường có mặt trong gói phần mềm MS Office khi cài đặt với lựa chọn complete (cài đủ) hoặc khi lựa chọn cài đặt custom (theo ý người sử dụng) với lựa chọn cho Excel là run all from my máy tính (cài đặt Excel với đầy đủ các thành phần) Để cài thêm Solver, truy cập menu Tools/ add-ins, chọn Solver add-ins trong cửa sổ add-ins như hình dưới